CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR

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1 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR Combinação Linea 2 n Definição: Seja {,,..., } um conjunto com n etoes. Dizemos que um eto u é combinação linea desses n etoes, se existiem escalaes a,a2,..., an R tais que n u= a + a ann, ou seja, u = i= a i i. Exemplo (): Considee os etoes u = ( 4,0,5), = (,, 2), 2 =(2,0,3 ) 3 = (,2,3). e a) Escee, se possíel, o eto u como combinação linea dos etoes, 2 e 3. b) Escee, se possíel, o eto u como combinação linea dos etoes 2 e 3. Solução: a) Paa que u seja combinação linea dos etoes {,, } escalaes α, β, γ R tais que u= α +β2 + γ3. Então: 2 3, deem existi α+ 2β γ = 4 ( 4,0,5) = α(,, 2) +β(2,0,3) + γ(,2,3) α+ 2γ = 0. Resolendo o sistema 2α+ 3β+ 3γ = 5 linea amos obte: α = 2, β = e γ = 4. Potanto: u = b) Paa que u seja combinação linea dos etoes 2 e 3, deem existi escalaes m en R tais que u = m2 + n3. Então: 2m n = 4 ( 4,0,5) = m(2,0,3) + n(,2,3) 2n = 0. Da segunda equação obtemos 3m + 3n = 5 n = 5. Substituindo nas outas duas obtemos m = e 2 m = 0. O que é uma 3 contadição. Logo o sistema linea é impossíel e não admite solução eal. Potanto, não existem escalaes m en R tais que u = m2 + n3, ou seja, não é possíel escee o eto u como combinação linea dos etoes 2 e 3.

2 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 2 Vetoes LI e LD Definição: Dizemos que os etoes,2,..., n são lineamente independentes (etoes LI) se a expessão a + a ann = 0 se eifica somente se os escalaes a,a2,..., an R foem todos nulos, ou seja, a = a2 =... = an = 0. Definição: Dizemos que os etoes,2,..., n são lineamente dependentes (etoes LD) se a expessão a + a ann = 0 se eifica somente se os escalaes a,a2,..., an R foem não todos nulos, ou seja, pelo menos um dos escalaes dee se difeente de zeo. Exemplo (2): Veifica a dependência linea dos etoes abaixo: a) = (,, 2), 2 = (2,0,3) e 3 = (,2,3 ) b) = (,, 2), 2 = (2,0,3) e 3 = (8,2,5 ) Solução: a) Paa eifica a dependência linea ente esses etoes, deemos escee a expessão a + b2 + c3 = 0 e detemina os escalaes. Então: a+ 2b c = 0 a (,, 2) + b(2,0,3) + c(,2,3) = (0,0,0) a+ 2c = 0. Resolendo o sistema 2a+ 3b + 3c = 0 linea homogêneo amos obte: a = 0, b = 0 e c = 0, ou seja, os escalaes todos nulos. Potanto os etoes são LI. b) Analogamente ao item (a), esceemos a expessão a + b2 + c3 = 0. Então: a+ 2b + 8c = 0 a (,, 2) + b(2,0,3) + c(8,2,5) = (0,0,0) a+ 2c = 0. Resolendo o sistema 2a+ 3b + 5c = 0 linea homogêneo amos obte a solução geal: a = 2c e b = 3c, c R. É eidente que paa c=0 segue que a=0 e b=0, mas não é a única solução, ou seja, existem infinitas soluções onde os escalaes não são todos nulos. Potanto os etoes são LD. Teoema (): Os etoes,2,..., n são Lineamente Dependentes (LD) se, e somente se um deles é combinação linea dos demais. OBS: este é um teoema de condição necessáia e suficiente; o temo "se, e

3 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu somente se" significa que o teoema tem duas implicações: () "se um conjunto de etoes é LD, então um deles é combinação linea dos demais etoes", e (2) "se, em um conjunto de etoes, um deles é combinação linea dos demais, então esses etoes são LD". Assim, a demonstação do teoema contém duas pates: uma paa demonsta a condição necessáia () e a outa paa demonsta a condição suficiente (2). Demonstação: () Hipótese: os etoes,2,...,n V são LD Tese: um deles é combinação linea dos demais etoes. Se, po hipótese, os etoes,2,...,n são LD, então, existem escalaes α, α2,..., αn, não todos nulos, tais que: + α α n n = 0 Supondo, po exemplo, que α 0, pode-se escee: α. α... n = 2 α + 3 α n ; α α α chamando: β 2 α 2 = ; α β 3 α 3 = ;... ; α β α n n =, em: α β β + β = L n n, e, potanto, o eto é combinação linea dos demais etoes. Obsee-se que, assim como se supôs que α 0 e se mostou que é combinação linea dos demais etoes, pode-se supo que qualque um dos α i é difeente de zeo e conclui-se que i é combinação linea escalaes ( i n) dos demais etoes. (2) Hipótese: um dos etoes é combinação linea dos demais etoes. Tese: os etoes,2,..., V são LD n Po hipótese, um dos etoes é combinação linea dos demais; pode-se supo, po exemplo, que esse seja o eto. Isso significa que existem escalaes β2, β3,..., βn tais que: β β + β = L n n; pode-se escee, equialentemente: ( ) + + β + + β 0 β L n n = Sendo o escala que multiplica o eto não nulo, já que é igual a -, conclui-se que os etoes,2,...,n são LD.

4 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu É clao que, fazendo-se a suposição de que qualque eto ( i n) i seja combinação linea dos outos etoes, conclui-se-á, de maneia análoga, que os etoes,2,...,n são LD. Exemplo (3): Como imos no exemplo (2) os etoes = (,, 2), 2 =(2,0,3 ) 3 = (8,2,5) são LD. Logo, pelo Teoema (), um deles é combinação linea dos demais. De fato. Suponhamos que 3 = m + n2. Então: 8 = m+ 2n ( 8,2,5) = m(,, 2) + n(2,03) 2 = m. Da segunda equação em que m = 2. 5 = 2m + 3n Substituindo m = 2 nas outas duas equações em que n = 3. Logo, existem os escalaes m = 2 e n = 3 tais que 3 = Potanto, 3 é combinação linea dos etoes e 2. e Teoema (2): Considee,2,..., n, etoes LD, então k desses etoes seão LD, paa k n. Demonstação: Hipótese: os etoes,2,..., V são LD n Tese: os etoes,2,...,k são LD, paa todo k n Po hipótese, os etoes,2,...,n são LD; então, existem escalaes α, α2,..., αn, não todos nulos, tais que: α + α α n n = 0. A esse conjunto de n etoes, acescentem-se mais k n ( k n) considee-se, agoa, o conjunto: {,,...,,,, L, } 2 n n+ n+ 2 k. Esceendo-se a equação: α + α αnn + αn+ n+ + αn+ 2n+ 2 + L + αkk = 0, conclui-se, a pati dela, que os etoes,,..., etoes, isto é,,,, L, 2 n n+ n+ 2 k são LD, pois, mesmo que os escalaes αn +, αn+ 2,..., αk sejam todos nulos, ente os escalaes α, α2,..., αn há pelo menos um deles que não é nulo, já que os etoes,2,..., n são LD. Logo, o conjunto de etoes {,2,...,,, 2, L, } é LD. n n+ n+ k

5 Obseações: CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu ) Po esse teoema, conclui-se que, se um conjunto de etoes é LD, aumentandose o númeo de etoes deste conjunto, o noo conjunto seá LD. 2) Obsee-se que o teoema é apenas de condição necessáia, ou seja, a ecípoca não é edadeia. Isso significa que, se um conjunto de n etoes,2,...,n é LD, isso não implica que o conjunto de etoes m., 2,..., m é LD, paa n Assim, quando se sabe que um conjunto de etoes é LD, se foem etiados desse conjunto um ou mais etoes, não se pode afima que o noo conjunto é LD. Teoema (3): Considee paa k n. Demonstação:,2,..., n etoes LI, então k desses etoes seão LI, Hipótese: os etoes Tese: os etoes Po hipótese, os etoes α + α α n n = 0,2,..., V são LI n,2,...,k são LI, paa todo k n,2,...,n são LI; então, a equação é edadeia somente se α = α2 =... = αn = 0. Tomando-se um índice {,,..., } {,,..., } 2 k 2 n. Da equação: α + α α k k = 0, k n, considee-se o conjunto segue-se que α = α2 =... = αk = 0, pois os etoes,2,...,n são LI e os etoes 2,2,...,k estão ente eles. Potanto, conclui-se que os etoes,,..., k são LI, o que demonsta o teoema. OBS: ) Po esse teoema, conclui-se que, se um conjunto de etoes é LI, diminuindo-se o númeo de etoes deste conjunto, o noo conjunto também seá LI. 2) O teoema é apenas de condição necessáia, isto é, a ecípoca não é edadeia. Isso significa que, se um conjunto de n etoes,2,...,n é LI, isso não implica que o conjunto de etoes, 2,..., m é LI, paa m n. Assim, quando se sabe que um conjunto de etoes é LI, se foem acescentados a esse

6 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu conjunto um ou mais etoes, não se pode afima que o noo conjunto é LI. Conseqüências: (a) As afimações abaixo são álidas paa etoes no R 2. ) O eto nulo { 0 } é LD. 2) O { }, com 0, é LI. 3) Dois etoes {, } 2, com 0 e 2 0, são LD se os etoes foem paalelos (são múltiplos escalaes). Caso contáio são LI (não paalelos, não são múltiplos). 4) Tês ou mais etoes {,,,...} 2 3 são sempe LD. (b) As afimações abaixo são álidas paa etoes no R 3. ) O eto nulo { 0 } é LD. 2) O { }, com 0, é LI. 2, com 0 e 2 0, são LD se os etoes foem paalelos 3) Dois etoes {, } (são múltipos escalaes). Caso contáio são LI (não paalelos, não são múltiplos). 4) Tês etoes {,, } 2 3 são sempe LD se foem coplanaes. Caso contáio são LI (não coplanaes). 5) Quato ou mais etoes {,,,,...} são sempe LD. 3 Base Definição: Seja B {,,..., } = 2 n um conjunto de etoes de um espaço qualque (R 2 ou R 3 ). Dizemos que B é uma base desse espaço se: a) B é um conjunto LI. b) B gea o espaço. OBS: Dize que um conjunto B {,,..., } = 2 n gea o espaço significa que qualque eto u, desse espaço, se escee como combinação linea dos etoes de B, ou seja, existem escalaes a,a2,..., an R tais que u = a + a ann. Exemplo (4): Moste que os conjuntos abaixo são bases dos espectios espaços. a) B = {(,2), (-3,4)} é base do R 2. b) B = {(,,), (,,0), (,0,0)} é base do R 3. Solução:

7 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu a) Sejam = (,2) e 2 = ( 3,4). Vamos mosta que B é um conjunto LI. Como não existe uma popocionalidade ente as coodenadas dos etoes eles não são múltiplos, logo não são paalelos. Potanto são LI. Seja u=(x,y) um eto qualque do R 2. Vamos mosta que u se escee como combinação linea dos etoes de B. Então u = (x,y) = a(,2) + b( 3,4) x = a 3b. Resolendo o sistema temos: y = 2a+ 4b 4x+ 3y a = 0, xey R. Isso mosta que o sistema é possíel e deteminado. Logo 2x+ y b = 0 existem os escalaes a e b R tais que u= (x,y) = a(,2) + b( 3,4), ou seja, o eto u=(x,y) se escee como combinação linea dos etoes e 2, mostando que B gea o R 2. Potanto, B é base do R 2. b) Utilizando a condição de coplanaidade ente tês etoes temos: 0 0 = 0, ou seja, os etoes não são coplanaes. Potanto, são LI. 0 Mostando que B gea o R 3. Seja =(x,y,z) um eto qualque do R 3. Então: x = a+ b+ c ( x,y,z) = a(,,) + b(,,0) + c(,0,0) y = a+ b. Resolendo temos a solução z = a a = z b = y z, x,yez R. Logo, existem escalaes a,be c R tais que c = x y ( x,y,z) = a(,,) + b(,,0) + c(,0,0), ou seja, o eto =(x,y,z) se escee como combinação linea dos etoes de B, mostando que B gea o R 3. Potanto, B é base do R 3. Conseqüências ) O R 2 e o R 3 possuem infinitas bases. 2) Qualque base do R 2 tem a mesma quantidade de etoes. 3) Qualque base do R 3 tem a mesma quantidade de etoes. 4) Das infinitas bases do R 2, uma é consideada a mais simples, chamada de Base i, j, onde i = (,0) e j = (,0). Canônica do R 2. Ela é constituída pelos etoes { } 5) Das infinitas bases do R 3, uma também é consideada a mais simples, chamada de Base Canônica do R 3. Ela é constituída pelos etoes { i, j,k}, onde i = (,0,0), j = (0,,0) e k = (0,0,).

8 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu 2) No R 2, qualque conjunto com dois etoes LI constitui uma base. 3) No R 3, qualque conjunto com tês etoes LI constitui uma base. Execícios Popostos ) Veifica a dependência linea dos etoes: 3 3 a) u =, 3,6 e =,, b) a= (,2,2),b = ( 4,6,0) e c = (3,,2) c) a= (,2, ),b = ( 2,3, ) e c = (0,,2) 2) Escee o eto w = ( 3,5,3 ) a= (,2, ),b = ( 2,3, ) e c = (0,,2) 3) Veifica quais dos conjuntos abaixo é uma base do R 3. a) a= (,0,2),b = ( 2,3,) e c = (3,2, 2) b) u = (,0,0), = (2,3,) e w = (, 6, 2) Resp: a) LD b) LD c)li como combinação linea dos etoes Resp: w = a+ 2b + 3c Resp: a) é base b) não é base 4) Detemine m paa que os etoes u = (2,m,2), = (3, m,0) e w = (, 3,4) fomem uma base do R 3. Resp: m -3 5) Detemine os aloes de m paa que os etoes u = (2, m,8), = (m + 4,,3) e w = (7,4m,3) sejam LD. Resp: m=-3 ou m=2 6) Poe: "{u +,u } são LI { u, } são LI". 7) Dados dois etoes { u, } LI, moste que: "se w é combinação linea de { u, }, então essa combinação linea é única". COMENTÁRIOS IMPORTANTES ) Cuidado com as definições de combinação linea e de etoes LI e LD. Elas são muito paecidas e pode causa confusão. 2) Na pática, discuti se um conjunto de etoes é LI ou LD, quando usamos a definição, sempe amos esole um sistema linea homogêneo. Como os sistemas homogêneos são sempe possíeis, esta discussão se esume em: se o sistema fo SPD (admite somente a solução tiial, todos os escalaes são nulos), então os etoes são LI; se o sistema fo SPI (além da solução tiial admite outas infinitas), então os etoes são LD. 2) Como o pópio nome diz: etoes lineamente dependentes (LD) significa que existe uma dependência ente eles, ou seja, eles se elacionam de alguma foma. Esta dependência é uma combinação linea que, geometicamente, significa que ou dois etoes são paalelos ou tês etoes são coplanaes. Caso os etoes sejam

9 Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu lineamente independentes (LI), isso que dize que não existe elação nenhuma ente eles, ou seja, não são paalelos, não são coplanaes.