FLUXO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS

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1 11 FLUXO ELÉTRICO E LEI E GAUSS.1 - A LEI E GAUSS Eta lei é egida po pincípio muito imple e de fácil entendimento. O conceito geal de fluxo como endo o ecoamento de um campo vetoial que atavea uma ecção qualque, pode e etendido paa explica o campo elético. Conceito O fluxo elético que atavea qualque upefície fechada é igual à caga total envolvida po ea upefície (Lei de Gau) O tabalho de Gau conitiu na fomulação matemática do enunciado acima, que já ea conhecido e entendido como óbvio. Em outa palava, o fluxo total de qualque ecoamento é emanado po uma fonte envolvida po uma upefície fechada, não impotando ua foma geomética. Gotaíamo apena de fia aqui que a upefície tem que e fechada paa que poa envolve toda a fonte e e deixe atavea pelo fluxo total eultante. Eleticamente, imagine uma ditibuição de caga envolvida po uma upefície fechada S (figua.1). y S Figua.1 itibuição de caga no inteio de uma upefície gauiana. x Vamo agoa toma um incemento vetoial de upefície S admitido como plana. Ete veto teá uma oientação no epaço, pependicula ao plano que tangencia a upefície S nete ponto (cento de S ) apontando paa foa da upefície fechada. A denidade de fluxo que ataveaá a upefície elementa S é dada pelo veto geneicamente fomando um ângulo com S em cada ponto da upefície fechada em quetão. O fluxo elementa que atavea S eá então:. S Sco ( C) (.1) é uma gandeza (ecala), eultante do poduto ecala ente o vetoe e S. Neta condiçõe, o fluxo total que atavea a upefície fechada S eá então: d. ds ( C) A integal eultante é ealizada obe uma upefície fechada (daí o ímbolo S integal dupla. Eta upefície é feqüentemente chamada de upefície gauiana. (.) ), futo de uma Aim, a Lei de Gau é então matematicamente fomulada como: UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

2 1. ds ( C) (.3) A caga envolvida pode e de qualque tipo: caga pontuai diceta, linha de caga, ditibuição upeficial de caga ou uma ditibuição volumética de caga. eta foma, a Lei de Gau pode e genealizada em temo de caga em ditibuiçõe unifome epectivamente volumética, upeficiai ou lineae, confome abaixo:.ds.ds.ds v S L v S L dv (C) ds (C) dl (C) A integal ealizada obe o lado equedo da equação pode te um domínio difeente daquela ealizada obe o lado dieito. aí ealtamo na expeão intemediáia o domínio S da upefície fechada daquele S contendo a caga upeficial. Exemplo.1 Calcula o fluxo que atavea a upefície de uma efea de aio a meto, poduzido po uma caga elética coulomb, concentada no cento dea efea. (.4) Sabemo que na upefície de uma efea de aio a, a denidade de fluxo elético é: O poduto ecala S é então dado po:. a ( C / m ) 4 a 4a.â a endd.â endd 4 O elemento difeencial de áea, confome Fig..., em coodenada eféica é: ds en θdφdθa en θdφdθ O limite de integação foam ecolhido de modo que a integação eja ealizada obe a upefície uma única vez. A integal de upefície eá: en dd 4 Integando pimeio em elação a e em eguida em elação a en d ( co ) (C) Figua. Elemento difeencial de áea Ficando poi compovado que:. ds ( C) Exemplo. Calcula o fluxo elético total que atavea uma upefície eféica, de cento na oigem, pouindo aio = 1 m, endo que a ditibuição de caga é compota po uma linha de caga ao longo do eixo z, definida po l = e z C/m na egião z m e l = no etante. UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

3 13 Exitem dua maneia de e eolve ete poblema: Aquele que adoam eolve integai complicada podem enconta uma expeão paa o campo elético em um ponto qualque da upefície de aio, e integá-la em toda a upefície. Aquele um pouco mai epeto podem implemente intega a função de ditibuição de caga ao longo de z, de - a m. A lei de Gau gaante que o eultado eão o memo, paa qualque do doi cao. Então: z e dz ( C) Como a função módulo não é contínua, vamo dividi a integal acima em dua integai: z z e dz e dz ( C) e e 4 4 z z 1 e e 1 17, 19 ( C). - A RELAÇÃO CONSTITUTIVA ENTRE O FLUXO E O CAMPO ELÉTRICO Sabe-e que uma caga pontual cia um campo elético no vácuo expeo em coodenada eféica pela equação vetoial (1.6). Po outo lado, o exemplo.1 define o fluxo que ete memo campo elético cia ao atavea uma upefície eféica, potanto fechada. Uma análie imediata mota que exite uma elação ente a denidade de fluxo e o campo elético coepondente E definida pela pemiividade do meio, no cao, o epaço live ou o vácuo. Vetoialmente eta elação contitutiva pode e dada po: E (.5) Exemplo.3 Conidee uma linha infinita de caga. Utilizando a Lei de Gau enconte a expeão paa o campo elético em um ponto do epaço, ciado po eta ditibuição linea. e dicuõe anteioe obe o campo elético de uma linha infinita de caga, vimo que o campo elético é adial e ó vaia com o aio. S Potanto:. a ( C / m ) A upefície gauiana elecionada é um cilindo de aio e compimento L, com eixo coincidente coma pópia linha de caga. L S Aplicando a Lei de Gau:. ds ds ds ds lado topo bae L ddz L S Figua.3 Supefície gauiana em tono de uma linha infinita de caga l L ( C / m ) UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

4 14 E a l.. a ( N / C ) Exemplo.4 Enconta a expeão paa o campo elético poduzido po uma ditibuição upeficial infinita de caga. S S Figua.4 Supefície gauiana paa uma ditibuição upeficial de caga. (cuva) etaá acima da upefície caegada e a outa metade abaixo dela. Aplicando então a Lei de Gau:. ds ds ds ds lado topo bae S S S a dicuão do capítulo anteio, o campo elético poduzido po uma ditibuição upeficial e plana de caga teá a dieção da nomal à upefície, no ponto onde e deeja calcula o campo elético. A upefície gauiana utilizada eá um pequeno cilindo, de altua h e áea de bae S. Uma da metade da upefície cilíndica ρ S â n E ρ â ; S n ε Po ete exemplo chegamo à concluão (em pincípio abuda) de que o campo elético em um ponto, povocado po uma ditibuição upeficial de caga, não depende da ditância ente o ponto e a upefície. Não e equeça de que ete aciocínio foi feito paa uma ditibuição infinita de caga, que não exite na pática. Uma ditibuição upeficial finita de caga pode e conideada como infinita e a ditância do ponto de inteee à ditibuição upeficial de caga fo muito pequena, compaada com a dimenõe da mema. Paa ponto mai ditante, a ditibuição não exibe imetia epecula e não pode e conideada infinita, o que invalida a expeão acima. Exemplo.5 oi condutoe cilíndico coaxiai, paa efeito pático ão conideado como endo de compimento infinito. O cilindo inteno é maciço, de aio a. O cilindo exteno, oco, poui aio inteno b e aio exteno c. Uma caga de denidade upeficial (C/m ) é colocada na upefície do conduto inteno. Avalia o campo elético em todo o epaço, a pati do cento do cilindo ( = ) até o exteio onde > c. O meio ente o condutoe poui pemiividade elética. E a b c S1 S S3 S4 Figua.5 Cote tanveal da upefície gauiana em um cabo coaxial uato upefície gauiana (fechada) cilíndica concêntica de compimento L ão taçada e a fonteia ente ela eão po enquanto ignoada. A pimeia dela S1 poui um aio < a. Potanto: UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

5 15 S1 ds Como a caga etá ditibuída na upefície onde = a, E = no inteio do cilindo inteno. A egunda upefície gauiana S poui um aio a < < b. ds ds S S(a) S(a) A pimeia integal é calculada obe a upefície gauiana de aio e a egunda obe a upefície caegada do conduto inteno com aio a. Seguindo o exemplo anteioe, pela geometia, obevamo que a denidade de fluxo poui o eu módulo contante em função da ditância adial. Potanto paa S(a) = S vem: L L ddz addz L al A caga total envolvida po S e a denidade de fluxo neta upefície fechada ão epectivamente: al a ( C / m ) Se a caga fo expea po unidade de compimento, ua denidade linea ficaá: S l a L A coepondente denidade de fluxo eá l a l a (C / m E o campo elético eá expeo po E l. a ( N / C ) expeão idêntica à obtida paa uma linha eta (infinita) eleticamente caegada. A teceia upefície gauiana S3 é um cilindo com aio, tal que b < < c. A caga ) intena com denidade induz uma caga opota de igual magnitude na upefície intena do conduto exteno de aio b eleticamente neuto, e aim a caga total envolvida po eta upefície é nula. Potanto: S3 ds O campo elético no inteio do cilindo exteno, também conduto, é nulo. A quata upefície gauiana S4 é um cilindo exteno maio de aio > c. A caga induzida na upefície intena do conduto exteno po ua vez induz uma caga opota a ela de mema magnitude na upefície extena do conduto exteno, com aio c. Potanto: S4 S4 ds ds S(c) S(c) (c) ds L S cl S(c) c (C / m Como a caga induzida ão iguai: onde S(a) S(c) S(c) als(b) bl cl S(b) bl c S(b) bs(a) a Emboa a caga ejam iguai em intenidade, a denidade upeficiai não o ão. eta foma ext S(a) a l ) (C/ m Aplicando a elação contitutiva teemo o campo elético exteno dado po ) UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

6 16 E ext ext l. a ( N / C ) Eta é a mema expeão paa o campo poduzido pelo conduto inteno. O conduto exteno não exece influência obe o campo elético poduzido pela ditibuição de caga do conduto inteno. Em outa palava, extenamente ao conjunto, tudo e paa como e o campo foe ciado po uma ditibuição linea de caga ao longo do eixo do cabo coaxial. Gaficamente: E (N/C) a b c (m) Figua.6 Compotamento do campo elético em função de..3 - COMENTÁRIOS A lei de Gau fonece o fluxo elético total que atavea uma upefície fechada envolvendo uma ditibuição de caga, ou eja, detemina o fluxo ciado po um campo elético. A intenidade ou módulo dete campo elético pode e obtida pela aplicação dieta da lei de Gau e o empego da elação contitutiva ente a denidade de fluxo e o coepondente campo elético. Nete cao, paa que o veto do campo elético eja conhecido, tona-e neceáio o conhecimento da configuação ou dipoição geomética da ua linha de foça. Pelo exemplo que acabamo de eolve, podemo conclui que omente o conhecimento da imetia do poblema no pemite ecolhe upefície gauiana adequada. O não conhecimento dea imetia tona a olução do poblema pela Lei de Gau extemamente complicada. Poblema que não pouem imetia conhecida ão eolvido de uma foma um pouco difeente, como eá vito no póximo capítulo. UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

7 17 EXERCÍCIOS 1) etemine o fluxo que paa atavé de uma upefície fechada S envolvendo a caga pontuai 1 = 3 nc, = 14 nc e 3 = 7 nc. ) Uma upefície gauiana qualque envolve dua caga iguai em módulo e polaidade opota. Há fluxo ataveando-a? etemine ete fluxo em cao afimativo. 3) O eixo x contém uma ditibuição linea unifome de caga L = 5 nc/m. ual o fluxo elético po unidade de compimento que paa atavé de uma fita definida pelo plano z = 3 m limitado po y = ± m? 4) Genealize paa o poblema anteio o cao de uma fita plana, paalela à linha caegada, ma que não poui imetia em elação a ela. 5) ado o veto denidade de fluxo ou delocamento elético xâ x 3â y (C/m ), calcule o fluxo total que atavea um cubo de aeta com m, centado na oigem de um itema cateiano ti-otogonal e com a aeta paalela ao eixo da coodenada. 6) O eixo z de um itema coodenado contém uma ditibuição unifome de caga, com denidade l = 5 nc/m. Calcule o campo Elético E em (1,1,5) m, expeando-o em coodenada cateiana e cilíndica. 7) Exitem dua configuaçõe lineae de caga, com denidade iguai, l = 6 nc/m, paalela ao eixo z, localizada em x = m, y = 6 m. etemine o campo elético E em ( 4,,z) m. 8) Uma upefície fechada S envolve uma ditibuição linea finita de caga definida pelo intevalo L m, com denidade de caga l = en (L/) C/m. ual é o fluxo total que atavea a upefície S? 9) Na oigem de um itema de coodenada eféica exite uma caga pontual C. Sobe uma caca eféica de aio a uma caga ('- ) C etá unifomemente ditibuída. ual é o fluxo elético que atavea a upefície eféica de aio k m, paa k < a e k > a? 1) Uma áea de 4, m obe a upefície eféica de aio 4 m é ataveada po um fluxo de 15 C de dento paa foa. uanto vale a caga pontual localizada na oigem do itema elacionado a tal configuação eféica? 11) Uma caga pontual = 6 nc etá localizada na oigem de um itema de coodenada cateiana. uanto vale o fluxo que atavea a poção do plano z = 6 m limitada pelo intevalo 6 y 6 m; 6 x 6 m? 1) ado que z 3e b a b a z C m ( / ) em coodenada cilíndica, calcule o fluxo total que ai da upefície de um cilindo cicula eto decito po = b m, z =, z = 5b m. 13) Na oigem de um itema de coodenada eféica exite uma caga pontual = 15 pc. Uma ditibuição eféica concêntica de caga elética de aio = m tem uma denidade UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

8 18 = 5 pc/m. ual a denidade de caga de outa upefície eféica, com = 3 m, concêntica com o itema, paa eulta = em > 3 m? 14) Um capacito de placa paalela, tendo o a como dielético de pemiividade, contém uma ditibuição upeficial de caga S C/m na amadua poitiva. Po indução, exite uma caga de mema ditibuição e polaidade opota na amadua negativa. epezando o efeito de boda (epaiamento do campo elético), ue a lei de Gau paa calcula o campo E paa a egião ente a placa e foa dela. 15) Uma película infinita com denidade unifome = (1-9 /6) C/m etá localizada no plano definido po z = 5 m. Outa película com denidade = ( 1-9 /6) C/m etá localizada em outo plano z = 5 m. Calcule a denidade linea unifome, l, neceáia paa poduzi o memo valo de E em (5,3,3) m, upondo que eta última e localize em z =, y = 3? 16) Ceta configuação engloba a eguinte dua ditibuiçõe unifome. Uma película caegada com = -6 nc/m, unifome, em y = 3 m, e uma eta unifomemente caegada, paalela ao eixo x, com l =,5 C/m, ituada em z = 3 m, y = m. Aonde o campo E eá nulo? 17) Tem-e a eguinte ditibuição volumética de caga: C/m 3 onde < y < 1 m, C/m 3 paa 1 < y < m e = paa todo o etante. Ue a lei de Gau paa detemina em todo o epaço. Eboce o gáfico y v. y. UNESP Naaon Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino