ELETROMAGNETISMO I 44
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- Giovanni Aquino Nobre
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1 ELETROMAGNETIMO I 44 6 CORRENTE ELÉTRICA Nos capítulos anteioes estudamos os campos eléticos quando geados a pati de distibuições de cagas eléticas estáticas. Neste capítulo faemos o estudo da coente elética, que nada mais é do que o movimento, dento de uma ceta odem, de cagas eléticas. Estudaemos os fenômenos devido à ciculação de coente elética estacionáia, ou seja, aquela que não vaia com o tempo. É fácil ve que campos eléticos geados po coentes estacionáias seão também estáticos CORRENTE ELÉTRICA E DENIDADE DE CORRENTE Refeindo-se à figua 6.1, suponha que uma caga de teste q esteja imesa em um campo elético unifome E. Assim, a caga de pova deve sofe a ação de uma foça F que é dada po: F = qe (N (6.1 e a caga é live paa se move, ela sofeá uma aceleação que, de acodo com a segunda lei de Newton, é dada po: F a = (m / s (6. m onde m é a massa da patícula eleticamente caegada (expessa em quilogamas. q F E Figua 6.1 Foça sobe uma patícula em um campo elético. Na ausência de estições, a velocidade da patícula aumentaá indefinidamente com o tempo, uma vez que o campo elético E é admitido constante. Entetanto, em meios gasosos, líquidos ou sólidos, a patícula iá colidi epetidamente com outas patículas, tansfeindo pate de sua enegia e sofendo desvios aleatóios na dieção de seu movimento. Paa o campo E constante, e o meio homogêneo, o esultado macoscópico dessas colisões seá simplesmente o de estingi o movimento da caga a uma velocidade média constante, denominada de velocidade de aaste (dift, deiva ou deslocamento designada pelo veto v d. Essa velocidade média de deslocamento possui a mesma dieção do campo elético e se elaciona com ele atavés de uma constante µ de mobilidade, de modo que: v d = µ E (m / s (6. uponha agoa um meio com seção eta unifome, confome mosta a figua 6.. Esse meio possui inúmeas cagas lives, distibuídas segundo uma densidade umética ρ. Consideando que esta caga umética ρ L atavesse a secção tansvesal em um intevalo de tempo t, podemos então esceve que a coente elética seá definida de modo clássico como: UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
2 ELETROMAGNETIMO I 45 q L I = = ρ t t Em outas palavas, fixando-se uma efeência em um ponto qualque do meio em questão, o númeo de cagas que atavessa a seção unifome em um segundo constituiá uma coente elética de intensidade I em ampèes. Consideando a elação L / t como a velocidade média de deiva v d, teemos então que: onde: I (A Coente elética v d (m/s Velocidade de deiva ou deslocamento ρ (C/m Densidade umética de cagas (m Áea da secção eta atavessada I= vdρ (A (6.4 Figua 6. Cagas cuzando uma seção eta em um conduto. Dividindo-se a equação (6.4, que define uma coente constante I, pela áea da seção eta, admitida egula, obtemos uma densidade de coente J, expessa no istema Intenacional de Unidades em ampèes po meto quadado. Logo: I J= (A / m (6.5 Quando a coente não apesenta um compotamento unifome, ecoemos a uma definição incemental em que consideamos então um veto J nomal a cada secção elementa. O módulo deste veto é definido como sendo o quociente da pacela de coente I pela áea incemental. Assim, em cada ponto da secção que é atavessado po uma linha de coente, fazemos a secção tende a zeo e podemos esceve que: lim I J= a 0 n = v ρ d (A / m (6.6 A densidade de coente J é um veto que possui magnitude igual ao poduto da densidade de cagas pela velocidade de deiva no ponto em que se deseja conhecê-la, com a dieção da coente neste ponto CORRENTE DE CONVECÇÃO E CORRENTE DE CONDUÇÃO A expessão na equação (6.6 epesenta uma densidade de coente de convecção, que de modo geal mosta a tanslação de elétons lives ou íons, tomando como exemplo o ocoido no inteio de um tubo de aios catódicos ou de uma lâmpada fluoescente. A coente de convecção que se estabelece depende da quantidade de cagas e da velocidade delas no meio em que se popaga. UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
3 ELETROMAGNETIMO I 46 A coente elética pode se definida em função da mobilidade dos potadoes na pesença de um campo elético (gadiente de potenciais. Pela definição da velocidade de deiva v d em (6. aplicada em (6.6 teemos o veto da densidade de coente expesso de outa foma: J = ρµ E (A / m (6.7 O poduto ρµ é definido como sendo a condutividade σ do mateial em que o fluxo da coente é estabelecido. Assim, a expessão acima se tona: J =σ E ( A / m (6.8 A equação (6.8 epesenta então uma densidade de coente de condução, definida como o movimento de cagas que se alinham mediante a atuação de um campo elético exteno. Assim, a densidade de coente de condução num dado meio à tempeatua constante é lineamente popocional a E. A elação acima é valida paa os meios eleticamente lineaes, ou ditos ôhmicos. ão meios eleticamente lineaes, po exemplo, todos os metais. É fácil ve que a equação (6.8 mosta a pópia lei de Ohm em temos pontuais. Passando a equação (6.6. ao limite obtemos paa a magnitude da intensidade da densidade de coente di J = (6.9 d Consideando agoa o veto J já definido e uma supefície elementa epesentada po um veto nomal a ela, temos um fluxo de linhas de coente onde I J d = d (6.10 A coente elética fica então pefeitamente deteminada pela integação de cada elemento de coente que atavessa a supefície de uma secção qualque. Estabelecendo uma analogia hidáulica, a coente elética é um fluxo de cagas em que o escoamento se dá pelas linhas de coente atavés de uma secção eta. Exemplo 6.1 Calcula a intensidade da velocidade média dos elétons na secção cicula de um conduto cicula de cobe de 1,5 mm, pecoido po uma coente contínua de intensidade 15 A, numa tempeatua ambiente de 0 ºC. Dados: σ cobe = 5,8x10 7 /m, µ p,cobe = 0.00 m /Vs. olução: Da definição de velocidade de deiva: v d = µ E A coente elética que flui no metal é de condução. Potanto: J c = σe endo a secção do conduto constante e a coente contínua, podemos admiti que a densidade de coente possui módulo I 15 7 Jc = = = 10 A/ m 6 15, x10 Po outo lado, o campo elético pode se deteminado po: UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
4 ELETROMAGNETIMO I = σe E= 5,8x10 Jc = V / m vd = µ E vd = 0.00x0.174= m / s Onde Exemplo 6. Detemine a coente total que atavessa uma supefície cilíndica lateal com 1 cm de altua e mm de aio, se as expessões válidas paa pontos póximos desse aio foem definidas em função de: olução: 1 φ a - J = cos A / m, <φ< 7 b ρ= C / m, v x10 d( = m / s Pela condição a Empegando a definição genéica de coente elética com a infomação fonecida temos I I 0,01 = 0 J d = 1 φ cos dφdz (A φ φ 1 I = 001, cos dφ = 001, x d cos φ ( A φ I = 0,01xxsen = 0,01xx(1 ( 1 = (A Po outo lado, pela condição b 10 J ρv = d = 7 x10 10 (A / m 7 10 J = 10 xx10 x0, 00 = 6 ( A / m Da definição de coente I= 6xx10 0,01 I= J d= s x0,01 0 6dφdz (A dφ= 1,x10 I = 0754, ( ma 4 x (A 6. - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE O pincípio da consevação de cagas estabelece que cagas eléticas não podem se ciadas ou destuídas. No entanto um pocesso de sepaação ou eunião de cagas numa dada egião faz com que um valo final no balanço destas cagas esulte nulo ou em favo pedominante (sinal da natueza da caga em excesso. A equação da continuidade decoe deste pincípio, quando consideamos uma egião confinada po uma supefície fechada. Imagine uma supefície fechada, atavessada po uma densidade de coente J. A coente elética total que atavessaá essa supefície seá então: I = J d ( A (6.11 Tata-se de um fluxo de cagas positivas oientado paa foa. Isso é uma mea abitaiedade, visto que na vedade as cagas que se movimentam são os elétons, potadoes de caga elética negativa, balanceado po um decéscimo de cagas positivas (ou acéscimo de cagas negativas no inteio da supefície fechada. UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
5 ELETROMAGNETIMO I 48 Dento da supefície fechada, a caga positiva Q decesce então, numa azão dq/dt e o pincípio da consevação das cagas estabelece que: I = J d= dq dt (6.1 Em outas palavas, a equação (6.1 demonsta o escape de cagas positivas ou o afluxo de cagas atavés de uma supefície fechada. Aplicando o teoema da divegência à integal acima e epesentando a caga envida pela integal de ume da densidade de caga, vem que: d ( J dv= dt ρdv (6.1 e a supefície fo mantida constante, a deivada total equivale à pópia deivada pacial dento do mesmo domínio de integação, podendo se colocada no integando do lado dieito. Desta foma: ( J.dv= ρ dv (6.14 Uma vez que a expessão acima é válida paa qualque ume, ela é vedadeia paa um ume incemental v. Potanto: ρ ( J v= v (615 de onde a foma pontual da equação da continuidade pode se escita como: ρ J= (6.16 Exemplo 6. A densidade umética de cagas numa ceta egião do espaço está decescendo a uma taxa de x10 8 C/m.s. Nestas condições pede-se: a Qual é a coente total que atavessa uma supefície esféica incemental de aio 10-5 m? b Qual é o valo médio da componente da densidade de coente diigida paa foa, atavessando a supefície esféica? olução: a - Da equação da continuidade ρ. J=.J = x10 I= J d= = 8 ( J dv x10 dv (A I= x10 dv= x10 x 8 I= x10 8 x( (A I= 0,88 ( µ A b - Da definição de coente elética 0,88x10 6 I = J d (A 0,88x10 6 = J d 0,88x10 = Jx4 J= 5 4(10 J= 666,9x10 J= (ka / m 6 (A / m UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
6 TEMPO DE RELAXAÇÃO uponhamos que uma egião condutoa se enconte inicialmente isolada e em equilíbio e que uma caga inicial de densidade ρ 0 seja ali injetada. ofendo epulsão, ela deveá "escoa" pelo meio conduto até que a egião etone à situação de equilíbio. Podemos chega a essa conclusão a pati da última equação da seção anteio onde. ρ.j = (6.17 Po (6.8 vimos que: J = σ E (A / m (6.18 e que, Potanto: D E= ε (V / m J = σ D ( A / m ε (6.19 (6.0 Assim tomando o divegente dos dois lados: A equação acima é uma equação difeencial cuja solução é: σ ε ρ. D + = 0 (6.1 ρ =ρ σ 0e ε t (6. A azão ε/σ é chamada de constante de tempo de elaxação. É o tempo que a caga injetada leva paa se eduzida paticamente à teça pate do valo inicial, ou seja, quando ρ = 0,7 ρ 0. Exemplo 6.4 Uma caga com densidade inicial ρ 0 C/m é colocada em um mateial conduto (cobe isolado e em equilíbio. Detemine o tempo necessáio paa que a densidade de caga caia a 1/ de seu valo inicial, sabendo que σ Cu = 5,8x10 7 /m. olução: 1 ρ ρ = 1 ρ 0 σ t 0 ρ 0 ε = e 0 σ 58, x10 t = 11, t = 11, ( s 1 885, x10 ε 0 t = 157, x10 19 (s 7 1 ln ln( = σ ε t e 0 UNEP Apostila de Eletomagnetismo Pof. D. Naasson Peeia de Alcantaa Junio
7 ELETROMAGNETIMO I 50 Pelo exemplo que acabamos de esolve, podemos pecebe que, exceto po um peíodo tansitóio extemamente cuto, ρ = 0 no inteio de egiões condutoas. Potanto:. J = 0 (6. Esta expessão demonsta que as cagas eléticas não ficam acumuladas no inteio de mateiais condutoes. Ela justifica também em temos pontuais a 1ª. Lei de Kichhoff, mais conhecida po lei dos nós em um cicuito elético. UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
8 ELETROMAGNETIMO I 51 EXERCÍCIO 1 Um fio conduto de cobe AWG #1 (AWG = Ameican Wie Gauge com um diâmeto de 80,5 mil (1 mil = 1/1000 de polegada e 100 pés de compimento conduz uma intensidade de coente de 0 A. Calcule a intensidade do campo elético E, a velocidade de deslocamento (deiva ou aaste v d, a queda de tensão V e a esistência elética R ao longo do conduto. Utilize como dados paa o cobe: condutividade σ = 5,8 x 10 7 /m, mobilidade dos elétons lives µ = 0,00 m /(Vs. Detemine o númeo de elétons de condução em um centímeto cúbico de tungstênio, admitindo que haja dois elétons de condução po átomo de tungstênio. Dados N (Númeo de Avogado = 6,0 x 10 6 átomos/kmol, densidade 18,8 x 10 kg/m e peso atômico 184,0 Qual é a densidade de elétons lives em um metal paa uma mobilidade de 0,0046 m /(Vs e uma condutividade de 9,1 M/m? Caga de um eléton e = 1,6 x C. 4 Qual é a densidade de coente e a intensidade de campo elético que coespondem a uma velocidade de aaste de 5, x 10-4 m/s no alumínio, com condutividade,8 x 10 7 /m e mobilidade 0,0014 m /(Vs? 5 Detemine a condutividade do semiconduto intínseco de gemânio na tempeatua ambiente de 00 K, sabendo-se que existem,5 x paes eléton-lacuna po meto cúbico, que a mobilidade dos elétons µ e = 0,8 m /(Vs e a mobilidade das lacunas µ h = 0,18 m /(Vs. 6 Calcule a condutividade do gemânio extínseco tipo n, na tempeatua ambiente, supondo um átomo doado a cada 10 8 átomos. A densidade do gemânio é 5, x 10 kg/m e seu peso atômico é 7,6. Compae o esultado com o poblema anteio. 7 Em um conduto cilíndico de mm de aio, a densidade de coente vaia adialmente com a distância ao eixo segundo J = 10 e -400 A/m. Calcule a coente total que passa pela secção tansvesal do conduto. 8 Enconte a coente que atavessa uma poção do plano x = 0 delimitada po /4 y /4 m e 0,01 z 0,01 m onde a densidade de coente J = 100cos yâ x A/m. 9 Póximo ao ponto P (5, 7, -5 m, a densidade de coente pode se epesentada pelo veto J = x yâ 5x z â + 4x yzâ (A/m. Qual é a coente deixando um cubo de 1 m de lado, x y z centado em P com as aestas paalelas aos eixos coodenados? Qual é a taxa de cescimento da densidade umética de caga no ponto P? 10 Um pedaço de mateial de condutividade 5 M/m tem a foma de uma cunha tuncada, definida po 4 < < 10 cm, 0 < φ < 0, e 0 < z < 6 cm. No inteio do mateial o campo elético é dado po E = â / mv/m. Qual a coente total que atavessa o objeto? Qual a sua esistência? φ 11 Um conduto de cobe tem seção eta cicula de 5,00 mm de diâmeto, e supota uma coente de 0 A. Qual é a pocentagem de elétons de condução que deixa o conduto em cada segundo (sendo substituídos po outos, em 00 mm de cabo? Dados: N (Númeo de Avogado = 6,0 x 10 6 átomos/kmol, densidade do cobe = 8,96 g/cm e peso atômico 6,54. uponha um eléton de condução po átomo. 1 Que coente elética iá esulta se todos os elétons lives em um centímeto cúbico de alumínio passa po uma dada secção eta em s? uponha um eléton de condução po átomo cujo peso atômico é 7 e densidade,7 x 10 kg/m. 1 Qual é a densidade de elétons lives em um metal paa uma mobilidade de 0,0046 m /V.s e uma condutividade de 0 M/m? 14 Calcule a mobilidade dos elétons de condução no alumínio, dada uma condutividade de 8, M/m e densidade de elétons de condução de 1,70 x 10 9 m -? UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
9 ELETROMAGNETIMO I 5 15 Uma baa de cobe de seção eta etangula de 0,0 mm 0,1 mm e,0 m de compimento tem um queda de tensão de 100 mv. Calcule a esistência, coente, densidade de coente, módulo do campo elético e velocidade de deslocamento dos elétons de condução. 16 Enconte a coente que atavessa um conduto esféico de aio mm, se a densidade de coente vaia com o aio, de acodo com J = 10 / (A/m. 17 Em coodenadas cilíndicas, paa a egião mm, 0 z 1 m, J = 10e 100 a$ φ (A/m, Enconte a coente total que atavessa a inteseção desta egião com o plano φ = constante. 18 Calcule a coente total que sai de um cubo de 1 m com um vétice na oigem, e lados paalelos ao eixos coodenados, se J = x a$ + xy a$ + xya$ ( A / m. x y z UNEP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino
&255(17((/e75,&$ (6.1) Se a carga é livre para se mover, ela sofrerá uma aceleração que, de acordo com a segunda lei de Newton é dada por : r r (6.
9 &55(1((/e5,&$ Nos capítulos anteioes estudamos os campos eletostáticos, geados a pati de distibuições de cagas eléticas estáticas. Neste capítulo iniciaemos o estudo da coente elética, que nada mais
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