Análise Vetorial. Sistemas de coordenadas

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1 Análise Vetoial Sistemas de coodenadas Retangula (,, ), cilíndico (, φ, ) e esféico (, θ, φ) são os tês sistemas de coodenadas mais utiliados em eletomagnetismo. No sistema etangula, um ponto P é definido po, e, em que todos esses valoes são medidos a pati da oigem, como mosta a figua abaio. Um veto pode se definido no ponto P em temos de tês componentes mutuamente pependiculaes, com vetoes unitáios î, ĵ, kˆ (ou â, â, â ). No sistema cilíndico, um ponto P é definido po, φ,, em que φ é medido do eio- (ou plano -), como na figua a segui. Um veto pode se definido no ponto P em temos de tês componentes mutuamente otogonais, com vetoes unitáios ˆ, φˆ, ẑ (ou â, â, â ). O veto unitáio â é pependicula ao cilindo de aio, â φ é pependicula ao plano de ângulo φ, e φ â, ao plano - na distância. 1

2 No sistema de coodenadas esféicas, um ponto P é definido po, θ, φ, em que é medido da oigem, θ é medido do eio-, e φ, a pati do eio- (ou plano -), como mosta a figua abaio. Se o eio- estive na vetical, θ é denominado de ângulo ênite e φ, de ângulo aimute. Um veto pode se definido no ponto P em temos de tês componentes mutuamente otogonais com vetoes unitáios ˆ, θˆ, φˆ (ou â, â θ, â φ ). O veto unitáio â é pependicula a uma esfea de aio, â θ é pependicula ao cone de ângulo θ, e â φ, ao plano de ângulo φ. Os paâmetos fundamentais dos sistemas etangula, cilíndico e esféico são esumidos na tabela a segui. sistema coodenadas faia vetoes unitáios a + etangula a + a + compimentos elementaes supefícies â ou î d Plano = constante â ou ĵ d Plano = constante â ou kˆ d Plano = constante a + â ou ˆ d Cilindo = constante cilíndico φ a π â φ ou φˆ dφ Plano φ = constante a + â ou ẑ d Plano = constante a + â ou ˆ d Esfea = constante esféico θ a π â θ ou θˆ dθ Cone θ = constante φ a π â φ ou φˆ senθ dφ Plano φ = constante No sistema etangula, um compimento infinitesimal é infinitesimal é dv = d d d. dl + = d + d d e um volume No sistema cilíndico, as quantidades coespondentes são dl + = φ. = d + dφ d e dv d d d No sistema esféico, sen = d + dθ θ dφ e dv d dθ senθ dφ dl + =.

3 Tansfomação ente sistemas de coodenadas Como mosta a figua a segui, a pojeção da distância escala sobe o eio- é igual a cosα, em que α é o ângulo ente e o eio-. A pojeção de no eio- é cosα e sobe o eio-, cosα. Note que γ = θ, então cos γ = cosθ. As quantidades cos α + cos β + cos γ = 1. cos α, cos β e cos γ são denominadas cossenos dietoes e satisfaem a elação A distância escala do sistema esféico se elaciona com as distâncias no sistema etangula po = cosα = senθ cosφ = cos β = senθ senφ = cosγ = cosθ Das elações anteioes, obtêm-se os cossenos dietoes: cos α = senθ cosφ cos β = senθ senφ cos γ = cosθ Os valoes (, θ, φ) podem se obtidos a pati das distâncias no sistema etangula pelas epessões: = θ = cos ( θ π) + + φ = tan 1 Dessas elações, pode-se epessa um veto A, em algum ponto P, com componentes esféicas A, A θ, A φ em temos de suas componentes etangulaes A, A, A, em que 3

4 A A = A senθ cosφ + A = A senθ senφ + A θ cosθ cosφ A cosθ senφ θ + A = A cos θ A senθ θ φ φ senφ A cosφ Note que os cossenos dietoes podem se obtidos a pati do poduto escala ente o veto unitáio ˆ com os vetoes unitáios ˆ, ŷ, ẑ do sistema etangula: ˆ ˆ = senθ cosφ = cosα ˆ ˆ = senθ senφ = cos β ˆ ˆ = cosθ = cosγ Os podutos escalaes na tabela abaio mostam que os vetoes unitáios ˆ nos sistemas cilíndico e esféico não são os mesmos. cilíndico esféico ˆ ˆ = cosφ ˆ ˆ = senθ cosφ ˆ ˆ = senφ ˆ ˆ = senθ senφ ˆ ˆ = ˆ ˆ = cosθ Da mesma foma, pode-se epessa um veto A, em algum ponto P, com componentes A, A θ, A φ no sistema cilíndico em temos de suas componentes etangulaes A, A, A, em que A A = A cos φ A senφ φ = A sen φ A cosφ φ A = A Eecícios 1.1. Relações tigonométicas podem se deivadas de elações vetoiais. Considee que dois vetoes unitáios estejam no plano com ângulos α e β a pati do eio. a) Epesse cada veto em temos de suas componentes. b) Detemine uma epessão paa cos ( α β ). c) Detemine uma epessão paa sen( α β ). 1.. Considee que A e B sejam os lados adjacentes de um paalelogamo, C = A + B e D = A B sejam as diagonais e θ seja o ângulo ente A e B. Moste que C + D = ( A + B ) e que C D = 4AB cosθ. B A + B A. ) ) ) ) ) 1.4. Se dois vetoes são dados po A = aˆ + π aφ + 3a e B = α a + β aφ 6a, detemine α e β tal que os dois vetoes sejam paalelos. [R. α =, β = π 1.3. Moste que [( ) = 4

5 1.5. Um campo vetoial é definido no ponto B ( = 5,θ = 1, φ = 75 ) como sendo ) ) ) A = 1 a 5a θ + 15a φ. Detemine a) a componente vetoial de A que é nomal à supefície = 5. b) a componente vetoial de A que é tangente à supefície = 5. c) um veto unitáio pependicula à A ) ) e tangente ao cone θ = 1. [R. ± (,78a +,65a φ ) ) ) 1.6. Considee B = aˆ + a + 3a e A = 3. Se A = 1, detemine A de modo que A e B sejam pependiculaes. [R. A = aˆ + aˆ aˆ ou A = aˆ 1,3ˆ a +,538aˆ ) ) ) ) ) ) 1.7. Sejam A = cos ϕa + senϕaϕ + a e B = a + ϕ aϕ + a, com ϕ epesso em adianos. Detemine A B no ponto =, = 3. [R. 1, Considee uma supefície definida po =. Enconte um veto unitáio nomal à supefície no ponto ( 1, 1, ). [R.,63aˆ,7 aˆ +,7 aˆ 1.9. Detemine o volume do paalelepípedo com uma das quinas fomada pelos vetoes A = aˆ aˆ 6aˆ B = aˆ 3aˆ + 4aˆ e C = aˆ 5aˆ + 3aˆ. [R. eo, 1.1. Enconte uma epessão paa o veto unitáio diecionado paa a oigem a pati de um ponto abitáio na linha = 1, = Uma dada linha é descita po + = 4. Um veto A inicia na oigem e temina em um ponto P na linha, tal que A é otogonal à linha. Enconte A ) ). [R.,8 a + 1,6 a 1.1. Um veto A ) ) é dado po A = a + aφ. a) desceva o luga dos pontos no plano onde o módulo de A é constante. b) enconte os pontos no plano em que A fa um ângulo de A =. 45 com o eio e tem um módulo Em coodenadas etangulaes, os tês vétices de um tiângulo são dados pelos pontos P 1 = (,, ), P = (,, ) e P 3 = (1, 1, ). Enconte a áea do tiângulo. [R. 9 ) ) ) Esceva o veto A = cosφ a + senφ aϕ + 16a no sistema de coodenadas etangulaes. [R. ) ) ) A = a + + a a Considee os vetoes A(, φ, ) = aˆ 3aˆ φ + aˆ e B (, φ, ) = 4 aˆ + 6aˆ φ aˆ, definidos no ponto P(1, π/3, ) do sistema de coodenadas cilíndicas. Detemine o poduto escala ente esses vetoes: a) dietamente; b) convetendo os vetoes paa o sistema de coodenadas etangulaes. ) ) ) Dado o campo vetoial F = 1a 5 a + 3 a, calcule a integal de linha ente os pontos (,, 1) e (, 4, 1), sobe o caminho C definido pela inteseção das supefícies [R. 86,6 = e = 1. 5

6 ) ) Enconte a integal de linha do veto A = a a ao longo da tajetóia fechada no plano que segue a paábola = do ponto ( 1,1) ao ponto (, 4) e volta pela eta = Calcule a integal de linha de A = k aˆ φ sobe um caminho fechado na supefície de um cilindo de aio igual a e de = até = 3, como na figua Use a epessão apopiada da supefície difeencial ds paa detemina a áea de cada uma das seguintes supefícies: π a) = 3; φ ;. 3 d) = ; θ π 3 ; φ π. π b) 5; φ π ; =. e) 5 ; θ = π 3 ; φ π. π c) 5; φ = ; A tempeatua de uma sala é descita como um campo escala em gaus Celsius como T (,,) = 1 +. Detemine um veto unitáio na dieção de máima vaiação de tempeatua Uma caga pontual q está localiada na oigem do sistema etangula. Calcule E d l, no plano, ao longo do seguinte caminho: uma eta do ponto (1, ) ao ponto (1, ½), uma eta de (1, ½) a (, ½) e uma q eta de (, ½) a (, ). [R. V 8πε 1.. Calcule a integal de F = aˆ + ( + ) aˆ + ( 3) aˆ atavés de cinco lados (eceto o lado da base) de um cubo de m de lado localiado no pimeio octante do sistema etangula, com um dos cantos na oigem desse cubo Enconte o fluo atavés da supefície semi-esféica >, aio unitáio e com cento na oigem, paa o veto A = aˆ Detemine o fluo do campo vetoial F = aˆ aˆ θ + 3φ aˆ φ atavés da supefície fechada limitada po 3, θ π, π φ π Dado o veto F = aˆ, calcule F ds paa S tomado como a supefície de um cubo de lados S a e centado na oigem. Detemine a integal de volume de F paa o cubo e moste que os esultados são equivalentes pelo teoema da divegência. 6

7 ) ) 1.6. Dado o campo vetoial A = aˆ + a + a, calcule dietamente o fluo de A atavés da supefície do paalelepípedo etangula da figua. Calcule A dv sobe o volume do mesmo paalelepípedo e compae os esultados Calcule ambos os lados do teoema da divegência paa o campo A = aˆ + aˆ e um paalelepípedo etangula fomado po planos = e 1, = e, e = e Dado o veto D = aˆ C m, enconte o fluo total saindo da supefície de um cubo de 4 8 unidades de lado, centado na oigem e com seus lados paalelos aos eios. ) ) ) 1.9. Detemine o fluo do campo vetoial F(, φ,) = a + aφ + a atavés da supefície cilíndica fechada definida po = 1, φ π, 1. Veifique o esultado com o teoema da divegência Seja E = 8 senφ aˆ + 4 cosφ aˆ φ N/C. a) Calcule o divegente de E. b) Enconte a densidade de caga volumética em (,6, 38º, 6,1). c) Detemine a caga total na egião definida po < < 1, 8, o o < φ < 7,,4 < < 3, Uma paticula move-se em um caminho cicula de aio no plano-, com velocidade angula constante ω = dθ dt. No instante t, a patícula está em P, como mosta a figua. a) Esceva o veto posição. b) Calcule a velocidade e a aceleação da patícula em P. c) Epesse os vetoes unitáios ˆ e θˆ em temos dos vetoes unitáios î e ĵ. 7

8 Campo Eletostático Considee duas cagas pontuais q 1 e q sepaadas po uma distância no vácuo. A foça elética eecida em q po q 1 é dada pela Lei de Coulomb: F = q q ˆ 1 e a 4πε C F em que ε = 8, = = é a pemissividade elética do espaço live. 36π V m m A Lei de Coulomb se aplica paa qualque pa de cagas pontuais. Quando mais de duas cagas estão pesentes, a foça em uma delas é a soma vetoial das foças individuais eecida pelas outas cagas. Intensidade de campo elético A foça eletostática, como a foça gavitacional, é um campo foça que atua à distância, mesmo quando os objetos não estão em contato um com o outo. Essa ação em uma caga é ealiada po um campo ciado po outa caga. Uma caga q podu um campo elético no espaço. A intensidade desse campo pode se medida po meio da foça eecida em uma caga de teste q colocada na pesença desse campo. O campo elético é definido como Fe E = em que F e é a foça elética em uma pequena caga q. Um campo elético E : é um campo vetoial com intensidade dietamente popocional à foça e com dieção dada pela dieção da foça em uma caga de teste positiva. tem unidade de newtons po coulomb [N/C, que é igual a volts po metos [V/m, uma ve que volts = newtons meto / coulomb. Usando a definição de campo elético e a Lei de Coulomb, tem-se que paa uma caga pontual q: q q E = 4πε ˆ a Metodologia paa a deteminação de campo elético usando a Lei de Coulomb Um campo eletostático está associado a uma distibuição de cagas que pode se disceta ou contínua. Paa distibuição disceta de cagas, aplica-se o pincípio da supeposição: 1 E = 4π ε Paa distibuições contínuas de cagas, deve-se calcula a integal vetoial 1 E = 4π ε i q R dq R i i aˆ ˆ a R Ri 8

9 onde R é a distância da caga elementa dq paa o ponto P de obsevação e coespondente. Paa ealia a integação, pocede-se da maneia a segui. 1 dq 1. Inicia-se com de = aˆ R 4π ε R. Reesceve-se a caga elementa dq como ρl dl (linha) dq = ρs ds (áea) ρv dv (volume) dependendo se a caga está distibuída sobe uma linha, uma áea ou um volume. 3. Substitui-se dq na epessão paa de. â R é o veto unitáio 4. Escolhe-se um sistema de coodenadas apopiado (etangula, cilíndico ou esféico) e especifica-se o elemento difeencial (dl, ds ou dv) e R em temos das coodenadas (esumo na tabela). catesiano (,, ) cilíndico (, φ, ) esféico (, θ, φ) dl d, d, d d, dφ, d d, dθ, sen θ dφ ds d d, d d, d d dφ d, d d, d dφ sen θ dθ dφ, sen θ d dφ, d dθ dv d d d d dφ d sen θ d dθ dφ 5. Reesceve-se de em temos das vaiáveis de integação e aplica-se simetia paa identifica as componentes do campo elético difeentes de eo. 6. Resolve-se a integal paa obte E. Eecícios.1. Uma distibuição volumética de cagas, esféica e unifome, contém 1 8 C. Se o aio do volume esféico é 1 m, enconte ρ v... No sistema de coodenadas esféicas ρ v = q 3 3 C m a a) que quantidade de caga está no inteio da esfea = a? b) enconte o campo elético em = a..3. Enconte a foça F, no vácuo, sobe uma caga Q = 1 6 C, devido a uma caga pontual 5 Q = 1 C, quando Q está no ponto ( =, = 4, = 5) e Q 1 está no ponto 1 ( =, = 1, = ). 9

10 .4. Enconte a intensidade de campo elético em P ( =, = 4, = 5) devido a uma caga pontual 5 Q = 1 C localiada em (, 1, ) no vácuo..5. Quato cagas pontuais de 1 µ C estão localiadas nos cantos de um quadado definido no sistema etangula po (1,, ) m, (, 1, ) m, ( 1,, ) m e (, 1, ) m. Detemine o veto foça numa outa caga localiada em (1, 1, ) m..6. Na situação da figua a segui, q 1 = µc, mas não se conhece o seu sinal e nem o valo da caga q. Sabendo que q 3 = +4 mc e que a foça F em q 3 aponta no sentido negativo do eio-, calcule F..7. O segmento eto semi-infinito, = = está caegado com ρ =15nC/m, no vácuo. Detemine o campo elético no ponto (1,, 3)..8. Uma linha de cagas com m de compimento tem uma densidade linea e unifome de cagas ρ l =1µC m. Enconte o campo elético num ponto localiado a 1 m de um dos finais e no eio da l linha de cagas. [R V m.9. Enconte a intensidade de campo elético devido a uma linha de cagas com distibuição linea e unifome ao longo do eio-, como na figua. Detemine o valo de E quando a linha de cagas é infinita..1. Dois fios condutoes etos, de compimento l, são colocados ao longo dos lados opostos de um quadado. Cagas iguais a Q, mas de sinais contáios, são distibuídas unifomemente nos dois condutoes. Detemine a intensidade de campo no cento do quadado. [R. 1 Q πε l.11. Enconte a intensidade de campo elético devido a uma lâmina infinita com densidade supeficial de cagas, distibuída unifomemente no plano =. V m

11 .1. Enconte o fluo atavés de um cículo de aio a, poduido po uma caga q localiada no eio do cículo e numa distância do seu cento. [R. q 1 C a Uma caga de 1 µc está unifomemente distibuída sobe um disco cicula tendo um aio de m. O disco está no plano e é centado na oigem. Detemine o veto foça numa caga pontual de 5 µc localiada no eio- e em = 4 m..14. Uma fita cicula de aio 1m m tem uma densidade supeficial de cagas dada po ρ s = 1 µc m. Enconte o campo elético em um ponto pependicula ao plano da fita e distante 1 m do cento da fita. [R. 54,5kV m.15. Uma casca semi-esféica de aio a está unifomemente caegada com uma densidade supeficial de cagas. Detemine o campo elético no cento da semi-esfea. [R..16. Uma densidade volumética de cagas k ρ = 3 v C m ( esfea de aio a. Esta distibuição podu um campo elético paa ρ s V 4ε m e k = constante) eiste dento de uma > a. Detemine o valo de uma caga pontual que, quando colocada na oigem, poduiá o mesmo campo elético paa π k a C > a. [R..17. Caga é distibuída sobe a supefície de um disco de aio a localiado no plano e com o cento na oigem. A densidade de cagas, em coodenadas cilíndicas, é ρ =A s a) qual é a unidade de A? b) qual é a caga total no disco? c) enconte a foça poduida numa caga pontual localiada no eio. C m, onde A é constante.18. Dois planos infinitos, paalelos ao plano e localiados em = a e = a, têm densidades supeficiais de cagas constantes e iguais. Enconte o campo elético paa todos os valoes de..19. Uma densidade supeficial de cagas está distibuída unifomemente numa fita infinita em compimento e de lagua a. Detemine o campo elético num ponto pependicula e a uma distância d do cento da fita. [R. ρ s actg πε a d V m.. Enconte um valo apoimado paa a caga total envolvida po um volume elementa de 1 9 m 3 localiado na oigem, se E = e sen aˆ e cos aˆ + aˆ N/C..1. Enconte a intensidade de campo elético devido a uma esfea de aio, com uma distibuição volumética e unifome de cagas. 11

12 .. Uma linha de cagas de compimento L, com distibuição linea ρ l constante, está ao longo do eio positivo com as etemidades localiadas em = e = + L. Enconte a foça total nesta linha devido a uma distibuição volumética e unifome de cagas ρ v, com cento na oigem e aio a <. [R. 3 ρ vρ a L ε 3 l ( + L) N.3. Um eléton é injetado hoiontalmente em um campo elético unifome poduido po duas placas caegadas, como mosta a figua. A patícula tem uma velocidade inicial v =v aˆ, pependicula a E. a) Enquanto estive ente as placas, qual é a foça no eléton? b) Qual é a aceleação no eléton quando ele está ente as placas? c) As placas têm compimento L 1 na dieção-. Em que tempo t 1 o eléton deiaá as placas? d) Se o eléton enta no campo elético em t =, qual é a velocidade do eléton no tempo t 1? e) Qual é o deslocamento vetical do eléton depois do tempo t 1? f) Qual é o ângulo θ 1 que o eléton fa com a hoiontal, do tempo t 1? g) O eléton chega em P no tempo t. Qual é o deslocamento vetical do eléton de t = a t? 1

13 Potencial elético Ao contáio do campo elético, o potencial elético é uma quantidade escala. Paa uma distibuição disceta de cagas, aplica-se o pincípio da supeposição paa soma as contibuições individuais: 1 em que k e =. 4π ε V = k No caso de distibuições contínuas de caga, deve-se esolve a integal: e V = ke De foma análoga ao cálculo do campo elético, os seguintes passos devem se utiliados paa esolve a integal: 1. Inicia-se com dv dq = ke. R. Reesceve-se a caga elementa dq como ρl dl (linha) dq = ρ s ds (áea) ρv dv (volume) dependendo se a caga está distibuída sobe uma linha, uma áea ou um volume. 3. Substitui-se dq na epessão paa dv. 4. Especifica-se um sistema de coodenadas apopiado paa epessa a distância R e o elemento difeencial (dl, ds, dv) em temos dessas coodenadas. 5. Reesceve-se dv em temos da vaiável de integação. 6. Resolve-se a integal paa obte V. A pati do potencial elético V, é possível detemina o campo elético po E = V. O esultado obtido pode se avaliado escolhendo-se um ponto P que esteja suficientemente distante da distibuição de cagas. No limite, se a distibuição é finita, o campo deve compota-se como se a distibuição fosse uma caga pontual, vaiando com o inveso da distância ao quadado ( 1 ). qi R i dq R Eecícios 3.1. Nos vétices de um tiângulo equiláteo estão localiadas cagas iguais a Q. Enconte o potencial no cento do tiângulo e a foça em uma das cagas. 3.. Um fio fino em foma de anel, com 6 cm de diâmeto, tem uma densidade de cagas unifome igual a 1 µc/m. Qual é o potencial num ponto situado no eio e a 4 m do cento do anel? 13

14 ) ) ) 3.3. Consideando o campo E = a + a + a, detemine o tabalho ealiado ao se desloca uma caga de C de (1,, 1) paa (,8,,6, 1) ao longo do aco de cículo mais cuto + = 1, = 1. ) ) 3.4. Consideando um campo E = a a, enconte V ab paa dos caminhos A e B da figua Suponha que o potencial elético vaia ao longo do eio- como mostado na figua. O potencial não vaia com e. Dos intevalos mostados, detemine o intevalo no qual E tem: a) o maio valo absoluto; b) o meno valo absoluto. Plote E em função de. Que distibuição de cagas pode podui essa vaiação no potencial? Onde elas estão localiadas? 3.6. Utiliando E = a V, moste que E dl é independente do caminho ente a e b, o que pova que E é um campo consevativo. b 3.7. Sejam as tês cagas colineaes da figua, dadas em micocoulombs. Detemine todos os pontos sobe o eio onde o potencial é nulo Dois fios finos, infinitos e paalelos, têm cagas iguais e opostas, unifomemente distibuídas. Os fios estão sepaados po 1 cm. Se a difeença de potencial é de 6 V ente dois pontos cujas distâncias paa os dois fios são, espectivamente, 6 cm e 8 cm, e 8 cm e 6 cm, enconte o valo de ρ l. [R.,579 nc m 14

15 3.9. Uma caga Q está distibuída unifomemente na metade de um anel de aio a. Detemine o potencial no Q cento do anel. [R. V 4 a πε 3.1. A supefície quadada 1 1, 1 1, está caegada com uma densidade de cagas ρ = 1π ε s eio-. C m. Detemine: a) o potencial no ponto (,, ). b) o campo elético ao longo do Uma distibuição unifome de cagas, ocupando um volume esféico de aio a, está centada na oigem do sistema de coodenadas. Se a caga total é Q enconte a enegia eletostática do sistema Detemine a enegia amaenada, no vácuo, paa tês cagas iguais a Q situadas nos vétices de um 3Q tiângulo equiláteo de lado d. [R. J 4πε d Considee um quadado de lado a. Iniciando-se num dos vétices e continuando-se numa dieção contáia aos ponteios do elógio, coloca-se uma caga pontual q no pimeio vétice, q no póimo, a segui 3q e, finalmente, -4q. Enconte a enegia elética paa esta distibuição de cagas. [R.,918q J ε a Tês cagas pontuais de 1 C, C e 3 C estão situadas nos cantos de um tiângulo eqüiláteo de lado igual a 1 m. Enconte o tabalho necessáio paa move essas cagas paa os cantos de um tiângulo eqüiláteo de,5 m de lado, como na figua Duas placas condutoas paalelas, de áea A e sepaadas po uma distância a, são cuto-cicuitadas, como mostado na figua. Detemine a caga total na teceia placa, com potencial V, inseida ente essas duas placas. 15

16 Resistência e capacitância 4.1. Enconte a esistência ente φ = e φ = π/ paa o conduto mostado na figua, quando 7 1 V σ = 4 1 S/m e E = a ˆφ. m Z, 1m, 9 m a 1 m b Y X 4.. Duas tubulações de feo, longas e paalelas, têm um espaçamento de 4 m ente os centos. Os tubos estão enteados no solo até a metade, como ilusta a figua. A condutividade do solo é 1 µ S/m. Ache a esistência ente os dois tubos po meto de compimento Uma esfea condutoa, de aio a, está enteada até a metade e fica em contato com uma placa de tea de aio b e condutividade σ. O estante da tea tem condutividade σ 1. Detemine a esistência ente a esfea e a tea. [R Ω πσ 1 b πσ a b 4.4. Um pedaço de mateial conduto paa o qual σ = 5MS/m tem a foma de uma cunha tuncada com as dimensões 4 < < 1 cm, < φ <, π e < < 6cm. Dento do conduto 3 1 E = aˆ V/m. Qual é a sua esistência? [R. 4, Ω 4.5. Detemine a capacitância ente duas cascas esféicas condutoas, concênticas, de aios a e b (b > a), se o espaço que envolve a esfea intena contém um dielético de pemissividade ε até um aio igual a a + b. O estante do espaço tem pemissividade ε. ( ) 4.6. Uma esfea condutoa isolada, com 5 cm de diâmeto, é cobeta unifomemente com um dielético com ε = 1 e espessua b. Sabe-se que a adição de uma outa camada de 1 cm de espessua doba a capacitância. Enconte b. 16

17 4.7. Seja um capacito de foma abitáia e dielético homogêneo de pemissividade ε. Sabe-se que quando o dielético é substituído po um conduto homogêneo de condutividade σ c, a esistência do ε sistema é R. Detemine a capacitância. [R. F σ c R 4.8. A pemissividade do mateial dielético de um capacito de placas planas e paalelas vaia lineamente de ε 1 numa placa paa ε na outa. Detemine a capacitância, se A é a áea e d é a sepaação ente as A( ε ε1) placas. [R. F ln ε d ε Enconte a capacitância equivalente do capacito de placas paalelas da figua, que tem um quato de ε A 1 ε seu volume peenchido po um dielético com constante dielética ε. [R. + F 1 d ε + d ε 4.1. Seja um capacito de placas paalelas com áea A =1 cm e distância ente placas a + b. Colocase ente as placas dois dieléticos, um de espessua a e ε a = 6ε e outo de espessua b e ε b = 3ε. Paa uma difeença de potencial de 1. V aplicada ente as placas, calcule como esta tensão é dividida atavés dos dieléticos. Dados b = a = mm Um capacito consistindo de duas placas paalelas é caegado po uma bateia de 1 kv e a segui é isolado. Quando uma lâmina de pocelana, de espessua igual a metade da distância ente as placas, é inseida ente elas, a difeença de potencial cai paa 7 kv. Calcule a constante dielética da pocelana. [R Um capacito de placas planas e paalelas com áea A, sepaação d e pemissividade ε é caegado po uma bateia de tensão igual a V, que é desligada do capacito após o caegamento. εav a) Qual é a enegia do capacito? [R. J d b) uma lâmina metálica não caegada, de espessua t, é colocada ente e paalela às placas do capacito. Enconte a nova capacitância. Qual o tabalho feito po foças eléticas duante a ε V εat inseção da lâmina metálica? [R. F, J d At d d t c) qual é a difeença de potencial no capacito depois da lâmina se inseida? [R. V d O diâmeto do conduto inteno de um cabo coaial é 1 mm e do eteno é mm. O isolante tem uma constante dielética elativa igual a 5 e pode supota um campo elético máimo de kv cm. Qual é a máima enegia eletostática po km que pode se amaenada no cabo? Um capacito de placas planas e paalelas é constuído da seguinte maneia: alumínio é depositado nas duas faces de um papel com espessua,3 mm e áea igual a 1 cm. A constante dielética do papel é igual a 3 e a intensidade de campo elético máimo que ele pode supota é 1 5 V/cm. Detemine a enegia amaenada nesse capacito quando a tensão de caegamento é igual à metade da tensão máima que pode se aplicada. 17

18 4.15. Uma linha de cagas é colocada no espaço live ao longo do eio-, na pesença de um plano conduto infinito, como mosta a figua. Detemine o potencial no eio-, paa > b Detemine a capacitância do capacito esféico concêntico mostado na figua. Os eletodos têm ε1 aios a e b e o dielético tem pemissividade ε ( ) =. a Considee os dois eletodos planos com ângulo inteno α e pofundidade d na dieção (saindo do papel), como na figua. O meio ente os eletodos tem pemissividade elética ε e condutividade σ. Na egião dielética com pedas, não eiste densidade volumética de cagas lives. Os potenciais eléticos dos eletodos são V(φ = ) = e V(φ = α) = V. Calcule a capacitância desse dispositivo. 18

19 Campo magnetostático 5.1. Detemine a foça no fio da figua 5.1, quando colocado num campo B unifome e diecionado paa, sentido negativo. 5.. Um conduto etilíneo muito longo, com uma coente I, está contido no plano de um conduto tiangula que supota uma coente I', de modo que um dos lados do tiângulo está paalelo ao conduto etilíneo, confome mosta a figua 5.. Detemine a foça mútua ente os dois condutoes. Figua 5.1 Figua Uma patícula com caga negativa de 1 17 C e massa 1 6 kg está em epouso no espaço live. Se um campo elético de 1 kv/m é aplicado po 1 µs, enconte: a) a velocidade da patícula; b) o aio de cuvatua do caminho da patícula, se ela enta num campo magnético de mt, com velocidade nomal à B Considee uma coente fluindo no pecuso conduto fomado, no sistema de coodenadas ciculaes, po dois semicículos, um inteno de aio a e outo eteno de aio b, ligados po dois segmentos adiais em ϕ = e ϕ = π. Enconte o campo magnético na oigem do sistema de coodenadas Um tubo de aios catódicos usa uma bobina de defleão magnética paa muda a tajetóia de um feie de elétons, como ilustado na figua. A bobina tem diâmeto igual a 4 cm, coente I = A e 1. espias distibuídas unifomemente sobe 4 cm de compimento. O feie de elétons, aceleado po uma difeença de potencial de kv, atavessa as abetuas na paede da bobina. Detemine a foça em cada eléton quando ele passa atavés da bobina. Dados: caga do eléton igual a 1, C e massa do eléton 9, kg Uma patícula A com caga q e massa m A e uma patícula B com caga q e massa m B são aceleadas do epouso po uma difeença de potencia V, e a segui defletidas po um campo magnético unifome em um pecuso cicula. Os aios das patículas A e B são, espectivamente R e R. A dieção do campo magnético é pependicula à velocidade das patículas. Detemine a elação ente as massas m m. A B 5.7. Calcule a intensidade de campo magnético no cento de um fio quadado de lado a, com uma I A coente I fluindo atavés dele. [R. πa m 19

20 5.8. A coente filamenta mostada na figua pecoe um aco de cículo no plano, com o cento de cuvatua na oigem. Enconte a intensidade de campo magnético em qualque ponto do eio. [R. I a ) ) A [ senα a 3 + aα a π a + m ( ) Y a a α α X 5.9. Um fio muito longo tem a foma de um gampo, com os techos paalelos sepaados po uma distância de 7 cm, como ilusta a figua. Qual deve se a coente paa que um campo de 1 3 A/m seja poduido no cento do techo cuvo? 4π 5.1. Um fio muito longo tem a foma de um gampo, com os techos paalelos sepaados po uma distância de 7 cm. Se uma coente igual a 1 A cicula nesse fio, qual é o valo da densidade de fluo magnético no cento do techo cuvo? Um disco de aio b e espessua t condu uma coente cicula em tono do seu cento. Um sistema de coodenadas cilíndicas tem oigem no cento do disco e o eio coincide com o eio de simetia do disco. A densidade de coente no disco é J = k aˆ ϕ A m, em que k é uma constante eal positiva. Enconte a intensidade de campo magnético no cento do disco, supondo que t é muito meno que b Detemine H em = 3,11 m, paa uma distibuição de coente dada po: a) J s = 1 â A/m em = ; b) J = 1 â A/m paa 5 < < Dento de um cilindo conduto de aio a, a densidade de coente decesce eponencialmente com ) o aio tal que J = Aep ( k) a, em que A e k são constantes. Detemine a intensidade de campo magnético em todo o espaço Uma bobina cilíndica unifome de. espias tem 6 mm de compimento e 6 mm de diâmeto. Se flui uma coente de 15 ma, ache a densidade de fluo: a) no cento da bobina; b) sobe o eio, numa das etemidades; c) sobe o eio, a meio caminho ente o cento e a etemidade da bobina. 3) Qual é a distibuição de coente necessáia paa podui o campo magnético H= a? Considee um feie cilíndico e longo de patículas caegadas. O feie tem uma seção tansvesal cicula de aio a, uma densidade unifome de cagas ρ e as patículas têm a mesma velocidade v

21 constante v. Enconte a intensidade de campo magnético dento e foa do feie. Epesse o ρ esultado em temos dos paâmetos fonecidos. [R. v v, < < a va ρ v, > a Uma coente I cicula em um cilindo de cobe de aio a que tem um buaco ao longo do seu compimento, como mosta a figua. Enconte o campo magnético (em módulo e dieção) no ponto P da figua Duas bobinas ciculaes idênticas, com N espias e aio a, têm os eios coincidentes e estão sepaadas uma da outa po uma distância igual ao aio a, fomando um pa de Helmholt. Ambas conduem uma coente I, no mesmo sentido. Considee que a áea da seção tansvesal das bobinas seja despeível, de modo que cada uma delas possa se epesentada po uma espia fina com uma única volta e coente NI. a) Detemine a densidade de campo magnético no eio das bobinas, num ponto situado a uma distância a/ ente elas. b) Considee que o campo obtido no item anteio eista em toda uma áea cicula de aio a ente as duas espias e que um eléton, aceleado po um potencial V, ente nessa egião com uma dieção nomal ao campo magnético de modo que adquia um movimento cicula de aio R. Detemine uma epessão paa se obte a elação ente a caga e a massa do eléton Enconte a indutância mútua ente um solenóide de 1. espias, 5 cm de compimento e seção quadada de 3 cm de lado, e o solenóide que é coaial com ele, mas que tem 1.5 espias e seção quadada de 4 cm de lado. Considee µ = µ. [R. 3,39 mh 5.. Um toóide com núcleo de mateial magnético tem uma seção tansvesal de 3 cm e compimento médio de cm. 4 a) se paa NI = 3 Ae um fluo magnético de 5 1 Wb é estabelecido no núcleo, enconte a 3 pemeabilidade do mateial. [R. 1,11 1 H m b) se um gap de a de compimento,1 mm é intoduido, enconte o novo valo de NI paa mante o mesmo fluo magnético. [R. 436 Ae 1

22 5.1. Ache a indutância mútua ente uma coente filamenta infinita e uma bobina com 5 espias e seção etangula de lados 4 cm e 5 cm, quando a coente filamenta está paalela ao maio lado e sepaada po uma distância de cm da bobina. [R. 5,5µH 5.. Um solenóide cilíndico de aio 1, cm e compimento 3 cm tem 3. espias e coente de 4 ma, consideando µ = µ, calcule: a) enegia amaenada no campo magnético. [R. 13,6 µj b) indutância a pati de W m. [R. 17 mh 5.3. Uma linha coaial tem um loop etangula paa acoplamento como mosta a figua. Enconte a indutância mútua ente o loop e a linha coaial, assumindo que na egião do loop o campo é independente de Um toóide tem uma seção eta quadada de 5 cm de áea e um diâmeto médio de 5 cm. O mateial do núcleo tem uma pemeabilidade elativa igual a 1.. a) Calcule o númeo de voltas no enolamento paa se obte uma indutância de 1 H. [R. 5 b) Se o númeo de voltas fo dobado, qual é o efeito na indutância? 5.5. Um solenóide com 1. espias, 6 cm de compimento e 1 cm de diâmeto é enolado num núcleo cilíndico no qual µ = 1. Esta bobina é centada coaialmente no inteio de um segundo solenóide que tem 8 espias, 6 cm de compimento e 3 cm de diâmeto. Calcule a indutância mútua ente eles. [R. 1,895 mh

23 Lei de Faada da Indução 6.1. A chave na figua é fechada em t = e abeta em t 1. Qual é o sentido da coente no loop supeio em cada um desses tempos? 6.. Detemine a voltagem V no cicuito da figua. [R. 31,6 cos(π 6t) mv 6.3. Uma bobina quadada com 1 espias tem,5 m de lado. A bobina está centada na oigem com cada lado paalelo aos eios e. Enconte a fem nas etemidades em abeto da bobina paa: a) t ) B 1e 3 ) = a T. b) B = 1cossen cos1 ta T. [R. a) 15e t ; b) eo 6.4. Um campo magnético unifome B está pependicula paa um fio cicula, cujo valo da esistência pode se despeado, como mosta a figua. O campo vaia no tempo de acodo com o gáfico da figua (o sentido positivo de está saindo do papel). O aio do fio é = 5 cm e está conectado em séie com um esisto de esistência R = Ω. Detemine a potência dissipada no esisto Considee um fio conduto cicula de aio no plano, como mostado na figua. O fio contém um esisto de esistência R e um capacito de capacitância C, e é colocado em um campo magnético unifome que aponta paa dento do papel e diminui com a taa db dt = α, com α >. Enconte a quantidade máima de caga no capacito. 3

24 6.6. O loop da figua está no plano - e o campo é B = B senω t a$ com B positivo. Qual é a dieção da coente em t =, ωt = π/4 e ωt = π/? 6.7. Um geado elético (como mostado na figua) está giando em tono do eio- com uma fequência f H. Eiste um campo magnético unifome B =,5 Tesla na dieção +. O oto consiste de uma bobina com N espias, cada uma com áea S m. O geado, po meio de molas de contato, está fonecendo potência paa uma lâmpada cuja esistência é R Ω. π f N S a) Detemine o valo máimo da coente altenada induida. [R. R b) Detemine o valo médio no tempo da potência mecânica, em watts, que deve se fonecida paa ( π f N S) mante a otação da bobina. [R. R 6.8. Descaga atmosféica pode danifica equipamentos eléticos, mesmo se esses equipamentos não ecebem dietamente a descaga. Um aio pode se consideado como uma fonte de coente, mesmo a gandes distâncias. Considee o modelo do efeito de uma descaga atmosféica típica na fiação elética de uma casa. Assuma que a coente associada ao aio possa se modelada como na figua I. Assuma também que a instalação elética de um depósito tenha os fios que fomam um pecuso como na figua II. Detemine a voltagem induida em um computado que esteja conectado a essa fiação elética. Considee que o aio ocoeu a uma distância de 1 km do depósito. 4

25 Figua I Figua II 6.9. Uma baa condutoa de compimento D otaciona com feqüência angula ω em tono de um ponto P, como ilusta a figua. A outa etemidade da baa está em contato com um fio conduto que tem foma de um anel cicula (apenas pate do conduto cicula é mostada na figua). Ente o ponto P e o fio conduto eiste um esisto de esistência R, tal que é fomado um pecuso conduto fechado. A esistência da baa e do fio conduto são muito pequenas em compaação à R. Em toda a egião, eiste um campo magnético unifome B com dieção pependicula ao plano do papel. Detemine a coente induida no pecuso conduto. Epesse o esultado em temos de D, R, B e ω B D ω. [R. R 6.1. Uma bobina etangula (N espias, altua h e compimento L) é usada paa medi a intensidade de campo magnético H devido à coente i = I sen( ωt) eistente em um fio longo distante R da bobina, como mostado na figua. Detemine: µ I R + h a) o fluo magnético total acoplado pela bobina com N espias. [R. N Lln Wb π R b) v(t) atavés dos teminais da bobina, paa N =, h = 8 cm, L = cm, R =,5 cm, I = 6 A e 3 fequência igual a 6 H. [R.,7 1 cos( ω t) 5

26 Campo vaiando no tempo o 7.1. Detemine o faso associado à voltagem v( t) = 1cos (1π t + 6 ) V. 7.. O faso coente ao longo de um conduto é I ( ) = j 1,cos(β ) A. Detemine a coente em função de e t paa a fequência de 1 MH. [R. 1, cos( β )sen(π 1 8 t) 7.3. Detemine a notação fasoial paa v( t) = cos(1π t + π 3) + sen (1 π t) V Detemine a notação fasoial paa v( t) = cos(1π t ) + cos (4π t) V O sinal v( t) = cos( ω t + π 3)sen ( ωt) V pode se epesentado em notação fasoial? 3 o 7.6. Uma fonte de voltagem dada po v( t) = 1cos ( π 1 t 3 ) V é conectada a uma caga RC séie, em que R = 1 MΩ e C = 1 pf. Obtenha uma epessão paa a voltagem no capacito em 3 função do tempo. [R. v( t) = 8,5 cos(π 1 t 6,1) 7.7. Uma onda sonoa na fequência de 4 kh se popaga no a na dieção-, sentido positivo. Em = e t = 5µs, a pessão difeencial é p(, t) = 5 N/m. Enconte a epessão completa paa p(, t), se a fase de efeência de p(, t) é 4, A velocidade do som no a é 33 m/s. [R. p(, t) = 4 cos 8π 1 t 4,4π + 4 N/m ( ) 7.8. Uma onda hamônica que se desloca ao longo de uma coda foi geada po um oscilado que completa 1 vibações po minuto. Se um ponto de máimo caminha 5 cm em 1 s, qual é o compimento de onda? [R. 1,5 cm 7.9. Duas ondas, 1 (t) e (t), têm amplitudes idênticas e oscilam na mesma fequência, mas (t) está 3 adiantada de 1 (t) po um ângulo de fase igual a 6. Paa 1( t) = 4cos( π 1 t), esceva a epessão coespondente paa (t) e plote as duas funções no intevalo de tempo de a ms Um oscilado que gea uma onda senoidal em uma coda completa vibações em 3 s. No tempo igual a 5 s, obseva-se que o pico da onda pecoe uma distância de,8 m ao longo da coda. Detemine o compimento de onda. [R.,84 m Esceva a equação (no plano -) paa uma onda que satisfaça o seguinte: a onda se popaga com velocidade de 1 m/s na dieção +, tem amplitude (na dieção ) igual a,5 e fequência 4 H. [R. (, t) =,5sen(8π t 8π ) 7.1. Paa contole de velocidade, a polícia odoviáia utilia um ada com potência de tansmissão de 1 mw. A antena do ada é um efleto paabólico com diâmeto de cm e áea efetiva igual a 6% da áea física. Considee que, paa detecta a pesença desse ada, um motoista usa um ecepto de micoondas com sensibilidade de sinal mínima de 1 6 mw. A antena acoplada ao ecepto tem ganho igual a 1. Nessas condições, detemine a distância máima que o ada de contole da polícia pode se detectado. 6 j(4π 1 t 4π 1 ) Um campo elético tem a foma E = 1 Re[ e aˆ V/m. Se a pemissividade 7 magnética é µ = 4π 1 H/m, detemine: a) a fequência; b) o compimento de onda; c) a 8 velocidade de fase; d) o índice de efação. [R. a) MH; b) 5 m; c) 1 m/s; d) n = Considee uma onda plana unifome tendo H (, t) sen (1 t + 1 ) aˆ [A m. Detemine: a) a = fequência, em H. b) a dieção e o sentido de popagação. c) a velocidade. d) o compimento de 6

27 onda. e) o valo de µ (considee ε = ε ). f) E (, t). [R. a) 1 8 m/s; d) π m; e) 9; f) (, ) 36 sen(1 9 E t t 1 ) = π ; b) dieção, sentido negativo; c) π Em um meio com índice de efação igual a 1,5, uma onda eletomagnética plana tem os campos π 15 π 15 E = sen + 4π 1 t aˆ V m e B = Bsen + 4π 1 t T.Detemine: a) a λ λ dieção e o sentido de popagação da onda; b) B (em módulo e dieção); c) o compimento de onda. [R. a) dieção, sentido negativo; b) B = 1 8 aˆ ; 1 nm Considee uma onda plana com 1 V/m e fequência 3 MH, caminhando num meio infinito, sem pedas, com ε = 9 e µ = 1. Se a onda está polaiada em e caminha na dieção, sentido positivo, esceva as epessões completas no domínio do tempo paa os vetoes campo elético e campo magnético. Detemine o veto densidade de potência média. [R E (, t) = 1 cos(6π 1 t 6π ) ; H (, t) = cos(6π 1 t 6π ) ; 4 â 4π + α Uma onda eletomagnética caacteiada po E = E e cos( ωt + k ) aˆ V m se popaga em um meio com pedas. Detemine: a) o compimento de onda nesse meio; b) a dieção e o sentido em que a onda está se popagando; c) o valo apoimado de σ em temos de α, µ e ε, na situação em que a ε peda associada com α é devido à condutividade do meio e σ << ωε. [R. c) σ = α µ Uma onda plana em 1 MH se popaga em um meio com pedas. A fase do campo elético vaia de 9 numa distância de,5 m. O valo máimo do campo é eduido de 5% em cada meto. Enconte: a) a constante de atenuação; b) a constante de fase; c) a velocidade de popagação. [R. a),88 Np/m; b) π ad/m; c) 1 8 m/s Uma onda eletomagnética que se popaga na água do ma tem amplitude de 19,5 V/m na pofundidade de 1 m e, na pofundidade de 1 m, a amplitude é 1,13 V/m. Detemine a constante de atenuação da água do ma. [R Np/m 7.. Considee que uma onda eletomagnética se popaga no solo seco (ε = 4, σ = 1 3 S/m). Enconte a distância na qual a amplitude do campo dessa onda é eduida po um fato de 1/1 6 de seu valo inicial. Enconte também a velocidade de popagação e o compimento de onda nesse meio. Utilie as fequências de 15 kh, 1,5 MH e 15 MH Em um meio dielético com µ = 1 e ε = 3, uma onda plana tem campo elético máimo igual a 6 V/m. Detemine: a) a velocidade da onda; b) o valo máimo do veto de Ponting; c) a impedância do meio; d) o valo máimo do campo magnético. [R. a) 1, m/s; 165,4 mw/m ; c) 17, Ω; 7,6 ma/m 7.. Uma onda que se popaga em um meio não-magnético com ε = 9 tem campo elético dado po 7 7 E = 3cos π 1 t + k aˆ cos π 1 t + k ˆ V. Detemine a dieção e o sentido de [ ( ) ( ) m a popagação e a densidade média de potência caegada pela onda. [R. dieção, sentido negativo;,5 W/m â Um fio conduto ( σ = 5,1 1 S/m e µ = ) tem 3 m de compimento e seção tansvesal de aio,5 mm. Se uma coente i ( t) = 1,5 cos(3 1 4 t) A cicula no conduto, detemine: a) a espessua pelicula; b) a esistência paa coente altenada; c) a peda de potência média. [R. a),8 mm; b) 16,4 Ω; c) 18,47 W

28 Linhas de Tansmissão 8.1. Detemine a capacitância e a indutância po unidade de compimento de um cabo coaial RG-58U, cujo conduto inteno tem aio igual a,46 mm e a malha etena tem aio 1,47 mm. O dielético tem pemissividade elativa igual a, A impedância caacteística de uma linha de tansmissão unifome e sem pedas pode se obtida L pela epessão = Ω, em que L é a indutância da linha po unidade de compimento e C é a C Z capacitância da linha po unidade de compimento. A pati do modelo equivalente em paâmetos concentados paa a linha sem pedas, obtenha essa epessão paa a deteminação da impedância caacteística Paa uma linha de tansmissão sem pedas, λ =,7 cm em 1 GH. Enconte o ε do mateial isolante. [R. ε =, Em uma linha sem pedas, o mateial isolante tem ε = 4. Se a capacitância da linha é 1 pf/m, enconte: a) a velocidade de fase; b) a indutância, em H/m; c) a impedância caacteística. [R. a) 1,5 1 8 m/s; b) 4,44 µh/m; c) 666,7 Ω Uma linha de tansmissão TEM, dielético a, tem capacitância 3 [F m. Enconte: a) A indutância da linha po meto de compimento. b) A impedância caacteística da linha. c) O coeficiente de efleão na caga, se R L = 3 Z. d) O coeficiente de efleão na distância de um quato do compimento de onda de uma caga R L = 3 Z. [R. a),33 µh/m; b) 1 Ω; c),5; d), Uma linha de 5 Ω, sem pedas, é teminada po uma caga de impedância 3 j Ω. Calcule o coeficiente de efleão de voltagem na caga. [R. o 7,5 Γ =,93 R e j 8.7. Em uma linha de tansmissão sem pedas de 5 Ω, o mateial isolante tem ε =,5. Quando teminada em um cicuito-abeto, detemine o compimento que a linha deve te paa que sua impedância de entada seja equivalente a um capacito de 1 pf em 5 MH. [R. 9,9 cm i j 3 j Se, no cicuito da figua, V ( ) = 3e V e I ( ) = 1e A, detemine a impedância e a 1 coente instantânea na entada. [R. Z in = 7,3 e j33 ; i in ( t) = 3,6cos( ω t 73,9 ) o 1 o o 8.9. Paa o sistema a segui, detemine: a) as velocidades de popagação das ondas de voltagem e coente em cada linha; b) o valo de X s paa que a coente i(t) esteja em fase com a voltagem v (t), ou seja, a impedância de entada da linha de 1 Ω deve se eal; c) o valo máimo da coente i(t). [R. a) na linha de 1 m, v = 1 8 m/s, na linha de,4 m, v =,8 1 8 m/s; b) 5 Ω; c) 1,33 A 8

29 8.1. A figua mosta o diagama de onda estacionáia de coente paa uma linha com impedância caacteística 5 Ω, pemeabilidade µ e pemissividade ε = 4ε. Detemine: a) a feqüência de ecitação; b) o coeficiente de efleão na caga; c) a impedância da caga, em ohms. [R. a) 1,5 GH; b) o j1 Γ =,5e ; c) Z R = 1,4 j4, 7 Ω R Em uma linha de dois condutoes, que é teminada com uma televisão A, o coeficiente de onda estacionáia é igual a 5,8. Quando A é substituída po uma televisão B, o coeficiente de onda estacionáia é 1,5. Detemine o pecentual da potência incidente que é efletida pelas cagas A e B. [R. TV A: 5%; TV B: 4% 8.1. As linhas no cicuito da figua não têm pedas. Calcule os valoes médios no tempo paa as potências incidente, efletida e tansmitida na linha de 1 Ω, que é consideada infinita. [R. P i = 1 mw, P = 1,1 mw, P t = 8,9 mw Uma antena dipolo de λ/ é conectada a uma fonte de tensão (1 V, 1 MH e impedância intena 5 Ω) po meio de uma linha de tansmissão de 3,6 m de compimento, impedância caacteística 3 Ω e velocidade de popagação,6 1 8 m/s. Em 1 MH, o dipolo pode se epesentado po uma esistência de 73 Ω em séie com eatância indutiva de 4,5 Ω. A potência média dissipada na esistência de 73 Ω é igual à potência adiada paa o espaço pela antena. Detemine a potência média adiada pela antena com e sem o uso da linha de tansmissão e o VSWR na linha. [R. 91,1 mw e 15,46 mw 9