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Transcrição

1 45 &'875(6(,6/$7(6 Ao final deste capítulo você deveá se capaz de: ½ efini o que são mateiais condutoes, isolantes e semicondutoes. ½ ntende o compotamento do veto intensidade de campo elético e do veto densidade de fluo elético na inteface ente um mateial conduto e o espaço live. ½ esceve a fomação de cagas de polaização nos mateiais dieléticos. ½ Obte o veto polaização. ½ Relaciona o veto polaização com o veto densidade de fluo elético e com o veto intensidade de campo elético ½ plica o que é pemissividade elativa de um mateial. ½ Obte as elações de fonteia ente mateiais condutoes e dieléticos. ½ Obte as elações de fonteia ente mateiais dieléticos. e acodo com a teoia atômica clássica, os átomos são constituídos de um núcleo fomado po pótons e neutons, obitados po elétons. Os pótons possuem caga elética positiva, o elétons caga elética negativa, e os neutons, como o pópio nome sugee, são despovidos de caga elética.. À medida que se fonece enegia paa um eléton, este passa paa uma óbita mais afastada. m alguns mateiais, o eléton (ou elétons que está na óbita etena está fouamente ligado ao átomo, e miga facilmente de um átomo paa outo, quando submetido a ação de um campo elético. stes elétons ecebem o nome de cagas vedadeias. Mateiais que possuem este tipo de compotamento ecebem o nome de FRQGXWRUHV. m outos tipos de mateiais, poém, os elétons estão de tal maneia pesos ao átomo, que não podem se libetados pela simples aplicação de campos eléticos. stes mateiais ecebem o nome de GLHOpWULFRV ou LVROQWHV. Quando um dielético é submetido a um campo elético, ocoe uma polaização, ou seja, um deslocamento do eléton em elação à sua posição de equilibio. As cagas induzidas em um isolante ecebem o nome de cagas de polaização. Outo gupo de mateiais apesenta um compotamento intemediáio ente condutoes e isolantes. São os chamados VHPLFRQGXWRUHV. Sob cetas condições podem agi como isolantes, mas com a aplicação de calo ou de campo elético suficientemente fote, podem tonase condutoes. Tudo isso pode se visualizado pela figua 7.. Na figua 7.a eiste um pequeno espaço vazio (baeia ente duas bandas de condução. sse é o caso dos mateiais condutoes. O eléton passa facilmente de uma banda paa outa. Na figua 7.b o espaço vazio é gande, e 45

2 ÃÃ$Ã$785($Ã'6Ã$7(5,$,6Ã',(/e75,&6 46 dificilmente o eléton pulaá de uma banda paa outa. No caso da figua 7.c, o espaço vazio é intemediáio ente os dois casos, e o mateial pode se compota como conduto ou isolante, dependendo das cicunstancias (semiconduto. Banda Condutoa Vazia Banda Condutoa Cheia Banda Condutoa Vazia spaço de negia Banda Condutoa Cheia Banda Condutoa Vazia Banda Condutoa Cheia figua 7. Compotamento de conduto, isolante e semiconduto O aumento da tempeatua apesenta consequências difeentes, no compotamento dos mateiais condutoes, isolantes e semicondutoes. A mobilidade das patículas, µ p é uma função da tempeatua. m um conduto metálico, po eemplo, o movimento vibatóio aumenta com o aumento da tempeatua. Consequentemente há uma diminuição na velocidade de aaste, devido às colisões desodenadas que ocoem no inteio do mateial. Nos mateiais isolantes e semicondutoes o aumento do movimento vibatóio com o aumento da tempeatua contibui paa o aumento da mobilidade das patículas, em função do campo elético aplicado. Assim, definindo a esistividade ρ como sendo o inveso da condutividade σ ( ρ /σ, podemos esumi: AUMNTO conduto aumenta A isolante diminui RSISTIVIA TMPRATURA semiconduto diminui mboa os mateiais condutoes não possam amazena enegia em seu inteio, os mateiais dieléticos, sejam eles sólidos, líquidos ou gasosos podem. Isso é possível poque ao se aplica um campo elético eteno em um dielético não ocoe a movimentação de cagas lives, mas um deslocamento nas posições elativas das cagas negativas (elétons e positivas, dando oigem às cagas polaizadas. sse amazenamento de enegia ocoe conta as foças moleculaes e atômicas nomais do átomo. 46

3 47 O mecanismo eal de deslocamento vaia confome o tipo de dielético. Alguns tipos de dieléticos são constituídos po moléculas ditas polaizadas (po eemplo a água, que possuem um deslocamento pemanente ente os centos de gavidade das cagas positiva e negativa. Cada pa de cagas age como um dipolo (Um dipolo é um conjunto fomado po uma caga positiva e uma caga negativa, sepaadas po um distância d. Nomalmente esses dipolos estão oientados aleatoiamente no inteio do mateial, e quando o campo elético eteno é aplicado, eles se alinham em sua dieção (fig. 7. m outos tipos de mateiais este aanjo em dipolos não eiste antes do campo elético se aplicado. As cagas positivas e negativas deslocamse com a aplicação do campo elético, e alinhamse em sua dieção (fig. 7.3 figua 7. Moléculas polaizadas (dipolos figua 7.3 Moléculas não polaizadas Qualque tipo de dipolo é descito pelo seu momento de dipolo p, dado po: p Qd (C.m (7. onde Q é a caga positiva, e d a distância vetoial ente a caga positiva e a caga negativa. Se eistem n dipolos idênticos po unidade de volume, então, em um volume incemental v o momento de dipolo total é a soma vetoial: p n v total i p i (C.m (7. O veto polaização P é definido como sendo o momento de dipolo po unidade de volume: 47

4 48 lim P v v n v i p i (7.3 P deve se tatado como um veto contínuo, com unidades em Coulombs po meto quadado. L[QGRÃHÃPHPRUL]QGRÃ Antes de possegui, em seu cadeno de estudos eecute as seguintes atividades:. efina o que são mateiais condutoes, isolantes e semicondutoes.. Relacione a condutividade dos mateiais condutoes, isolantes e semicondutoes com o aumento da tempeatua. 3. esceva como são poduzidas cagas de polaização nos mateiais dieléticos. 4. Obtenha a epessão paa o veto polaização. Suponhamos agoa um dielético contendo moléculas não polaizadas. Potanto, P em todo o volume do mateial. Selecionemos agoa um elemento de supefície S no inteio do dielético. Aplicando um campo elético sobe o dielético as moléculas se polaizaão. Haveá um movimento de cagas de polaização atavés de S. O campo elético poduziá um momento: em cada molécula, de modo que p e d p Qd (C.m (7.4 faão um ângulo θ com S (figua 7.4. S d θ (/dcosθ figua 7.4 Movimento de cagas atavés de S Cada molécula cujo cento está no inteio do volume ( d.cosθ S abaio da supefície incemental contibui paa o movimento de uma caga Q atavés de S paa cima. 48

5 49 Semelhantemente, cada molécula cujo cento está no inteio do volume ( d.cosθ S acima da supefície incemental contibui paa o movimento de uma caga Q atavés de S paa baio da supefície incemental. Como há n moléculas/m 3, a caga líquida total que atavessa a supefície S é nqd ou...cosθ S nqd. S (C (7.5 Q p P. S (C (7.6 Q p Se S fo um elemento de supefície em uma supefície fechada, com o seu sentido positivo diigido paa foa da supefície, o acéscimo líquido nas cagas de polaização dento da supefície fechada é : Q p vol P.dS (C (7.7 (o sinal menos é eplicado pelo fato de que o sinal das cagas que entam ou pemanecem no inteio da supefície fechada é contáio ao sinal das cagas que saem. Consideando esta caga total como sendo uma distibuição volumética de cagas com densidade ρ p : Qp ρ p dv (C vol (7.8 Podemos esceve: ρ pdv vol s P.dS (7.9 Aplicando o teoema da divegência no lado dieito da equação acima, ela ficaá: vol ρ dv p vol (.P dv (7..P ρ p (C/ m 3 (7. ssa equação também é válida paa dieléticos polaes Vamos agoa enconta uma elação ente o veto densidade de fluo elético polaização P. e o veto 49

6 5 Pimeiamente vamos esceve a Lei de Gauss na foma pontual, mesmo na pesença de dieléticos, como:. ρ t 3 (7. onde ρ t é a densidade volumética total de cagas. O veto foi substituido po poque uma vez consideadas as cagas de polaização, tudo se passa como o dielético não eistisse. Como: então: 3 ρ t ρ ρ p (7.3. ρ ρ p 3 (7.4. ρ.p (7.5 Ou ainda:.( P ρ 3 (7.6 onde ρ são as cagas lives. Podemos agoa edefini o veto como sendo : P (7.7 A pesença de dieléticos é, potanto, levada em conta atavés do veto polaização O veto polaização P esultou da aplicação de um campo elético. A elação ente P e dependeá do tipo de mateial. Vamos nos limita a mateiais isotópicos, com uma elação linea ente P e. Nesse caso, P e são paalelos, emboa não necessaiamente no mesmo sentido. A elação linea ente P e é dada po: P. P χ (7.8 e onde χ e é a susceptibilidade elética do mateial. m aplicações de ngenhaia, a elação ente P e é nomalmente escita como: 5

7 5 Substituindo 7.9 na epessão paa ou ainda: P ( (7.9 : ( (C/ m (7. (7. (7. é a pemissividade do mateial, e a pemissividade elativa, ou constante dielética do mateial. Finalmente, continua válida a Lei de Gauss, seja na foma pontual, seja na foma integal, mesmo na pesença de dieléticos:. ρ.ds Q (C (7.3 (7.4 e as cagas são cagas lives. L[QGRÃHÃPHPRUL]QGRÃ Antes de possegui com o estudo deste capítulo, em seu cadeno de estudos eecute as seguintes atividades:. Obtenha a epessão paa a caga de polaização Q p, em função do veto polaização.. Obtenha a epessão que elaciona o veto densidade de fluo elético, o veto intensidade de campo elético e o veto polaização. 3. Obtenha a epessão paa a lei de Gauss, em função da pemissividade de um mateial dielético. Como se elaciona com? 5

8 5 ÃÃ5(/$d (6Ã'(Ã57(,5$ÃÃ&'875ÃÃ',(/e75,& A facilidade com que os elétons migam de um átomo paa outo, nos mateiais condutoes, impede o acúmulo de cagas em seu inteio. As cagas eléticas migam paa a supefície e, consequentemente, povocam campos eléticos etenos à supefície condutoa. Vamos agoa investiga esses campos eléticos. Inicialmente considee a fonteia condutodieléticos, mostada na figua 7.5, com um caminho abcd: n c w d t b h a dielético Conduto figua 7.5 Fonteia condutodielético A integal do campo elético ao longo deste caminho fechado é nula:.dl (7.5 Subdividindo essa integal em 4 pates: a b c b c d a d (7.6 ento do conduto o campo elético é nulo. Potanto, a integal de a até b é nula. Paa as demais integais teemos: t. w n,b. h n, a. h (7.7 Fazendo h tende a zeo, com w pequeno, mas finito, os dois últimos temos da equação acima se anulam, estando: t w (7.8 t (7.9 5

9 53 Resta agoa investiga a componente nomal do veto intensidade de campo elético. Paa isso, vamos considea uma supefície gaussiana constituída de um pequeno cilindo com áea de topo e base S, e altua h, confome a figua 7.6: n h S dielético t Conduto figua 7.6 supefície gaussiana topo base lados Q (7.3 A segunda integal é zeo, poque o campo elético é nulo no inteio do conduto. A teceia integal também é nula, po que a componente tangencial do campo elético é nula. Resta, potanto: ou ou Resumindo: n Q (7.3 topo Sρ S (7.3 n n s ρ (7.33 s (7.34 t t ρ (7.35 n Uma consequência imediata e impotante que decoe do fato de que a componente tangencial do campo elético é nula, é que a supefície condutoa é uma supefície equipotencial, ou seja, a difeença de potencial ente dois pontos quaisque na supefície condutoa é zeo. s 53

10 54 L[QGRÃHÃPHPRUL]QGRÃ ecute agoa as seguintes atividades:. Moste que a componente tangencial do veto intensidade de campo elético numa inteface conduto dielético é nula. Obtenha uma epessão paa a componente nomal do veto intensidade de campo elético, numa inteface conduto espaço live. Ã Ã &',d (6Ã '(Ã &75Ã 3$5$Ã 6Ã $7(5,$,6 ',(/e75,&6 Considee a fonteia ente dois meios dieléticos, e um caminho abcd, confome mostado na figua 7.7 abaio. c b h w tan tan d Meio Meio a figua 7.7 fonteia ente dois meios dieléticos Fazendo h tende a zeo, com w pequeno, poém finito, a integal ao longo do caminho fechado abcd se eduziá a:.dl t. w t. w (7.36 ou seja, a componente tangencial do veto A equação 7.37 pode se eescita na foma: (7.37 t t é contínua. t t (

11 55 ou : t t (7.39 Potanto, as componentes tangenciais do veto densidade de fluo elético são descontínuas. Vamos agoa em busca das componentes nomais de e. Considee a supefície gaussiana elementa, constituída de um cilindo de base S e altua h, colocado na fonteia ente os dois meios, confome a figua 7.8. Aplicando a Lei de Gauss, com h tendendo a zeo, teemos:.dsq (7.4 de onde: n ρ (7.4 n s h S n Meio Meio n figua 7.8 Fonteia ente dois dieléticos Confome já foi visto anteiomente, a densidade de cagas ρ s epesenta cagas lives, mesmo na pesença de dieléticos. Como nos mateiais dieléticos cagas lives só podeão eisti se foem popositadamente ali colocadas, podemos considea ρ s. Assim: ou seja, a componente nomal do veto teemos: (7.4 n n é contínua. Paa a componente nomal do veto (7.43 n n n n (7.44 Potanto, descontínuas. 55

12 56 L[QGRÃHÃPHPRUL]QGRÃ m seu cadeno de estudos, eecute as seguintes atividades:. Pove que as componentes tangenciais do veto intensidade de campo elético são contínuas.. Pove que as componentes nomais do veto densidade de fluo elético são descontínuas. 3. Pove que as componentes nomais do veto intensidade de campo elético são descontínuas. 4. Pove que as componentes nomais do veto densidade de flu elético são contínuas. ([HPSORÃ Suponha que haja uma placa de teflon na egião < < a m, e espaço live nas egiões > a e < m. A constante dielética do teflon é, e a susceptibilidade elética é,. Foa do teflon eiste um campo elético. â e, como não há mateial dielético nessa egião, P et. stabeleça a elação ente int, int e Pint. 6ROXomR y Teflon P P figua 8.3 Placa de teflon a A elação ente o veto e o veto no inteio do teflon é: int int int, int O veto polaização P é dado po: 56

13 57 Pχ e A continuidade de ntão, paa o campo elético P int nos pemite esceve: int int : int et,.â int int.â int (V / m int.a,476.â (V / m Paa o veto P : P, int,476.â P,54 int.â 5HIoÃHVWHÃH[HPSORÃ m seu cadeno de estudos efaça este eemplo, seguindo os seguintes passos:. Paa o inteio do teflon, obtenha a elação ente o veto densidade de fluo elético, e o veto intensidade de campo elético.. Paa o inteio do teflon, esceva a elação ente o veto intensidade de campo elético e o veto polaização. 3. Utilizando elações de fonteia, esceva a epessão paa o veto densidade de fluo elético no inteio do teflon. 4. sceva a epessão paa o veto intensidade de campo elético no inteio do teflon 5. sceva a epessão paa o veto polaização no teflon. Vamos agoa enconta as elações ente as dieções de e em dois mateiais dieléticos. Como as componentes nomais de são contínuas (figua 8.3: 57

14 58 sen sen A azão ente as componentes tangenciais é dada po: α α (7.45 cos α cos α n α tan n α tan tan figua 7.9 Mudança na dieção do campo, na fonteia ente dieléticos cos α cos α (7.46 ividindo 7.45 po 7.46 teemos: tgα tg A magnitude da densidade de fluo na egião, em função da magnitude de seá: α (7.47 na egião sen α α (7.48 cos A magnitude de seá então: cos α α (7.49 sen Po essas epessões, podemos pecebe que é maio na egião de maio pemissividade, (a não se em α 9 gaus, quando ele não vaia, e é maio na egião de meno pemissividade (a não se quando α, quando sua magnitude é invaiável. 58

15 59 ([HPSORÃ A egião > m contém um dielético paa o qual 3, e na egião < m 5. Se.â 3.â 4.â V / m, enconte: (a y, (b, (c z, (d P. 6ROXomR z < > y figua 8.5 figua do eemplo 8. 5 (â 5â y â z (C/ m as condições de contono: n n t t t 3 5 t t t 3 5 5â (5â â z â (C/ m z (C/ m (â 9â y âz 59

16 6 (â 9â y â 3 P ( (V / m z (V / m P ( â 3â y 4âz 3 5HIoÃHVWHÃH[HPSORÃ m seu cadeno de estudos efaça este eemplo, seguindo os seguintes passos:. Obtenha a epessão paa o veto densidade de fluo elético, no meio.. Conhecendo a inteface ente os dois meios, e po simples inspeção da epessão do veto densidade de fluo no meio, esceva as epessões paa as componentes nomais do veto densidade de fluo nos meios e. 3. Semelhantemente esceva a epessão paa a componente tangencial do veto densidade de fluo no meio. 4. Atavés das elações de fonteia, obtenha a epessão paa a componente tangencial do veto densidade de fluo no meio. 5. Obtenha a epessão paa o veto densidade de fluo no meio. 6. Obtenha a epessão paa o veto intensidade de campo elético no meio. 7. Obtenha a epessão paa o veto polaização no meio. (;(5&Ë&,6 Um conduto sólido tem uma supefície descita po y 3 m, estendendose até a oigem. Na supefície a intensidade de campo elético é.35 V/m. pesse e na supefície e enconte a densidade supeficial de cagas. Um conduto que se estende pela egião z < tem um lado no plano z, sobe o qual 3 eiste uma densidade supeficial de cagas ρs 5 e sen φ ( C/ m em coodenadas cilíndicas. Calcule a intensidade do campo elético em (.5 m, π/3,. 3 Um conduto esféico centado na oigem e com aio igual a 3 m apesenta uma densidade supeficial de cagas ρs ρ cos θ ( C/ m. nconte o veto intensidade de campo elético na supefície. 6

17 6 4 A intensidade do campo elético em um ponto sobe a supefície de um conduto é dada $ po, a $ 3, a $, a. Quanto vale a densidade supeficial de cagas nesse ponto? y z 5 Calcule os módulos do veto densidade de fluo elético, polaização, e a pemeabilidade elativa paa um mateial dielético no qual,5 MV/m, com χ e 4,5. $ $ $ 6 ado 3a 4ay az V/ m na egião z <, onde 3,, enconte o veto intensidade de campo elético na egião z >, paa qual A inteface plana ente dois dieléticos é dada po 3 z 5 m. No lado que engloba a 7 $ $ oigem, ( 45, a 3, az C/ m e 4,3, enquanto que, no outo lado,,8. nconte 6