Seção 8: EDO s de 2 a ordem redutíveis à 1 a ordem

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1 Seção 8: EDO s de a odem edutíveis à a odem Caso : Equações Autônomas Definição Uma EDO s de a odem é dita autônoma se não envolve explicitamente a vaiável independente, isto é, se fo da foma F y, y, y = 0 Como motivação paa o método de esolução vamos estuda o seguinte exemplo Exemplo : Velocidade de escape Um copo de massa m é lançado paa cima a pati da supefície da Tea Vamos investiga o poblema de detemina se existe um valo v e tal F que se a velocidade inicial v 0 fo v 0 v e, então o copo escapa da atação gavitacional da Tea 0 Despezamos o efeito da esitência do a Pela lei da gavitação univesal, a foça de gavidade agindo sobe o copo vale F = GMm, onde G é a constante univesal de gavitação, M é a massa da Tea, m = 6400 km é o aio da Tea e é a distância do copo até o cento da tea Pela a lei de Newton, F = ma, onde a = d dt é a aceleação Igualando as duas expessões paa foça obtemos a equação difeencial d dt = GM A EDO é uma equação difeencial autônoma de a odem No instante inicial t 0 = 0, sobe a supefície da Tea, sabemos expeimentalmente que a aceleação vale d dt 0 = g 0 m/s Na equação pocuamos = t como função do tempo Paa esolvê-la mudamos o ponto de visto Passamos a pocua a velocidade v como função da posição Isto faz sentido poque a cada altua coesponde uma velocidade v, a velocidade com que o copo atinge a altua Faz sentido então pensamos em v = v Fazendo isto e usando a ega da cadeia, temos Substituindo na EDO, obtemos a = d dt = dv dt = dv d d dt = v dv d v dv d = GM Note que a EDO autônoma de a odem se eduziu à EDO de a odem A EDO pode se esolvida po sepaação de vaiáveis d v dv = GM,

2 cuja solução geal é v = GM + C Usando a condição inicial v = v 0, obtemos C = GM v 0 Substituindo na solução geal, GM = v v0, ou ainda, v = v0 + 3 Se v 0 fo suficientemente pequeno, mais pecisamente, se v 0 indefinidamente, pois, neste caso, contadição Potanto, se v0 < v = 0, enconta-se 0 e teíamos lim v = v 0 < 0, não pode cesce < 0, que é uma, então o copo atinge uma altua máxima max Fazendo max = v 0, = max v 0 = v 0 ma v0 Conclusão: Se a velocidade inicial fo v 0 <, então o copo atinge uma altua máxima max e depois cai Se v 0 =, então 3 toma a foma v = e daí segue que cesce indefinidamente, com lim v = 0 Conclusão: Se v 0 =, então o copo escapa à atação gavitacional da Tea e chega nos pontos infinitamente distantes com velocidade tendendo a 0 3 Se v 0 >, o copo escapa da atação gavitacional da Tea e chega no infinito com velocidade positiva v = lim v = v 0 > 0 Conclusão: A conclusão final é que ealmente existe uma velocidade de escape v e = Paa calcula v e, não pecisamos do valo de M e de G, só pecisamos sabe o valo do poduto GM A equação, nos diz que na supefície da Tea, g = GM e, potanto v e = g = = km/s = km/h

3 OBSEVAÇÃO O método empegado no poblema da velocidade de escape se baseou em considea v = d dt como função de Em geal, dada uma equação autônoma F y, y, y = 0, intoduzimos a vaiável p = y e pensamos em p como função de y, p = py Exemplo y yy = 0 Intoduzimos a vaiável p = y e pensamos p = py Pela ega da cadeia, y = dp d dp d p dp Substituindo na EDO, obtemos p dp yp = 0 Segue que p = 0 ou dp y = 0 Se p = 0, então y = 0, logo y = C é uma família de soluções Na equação dp y = 0, sepaando as vaiáveis, temos dp = y, e p = y + C Fazendo a substituição invesa, d y + C, y + C = dx, y + C = dx Caso : C > 0 Neste caso, podemos dize que C = com > 0 Temos y + = Podemos isola y Basta nota que y x + D = actan, Assim, temos a família de soluções Caso : C = 0 Neste caso e temos a família de soluções y + y d = y actan + L y = C tan C x + C y = y + C y = C x Caso 3 : C < 0 Neste caso, C = com > 0 Temos y = y = tan x + D y y + 3

4 Decompondo em fações paciais, encontamos = y y + y y + Potanto, ln y ln y + k + L Assim, temos a família de soluções x + D = ln y y + Se quisemos, aplicando a função exponencial dos dois lados, e fazendo algumas opeações algébicas simples, podemos isola y, mas não vamos faze isto aqui Em esumo, as soluções da equação difeencial são todas as funções de uma das fomas y = C tan y C C x + C, ln y + C = C x + C, y = C x e y = C Note que a equação difeencial do exemplo não é linea, pois contém o temo em yy, que é de gau Vamos ve que paa equações lineaes a estutua do conjunto das soluções nunca é tão complicada Exemplo 3 esolva o poblema de valo inicial y = y y + y, y0 = 0, y 0 = 4 Intoduzimos a vaiável p = y e pensamos p = py Pela ega da cadeia, y = dp d dp d p dp Substituindo na EDO, obtemos p dp = yp A possibilidade de que p = 0 pode se descatada + y po causa da condição inicial y 0 = Sepaando as vaiáveis e integando, temos dp p = y + y e, potanto, ou seja, ln p = ln + y + ln C, p = C + y Segue das condições iniciais que quando y = 0 vamos te p = Substituindo acima, deteminamos C = Então, d + y, + y = dx, actan y = x + C, y = tan x + C Mas a condição inicial y0 = 0 implica que tan C = 0 Logo, a solução do PVI 4 é y = tan x 4

5 OBS O exemplo acima mosta que quando temos um PVI, podemos i deteminando as constantes à medida que elas foem apaecendo Em alguns casos, isto pode se uma simplificação consideável, evitando te de considea váios casos, como pecisou se feito no exemplo Caso : Equações do tipo F x, y, y = 0 não envolvendo y Exemplo 4 esolva a equação difeencial x y y = x Seja z = y Vamos pimeio enconta a função z = zx e, em seguida intega paa obte y Substituindo y = z e y = dz na EDO, temos dx x dz dx z = x Esta é uma equação linea de a odem Paa esolvê-la dividimos po x, obtendo dz dx z x x, cujo fato integante é µ = e x d e ln x Multiplicando a equação pelo fato integante, temos dz x dx z x = x, que é equivalente a Po integação, temos Multiplicndo po x, d x z = dx x x z = x d x + x + C z = x + + C x Lembando que y = z e integando novamente, temos y = x3 3 + cx + C x + C 5