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1 UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE Faculdade de Engenhaia Tansmissão de calo 3º Ano

2 Aula 4 Aula Pática- Equação Difeencial de Tansmissão de Calo e as Condições de Contono

3 Poblema -4. Calcula a tempeatua no cento T c de uma paede plana com k=8,4 W/m C e com 0,4 m de espessua, exposta, à adiação de uma fonte de calo à tempeatua de 00 ºC com emissividade ε = 0,7, sabendo que a pate da paede exposta à adiação enconta-se a 45 ºC. 3

4 Poblema -4. (Resolução I) Assume-se:.Escoamento estacionáio e unidimensional sendo a espessua da paede L=0,4 m;.condutibilidade témica constante (k = 8,4 W/m C); 3.Não há geação de calo no inteio da paede; 4.Despezam-se as pedas de calo na pate supeio da paede. 4

5 Poblema -4. (Resolução II) Onde C e C são constantes abitáias. Quando x= L paa C d T dx = 0 k dt (L) dx 4 =!q s = σε T pa 4 ( T amb ) W/m Integando a equação difeencial duas vezes em função de x, esulta: dt dx = C T (x) = C x + C "5

6 Poblema -4. (Resolução III) Onde C e C são constantes abitáias. dt (L) = C dx =!q s k = σε k C = 5, [K / m] ( T 4 4 T ) pa amb Quando x= L paa C T (L) = C L + C = T C = 45 5, 0,4 = -5,86 [C] T (L ) = C L + C = 5, 0,4-5,86 = 4,57 [C] "6

7 Poblema -4. Um feo de engoma com uma base plana de áea 0 cm é submetido a um fluxo de calo de 500 W na supefície esqueda e a uma tempeatua especificada de 90ºC na supefície dieita (veja esquema). Esceva a equação de condução de calo paa este caso sabendo que a espessua da placa é de L=0,8 cm e que o coeficiente de condutibilidade témica k= 5 W/m C. Detemine a tempeatua na supefície esqueda e a vaiação de tempeatua na base do feo. Q=500 W A=0 cm L=0,8 cm k T =90 C x 3

8 Poblema -4. (Resolução I) Assume-se:.Escoamento estacionáio e unidimensional sendo a espessua da base do feo despezível;.condutibilidade témica constante (k = 5 W/m C); 3.Não há geação de calo no feo; 4.Despezam-se as pedas de calo na pate supeio do feo. 4

9 Poblema -4. (Resolução II) Despezando as pedas de calo, todo calo geado pela esistência eléctica do feo tansfee-se paa a base. O fluxo de calo no inteio da base detemina-se de: q! Q! 500 W = = = W/m Abase 0 0 m Assumindo que a diecção nomal é a do eixo x, paa x=0 a esqueda da supefície, a equação de condução de calo paa este caso seá: d T dx = 0 Pois, o egime é estacionáio, não há geação de calo no inteio da base e a condutibilidade témica é constante. 5

10 Poblema -4. (Resolução III) Das condições iniciais e condições de fonteia obtém-se; E pode-se esceve que: dt (0) k = q! 0 = W/m dx T ( L) = T = 90 C Integando a equação difeencial duas vezes em função de x, esulta: dt dx = C T( x) = C x + C Onde C e C são constantes abitáias. 6

11 Poblema -4. (Resolução IV) Aplicando as condições de fonteia tem-se: x = 0: kc = q! C = 0 q! k 0 dt (0) dx pois k = q! 0 x = L: T( L) C L C T C T C L C T = + = = = + q! L 0 k Substituindo os valoes de C e C na equação: T( x) = Cx + C 7

12 Poblema -4. (Resolução V) Resulta: q! q! L q! ( L x) T ( x) = x + T + = + T k k k (5000 W/m )(0, 008 x)m T ( x) = + 90 C 5 W/m C T ( x) = 5000(0, 008 x) + 90 A tempeatua da placa quando x=0 seá: T (0) = 5000(0, 008 0) + 90 = 30 C 8

13 Poblema -4.3 A compimido escoa numa conduta submetida a uma fluxo unifome de calo na pate extena. Esceva a equação de condução paa este caso. Detemine a tempeatua na supefície extena da conduta e a vaiação de tempeatua na conduta. O coeficiente de tansfeência de calo po convecção é igual a 40 W/m C, o aio inteno do cilindo igual a 3cm e o exteno 4cm. 50 W A, - 5 C L=8 m 9

14 Poblema -4.3 (Resolução I) Assume-se:.Escoamento estacionáio e unidimensional;.condutibilidade témica constante (k = 0 W/m C); 3.Não há geação de calo na conduta; 4.Todo o calo geado no aquecimento tansfee-se à conduta. 0

15 Poblema -4.3 (Resolução II) O fluxo de calo que atavessa a supefície da conduta detemina-se de: q! s = Q! s Qs 50 W 4,33 W/m A =! π L = π (0,04 m)(8 m) = Note-se que a tansfeência de calo é unidimensional na diecção adial de e o fluxo de calo é na diecção negativa de. A equação matemática de condução de calo pode se escita como: d d & $ % dt d #! " = 0 e k dt ( ) = h[ T T( )] d

16 Poblema -4.3 (Resolução III) E esulta: k dt ( ) d dt d =! q s Integando a expessão difeencial em elação ao aio obtém-se = C Dividindo ambas pates da equação po tem-se: dt d C =

17 Poblema -4.3 (Resolução IV) Integando obtém-se: T( ) = C ln + C Onde C e C são constantes abitáias. Aplicando as condições de fonteia tem-se: = : = : k C = k C h[ T = q! C = ( C s ln + C q! s )] k C = T & $ ln % k h #! C " = T & $ ln % k h #! " q! k s 3

18 Poblema -4.3 (Resolução V) Substituindo C e C na solução geal, a vaiação de tempeatua detemina-se de: " k # " k # " k # q! s T ( ) = Cln + T % ln & C = T + % ln ln + & C = T + % ln + & ' h ( ' h ( ' h ( k " # T ( ) = 5 C + ln + 0 W/m C (4,33 W/m )(0, 04 m) % & ' (40 W/m C)(0,03 m) ( 0 W/m C " # T ( ) = 5 + 0, 49% ln + 6,67& ' ( 4

19 Poblema -4.3 (Resolução VI) A tempeatua intena detemina-se de: ( = ): T! " ( ) ( ) = 5 + 0, 49$ ln + 6, 67% = 5 + 0, , 67 = 0,85 º & ' C E a tempeatua na supefície de: ( = ): T! "! 0,04 " ( ) = 5 + 0, 49$ ln + 6, 67% = 5 + 0, 49 ln + 6, 67 = 0, 77 º $ 0,03 % & ' & ' C 5

20 Poblema -4.4 Um ecipiente esféico é submetido a uma tempeatua especificada na supefície intena e aefecido po a na supefície extena. Fomule a expessão matemática de condução de calo paa a esfea e detemine a taxa de tansfeência de calo consideando o escoamento unidimensional e o coeficiente de toca de calo po convecção igual a 40 W/m C. A condutibilidade témica da esfea é de 8 W/m C. Os aios inteno e exteno da esfea medem 5 cm e 30 cm espectivamente. k T T h 6

21 Poblema -4.4 (Resolução I) Assume-se:.Escoamento estacionáio e unidimensional;.condutibilidade témica constante (k = 8 W/m C); 3.Não há geação de calo na esfea. Note-se que a tansfeência de calo é unidimensional na diecção adial de e o fluxo de calo é na diecção negativa de. A equação matemática de condução de calo pode se escita como: d d & $ % dt d #! " = 0 Sendo: T( ) T = = C 0 7

22 Poblema -4.4 (Resolução II) Das condições de contono de convecção na pate exteio temse: k dt ( ) = h[ T( ) T ] d Integando a expessão difeencial em elação ao aio obtém-se: dt Dividindo ambos os temos po esulta que: d = C dt d C = 8

23 Poblema -4.4 (Resolução III) Integando a expessão tem-se: C T( ) = + C Onde C e C são constantes abitáias Aplicando as condições de fonteia tem-se: = : = : C T( ) = + C = T C & C $ k = h + C % T #! " 9

24 Poblema -4.4 (Resolução IV) Escevendo as equações em função de C e C tem-se: ( T T ) C T T C = e C = T + = T + k k h h Substituindo C e C na equação da solução geal, a vaiação de tempeatua detemina-se de: C C " # T T " # T ( ) = + T + = C + T = + T ' ( ' ( h % & k % & 0,5 (40 W/m C)(0,3 m) (0 5) C " 0,3 0,3 # 0,3 T ( ) = + 0 C = 4,7(, ) 0,3 8 W/m C % 0,5 & ' ( 0

25 Poblema -4.4 (Resolução V) A taxa de tansfeência de calo atavés da paede da esfea seá: dt C ( T T ) Q! = ka = k(4 π ) = 4π kc = 4π k dx k h (0,3 m)(0 5) C Q! = 4 π (8 W/m C) = 997,9 0,3 8 W/m C 0,5 (40 W/m C)(0,3 m) W

26 Tabalho Paa Casa 0 (I) Considee uma gande paede plana de espessua L = 0,8 m e condutividade témica k = 0,4 W /m C. Não se tem acesso ao lado inteio da mesma em x = 0, paa se medi a sua tempeatua. Assim, as condições témicas nessa supefície não são conhecidas. No entanto, na supefície exteio da paede em x = L, sua emissividade, de ε = 0,7, é conhecida e sabe-se também que nela há toca calo po convecção com o a ambiente a T = 5 C, com um coeficiente de tansfeência de calo po convecção médio de h = 4 W/m C, assim como po adiação, com as supefícies que a odeiam, que se encontam a tempeatua média de T amb = 90 K. A tempeatua da supefície exteio foi medida e é de T = 55 C. Assumindo que a tansfeência de calo é em egime estacionáio, (a) expesse a equação difeencial e as condições de contono paa a condução de calo atavés da paede, (b) obtenha uma expessão paa a vaiação da tempeatua no inteio da paede, esolvendo a equação difeencial, e (c) Tace em Excel, a cuva da tempeatua no inteio da paede, desde a pate inteio até a exteio, com o passo de 0, m. Pof. Douto Engº Joge Nhambiu

27 Tamb T h 55ºC ℇ L x Envia até as 5 hoas de quinta-feia dia 7 de Feveeio com o subject : TPCT0 paa o endeeço Pof. Douto Engº Joge Nhambiu 3

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