FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA

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1 FENÓMENO DE ANFEÊNCIA Apontamentos eóicos Helde eixeia Gomes EiG-IPB

2 Nota Intodutóia Estes Apontamentos eóicos foam elaboados com base nos livos Intoduction to Heat ansfe (Incopea, DeWitt, Begman e Lavine) e ansfeência de Calo (Çengel). A sua distibuição tem como pincipal objectivo fonece aos alunos da unidade cuicula de Fenómenos de ansfeência do cuso de Licenciatua em Engenhaia de Enegias enováveis da EiG-IPB um elemento paa o acompanhamento mais eficiente das aulas teóicas, não devendo de foma alguma, constitui o pincipal elemento do seu estudo. De foma a melhoa futuas vesões dos Apontamentos eóicos, agadeço aos alunos ue me comuniuem possíveis galhas ue possam enconta, e incentivo igualmente a colaboação com sugestões ue levem a uma melhoia do funcionamento da unidade cuicula. Desejo um bom tabalho a todos ue consultem estes Apontamentos eóicos. O docente da unidade cuicula de Fenómenos de ansfeência, Helde Gomes

3 Capítulo Fundamentos da ansfeência de Calo Ao inicia o estudo da ciência da tansfeência de calo, a pimeia uestão ue se pode coloca é O ue é a tansfeência de calo?. A sua definição dá-nos a esposta: A tansfeência de calo é a enegia em tânsito devido a uma difeença de tempeatua ente dois sistemas. Po exemplo, se etiamos de uma estufa um objecto com uma tempeatua inicial de ºC e o expusemos ao a ambiente, iá obseva-se uma tansfeência de enegia na foma de calo no sentido da tempeatua mais elevada paa a tempeatua mais baixa, isto é, do objecto paa o a cicundante. Como conseuência da emoção de calo, a tempeatua do objecto iá baixa até atingi um estado de euilíbio em ue a tempeatua do objecto iguala a tempeatua do a cicundante e a tansfeência de calo cessa. A temodinâmica pemite detemina a uantidade de calo tansfeida desde o estado inicial ao estado final de euilíbio, mas não pemite sabe uanto tempo demoa essa tansfeência. A ciência da tansfeência de calo é auela ue pemite detemina ual a velocidade de tansfeência desse calo. A tansfeência de calo pode ocoe segundo tês mecanismos básicos: a condução, a convecção e a adiação. Nas póximas secções deste capítulo, vamos ve, de uma foma geal, as paticulaidades de cada um destes mecanismos. Em capítulos posteioes faemos uma abodagem mais detalhada... Condução A condução ocoe sempe ue existe um gadiente de tempeatua num meio estacionáio (sólido ou fluído), consistindo na tansfeência de enegia das patículas mais enegéticas paa patículas de meno enegia, como esultado de inteacções ente essas patículas (colisões e difusão nos líuidos e nos gases, vibações moleculaes e tanspote de enegia po electões lives nos sólidos). Como exemplo, vamos considea uma baa de feo, inicialmente à tempeatua ambiente, usada paa emexe as basas de uma fogueia. A expeiência empíica diz-nos ue, se espeamos tempo suficiente, a tempeatua da extemidade em contacto com a mão (oposta à extemidade em contacto com as basas) começa a aumenta. A explicação eside na condução: como existe um gadiente de tempeatua na baa de feo (a tempeatua na extemidade exposta às basas é supeio à tempeatua na extemidade em contacto com a mão), vai ocoe tansfeência de calo po condução no sentido da tempeatua mais elevada,

4 paa a tempeatua mais baixa. e espeamos um tempo suficientemente longo, no euilíbio, a tempeatua da baa iá fica unifome, isto é, à tempeatua da extemidade da baa exposta às basas. A velocidade da condução de calo atavés de um meio depende da configuação geomética desse meio, da sua espessua, do mateial de ue é feito e da difeença de tempeatuas existente. A evidência empíica mosta ue a velocidade de tansfeência de calo po condução atavés de um meio é popocional à difeença de tempeatuas e à áea de tansfeência de calo (pependicula ao sentido da tansfeência de calo) e invesamente popocional à espessua do meio. A constante de popocionalidade é a condutividade témica (k) do mateial, ue é uma medida da capacidade de um mateial paa conduzi calo, e a euação difeencial ue pemite detemina a velocidade da tansfeência de calo po condução é conhecida como a Lei de Fouie: ka () onde epesenta a taxa de tansfeência de calo (J/s ou W), A a áea de tansfeência de calo (m ), a tempeatua (ºC ou K), x a coodenada espacial (m) e k a condutividade témica (W/mºC), caacteística do mateial. Nota ue tem sinal negativo uando x aumenta no sentido da diminuição da tempeatua (Figua ), pelo ue, o sinal negativo na Lei de Fouie gaante ue a velocidade de tansfeência de calo no sentido positivo de x seja uma uantidade positiva. 3

5 . x Figua Condução de calo atavés de um mateial. A tansfeência de calo dá-se no sentido da tempeatua mais elevada paa a tempeatua mais baixa Exemplo: Condução de calo unidimensional em estado estacionáio numa placa plana Considee a condução de calo em estado estacionáio atavés da paede de uma casa com espessua x L e áea de tansfeência de calo A (Figua ). Considee ainda ue a difeença de tempeatuas ente os dois lados da paede é, com >. Figua Condução de calo em estado estacionáio atavés de uma paede de espessua x e áea de tansfeência de calo A 4

6 A paede da casa pode se consideada uma placa plana. Como existe um gadiente de tempeatua ente os dois lados da paede, então haveá tansfeência de calo po condução ente a supefície à tempeatua e a supefície à tempeatua. Como iemos deduzi no capítulo, dedicado ao estudo detalhado do mecanismo de condução em estado estacionáio, o pefil de tempeatuas numa placa plana é linea, o ue implica ue o seu declive seja constante: () x L Po substituição de na Lei de Fouie, deduz-se a euação ue pemite detemina a velocidade de tansfeência de calo po condução unidimensional em estado estacionáio numa placa plana (o temo unidimensional assume ue a tansfeência de calo se pocessa apenas numa dimensão, no pesente caso na diecção do eixo dos xx, consideando-se ue a placa está isolada nas estantes faces, impedindo a tansfeência de enegia nas diecções yy e zz): ka ka L L (3) Condutividade témica A Lei de Fouie paa a velocidade de tansfeência de calo em estado estacionáio também pode se vista como a euação de definição da condutividade témica (k, em W/mºC). Assim, a condutividade témica de um mateial pode-se defini como a velocidade de tansfeência de calo atavés de uma espessua unitáia de mateial, po unidade de áea e po unidade de difeença de tempeatua. A condutividade témica vaia com o tipo de mateial e seve como medida da capacidade de um mateial paa conduzi calo. Um valo elevado da condutividade témica indica ue o mateial é bom conduto de calo e um valo baixo indica ue o mateial é um mau conduto ou ue é um isolante. Paa um mesmo mateial a condutividade témica depende da tempeatua. Dada a impotância da condutividade témica de um mateial no estudo da tansfeência de calo po condução, os valoes de k paa váios mateiais 5

7 em função da tempeatua encontam-se compilados em tabelas ue facilmente se encontam em manuais de tansfeência de calo. Paa esta unidade cuicula podem-se consulta as abelas A3 a A7 disponíveis no mateial fonecido. Nos capítulos e 3 faemos o estudo detalhado do mecanismo de condução de calo em estado estacionáio e em estado tansiente. Execício Considee uma placa plana com faces de 3 m x.5 m e espessua.5 m, constituída po um mateial com condutividade témica, k.7 W/mK. abendo ue a tempeatua em cada uma das faces é, espectivamente, 4 K e 5 K e ue a tansfeência de calo ocoe em egime estacionáio, calcule a taxa de tansfeência de calo obsevada,. esolução Assumindo ue a tansfeência de calo ocoe po condução unidimensional (placa isolada, à excepção das faces, Figua ), podemos utiliza a Lei de Fouie paa detemina a velocidade de tansfeência de calo unidimensional em estado estacionáio numa placa plana: ka L ka L (.5 3) 45 W.5.. Convecção A tansfeência de calo po convecção ocoe ente uma supefície sólida e um fluído adjacente em movimento, compeendendo os efeitos combinados da condução e do movimento de fluidos, sempe ue se obseve uma difeença de tempeatuas ente os dois meios. Quanto mais ápido o fluído se movimenta, maio é a tansfeência de calo po convecção. Note ue, na ausência de ualue movimento do fluído, a tansfeência de calo ente a supefície sólida e o fluído adjacente, seá po condução pua. A convecção diz-se foçada, se o escoamento do fluído fo causado po meios extenos. Po exemplo, devido a uma ventoínha, ao vento, etc. (Figua 3(a)). A convecção diz-se natual (ou live), se o escoamento do fluído fo devido a difeenças de densidade causadas po vaiações na tempeatua do fluído (Figua 3(b)). 6

8 Convecção foçada Convecção natual A ovo uente A ovo uente (a) (b) Figua 3 Aefecimento de um ovo cozido po (a) convecção foçada; (b) convecção natual A análise detalhada do fenómeno de tansfeência de calo po convecção pode se ealizada pela teoia da camada limite. Esta teoia considea ue, uando um fluído em movimento contacta uma supefície sólida, se foma uma camada, chamada de camada limite, onde a velocidade e a tempeatua do fluído vaiam. Esta teoia considea ainda ue, à supefície, a velocidade do fluído é nula e a sua tempeatua iguala a da supefície. À medida ue nos afastamos da supefície, a velocidade do fluído aumenta e a tempeatua vaia até chega ao limite da camada, onde a velocidade do fluído seá igual à velocidade e à tempeatua no bulk do fluído (Figua 4). aiação da velocidade do a Fluxo de a aiação da tempeatua do a Figua 4 ansfeência de calo de uma supefície uente paa o a po convecção. Conceito de camada limite upefície Quente endo em atenção estes conceitos, é fácil compeende ue inicialmente a tansfeência de calo da supefície paa o fluído se dê po condução (o fluído à 7

9 supefície está estagnado) e ue depois (ou em simultâneo) haja uma emoção do calo, devido ao movimento do fluído. Apesa da apaente complexidade da convecção, obseva-se empiicamente ue a velocidade de tansfeência de calo po convecção é popocional à difeença de tempeatuas ente a supefície sólida e o fluído, podendo se deteminada pela Lei de Aefecimento de Newton: conv ha ( ) (4) s onde h é o coeficiente de tansfeência de calo po convecção (W/m ºC), A s a áea supeficial de tansfeência de calo (m ), a tempeatua da supefície do sólido (ºC ou K) e a tempeatua do fluído suficientemente afastado da supefície do sólido (ºC ou K). Ao contáio da condutividade témica (k) na condução, o coeficiente de tansfeência de calo po convecção (h) não é uma popiedade do fluído ou do mateial sólido, mas sim um paâmeto ue se detemina expeimentalmente, sendo o seu valo dependente da geometia do sólido, da natueza do escoamento do fluído e das suas popiedades temodinâmicas e de tanspote. A convecção, e a teoia da camada limite em paticula, seão abodadas no capítulo 4 destes Apontamentos eóicos..3. adiação A adiação é a enegia emitida na foma de ondas electomagnéticas po toda a matéia, devido a alteações nas configuações dos átomos ou das moléculas constituintes. Existem divesos tipos de adiação (aios X, aios gama, micoondas, ondas ádio, adiação témica, ). No estudo dos fenómenos de tansfeência de calo estamos inteessados na adiação témica, enegia emitida po todos os copos ue se encontem a uma tempeatua não nula (Ex. adiação ola). Ao contáio da condução e da convecção, a tansfeência de enegia témica po adiação não eue a pesença de um meio físico, podendo ocoe no vácuo. 8

10 A velocidade de emissão de calo po adiação témica po todos os copos é popocional à sua tempeatua absoluta, sendo máxima uando se tata de um copo nego, podendo detemina-se a pati da Lei de tefan-boltzmann: 4 σa (5) onde (K) é a tempeatua absoluta da supefície do copo, A a áea da supefície emissoa (m ) e σ a constante de tefan-boltzmann (σ 5.67x -8 W/m K 4 ). A adiação de um copo nego epesenta a uantidade máxima de adiação ue pode se emitida desde uma supefície ideal a uma tempeatua específica. A adiação emitida po todas as supefícies eais é meno ue a emitida po um copo nego à mesma tempeatua e pode se deteminada pela seguinte euação: 4 εσa (6) onde ε é a emissividade da supefície, ue pode toma valoes ente e. Paa um copo nego, ε. Quanto mais póximo de fo a emissividade de uma supefície, mais se apoxima à idealização de copo nego. A adiação seá abodada em detalhe no Capítulo 6 deste Apontamentos eóicos. 9

11 Capítulo Condução de Calo em Estado Estacionáio (Unidimensional) No capítulo, definiu-se a condução de calo como a tansfeência de enegia témica das patículas mais enegéticas de um meio estacionáio paa as patículas adjacentes com meno enegia e vimos ue o calo é conduzido no sentido da tempeatua decescente, obsevando-se um gadiente de tempeatua negativo uando o calo é conduzido no sentido positivo do eixo dos xx (Figua ). Foi também efeido no capítulo ue a velocidade de tansfeência de calo atavés de um meio, numa diecção específica (po exemplo na diecção do eixo dos xx), é popocional à difeença de tempeatuas ente as duas extemidades do meio e à áea pependicula à diecção da tansfeência de calo, e invesamente popocional à distância nessa diecção. A euação ue taduz estas dependências é dada pela Lei de Fouie paa a condução de calo, uma lei empíica deduzida a pati de obsevações expeimentais, ue na foma unidimensional é taduzida po: x ka () Neste capítulo, vamos analisa poblemas de tansfeência de calo po condução em estado estacionáio, consideando sempe ue essa condução é unidimensional (despezam-se possíveis tansfeências de calo noutas diecções). Nas póximas tês secções vamos deduzi euações ue nos pemitem calcula o pefil de tempeatuas e a taxa de tansfeência de calo em sólidos de difeentes geometias. Consideemos um elemento de volume infinitesimal de um sólido genéico sujeito a tansfeência de calo po condução unidimensional, de espessua e áea supeficial A pependicula à diecção da tansfeência de calo (Figua 5).

12 Figua 5 Condução unidimensional de calo atavés de um elemento de volume de um sólido genéico Consideando ue o elemento de volume não gea calo, do balanço de enegia em estado estacionáio vem ue: x x (7) Atendendo a esta elação, pela definição de deivada obtém-se a seguinte euação, válida paa condução de calo em estado estacionáio, em meios estacionáios não geadoes de calo: d x x x lim (8).. Condução em Placas Planas eja a condução de calo atavés de uma paede plana não geadoa de calo (a paede de uma casa ou o vido de uma janela, po exemplo, Figua 6). É azoável considea a condução de calo neste tipo de geometia como sendo unidimensional, uma vez ue a condução de calo seá dominante numa das diecções e despezável nas outas.

13 Elemento de volume Figua 6 - Condução unidimensional de calo atavés de um elemento de volume de uma placa plana Fazendo um balanço de enegia ao elemento de volume infinitesimal da placa plana indicada na Figua 6, obtém-se a euação (7) e pelo mesmo aciocínio utilizado anteiomente, a euação (8), válida paa condução em estado estacionáio: d x (8) Po sua vez, a taxa de tansfeência de calo po condução pode se calculada pela Lei de Fouie, euação (): x ka () Consideando ue a condutividade témica (k) na placa é constante (a áea de tansfeência de calo também), po aplicação da euação (8) à euação (), vem ue: d d x -ka d (9)

14 Note ue a euação difeencial (9) ue se obteve paa a análise da tansfeência de calo po condução unidimensional em estado estacionáio em placas planas, é válida sempe ue a áea tansvesal do meio estacionáio em estudo seja constante. Po exemplo, veifiue a validade da euação difeencial (9) na análise da tansfeência de calo po condução axial na baa cilíndica apesentada na Figua 7: Figua 7 Condução axial num cilindo A deteminação da solução geal do pefil de tempeatuas po condução em estado estacionáio numa placa plana (ou meio estacionáio com áea de secção ecta constante) não geadoa de calo é conseguida esolvendo a euação difeencial (9). Paa obtemos a solução paticula é necessáio conhece as condições fonteia (consideemos paa o efeito ue paa x, e ue paa x L, ). Da integação da euação difeencial (9) obtém-se a solução geal: d C Cx C () Paa obte as constantes de integação C e C intoduzem-se as condições fonteia. Aplicando a condição paa x à solução geal, obtém-se C : x C De modo análogo, aplicando a condição paa x L: 3

15 x L C L L C ubstituindo C e C na solução geal, euação (), obtém-se a distibuição de tempeatuas, ue é a solução paticula do poblema: x x () L L Do esultado obtido tona-se evidente ue, paa condução de calo unidimensional em estado estacionáio atavés de uma placa plana não geadoa de calo e condutividade témica constante, a tempeatua vaia lineamente com x: L x Uma vez conhecido o pefil de tempeatuas na placa, é possível calcula a taxa de tansfeência de calo ue a atavessa po condução aplicando a Lei de Fouie, euação (): ka x ka x L ( ) () esistência émica Po se um conceito muito impotante na análise de poblemas de tansfeência de calo em estado estacionáio, vamos intoduzi neste ponto a noção de esistência témica, ue apesenta uma analogia útil com o conceito de esistência eléctica, como 4

16 iemos aboda mais adiante. Da mesma maneia ue a esistência eléctica é associada com a condução de electicidade, a esistência témica pode se associada com a tansfeência de calo. Uma esistência é definida como a azão ente uma foça motiz e a coespondente taxa de tansfeência. Da euação (), obtém-se assim a esistência témica ( ) paa a condução numa placa plana, onde coesponde à foça motiz e x à taxa de tansfeência: L (3) ka x Note ue, uanto maio a esistência témica, meno a taxa de tansfeência de calo obsevada... Condução adial num Cilindo Um exemplo típico de condução em cilindos ocoe em tubos, cujas supefícies extena e intena estejam em contacto com fluídos a difeentes tempeatuas (Figua 8). Fluído fio,, h Fluído uente,, h Figua 8 ubo cilíndico com supefícies intena e extena em contacto com fluídos a difeentes tempeatuas 5

17 Ao contáio do ue acontece numa placa plana, num cilindo sujeito a condução adial, a áea de tansfeência de calo vaia com a posição (A πl), pelo ue, a taxa de tansfeência de calo, dada pela Lei de Fouie, é expessa em função de : ka d kπ L d (4) Po um aciocínio análogo ao ealizado uando abodamos placas planas, fazendo um balanço de enegia ao elemento de volume infinitesimal do cilindo, obtém-se a euação (8), válida paa condução em estado estacionáio: d d (8) Consideando ue a condutividade témica (k) no cilindo é constante, po aplicação da euação (8) à euação (4), vem ue: d d d - ka d d d d d (5) A deteminação da solução geal do pefil de tempeatuas po condução adial em estado estacionáio num cilindo não geado de calo é conseguida esolvendo a euação difeencial (5), sujeita a condições fonteia apopiadas. Da integação da euação difeencial (5) obtém-se a solução geal: d d d d C d C Cln C (6) Paa obte as constantes de integação C e C intoduzem-se na euação (6) as condições fonteia. Paa o efeito, consideemos as seguintes condições fonteia (CF): CF:, s, CF:, s, 6

18 Das condições fonteia: s, s, C ln C ln ( ) ( ) C C C C s, ln s, s, ( ) s, s, ln ( ) ln ubstituindo C e C na solução geal, obtém-se a distibuição de tempeatuas, ue é a solução paticula do poblema: ln ( ) s, s, s, (7) ln Note ue, paa condução adial de calo em estado estacionáio atavés de um cilindo não geado de calo e condutividade témica constante, a tempeatua vaia com de uma foma logaítmica, e não lineamente como obsevado paa placas planas nas mesmas condições. O pefil logaítmico descito, enconta-se esuematizado na imagem inteio da Figua 8. Uma vez conhecido o pefil de tempeatuas no cilindo, é possível deduzi a euação ue pemite calcula a taxa de tansfeência de calo po condução ue o atavessa, aplicando a Lei de Fouie: ka d kπ L d (4) Como d ( ) s, s, ln ( ) kπ L s, s, (8) ln 7

19 esistência émica A pati do esultado anteio tona-se evidente ue a esistência témica associada à condução adial num cilindo toma a seguinte foma: ln (9) π.kl.3. Condução adial numa Esfea Consideemos agoa a condução de calo numa esfea oca (Figua 9). Figua 9 Condução de calo numa casca esféica al como num cilindo, numa esfea sujeita a condução adial, a áea de tansfeência de calo vaia com a posição (A 4π ), pelo ue a taxa de tansfeência de calo, dada pela Lei de Fouie, é expessa em função de da seguinte foma: ka 4kπ d d () ealizando um balanço de enegia ao elemento de volume infinitesimal da esfea consideado na Figua 9, obtém-se a euação (8), válida paa condução em estado estacionáio, num sólido sem geação de calo: 8

20 d d (8) Consideando ue a condutividade témica (k) na esfea é constante, po aplicação da euação (8) à euação (), vem ue: d d d - ka d d d d d () A deteminação da solução geal do pefil de tempeatuas po condução adial em estado estacionáio numa esfea não geadoa de calo é conseguida esolvendo a euação difeencial (), sujeita a condições fonteia apopiadas. Da integação da euação difeencial () obtém-se a solução geal: d d d C d C d C C () Paa obte as constantes de integação C e C intoduzem-se na euação () as condições fonteia. Paa o efeito, consideemos as seguintes condições fonteia (CF): CF:, s, CF:, s, Das condições fonteia: s, s, C C C C C C s, s, s, ( ) s, s, ubstituindo C e C na solução geal, obtém-se a distibuição de tempeatuas, ue é a solução paticula do poblema: 9

21 ( ) s, s, s, (3) Note ue, paa condução adial de calo em estado estacionáio atavés de uma esfea não geadoa de calo e condutividade témica constante, a tempeatua vaia com de uma foma hipebólica. Uma vez conhecido o pefil de tempeatuas na esfea, é possível deduzi a euação ue pemite calcula a taxa de tansfeência de calo po condução ue a atavessa, aplicando a Lei de Fouie: ka 4kπ d d () Como d ( s, s, ) 4kπ ( ) s, s, (4) esistência émica Da definição de esistência témica, difeença de tempeatua dividida pela taxa de tansfeência de calo, obtém-se: (5) 4kπ.4. Condução de Calo em ólidos com outas Geometias A metodologia utilizada anteiomente paa detemina os pefis de tempeatua em placas planas, cilindos e esfeas não geadoas de calo sujeitas a condução em estado estacionáio, pode se facilmente genealizada a sólidos com outas geometias,

22 salvaguadando ue a áea de tansfeência de calo é conhecida em função da coodenada ue caacteiza a diecção da tansfeência de calo. eja o exemplo do sólido apesentado na Figua. Isolante upefície adiabática Figua Condução de calo em estado estacionáio num sólido com uma geometia genéica Consideando a áea de tansfeência de calo A x A(x), a taxa de tansfeência de calo é dada pela Lei de Fouie em função de x: x ka x ka x ( ) (6) ealizando um balanço de enegia ao elemento de volume infinitesimal da esfea consideado na Figua, obtém-se a euação (8), válida paa condução em estado estacionáio, num sólido genéico sem geação de calo: d x (8) Consideando ue a condutividade témica (k) no sólido é constante, po aplicação da euação (8) à euação (6), vem ue:

23 d x d - ka x d A x ( ) (7) A deteminação da solução geal do pefil de tempeatuas po condução em estado estacionáio no sólido não geado de calo é depois conseguida esolvendo a euação difeencial (7), sujeita a condições fonteia (CF) apopiadas (po exemplo CF: x x, ; CF: x x, )..5. esistência émica: Analogia com a eoia dos Cicuitos Elécticos efeimos anteiomente ue existe uma analogia ente a tansfeência de calo e a tansfeência de enegia eléctica. Assim, da mesma maneia ue a esistência eléctica é associada à tansfeência de enegia eléctica, a esistência témica, já definida, pode se associada à tansfeência de calo. Uma vez conhecida essa analogia, a aplicação da teoia dos cicuitos elécticos e a epesentação de cicuitos elécticos análogos em tansfeência de calo pemite de uma foma simples a compeensão e uantificação de poblemas de tansfeência de calo, ue no caso de meios compostos se tonaia mais complexa douta foma. amos de seguida demonsta a existência dessa analogia. O cicuito eléctico mais simples é composto po uma esistência (, em Ohms, Ω), ue uando atavessada po uma coente eléctica (I, em Ampèe, A), povoca uma difeença de potencial ( A B, em olts, ) no cicuito: I A B Da teoia dos cicuitos elécticos, pela Lei de Ohm, sabemos ue: A B I I (8) esistências em éie Consideemos agoa duas esistências em séie:

24 I I I A B C As esistências e povocam as seguintes difeenças de potencial no cicuito, calculadas pela Lei de Ohm (a coente eléctica atavessa as duas esistências com a mesma intensidade I): A B I B C I Calculando a difeença de potencial global no cicuito, obtém-se uma euação ue nos pemite calcula a esistência euivalente do cicuito, e, como a soma das esistências individuais: A C B C A B I I ( )I ( ) I e I (9) Em esumo, num cicuito com duas esistências em séie: e (3) Genealizando paa N esistências em séie: I I I A B A B e I, com e N i (3) N i 3

25 esistências em Paalelo Consideemos agoa duas esistências em paalelo: I I I A B I As esistências e povocam as seguintes difeenças de potencial no cicuito, calculadas pela lei de Ohm (neste caso, ao contáio do ue sucedia com esistências em séie, a coente eléctica atavessa as duas esistências com intensidades difeentes, I e I ): A B I A B I Po outo lado, pelo balanço de cagas aos nós do cicuito, obtém-se uma euação ue nos pemite calcula a esistência euivalente ( e ) de um cicuito com esistências em paalelo: I I I I I e I Em esumo, num cicuito com duas esistências em paalelo: e (3) 4

26 Genealizando paa N esistências em paalelo: I I I I A N B I N A B e I, com e N (33) i i Condução de Calo em Placas Planas em éie amos estabelece agoa de uma foma claa a analogia ente cicuitos elécticos e cicuitos témicos, começando po considea um poblema de condução de calo atavés de placas planas em séie (Figua ). Fluído uente,, h Fluído fio,4, h 4 Figua Análogo eléctico do cicuito témico de placas planas em séie 5

27 i Uma vez conhecidas as esistências témicas de cada uma das placas L i k A i i, podemos obte pela Lei de Fouie a taxa de tansfeência de calo ue atavessa a paede composta po uma das seguintes expessões: ( ) s, s, A A ( 3 ) 3 B B ( ) 3 s,4 3 s,4 C C Deteminando a difeença de tempeatuas global, obtém-se uma euação ue nos pemite calcula a esistência témica euivalente do sistema de placas em séie ( e ) como a soma das esistências témicas individuais: s, s,4 ( s, s ) ( 3 ) ( 3 s,4 ) A B C ( A B C ) s, s,4 e, com e A B C Dos esultados obtidos, tona-se evidente a analogia ente um cicuito témico em séie e um cicuito eléctico: A B C s, s,4 Analogia (N esistências em séie): e I e e... N e N 6

28 Condução de Calo em Placas Planas em Paalelo Consideemos agoa um poblema de condução de calo atavés de placas planas em paalelo (Figua ). Figua Cicuito témico de placas planas em paalelo Pela definição de esistência témica, euação (3), é possível detemina a difeença de tempeatuas ente as duas extemidades da paede composta ( ), usando altenativamente a esistência témica da placa ou da placa : ealizando um balanço de enegia à paede composta, obtém-se uma euação ue nos pemite calcula a esistência témica euivalente de placas em paalelo ( e ): e e 7

29 Dos esultados obtidos, tona-se evidente a analogia ente um cicuito témico em paalelo e um cicuito eléctico: Analogia (N esistências em paalelo): e I e e... N e... N Genealização Os conceitos de esistência témica em séie e em paalelo podem facilmente se genealizados a paedes compostas caacteizadas po uma configuação mista em séie e em paalelo, como a apesentada na Figua 3. Figua 3 Paede composta caacteizada po placas planas em séie e em paalelo Nesta situação, o análogo eléctico e a esistência témica euivalente seiam: 8

30 e E F G H Uma vez deteminada a esistência témica euivalente do sistema, a taxa de tansfeência de calo,, pode se deteminada: e Note ue na paede composta do exemplo anteio foi admitida condução de calo unidimensional (foi assumido ue a tempeatua na supefície nomal ao eixo dos xx é isotémica), apesa de na pática esta pode se multi-dimensional (tansfeência de calo no eixo dos yy ente as placas em paalelo). Esta hipótese é tanto mais azoável uanto meno fo a difeença de condutividade témica dos mateiais das placas dispostas em paalelo, k F k G. esistência émica à Convecção É possível detemina também a esistência témica associada à tansfeência de calo po convecção numa supefície, Figua 4. Da Lei de Aefecimento de Newton, has ( ), deiva-se a esistência témica associada à convecção: (34) ha s 9

31 Condução e Convecção em imultâneo A utilização da analogia ente sistemas témicos e cicuitos elécticos é paticulamente útil em pocessos de tansfeência de calo envolvendo mais ue um mecanismo de tansfeência de calo. O caso mais simples seá o da tansfeência de calo ente dois meios sepaados po uma placa plana (Figua 4). Fluído uente,, h Fluído fio,, h Figua 4 ansfeência de calo po convecção e condução em simultâneo. (a) Distibuição de tempeatuas; (b) Análogo eléctico O análogo eléctico associado ao cicuito témico consideado apesenta-se na Figua 4(b). Do conhecimento de cada esistência témica envolvida é possível elaciona a difeença de tempeatuas com a taxa de tansfeência de calo ue atavessa o cicuito: 3

32 , s, ha s, s, L ka s,, 3 ha Po sua vez, a difeença de tempeatuas global é elacionada com a esistência témica euivalente e com a taxa de tansfeência de calo ue atavessa o cicuito:, -, e, com e 3 h A L ka h A Em sistemas compostos é po vezes conveniente tabalha com um coeficiente global de tansfeência de calo (U), definido po uma expessão análoga à Lei de Aefecimento de Newton: e UA (35) onde é a difeença global de tempeatuas e A é a áea de tansfeência de calo escolhida como efeência. Como é facilmente dedutível da euação anteio, o coeficiente global de tansfeência de calo elaciona-se com a esistência témica euivalente do cicuito: UA e (36) No caso do cicuito témico apesentado na Figua 4, o coeficiente global de tansfeência de calo calcula-se pela seguinte expessão: 3

33 UA e L h A ka h A U h L k h Deteminação do Coeficiente Global de ansfeência de Calo num Pemutado de Calo de ubos Concênticos Consideemos o poblema da tansfeência de calo ente dois fluídos num pemutado de calo de tubos concênticos (Figua 5). Fluído e, e, e Fluído i, i i e i e e i, i Figua 5 Pemutado de calo de tubos concênticos Assumindo ue o fluído se enconta a uma tempeatua supeio à do fluído, iá ocoe tansfeência de calo do fluído paa o fluído, havendo tês esistências témicas em séie envolvidas: a esistência à tansfeência de calo po convecção ente o fluído e a supefície intena do tubo, a esistência à tansfeência de calo po condução no tubo e a esistência à tansfeência de calo po convecção da supefície extena do tubo e o fluído. Este pocesso témico pode se epesentado pelo seu análogo eléctico: 3, i e, ecoendo à definição de esistência témica, é possível elaciona as difeenças de tempeatuas envolvidas com a taxa de tansfeência de calo ue atavessa o sistema: 3

34 , i h A i i i e ln i e π kl e, 3 h A e e A esistência témica euivalente, calcula-se do conhecimento das esistências témicas individuais: e 3 h i A i e ln i π kl h A e e Po sua vez, a taxa de tansfeência de calo pode-se calcula atavés do conhecimento da esistência témica euivalente ou do coeficiente global de tansfeência de calo: UA e Como efeido anteiomente, o coeficiente UA elaciona-se com a esistência témica euivalente: UA e h A i i e ln i π kl h A e e Note agoa ue, ao contáio do obsevado no sistema témico da Figua 4, o valo numéico do coeficiente global de tansfeência de calo depende da áea de 33

35 tansfeência de calo consideada. No caso em estudo A i A e, pelo ue podeemos obte dois valoes paa U: i) coeficiente global de tansfeência de calo baseado na áea intena (A A i ) U i h i e Ailn i π kl Ai h A e e ii) coeficiente global de tansfeência de calo baseado na áea extena (A A e ) U e Ae h A i i e Aeln i π kl h e esistência émica de Contacto Até agoa, na análise de paedes compostas, despezamos a ueda de tempeatua ue ocoe na inteface ente dois mateiais, ueda essa po vezes muito acentuada. Esta difeença de tempeatua é atibuída à chamada esistência témica de contacto, C, devida ao efeito da ugosidade das supefícies, ue oigina falhas peenchidas com a (Figua 6). 34

36 contacto L A L B falha Figua 6 Queda de tempeatua devido à esistência témica de contacto A taxa de tansfeência de calo pode se deteminada conhecendo o coeficiente de tansfeência de calo de contacto, h c, po uma euação simila a Lei de Aefecimento de Newton, válida paa a inteface ente os dois mateiais: h c ( ) A A B (37) Da definição de esistência témica obtém-se a expessão ue pemite calcula a esistência témica de contacto: h A A B C C c h A c (38) O análogo eléctico do pocesso témico da Figua 6 consiste em tês esistências em séie: A C B A B 3 35

37 onde L A A k A, L B B k A e C h A A B c e e ( A C B ) Outo ipo de esistências émicas Existem outos tipos de esistências témicas não mencionadas aui, ue podeão se petinentes na eficiência de um pocesso de tansfeência de calo. Po exemplo, a pesença de incustações em tubagens, como as utilizadas em casas paa auecimento. Estas tubagens, nomalmente pecoidas po água, possuem uma deteminada eficiência enegética uando novas. Com o tempo vão-se acumulando impuezas e a eficiência (tansfeência de calo) diminui devido ao apaecimento de uma esistência adicional: e i, i, e e i, e deposição de impuezas i e i, i i e, e, i I i e e, e Execício Duas baas cilíndicas de aço (k 6.3 W/mK) estão supotadas em duas supefícies a ºC e ºC (Figua 7). O diâmeto das baas é de 3 cm e o seu compimento é de cm. As duas baas são unidas po compessão à pessão de 5 atm, sendo o coeficiente de tansfeência de calo de contacto nestas condições de 894 W/m ºC. Calcule o débito axial de calo e a ueda de tempeatua na inteface das baas. 36

38 ºC 3 cm ºC cm cm Figua 7 ansfeência de calo ente duas supefícies atavés de duas baas cilíndicas compimidas ente si esolução A melho foma de calcula a taxa de tansfeência de calo,, ue atavessa o sistema, uma vez ue se conhecem as tempeatuas nas suas extemidades, é atavés do cálculo da esistência témica euivalente, e da sua elação com : e Assim, começamos po considea o análogo eléctico do cicuito témico (tês esistências em séie, à condução em cada uma das baas e de contacto ente as baas): C ºC ºC A esistência témica euivalente é dada po e C. Calculemos as esistências témicas envolvidas: 37

39 L ka π ( ) K/W C h C A π 894 ( 3 ) K/W L ka π ( ) K/W e K/W A taxa de tansfeência de calo pode agoa se calculada: e 8.5 ( ) 5.5 W Paa obte a ueda de tempeatua na inteface das baas, usa-se a esistência témica de contacto: ( ) C C º C C.6. Condução em istemas com Geação Intena de Enegia Até agoa lidamos apenas com poblemas em estado estacionáio em sistemas sem geação intena de enegia. Queemos agoa considea poblemas em ue existe geação de enegia no inteio do sistema. Exemplos típicos são a geação de calo em esistência elécticas (efeito de Joule) ou uma eacção uímica exotémica num meio homogéneo. amos de seguida analisa algumas situações. 38

40 Placa Plana com Geação Homogénea de Enegia Consideemos a placa plana esuematizada na Figua 8, com geação homogénea de enegia po unidade de volume, áea de tansfeência de calo A e supefícies mantidas à tempeatua. Figua 8 Condução de calo numa placa plana com geação homogénea de enegia e condições fonteia siméticas Devido à geação homogénea de calo e às condições fonteia siméticas, a distibuição de tempeatuas apesenta simetia sobe o eixo cental da placa ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) e ; em paticula, paa x,. amos defini como o débito de enegia geada po unidade de volume (W/m 3 ) e ealiza um balanço de enegia em estado estacionáio a um elemento de volume da placa de espessua : v A x x x x x x x x A A 39

41 x d x x uando Lim A A (39) Aplicando a Lei de Fouie x ka à expessão anteio, obtém-se uma euação difeencial odináia de ª odem ue caacteiza o poblema: d ka d v A k (4) Esta euação pode se esolvida em odem a de foma a obte a distibuição de tempeatuas na placa. Como condições fonteia (CF) podemos considea as seguintes: CF: x, (condição de simetia) CF: x L, Po integação da euação (4), obtém-se a solução geal do poblema: x Cx k C (4) Das condições fonteia: C C L k ubstituindo C e C na solução geal, obtém-se a distibuição de tempeatuas, ue é a solução paticula do poblema: 4

42 k ( L x ) (4) Obtém-se um pefil paabólico com simetia sobe o eixo x, onde ocoe a tempeatua máxima: L (43) k ubstituindo da euação anteio na euação (4), obtém-se uma expessão ue combinada novamente com a euação (4), pemite obte a distibuição de tempeatuas com a seguinte apesentação altenativa: x L (44) A taxa de tansfeência de calo pode se calculada em ualue ponto da placa, substituindo a euação (4) na Lei de Fouie paa a condução. Note ue, ao contáio do ue sucede em poblemas sem geação intena de enegia, a taxa de tansfeência de calo em poblemas com geação de enegia não é independente de x. Placa Plana com Geação Não Homogénea de Enegia Consideemos agoa uma placa plana, exactamente com as mesmas caacteísticas ue a apesentada na Figua 8, mas com geação não homogénea de enegia. upo ue o débito de enegia geada po unidade de volume vaia com a tempeatua de acodo com a elação apesentada na Figua 9. 4

43 .. ( ) [ β( )] Figua 9 Dependência do débito de enegia geada po unidade de volume com a tempeatua Do balanço de enegia em estado estacionáio obtém-se a euação difeencial odináia de ª odem, deduzida anteiomente, euação (4): d v k (4) Esta euação pode se esolvida em odem a de foma a obte a distibuição de tempeatuas na placa. Como condições fonteia (CF) podemos considea novamente as seguintes: CF: x, (condição de simetia) CF: x L, A difeença deste poblema paa o da placa plana com geação homogénea de enegia, eside no facto de a esolve toma o seguinte aspecto: vaia com a tempeatua, pelo ue a euação difeencial 4

44 43 ( ) [ ] β k d v (45) Paa esolve esta euação é útil considea a seguinte mudança de vaiável: θ > d θ d (46) Intoduzindo a nova vaiável na euação (45) obtém-se a seguinte euação: βθ k k θ d v (47) sujeita às condições fonteia: CF: x, dθ CF: x L, θ Paa esolve a euação (47), consideemos uma nova mudança de vaiável: v θ d β k φ d dθ β k dφ βθ k k φ Intoduzindo a nova vaiável na euação (47) e consideando β k α, obtém-se a seguinte euação:

45 d φ αφ (48) sujeita às condições fonteia: dφ CF: x, CF: x L, θ k A euação (48) é uma euação difeencial odináia de ª odem homogénea, ue se pode esolve po deteminação das aízes da sua euação caacteística: λ α λ ± αi Pelas elações de Eule obtém-se a solução geal do poblema: ( αx) C sen( αx) φ C cos (49) Das condições fonteia, obtém-se C e C : C C cos ( αl) ubstituindo C e C na solução geal, encontamos a solução paa ϕ: 44

46 φ k cos cos ( αx) ( αl ) (5) Intoduzindo as vaiáveis oiginais, obtém-se a solução paticula do poblema: v φ k k β cos ( ) ( αx) - k cos( αl ) cos( αx) - β cos( αl ) (5) A solução paticula apesenta um pefil paabólico com simetia sobe o eixo x, onde ocoe a tempeatua máxima: (5) β cos( αl ) ubstituindo da euação anteio na euação (5), obtém-se uma expessão ue combinada novamente com a euação (5), pemite deduzi a distibuição de tempeatuas com a seguinte apesentação altenativa: cos cos ( αx) ( αl) (53) Cilindo com Geação Homogénea de Enegia Existem váias situações em ue ocoe geação de calo em sistemas de geometia adial. Considea po exemplo um fio conduto de electicidade (Figua ). 45

47 Fluído fio, h d d Figua Condução num cilindo com geação homogénea de enegia Em condições de estado estacionáio, a taxa global de geação de calo no cilindo deve iguala a taxa de calo libetada po convecção paa um fluído adjacente ao cilindo. Esta condição pemite mante a supefície do cilindo a uma tempeatua constante. Paa detemina a distibuição de tempeatuas no cilindo, vamos ealiza um balanço de enegia em estado estacionáio ao elemento de volume de espessua d epesentado na Figua : d d onde d πdl d π L d d d uando d Lim π L π L d d d Aplicando a Lei de Fouie ka kπ L à euação anteio, d d obtém-se uma euação difeencial odináia de ª odem ue caacteiza o poblema: 46

48 kπ d L d d d v π L d d k (54) Esta euação pode se integada de foma a obte a distibuição de tempeatuas no cilindo. Como condições fonteia podemos considea as seguintes: CF:, CF:, s π L (o calo geado é libetado po convecção) A euação (54) pode se esolvida pelo método de sepaação de vaiáveis, obtendo-se a seguinte solução: d k C epetindo o pocedimento, obtém-se a solução geal do poblema: Cln 4k C (55) Das condições fonteia, detemina-se C e C : C C 4k ubstituindo C e C na solução geal, obtém-se a distibuição de tempeatuas, ue é a solução paticula do poblema: 47

49 ( ) 4k (56) A solução obtida apesenta um pefil paabólico com simetia sobe o eixo, onde ocoe a tempeatua máxima: (57) 4k ubstituindo da euação anteio na euação (56), obtém-se uma expessão ue, combinada novamente com a euação (56), pemite obte a distibuição de tempeatuas com a seguinte apesentação altenativa: (58) A taxa de tansfeência de calo pode se calculada em ualue ponto do cilindo, substituindo a euação (57) na Lei de Fouie paa a condução. Condução com Geação de Enegia Nuclea po uma Fonte de Foma Esféica A metodologia estudada anteiomente paa deduzi as distibuições de tempeatuas em placas e cilindos com geação de enegia, pode se estendida a poblemas mais complexos. Considea um sólido esféico com geação de enegia evestido po uma camada de isolante (Figua ). isolante geação de enegia Figua Condução com geação de enegia nuclea po uma fonte de foma esféica 48

50 upo ue o débito de enegia geada po unidade de volume na zona de geação de enegia não é homogéneo e ue vaia com o aio da esfea de acodo com a seguinte elação: β amos ealiza um balanço de enegia em estado estacionáio a um elemento de volume da esfea de espessua d: d d d d onde d 4π d d 4π d d d uando d Lim 4π 4π d d d (59) Na zona isolante não existe geação de calo, pelo ue, como estudado em poblemas de condução de calo em esfeas em estado estacionáio: d d (8) 49

51 Paa detemina a distibuição de tempeatuas na esfea (zona de geação de enegia e zona isolante) é necessáio esolve as euações (59) e (8), podendo-se considea as seguintes condições fonteia (CF): Zona de Geação de Enegia CF:, é finito d (caso contáio haveia uma descontinuidade em ) CF:, (o calo ue sai da zona de geação de enegia enta na zona isolante) Zona Isolante CF3:, (a tempeatua na inteface zona de geação de enegia/zona isolante é ) CF4:, Na zona de geação de enegia: ka 4kπ d d 4kπ d d 4π d d d d v k d d d k β k β 4 Integando a euação anteio obtém-se: d k 3 3 β 5 C 5

52 5 Da condição fonteia CF, paa d se finito, necessaiamente C. 3 5 β 3 k d (6) Zona de Geação de Enegia Na zona isolante: C d C d d d d d d Da condição fonteia CF, como, obtém-se: 5 β 3 k C C k 5 β 3 d A k d ka I 3 I I I 3 k 5 β 3 d (6) Zona Isolante Integando agoa esta euação e aplicando a condição fonteia CF4 obtém-se a distibuição de tempeatuas na zona isolante: I 3 5 β 3 3k (6) Zona Isolante

53 5 Integando a euação (6), obtém-se a solução geal da distibuição de tempeatuas na zona de geação de enegia: C β 6 k 5 β 3 k d Po aplicação da condição fonteia CF3 (, ) às euações anteioes, obtém-se a distibuição de tempeatuas na zona de geação de enegia: I β 3 3k C β 6 k I 3 3 β 6 k 5 β 3 3k C 4 I 3 3β 6k 5 3β 3k - Zona de Geação de Enegia (63)