No sistema de coordenadas cilíndricas, dado que a geometria a ser estudada é um anular, a equação 2-2 se torna:

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1 2 F o m u la çã o M a te m á tica Neste capítulo seão apesentadas as equações que govenam o pob lema físico: E quações clássicas de consevação de massa e de quantidade de movimento, de fação volumética e equações constitutivas paa os fl uidos não new tonianos. P aa as equações supa-citadas foam adotadas as seguintes h ipóteses: - F luidos incompessíveis; - E scoamento lamina; - E scoamento isotémico; - D issipação viscosa despez ível; - S imetia. A s equações de consevação utilizadas na mecânica dos fl uidos são aplicadas sempe a patículas fl uidas. E stas podem se defi nidas como uma pequena massa de fl uido, de identidade fi x a, de volume infi nitesimal δv. A s equações que govenam o pob lema são descitas a segui: 2.1 E q u a çã o d e C o n se v a çã o d e M a ssa P o defi nição de consevação de massa, entende-se que paa um dado volume de contole, a soma da tax a líquida de fl ux o de massa que cuza a supefície de contole com a tax a de vaiação de massa dento desse volume de contole é nula. E ssa defi nição pode se ex pessa pela equação: ρ t onde ρ é a densidade, v é o veto velocidade. +.(ρ v ) = 0 (2-1 ) C onsideando as h ipóteses de fl uido incompessível em todo o domínio, a equação acima se tona simplesmente. v = 0 (2-2 )

2 Capítulo 2. Fomulação Matemática 32 No sistema de coodenadas cilíndicas, dado que a geometia a se estudada é um anula, a equação 2-2 se tona: 1 (v ) + 1 v θ θ + v z z = 0 (2-3) 2.2 Equação de Consevação de Q uantidade de Movimento L inea A equação de consevação de quantidade de movimento linea (2 a lei de Newton) expessa que o somatóio das foças extenas é igual ao poduto da massa pela aceleação. Po unidade de volume, tem-se que: onde D v D t ρ D v d t =.T + ρ g (2-4 ) é a aceleação. T é o tenso das tensões, que pode se escito como: T = pi + τ (2-5 ) sendo que I é a matiz identidade, p é a pessão e τ é o tenso exta-tensão, que epesenta a pate viscosa do tenso das tensões que cai a zeo após o cessa do movimento. O compotamento mecânico dos mateiais é descito pela equação constitutiva, que elaciona a tensão com a cinemática. Neste tabalho, os fluidos foam modelados como fluido newtoniano e não newtoniano pelas equações de Fluido Newtoniano Genealizado - FNG (B id et al )[2], dado po: τ = η( γ) γ (2-6 ) γ = v + v T (2-7 ) γ γ = 1 2 t( γ2 ) (2-8 ) onde η é a função viscosidade, γ é o tenso taxa de defomação e γ a intensidade da taxa de defomação. Paa fluidos newtonianos a função viscosidade é constante η( γ) = µ, onde µ é a viscosidade absoluta.

3 Capítulo 2. Fomulação Matemática 33 Expandindo a equação de consevação de quantidade de movimento em coodenadas catesianas temos: ρ( v t +v v +v θ v θ v2 θ +v v z z ) = p [1 (τ ) + 1 τ θ θ + τ z z τ θθ ]+ρg (2-9) ρ( v θ t +v v θ +v θ v θ θ +v v θ +v v θ z z ) = 1 p θ [ 1 ( 2 τ θ ) τ θθ θ + τ zθ z +τ θ τ θ ]+ρg θ (2-10) ρ( v z t + v v z + v θ v z θ + v v z z z ) = p z [1 (τ z ) + 1 τ θz θ + τ zz z ] + ρg z (2-11) Nas equações , ρ é a densidade do fluido, p/ x, p/ y e p/ z são os componentes catesianos do gadiente de pessão. Os componentes do tenso exta-tensão são: τ = 2η( γ)( v ) (2-12) τ θθ = 2η( γ)( 1 v θ θ + v ) (2-13) τ zz = 2η( γ)( v z z ) (2-14) τ θ = τ θ = η( γ)( (v θ ) + 1 v θ ) (2-15) τ z = τ x = η( γ)( v z + v z ) (2-16) τ θz = τ zθ = η( γ)( 1 v z θ + v θ z ) (2-17) Paa obte as tês equações completas de consevação de quantidade de movimento basta substitui as equações 2-12 a 2-17 em 2-9 a A dimensionaliz ação A fim de essalta alguns paâmetos que, de ceta foma, tem maio impotância no poblema, fêz-se uma adimensionalização das pincipais

4 Capítulo 2. Fomulação Matemática 34 vaiáveis pesentes na equação de consevação de massa e de quantidade de movimento, ainda no fomato vetoial. A pati deste pocesso sugem natualmente os paâmetos adimensionais que govenam o poblema. Escolheu-se o diâmeto hidáulico Dh, a velocidade na entada ve e a viscosidade do fluido não newtoniano η c como o compimento, velocidade, e viscosidade caacteísticas, espectivamente. ρ v t + v v x = v (η x x ) p x + ρ g + S (2-18) Na equação acima, S é o temo fonte associado à tensão supeficial, dado pela expessão abaixo: S = σ ρκ i α i 0.5(ρ i + ρ j ) G andezas a seem adimensionalizadas: x = x Dh t = v.t L (2-19) (2-20) (2-21) v = v v e (2-22) η = η η c (2-23) p = p ρv 2 e Substituindo as gandezas acima na equação 2-18 temos: (2-24) ρ v2 e v L t + ρ v2 e v v Dh x = η c.v e 1 v Dh 2 (η x x ) ρv2 e p Dh x + ρ g + σ ρκ i α i 0.5(ρ i + ρ j ) (2-25) Na equação acima, κ é a cuvatua da supefície geada pela inteface ente os fluidos, que é dada pelo divegente do veto unitáio nomal à supefície, ou seja κ =.ˆn. Dividindo a equação 2-25 po ρ v2 e Dh e definindo que κ i = κ i Dh e

5 Capítulo 2. Fomulação Matemática 35 ( α i ) = α i Dh, onde o índice i diz espeito a cada fase, temos: Dh L v v + v t x = η c 1 v (η ρv e Dh x x ) p x + Dh g + v 2 e σ ρv 2 edh κ i ( α i ) (2-26) Analisando a equação 2-26, pode-se extai os paâmetos adimensionais que govenam o poblema. São eles: R azão de aspecto = Dh L (2-27) Númeo de R ey nolds = R e = ρv edh η c (2-28) Númeo de Foude = F 2 = v2 e gdh Númeo de W ebe = W e = ρv2 edh σ (2-29) (2-30) Númeo de Capilaidade = C a = W e R e = η cv e σ (2-31) Na equação de consevação de massa a adimensionalização é tivial e pode se obsevada na equação 2-32, não oiginando nenhum paâmeto adimensional..v = 0 (2-32) 2.4 Funções V iscosidade Divesos modelos difeentes paa as funções viscosidade descevem bem o compotamento viscoplástico dos fluidos eais. Nesse tabalho seão utilizados somente dois deles: - 1. M odelo de C aeau Esse modelo epesenta de foma bastante satisfatóia fluidos que apesentam dois patamaes newtonianos de viscosidade, um a baixas taxas de defomação e outo a altas taxas. Ente estes patamaes, a viscosidade decesce com a taxa de cisalhamento, segundo uma lei de potência. η = η + (η 0 η )[1 + (λ γ) 2 ] n 1 2 (2-33)

6 Capítulo 2. Fomulação Matemática 36 onde, η é a viscosidade a altas taxas de defomação;η 0 é a viscosidade a baixas taxas de defomação; λ é uma constante com dimensão de tempo que fisicamente indica a faixa de tansição a pati da qual a viscosidade deixa o patama constante e começa a diminui e n é o índice powe-law. O compotamento da viscosidade com a taxa de cisalhamento paa o modelo de Caeau pode se visto na figua 2.1. Figua 2.1: Função V iscosidade - Caeau

7 Capítulo 2. Fomulação Matemática Modelo de Heschel-Bulkley Esse modelo pemite a epesentação matemática da tensão limite de escoamento. Em baixas taxa de defomação, sua viscosidade tende a infinito. A altas taxas ele se compota como um mateial cuja viscosidade segue uma lei de potência. A função viscosidade é dada po: η = { τo γ γn 1, se τ > τ o ;, caso contáio. (2-34) A fim de evita poblemas numéicos devido à singulaidade da função, seá adotado um tuncamento no valo da viscosidade, definindo-se paa esta um valo máximo, que ocoe quando no fluido é aplicada uma tensão meno que a tensão limite de escoamento. Nesta equação, τ 0 é a tensão limite de escoamento; k é o índice de consistência e n é o índice powe-law. O compotamento da viscosidade pelo modelo H eschel-bulk ley se enconta na figua 2.2. Figua 2.2: Função Viscosidade - Heschel-Bulkley

8 Capítulo 2. Fomulação Matemática S tandoff U m paâmeto comumente usado paa desceve a excenticidade de um espaço anula é o standoff (ST O). Ele pode se definido pela equação 2-35 e obsevado na figua 2.3: Figua 2.3: Excenticidade ST O = χ = c Do Di 2 2 = 2c Do Di (2-35) Na equação acima, c epesenta a meno folga existente no espaço anula. Do e Di são os diâmetos do tubo exteno e inteno espectivamente. Q uando tivemos χ = 0, significa que a excenticidade é máxima. Po outo lado, se χ = 1 temos a situação de cilindos concênticos.

9 Capítulo 2. Fomulação Matemática T ensão Sup efi cial A impotância da tensão supeficial pode se deteminada baseada em uma das duas gandezas adimensionais a segui: Númeo de capilaidade (Ca), se Re 1; Númeo de Webe (W e), se Re 1. As espectivas definições destes paâmetos adimensionais são dados pelas seguintes equações: Ca = η v σ (2-36) W e = ρ v2 Dh σ (2-37) Nas equações acima, ρ é a densidade do fluido; η é a viscosidade do fluido paa o caso geal não newtoniano; v é a velocidade média do escoamento; Dh é o Diâmeto hidáulico paa espaços anulaes = Do Di = diâmeto inteno do cilindo exteno - diâmeto exteno do cilindo inteno; σ é tensão supeficial ente fluidos. W e 1. Os efeitos de tensão supeficial podem se despezados se Ca 1 ou 2.7 Condições de Contono Ao cia a geometia no pogama Gambit, deve-se defini as condições de contono paa cada uma das 6 faces, já que, no caso, a malha é ti-dimensional. No FL UENT, essas condições podem se alteadas ou apimoadas. Na figua 3.2 vemos um esquema da geometia na configuação χ = 0,5, com as indicações das condições de contono utilizadas. São elas: Entada - Velocidade pescita com pefil unifome - v z (, θ, 0) = v e ; v (, θ, 0) = 0 ; v θ (, θ, 0) = 0 ; A condição de entada detemina que a velocidade é unifome e nomal à supefície de entada. Paa cada vazão o valo médio da velocidade na entada ea modificado no painel de condições de contono do FL UENT, de acodo com os valoes da tabela 4.1. S aída - Difusão despezível na saída - v/ z(, θ, L) = 0 ;

10 Capítulo 2. Fomulação Matemática 40 A condição na saída implica que o fluxo difusivo de todas as vaiáveis na dieção do escoamento seja nula, ou seja, que o escoamento esteja localmente desenvolvido. Esse condição pode paece uma imposição fote paa esse poblema. No entanto, a egião de inteesse se enconta a uma distância suficiente gande paa que os efeitos na saída não afetem o esultado, no caso o fomato da inteface obsevado. Paede - Não-deslizamento - v z (paede, z) = 0; e Impemeabilidade - v (paede, z) = 0 ; Como condição de paede, consideou-se o não-deslizamento e a impemeabilidade. Nesse item também é deteminado o ângulo de contato ente os fluidos e a paede, paa efeitos de tensão supeficial. O valo deteminado foi de 90 o. Sim etia O plano de simetia é usado quando o escoamento e a geometia têm um padão que pode se espelhado. 2.8 Condições Iniciais Como condições iniciais, consideou-se que em t 0, o fluido a se deslocado ocupa todo o inteio do domínio computacional em epouso (v = v θ = v z = 0). No instante inicial, t > 0, o fluido deslocado é instantaneamente bombeado e cuza a supefície de entada com velocidade pescita pela condição de contono descita acima.