Fluido Perfeito/Ideal Força Exercida por um Escoamento Plano em Torno de um Sólido Potencial complexo do escoamento em torno de um cilindro

Transcrição

1 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Potencial compleo do escoamento em tono de um cilindo a W elocidade complea a i Na supefície do cilindo ae sen( ) eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Foças aplicadas nas diecções e podem se obtidas integando a distibuição supeficial de pessão F ( ) ad F psen( ) ππ ππ p cos ad Pela equação de Benoulli p po ρ po ρ sen ( ) Paa um cilindo num escoamento unifome tem-se F F

2 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Potencial compleo W - elocidade complea a a Γ i ln π ( ) Γ i π eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação a Γ i π Γ i 4π ± a Γ 4πa

3 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação Γ i. Γ < 4πa 4π ± a Γ 4πa - Dois pontos de estagnação com a mesma pate imagináia e pates eais siméticas, menoes que a eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação Γ i. Γ 4πa 4π ± a Γ 4πa - Um ponto de estagnação (aí dupla) no eio imagináio em i a

4 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ - Pontos de estagnação Γ i 3. Γ > 4πa 4π ± a Γ 4πa - Dois pontos de estagnação no eio imagináio. Um abaio de i a e outo no inteio do cilindo eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ. Γ

5 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ. Γ < 4πa eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ. Γ 4πa

6 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Escoamento em tono de um cilindo cicula com ciculação Γ 3. Γ > 4πa eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Fluido Pefeito Fluido Real. Γ

7 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Fluido Pefeito Fluido Real. Γ < 4πa Fluido Real eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Fluido Pefeito Fluido Real. Γ 4πa

8 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Fluido Pefeito Fluido Real 3. Γ > 4πa eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Potencial compleo do escoamento em tono de um cilindo a Γ W i ln( ) ππ elocidade complea a Γ i π i Na supefície do cilindo ae sen ( ) Γ πa

9 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Foças aplicadas nas diecções e podem se obtidas integando a distibuição supeficial de pessão F ( ) ad F psen( ) ππ ππ p cos Pela equação de Benoulli Γ p po ρ po ρ sen( ) πa Paa um cilindo com ciculação num escoamento unifome tem-se ρ Γ F F ad eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Blasius Considee-se um copo de foma abitáia em escoamento pemanente d F pds C Foças aplicadas ao copo são esultado da distibuição de pessão na supefície do copo, C

10 C eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano ds Teoema de Blasius df pd d d df df df pd i df pd i pd df df ( ) i df p d i d ( ) i p df i df i p d i d Utiliando a equação de Benoulli e tendo em atenção que o integal ao longo de um contono fechado de um valo constante (p o ) não contibui paa a foça, tem-se F i F i p c ρ i c eodinâmica Momento Eecido po um Escoamento Plano Teoema de Blasius Considee-se um copo de foma abitáia em escoamento pemanente df b dm o bdf bpds C Momento aplicado ao copo é esultado da distibuição de pessão na supefície do copo, C

11 eodinâmica Momento Eecido po um Escoamento Plano C ds c Teoema de Blasius dm df d d df dm o pd df pd df dm ( ) o p d d ( ) dm o pr Utiliando a equação de Benoulli e tendo em atenção que o integal ao longo de um contono fechado de um valo constante (p o ) não contibui paa a foça, tem-se M R( ) R p ρ c o eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski Considee-se a aplicação do teoema de Blasius ao caso de um escoamento unifome no infinito, U i em tono de um copo de foma abitáia F i F ρ i c Desenvolvendo em séie de Lauent n n... n...

12 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski No infinito,, a velocidade é imposta, donde n U i n... eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski Tomando como contono de integação uma cicunfeência de aio R muito supeio às dimensões do copo e tendo em atenção que não eistem singulaidades ente a supefície do copo e o contono C 3 [ ] Q i Γ Μ U i O R π

13 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski 3 [ ] Q i Γ Μ U O i R π Q é o somatóio das intensidades das linhas de fontes e poços no inteio do contono C Γ é o somatóio das intensidades das linhas de vótice no inteio do contono C Μ epesenta o momento compleo esultante das linhas de dipolos no inteio do contono C eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski função integanda da equação de Blasius é... B B B... B B B...

14 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski Pelo teoema dos esíduos tem-se c i B 4 i Compaando... com Q i Γ U i µ O R π π π 3 [ ] eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano c Teoema de Kutta-Joukowski 4π i U i Q i Γ π ( U i ) Q i Γ π

15 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski Substituindo na fómula de Blasius F i F ρ i c ρ ( U i )( Q i Γ) ou seja F F ρu ρu Q ρ Γ Γ ρ Q eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski Pojectando o vecto foça nas diecções paalela e pependicula à diecção do escoamento não petubado (em ) obtem-se U F F D F U F L ρ ρ Q Γ

16 eodinâmica Foça Eecida po um Escoamento Plano Teoema de Kutta-Joukowski D ρ Q L ρ Γ Em escoamento potencial, um copo finito imeso num escoamento unifome tem: - Foça de esistência (D) nula - Foça de sustentação (L) popocional à ciculação(γ) - s foças de esistência e sustentação são independentes da foma do copo eodinâmica Momento Eecido po um Escoamento Plano Fómula de Blasius M como R( ) R p ρ c c c Q iγ π i π ( U i ) Μ

17 eodinâmica Momento Eecido po um Escoamento Plano QΓ M ρ π QΓ iα M ρ R[ i πρu Μe ] π em que α é o ângulo ente e o eio πρ[ UI( Μ) R( Μ) ] Em notação vectoial QΓ M ρ πρ Μ π depende da foma do copo devido a Μ M eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento incompessível e iotacional obedece à equação com Condição de fonteia numa paede sólida n n

18 eodinâmica Coodenadas Catesianas Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível ( ),, Coodenadas Cilíndicas ( ),, W U,, W,, eodinâmica Coodenadas Esféicas Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível ( ) ϕ,, ( ) sen ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ sen,, sen sen sen

19 eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Singulaidades Fonte/poço pontual c c e Escoamento com linhas de coente adiais c,, ϕ Caudal que atavessa uma esfea de aio c 4 Q nds π S donde Q c 4π eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Singulaidades Função potencial de uma fonte(q>)/poço(q<) pontual Q 4π ϕ

20 eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Dipolo pontual - Pa fonte/poço a tendeem paa o mesmo ponto ao longo do segmentolcom intensidades siméticas a tende paa infinito Função potencial em P P Q 4π Q l cos( ) Poço Fonte 4π l No limite quando l, Q µ cos( ) 4π eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Singulaidades Função potencial de um dipolo pontual ( ) µ cos 4π µ é a intensidade do dipolo - é a oientação do dipolo µ cos( ) µ sen( ),, 3 π 4π 3 ϕ µ ϕ

21 eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento em tono de uma esfea Sobeposição de um escoamento unifome oientado com o sentido negativo do eio com um dipolo na oigem do efeencial alinhado com o eio e de intensidade R 3 µ π - Escoamento unifome cos( ) sen ϕ ( ) ϕ eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento em tono de uma esfea elocidade ao longo da esfea de aio R 3 πr cos ( ) ( ) cos 3 π R 3 πr sen ( ) ( ) 3 sen sen( ) 3 4π R ϕ Só eiste componente na supefície da esfea de aio R. Logo, a função potencial obtida da soma de um escoamento unifome com um dipolo pontual epesenta o escoamento em tono de uma esfea de aio R

22 eodinâmica Escoamento Ti-dimensional, Iotacional e Incompessível Escoamento em tono de uma esfea Distibuição de pessão na supefície da esfea C p em gaus Esfea Cilindo C p p p ρρ p ρ ct C p 9 C p sen 4 e ( )