Eletromagnetismo Aplicado

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1 Eletomagnetismo plicado Unidade 1 Pof. Macos V. T. Heckle 1

2 Conteúdo Intodução Revisão sobe álgeba vetoial Sistemas de coodenadas clássicos Cálculo Vetoial

3 Intodução Todos os fenômenos eletomagnéticos são eplicados pelas equações de Mawell: Lei de Faada: E t Lei de mpèe: H D t Lei de Gauss: D e Lei de Gauss (Magnetismo): m M J 3

4 Intodução onde: E H D : intensidade de campo elético (V/m) : intensidade de campo magnético (/m) : densidade de fluo elético (Coul/m ) : densidade de fluo magnético (Wb/m ) M J : densidade de coente magnética (V/m ) : densidade de coente elética (/m ) e m : densidade volumética de caga elética (Coul/m 3 ) : densidade volumética de caga magnética (Wb/m 3 ) 4

5 Intodução Paa tabalha com as equações de Mawell, é necessáio conhece: Álgeba vetoial Sistemas de coodenadas clássicos: catesiano, cilíndico e esféico Opeadoes vetoiais paa os sistemas de coodenadas clássicos 5

6 Álgeba Vetoial Classificação das gandeas: Escala: gandea que só é medida po uma magnitude (ou amplitude). Veto: gandea que é descita po uma magnitude e uma oientação espacial. Campo: gandea que é descita em qualque ponto de uma egião. Um campo pode se escala (distibuição do potencial elético em uma egião) ou vetoial (campo elético em uma dada egião). 6

7 Álgeba Vetoial Repesentação vetoial: Um veto é epesentado em um sistema de coodenadas tidimensionais genéico a pati de suas componentes dadas em cada uma das tês dieções. Matematicamente: ˆ 1 1 ˆ ˆ a 3a 3 a 7

8 Álgeba Vetoial Repesentação vetoial: No caso do sistema de coodenadas catesiano: ˆ ˆ ˆ ˆ ẑ ˆ ˆ ŷ ˆ ˆ ˆ ˆ 8

9 Álgeba Vetoial Veto unitáio: a mesma de. Dado um veto. Um veto unitáio é definido como um veto cuja magnitude é 1 e a oientação é Matematicamente: onde ˆ ˆ a ˆ e a 9

10 Álgeba Vetoial Veto unitáio: Potanto: a ˆ ˆ ˆ 10

11 Álgeba Vetoial Soma e subtação de vetoes: Geometicamente: C C D D ( ) 11

12 Álgeba Vetoial Soma e subtação de vetoes: Matematicamente: 1 C D C ˆ ) ( ˆ ) ( ) ˆ ( D ˆ ) ( ˆ ) ( ) ˆ (

13 Álgeba Vetoial Soma e subtação de vetoes: soma e a subtação de vetoes satisfaem as seguintes popiedades: Comutativa: ssociativa: ( ) C ( C) Distibutiva: k( ) k k 13

14 Álgeba Vetoial Multiplicação de vetoes: Poduto escala: O poduto escala ente dois vetoes e é definido geometicamente como o poduto das magnitudes de e e do cosseno do ângulo ente eles. Matematicamente: ou cos 14

15 Álgeba Vetoial Multiplicação de vetoes: Poduto escala: O esultado dessa opeação é uma gandea escala. Se os vetoes e são otogonais, então 0. Popiedades: Comutativa: Distibutiva: ( C) Popiedade do módulo: C 15

16 Álgeba Vetoial Multiplicação de vetoes: Poduto vetoial: O poduto vetoial ente dois vetoes e tem como esultado uma gandea vetoial cuja magnitude é a áea do paalelogamo fomado po e. oientação do veto é nomal ao paalelogamo e o sentido de apontamento é dado pela ega da mão dieita. sen n ˆ 16

17 Álgeba Vetoial Multiplicação de vetoes: Poduto vetoial: ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( paalelogamo fomado po e ) ˆ 17

18 Álgeba Vetoial Multiplicação de vetoes: Popiedades do poduto vetoial: Popiedade anticomutativa: popiedade associativa não é satisfeita: Popiedade distibutiva: 18 C C ) ( C C ) ( ) (

19 Álgeba Vetoial Multiplicação de vetoes: Podutos tiplos: Poduto escala tiplo (cálculo de volumes): Poduto vetoial tiplo: 19 ) ( ) ( ) ( C C C ) ( ) ( ) ( C C C C C C C ) (

20 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistemas de Coodenadas: Sistema de coodenadas catesiano ẑ P (,,) ˆ ŷ Localiação de um ponto P Compimento difeencial: dl d ˆ d ˆ d ˆ Vesoes do sistema Catesiano no ponto P 0

21 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Cilíndicas: Localiação de um ponto P: P (ρ,ϕ,) ẑ ˆ ϕ ρ ϕ ρ ˆ 1

22 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Cilíndicas: Repesentação vetoial: ˆ ˆ ˆ Limites das coodenadas: 0 0 dl Compimento difeencial: d ˆ d ˆ d ˆ

23 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Cilíndicas: Relação com o sistema catesiano: Utiliando tigonometia: Cat Cil. Cil. Cat. P (,,) = P (ρ,ϕ,) ϕ ρ actan cos sin 3

24 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Cilíndicas: Relação com o sistema catesiano: Tansfomação de vetoes ente os sistemas catesiano e cilíndico Cat Cil. Cil. Cat. cos sin cos sin sin cos sin cos 4

25 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Esféicas: Localiação de um ponto P: θ P (,ϕ,θ) ˆ ˆ ˆ ϕ ϕ 5

26 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Esféicas: Repesentação vetoial: ˆ ˆ ˆ Limites das coodenadas: Compimento difeencial: dl d ˆ d ˆ sin dˆ 6

27 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Esféicas: Relação com o sistema catesiano: Utiliando tigonometia: θ ϕ ρ P (,,) = P (ρ,ϕ,) Cat Esf. actan Esf. Cat. sin cos sin sin cos actan 7

28 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Esféicas: Relação com o sistema cilíndico: Utiliando tigonometia: Cil. Esf. Esf. Cil. P (,,) = P (ρ,ϕ,) θ ϕ ρ actan sin cos 8

29 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Esféicas: Relação com o sistema catesiano: Tansfomação de vetoes ente os sistemas catesiano e esféico Cat Esf. sin cos cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin 9

30 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Esféicas: Relação com o sistema catesiano: Tansfomação de vetoes ente os sistemas catesiano e esféico Esf. Cat. sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin 30

31 Sistemas de Coodenadas Clássicos Sistema de Coodenadas Esféicas: Relação com o sistema cilíndico: Tansfomação de vetoes ente os sistemas esféico e cilíndico Esf. Cil. Cil. Esf. sin cos sin cos cos sin cos sin 31

32 Cálculo Vetoial Áeas difeenciais: Sistema de coodenadas catesianas d ẑ d d d ŷ ˆ d d Áeas difeenciais: ds ds ds d d ˆ d d ˆ d d ˆ 3

33 Cálculo Vetoial Áeas difeenciais: Sistema de coodenadas cilíndicas ds dρ ρ dϕ ẑ d d ˆ d ˆ ds ρ dϕ d d ˆ ds ˆ d dρ d d ˆ 33

34 Cálculo Vetoial Volume difeencial: Sistema de coodenadas catesianas d d d Volume difeencial: dv d d d 34

35 Cálculo Vetoial Volume difeencial: Sistema de coodenadas cilíndicas Volume difeencial: dρ d dv d d d ρ dϕ 35

36 Cálculo Vetoial Áeas e volume difeenciais: Sistema de coodenadas esféicas Áeas difeenciais: ds sin d d ˆ ds sin d dˆ ds d d ˆ Volume difeencial: dv sin d d d 36

37 Cálculo Vetoial Integal de linha: integal de linha dl L é definida como a integal da componente tangencial do campo vetoial ao longo da cuva L. Realiando-se o poduto escala, pode-se esceve: dl b L a cos dl b Caminho L a dl cos 37

38 Cálculo Vetoial Integal de linha fechada: integal de linha dl L é definida como a integal de linha fechada quando o caminho L foma uma cuva fechada. Caminho L dl cos 38

39 Cálculo Vetoial Integal de supefície: Uma integal de supefície é definida po ds S S cos ds dento dos limites de uma supefície S, onde é o ângulo ente as linhas do campo vetoial e o veto nomal à áea difeencial. ds Supefície S ds 39

40 Cálculo Vetoial Integal de supefície fechada: Quando a supefície S fo fechada (engloba um deteminado volume), a integal de supefície passa a se uma integal de supefície fechada, denotada po Integal de volume: ds S integal de volume de uma gandea escala a v é em um volume v é definida po v a dv v 40

41 Cálculo Vetoial Gadiente de um escala: O gadiente de um campo escala V é um veto que epesenta a magnitude e a oientação da máima taa de vaiação espacial de V. Fonte: Wikipedia Campos escalaes V, onde a intensidade da gandea é mostada em escala de tons de cina: quanto mais escuo, mais intenso é o valo da gandea escala. Os vetoes auis epesentam o gadiente de V ( V ). 41

42 Cálculo Vetoial Gadiente de um escala: Em coodenadas catesianas: Em coodenadas cilíndicas: Em coodenadas esféicas: 4 V V V V ˆ ˆ ˆ V V V V ˆ ˆ 1 ˆ ˆ sin 1 ˆ 1 ˆ V V V V

43 Cálculo Vetoial Divegente de um veto: divegência do campo vetoial em um dado ponto P é o fluo que sai, po unidade de volume, à medida que o volume se edu à eo em tono de P. P P P Fluo que sai de P positivo Fluo que sai de P negativo Fluo líquido que sai de P nulo 43

44 Cálculo Vetoial Divegente de um veto: Em coodenadas catesianas: Em coodenadas cilíndicas: Em coodenadas esféicas: 44 1 ) ( 1 sin 1 ) (sin sin 1 ) ( 1

45 Cálculo Vetoial Teoema da Divegência: O teoema da divegência estabelece que o fluo total de um campo vetoial que sai de uma supefície fechada S é igual à integal de volume da divegência de. Matematicamente: S ds dv v 45

46 Cálculo Vetoial Rotacional de um veto: O otacional do campo vetoial é um veto giante cuja magnitude é a máima ciculação de po unidade de áea, à medida que a áea tende a eo, e cuja oientação é pependicula à essa áea, quando a mesma está oientada de modo a se obte a máima ciculação. P P P Rotacional em P apontando paa foa da tela Rotacional em P apontando paa dento da tela Rotacional em P nulo 46

47 Cálculo Vetoial Rotacional de um veto: Em coodenadas catesianas: Em coodenadas cilíndicas: Em coodenadas esféicas: 47 ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( 1 ˆ ˆ 1 ˆ ) ( 1 ˆ ) ( sin 1 1 ˆ ) ( ) sin ( sin 1

48 Cálculo Vetoial Teoema de Stokes: O teoema de Stokes estabelece que a ciculação de um campo vetoial em tono de um caminho fechado L é igual à integal de supefície do otacional de sobe a supefície abeta S, limitada po L, desde que e sejam contínuos sobe S. Matematicamente: dl ( ) L S ds 48

49 Cálculo Vetoial Laplaciano de um escala: O laplaciano de um campo escala V é o divegente do gadiente de V. Laplaciano em coodenadas catesianas: Laplaciano em coodenadas cilíndicas: 49 V V V V 1 1 V V V V

50 Cálculo Vetoial Laplaciano de um escala: Laplaciano em coodenadas esféicas: 50 sin 1 sin sin 1 1 V V V V

51 Cálculo Vetoial Laplaciano de um veto: O laplaciano de um veto é o gadiente do divegente de subtaído do otacional do otacional de. Matematicamente: 51

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