a, a, a A A cos A sen A sen cos A cos cos A sen A A sen A cos A sen sen A cos sen A cos A A cos A sen A A cos A sen A sen A cos

Transcrição

1 Depto. icuitos Eléticos Engenhaia Elética Faculdade de Engenhaia Eletoagnetiso EL65 «Fouláio de álculo etoial & Eletoagnetiso» etoes unitáios oodenadas etangulaes a, a, a oodenadas cilíndicas a, a, a oodenadas esféicas a, a, a θ ρ Tansfoação de coodenadas cos sen cos sen sen sen cos sen tan 1 tan tan 1 1 oodenadas cilíndicas oodenadas esféicas Tansfoação de coodenadas de coponentes vetoiais A A cos A sen A sen cos A coscos A sen A A sen A cos A sen sen A cossen A cos A A cos A sen A A cos A sen A sen A cos A A sen A cos A A sen cos A sen sen A cos A sen A cos A A coscos A cossen A sen A cos A sen Eletoagnetiso EL65 Pof. Pedo. Aleida ala 473-E4 pedo.aleida@ufjf.edu.b

2 álculo etoial Eleentos vetoiais difeenciais de copiento a d a d a d dl a d a d a d ρ a d a d a sen d θ oodenadas cilíndicas Eleentos vetoiais difeenciais de áea a dd a d d a d d d a dd a dd a dd ρ a sen dd a sen d d a d d θ oodenadas esféicas Eleentos difeenciais de volue d dd d ddd sen d d d Opeações ultiplicativas vetoiais (válidas paa qualque sistea de coodenadas) A B A B cos(a B) A B A B A B AB A B sen(a B) a n A B A B A B A B A B A B a a a oodenadas etangulaes oodenadas cilíndicas oodenadas esféicas a a a a a a a a a a a a ρ a a a a a a a a a θ a a a θ a a a ρ Rega de aus paa poduto vetoial: a AB a a a a A B A A A a A B B B B a AB a a a a A B A A A a AB

3 Opeadoes vetoiais difeenciais álculo etoial A A A gadiente de u capo escala (etona u capo vetoial) divegente te u capo vetoial A (etona u capo escala) otacional de u capo vetoial A (etona u capo vetoial) Laplaciano de u capo escala (etona u capo escala) Laplaciano vetoial de u capo vetoial A (etona u capo vetoial) oodenadas etangulaes: a a a A A A A A A A A A A A a a a A A a A a A a A A oodenadas cilíndicas: 1 aρ a a 1 ( A ) 1 A A A 1 A A A A 1 ( A ) A A a a a 1 1 A A A A A A aρ A a Aa 3

4 álculo etoial oodenadas esféicas: 1 1 a a a sen 1 ( A A ) 1 (A sen ) 1 A sen sen 1 (A sen ) A A a sen 1 1 A (A ) a sen 1(A ) A a sen sen sen A (A A sen ) A A a sen A A A cos A aθ sen sen A A cos A A a sen sen sen Popiedades: ( ) ( A B) A B A B A B A ( ) Identidades: A A Α A A A ( ) ( A B) ( A) B A ( B) ( A) ( A) ( ) A ( ) ( ) 4

5 Teoeas de cálculo vetoial Teoea da Divegência: álculo etoial Ad A d Teoea de tokes: AdL Ad iculação de u capo consevativo F (capo iotacional): e F d L independe do cainho P, então P F d L e F. Paa F d L e F, F (pois ). Álgeba coplea e fasoes Unidade iagináia: j 1 opleos conjugados: j * j j j * j j ( ) j( ) Fóula de Eule: Foa pola (fasoes): Equação de onda Unidiensional: Geal: j e cos j sen j Ze j Zcos Zsen Z 1 tan u(, t) u(, t) c t c t j ( j ) Ze se p ( j ) P e j p ( j )( j ) MP e ( j ) M e p ( j ) P j( ) j( ) olução: qualque função do tipo ( ct) (onda viajante e co velocidade c) 5

6 Eletoagnetiso Relações constitutivas Densidade de coente de condução (lei de Oh vetoial): Densidade de fluo elético (veto deslocaento elético): Densidade de fluo agnético (veto indução agnética): JE (A/²) DE (/²) B H (T = Wb/²) Equações de Mawell Lei de Gauss: (cagas eléticas gea capos eléticos) Lei de Gauss paa o agnetiso: (não eiste onopolos agnéticos) Lei de Faada- Mawell: (capos agnéticos vaiantes no tepo indue capos eléticos) Lei de Apèe- Mawell: (capos agnéticos são geados po coente elética e capos eléticos vaiantes no tepo) Foa difeencial (pontual): D v B B t E D H J t Foa integal: Dd B Q d EdL d t B H dl I d t D nas quais Ω é u volue fechado de fonteia = Ω (supefície fechada) e Σ é ua supefície abeta de fonteia = Σ (cuva fechada). Q aga elética total contida e u volue Ω: v oente elética de condução atavés de ua supefície Σ: I d J apos eléticos e agnéticos vaiantes no tepo que não satisfae a estas equações não pode eisti. Eleticidade, agnetiso e lu são todas anifestações du eso fenôeno o fenôeno eletoagnético. d Pincípio da consevação de caga J (eq. continuidade, LK vetoial) t v onstantes no vácuo: ε = 8, F/ µ = 4π 1 7 H/ 6

7 Eletostática Lei de oulob q ( ) q E 3 4 q ( / ) Fluo elético e Lei de Gauss D d Q () (1ª eq. Mawell) Enegia e Potencial Elético oo W q (J) AB AB AB A ddp Ed L ( J / ) B E d L (capo consevativo, LKT vetoial), então eiste u capo escala tal que E B (consequência da 3ª eq. Mawell paa ) t ondições de fonteia onduto-espaço live Dielético-dielético D E t t D E E D n n E t1 t D n1 n apacitância Q Dd cte. (F / ) A( ) AB EdL B( ) Equações de Poisson & Laplace v 7

8 Magnetostática Lei de Biot-avat dh H Id L( ) 4 upeposição: I IdLa R 4R I 3 (A / ) Lei icuital de Apèe H d L I D (4ª eq. Mawell paa ) t Fluo agnético e Lei de Gauss paa o agnetiso Bd (Wb s) B d (ª eq. Mawell) Potencial agnético vetoial A IdL 4R B A AdL (s / ) (consequência da ª eq. Mawell) ondições de fonteia Ente dois eios B B n1 n H H K t1 t n Indutância I Equação vetoial de Poisson Bd L cte. (H Wb / A) HdL A J 8

9 Foça de Loent Lei de Faada-Len Equações de Mawell no vácuo Acoplaento fundaental ente os capos agnético e elético: Eletodinâica lássica F q E vb Equações da onda eletoagnética (N) d f.e.. N () dt E H H E t E H t E 3D: E t H t 1 E 1 H (,,, t) (,,, t) E E t Onda eletoagnética plana no espaço live (capos ctes. e e, k e, popaga e co c k 1 ) E a a j( t k) (,t) E e E (,t) oo H E t E a, 1 1 H(, t) E e a E (, t) a H (, t) a j( t k) c / s c 1 eto de Ponting EH (W / ) 1 T P ddt ed T 9

10 Efeitos Eletoagnéticos e Alta Fequência Efeito pelicula J() J Pofundidade de penetação e 1 f Linhas de tansissão Equações do telégafo (p/ coentes e tensões senoidais, LT ao longo de ): d d d dt d d d dt (, t) R I(, t) L I(, t) () () I(, t) G (, t) (, t) I(, t) I() olução () e e o o te. popagação j R jlg j j L Z Ipedância aacteística elocidade de fase v oeficiente de efleão p Z Z R jl R jl L G j 1 L Z L Z L L (H/), (F/), R(Ω/), G (/) Antenas Dipolo Hetiano ( d ) olução paa capo distante Resistência de adiação Id A a 4 R Id k jk H j e sen 4k Id k jk E j e sen 4k P d R I 3 ed ad 1

11 Tiângulo de Leis da Eletostática e R 3 oulob 1 ( ) ( ) q ( )d 3 4 q q E D q, ( ) Gauss q ARGA Poisson 1 ( ) q ( ) d 4 q apo consevativo: EdL (iplica na eistência de ) AMPO, v FLUXO J t B E t f.e.. d t B D H J t f... I d t D capos vaiantes no tepo E E( ), D( ) ( ) H ( ) EdL POTENIAL, TENÃO Tiângulo de Leis da Magnetostática e R 3 Biot-avat I d L ( ) I 3 4 I H L ELEMENTO DE ORRENTE d I Id LJ, J H Apèe A J Poisson vetoial A J ( ) ( ) I d 4 I Ineistência de onopolos agnéticos: B (iplica na eistência de A) H( ), B( ) AMPO, FLUXO B A ( ) A POTENIAL ETORIAL 11