Material Didático do Curso de Engenharia Mecânica da UniEVANGÉLICA

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1 Mateial Didático do Cuso de Engenhaia Mecânica da UniEVANGÉLICA Disciplina: Física III - Eletomagnetísmo Docente(s): Calos Eduado Fenandes Joge Manoel Almacinha Costa Cláudia Gomes de Oliveia Santos Ricado Wobeto Volume 1 18

2 Cento Univesitaio de Anápolis - UniEVANGÉLICA Associação Educativa Evangélica Conselho de Adiministação Pesitente Enei de oliveia Pina 1º Vice-Pesidente Cicílio Alves de Moaes º Vice-Pesidente Ivan Gonçalves da Rocha 1º Secetáio Gealdo Henique Feeia Espíndola º Secetáio Fancisco Babosa de Alenca 1º Tesoueio Augusto Césa da Rocha Ventua º Tesoueio Djalma Maciel Lima Cento Univesitáio de Anápolis Chancele Enei de Oliveia Pina Reito Calos Hassel Mendes da Silva Pó-Reito Acadêmico - Cistiane Matins Rodigues Benades Pó-Reito de Pós-Gaduação Pesquisa Extensão e Ação Comunitáia - Sando Duta e Silva Coodenadoa da Pesquisa e Inovação - Buno Junio Neves Coodenado de Extensão e Ação Comunitáia - Fábio Fenandes Rodigues Equipe Editoial Dieto - Hélio de Souza Queioz Coodenado de Pesquisa Rosembeg Fotes Nunes Rodigues Coodenado Pedagógico - Wilson de Paula e Silva Coodenado de Planejamento e Inovação - Ricado Wobeto Coodenado de Laboatóios e de Atividades de Extensão - Ségio Mateus Bandão Coodenado de Estágio Supevisionado - Macio José Dias

3 ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : REVISÃO DE ANÁLISE VETORIAL 1_1. Álgeba Vetoial; 1_1.1 Adição de Vetoes; 1_1. Multiplicação po Escala; 1_1. Poduto Escala; 1_1.4 Poduto Vetoial; 1_ Repesentação Vetoial em Temos de Suas Componentes; 1_.1 Soma de Dois Vetoes 1_.Multiplicação de Um Veto po Um Veto Escala; 1_.Poduto Escala; 1_.4Poduto Vetoial 1_1 ÁLGEBRA VETORIAL Até agoa já ouvimos fala de dois tipos de gandeza físicas: as gandeza escalaes e as gandezas vetoiais. Já sabemos po exemplo que a massa caga elética tempeatua e pessão são gandezas escalaes pois é necessáio apenas um númeo (magnitude) além da unidade paa caacteiza-las. Po outo lado paa caacteiza uma gandeza vetoial é necessáio especifica além da magnitude sua dieção e seu sentido como é o caso da velocidade foça aceleação e deslocamento. Paa indica um gandeza vetoial vamos usa uma flecha sobe ela: v a F etc. A magnitude de uma gandeza vetoial seá indicada pela leta sem a flecha ou ente baas veticais: v( v ) a( a ) etc.paa epesenta um veto também são úteis usa flechas tal que o compimento da flecha seja popocional a sua magnitude e aponta da flecha indique a dieção. A gandeza A indique um veto de mesma magnitude que A mas no sentido oposto (fig. 1): Obseve que a eta A pode se epesentado em qualque luga. do espaço desde que epesenta sua dieção e sentido. A A (fig 1.1) 1_1.1.Adição de Vetoes Dados dois vetoes A B sua soma A + B = C é obtida colocando o pé da veto B sobe o veto de A o veto C é a eta que liga o pé de A à ponta de B.(fig. ) Note que: i) A + B = A + B (comutativa) A + B + C = A + B + C (associativa) ii)( ) ( ) ( fig. 1.

4 1_1. Multiplicação Po Escala Um veto po multiplicado po um escala positivo K poduz um outo veto K A K vezes maio que A e na mesma dieção e sentido de A ; se K fo negativo o sentido do veto C = K A é invetido (fig. ). 1_1. Poduto Escala A A - A fig.1. Definição: Dados A B então A B sendo o (meno) ângulo ente eles. A B = AB cos (fig. 4) é o poduto escala ente Note que AB é um escala daí o nome poduto escala. Note também que: i) A B = B A (comutativa) ii) A ( B + C) = A B + A C (distibutiva) Note que = A e potanto A = A A A A EX. 1: Dados A B pependiculaes ente si calcule C sendo C = A+ B Solução : C = C C = ( A + B) ( A + B) = C C = A A + A B + B A + B C = A + B (Resposta) 1_1.4 Poduto Vetoial Definição: Dados A B define-se o poduto vetoial ente eles como A B = ABsen n sendo n o veto unitáio (magnitude igual a 1) apontando pependiculamente ao ângulo fomado po A e B (o acento cicunflexo ^ sobe o veto seá usado sempe que se tata de um veto unitáio). Como há duas dieções pependiculaes ao ponto de A e B adota-se a ega da mão dieita: com os dedos da mão dieita estendidos ao longo do pimeio veto gie-os no sentido do segundo veto (via meno ângulo) ; o polega indicaá a dieção de n (na fig. 4 n aponta paa dento da página). Note que A Bé também um veto daí o nome de poduto vetoial. É fácil veifica as seguintes popiedades : A( B C) = ( A B) + ( A B) (distibutiva)

5 A A= A B = ( B A) ( A B) C A( B C) (em geal) 1_. REPRESENTAÇÃO VETORIAL POR MEIO DE SUAS COMPONENTES Até agoa falamos em vetoes e de opeações vetoiais sem faze efeências a um sistema qualque de coodenadas. Na pática é mais fácil estabelece coodenadas catesianas (xyz) e tabalha com as componentes dos vetoes. Seja x y z ( ou i j k ) vetoes paalelos ao eixo x y z espectivamente confome fig. 5a abaixo: fig.1. 5a fig. 1.5b fig. 1.5c Um veto abitáio A pode se escito como uma combinação dos vetoes x y z (fig. 5b): A = Axx + Ay y + Azz ou A = ( Ax Ay Az) de modo que as opeações podem se assim efomuladas. 1_.1 Soma de Vetoes Dados A = Axi + Ay j + Azk e B = Bxi + By j + Bzk a soma A+ B é a soma das componentes isto é C = A + B = ( Ax + Bx) x + ( Ay + By) y + ( Az + Bz) z ou C = ( Ax + Bx Ay + By Az + Bz) em que C = Cxi + Cy j + Czk sendo as componentes de C : Cx = Ax + Bx ; Cy = Ay + By ; Cz = Az + Bz 1_. Multiplicação de Um Veto Po Um Veto Escala Paa multiplica um veto po um escala multiplique cada componente isto é aa = aaxx + aay y + aazz = ( aax aay aaz). 1_. Poduto Escala

6 Note que: x x = y y = z z = 1 ; x y = x z = y z = então A B = ( Axx + Ay y + Azz) ( Bxx + By y + Bzz) = AxBx + AyBy + AzBz isto é paa calcula o poduto escala multiplique as componentes e adicione-as. EXEMPLO: Calcule A = A A se A = Axi + Ay j + Bzk. Solução: A A = ( Axi + Ay j + Azk) ( Axi + Ay j + Azk) 1_.4 Poduto Vetoial A = A x + A y + A + A z Notando que : x x = y y = z z x y = ( y x) = z y z = ( z y) = x z x = ( x z) = y Essas elações que podem se colocadas da definição de poduto vetoial. Note ainda que essas elações podem se obtidas da ega cíclica (fig. 6). Então: A B = ( Axi + Ay j + Azk) ( Bxi + By j + Bzk) = ( AyBz AzBy) i + ( AzBx AxBz) j + ( AxBy AyBx) k ou seja se C = A B então as componentes de C são: Cx = ( AyBz AzBy) ; Cy = ( AzBx AxBz) ; Cz = ( AxBy AyBx). EX. 1: Moste que: i j k A B = Ax Ay Az Bx By Bz

7 ELETROMAGNETISMO ª Aula: EXERCÍCIOS (ANÁLISE VETORIAL) _1 Execícios Resolvidos; _ Execícios de Fixação; _1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Nesta aula vamos esolve alguns execícios paa melho fixação do conteúdo ministado na pimeia aula. EX. 1: Dados A = i + j ; B = i 4j + k enconte: a) A B b) A B c) A B d) A Solução:a) A B = ( i + j) (i 4 j + k) = 8 = 5 b) i j k A C = A B = i + 4k 6k j A B = i j 1k (esp.) c) A B ( ) ( ) = = = 15 (esp.)

8 A i + j i + j d) A = = = (esp.) A EX. : Demonste o teoema de Pitágoas usando vetoes. Solução: O teoema de Pitágoas estabelece que a soma do quadado de cada cateto é igual ao quadado da hipotenusa. Da fig. 1 abaixo sendo que C = a + b logo: C C ( a b) ( a b) = + + ou C = a a + a b + b a + b b C = a + b (esp.) EX. : Moste que : Ax Ay Az A( B C) = Bx By Bz Cx Cy Cz e que A( B C) = ( A B) C Solução: Paa mosta a pimeia pate faça pimeio o lado esquedo i j k ( B C) = Bx By Bz = ( ByCz BzCy) i + ( BzCx BxCz) j + ( BxCy ByCx) k Cx Cy Cz A( B C) = ( Axi + Ay j + Azk) ( ByCz BzCy) i + ( BzCx BxCz) j + ( BxCy ByCx) k A( B C) = Ax( Bycz BzCy) + Ay( BzCx BxCz) + Az( BxCy ByCx) I Façamos agoa o lado do deteminante: Ax Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz = AxByCz + AyBzCy CxByAz CyBzAx CzBxAy = Ax( ByCz BzCy) + Ay( BzCx BxCz ) + Az( BxCy ByCx) que demonsta a igualdade ente o lado dieito e esquedo do execício poposto. A demonstação de A( B C) = ( A B) C é feito de maneia análoga e é deixada como execícios. EX. 4: Poceda como execício anteio moste a ega do " BAC CAB": A( B C) = B( AC) C( A B) EX. 5: a)indique gaficamente o veto que pate da oigem e temina no ponto (1); b)enconte o seu módulo; c) enconte o veto unitáio na sua dieção.

9 Solução: a) Designemos o veto (1) po = i + j + k : (esp.) b) = = = 14 (esp.) i j k i + j + k c) = = + + = (esp.) EX. 6 : Sejam dois vetoes que patem da oigem e ligam os pontos A(1) e B(1-1). a)enconte o veto que liga AB aponta de A paa B b) Enconte o veto unitáio na dieção AB e que aponta de B paa A. Solução: a) pimeio analisaemos gaficamente dois vetoes quaisque : z 1 Note que: 1 = 1 é o veto que liga c a 1 e aponta paa. x x y z e aponta paa y Note agoa que : 1 = 1 é o veto liga 1 a Chamemos A(1)= A; B(1 1) = B então o veto que liga BA e aponta de A paa B é : = = (1 1) (1 ) = ( 4) ou AB B A = j 4k (esp.) AB

10 BA = b) Seja BA o veto que aponta de B paa A. Então BA AB = j + 4k e j+ 4k BA j+ 4k = (esp.) _ Execícios de Fixação 1. Quato vetoes são dados po a = i + j + k b = i + k c = i + 5 j k d = k j. Calcule: a) o módulo dos vetoes a b c e d b) ab c) a b d) a + b c e) os vetoes unitáios nas dieções de a e b f) o ângulo ente a e b. Moste que em coodenadas catesianas a b = axbx + ayby + azbz.. Poduto escala tiplo. O escala A( BC) é chamado de escala tiplo e possui uma intepetação geomética simples. Moste A( BC) que é igual ao volume do paalelepípedo de lados A B C. 4. Enconte o volume de um paalelepípedo cujo lados são a = i + j + k b = i j + k e c = i + j k. 5. Dois vetoes de módulo a e b fazem ente si um ângulo. Moste que o compimento da soma dos dois vetoes é dado po: = a + b + abcos 6. Tabalho em Física é definido como sendo o poduto da foça vezes o deslocamento. Paa uma foça constante se a foça não é paalela ao deslocamento então a componente pependicula ao deslocamento não ealiza tabalho. O tabalho é então a componente da foça paalela ao deslocamento multiplicada pelo deslocamento isto é W = Fd cos = F d :.Calcule: a) o tabalho W ealizado pela foça F = i + 5 j k N sobe um objeto que é deslocado de d = 5i + j + k metos :

11 b) o módulo do foça F e do deslocamento d. 7. Toque (ou momento)de um foça F ao edo de um ponto O é definido como sendo = F sendo o veto de módulo que liga O ao ponto em que a foça é aplicada. Dados F = i + j k = i + j k m enconte: a) o toque de F ao edo do ponto b) o módulo a dieção e o sento do toque à foça F. 8. Poduto vetoial tiplo. O veto esultante da opeação vetoial A( BC) é chamado de poduto vetoial tiplo. Desenhe ( B C) e veja que A ( B C) é um veto no plano fomado po B e C. Use coodenadas catesianas e moste a seguinte identidade: A( B C) = ( AC) B ( A B) C Esta é uma fómula impotante mas não é necessáio memoizá-la. Note que ( BC) A = ( A C) B + ( A B) C isto é a mudança na odem no poduto vetoial dá oigem a um sinal negativo como já vimos. Aplicações: O momento angula L de um copo de massa m e velocidade angula ao edo de um ponto O é definido como L = mv = m v sendo v=. Potanto L = m ( ). A aceleação centípeta é dada po a ( ) =. Dados: = i + j k e = i + j k enconte paa um copo de massa unitáia: a) o momento angula L e o seu módulo. Especifique a dieção e o sentido de L. b) a aceleação angula a e o seu módulo. Especifique a dieção e o sentido de a.

12 ELETROMAGNETISMO ª Aula : REVISÃO DE ÁLGEBRA VETORIAL _1 Multiplicação de ; _ Multiplicação de Po Um Campo Vetoial; _.1 Multiplicação Escala : Divegente de A ; _. Multiplicação Vetoial: Rotacional de A ; _ Veto Laplaciano. No Eletomagnetismo feqüentemente faemos o uso de difeenciação e integação de vetoes. Nesta aula faemos uma beve evisão das opeações de deivação de funções escalaes e vetoiais também é chamado de campos escalaes e campos vetoiais espectivamente que comumente apaecem em eletomagnetismo. Começaemos definindo o opeado deivada vetoial ou opeado del :

13 i + j + k (coodenadas catesianas) x y z Repae a eta sobe o símbolo (nabla) paa efoça o caáte vetoial desse opeado cujo componentes são: x = ; y = ; z =. x y z Como esse opeado toma caáte vetoial podemos faze com eles opeações escalaes e vetoiais. Po exemplo dadas as funções = ( x y z) e A = Ax ( x y z) então a multiplicação deste opeado seá dada pela soma das deivadas paciais na dieção ( i j k ). _1 MULTIPLICAÇÃO DE POR UM CAMPO ESCALAR Multiplicação de pelo campo escala : gadiente logo: = i + j + k. x y z Nota que esceve " " não tem significado. EX. 1: Enconte o gadiente de Solução: = i + j + k x y z = x + y + z. 1 x yk zk = i+ + x + y + z x + y + z x + y + z xi + y j + zk = = x + y + z sendo : = xi + y j + zk EX. : Enconte o gadiente de: a) ( x y z) = x + y + z b) y f ( x y z) = x e ln z _ MULTIPLICAÇÃO DE POR UM CAMPO VETORIAL Multiplicação de po um campo vetoial A( x y z ). Nesse caso podem multiplica escala ou vetoialmente po A : _.1 Multiplicação Escala : Divegente de A :

14 A = ( i + j + k) ( Ax i + Ay j + Az k) x y z A A x y Az A = + + x y z Note que o divegente de um campo escala não tem significado. EX. : Calcule a divegência do veto posição. Solução: = x + y + z = x + y + z x y z x y z = ou EX. 4: Enconte o gadiente e o divegente de A e B : i) A( x y z) = x i + xyz j + z k ii) B( x y z) = xyi + ( xyz yx ) j _. Multiplicação Vetoial: Rotacional de A : A = ( i + j + k) ( Axi + Ay j + Azk) x y z ou x etc. x i j k Az Ay Ax Az Ay Ax A = x y z = ( ) i + ( ) j + ( ) k y z z x x y Ax Ay Az EX. 5: Calcule o otacional de A = yi x j : Solução: i j k A = x y z = ( x y) k = x y y x EX. 5: Calcule o otacional das funções abaixo: a) f ( x y) = xyi + x y j b) f ( x y) = yx i xy j yz k _ VETOR LAPLACIANO Como é um veto podem faze o escala po ele mesmo esultando no Laplaciano: = ( i + j + k) ( i + j + k) ou x y z x y z

15 = ( + + ) x y z O Laplaciano pode se aplicado em um escala ou vetoial po exemplo: = ( + + ) = ( + + ) x y z x y z A ( )( Axi Ay j Azk) x y z = A = A i + A j + A k x y z e A. EX. 6: Dados os campos = x yz e Solução: A x yi j = ( x yz ) + ( x yz ) + ( x yz ) x y z = ( xyz ) + ( x z ) + ( x y z ) x y z = xzy + + 6x yz (esp.) = + enconte o Laplaciano de A = A i + A j + A k x y z A ( A A A ) i ( A A A ) j ( A A A ) k x y z x y z x y z = x + x + x + y + y + y + z + z + z A = yi (esp.) EX. 7: Calcule o Laplaciano de: a) = x + y + z ; b) = x y z ; A = x yi + z j A = x i + y j ELETROMAGNETISMO 4ª Aula : SISTEMAS DE COORDENADAS

16 4_1. Coodenadas no Espaço; 4_1.1 Dieções i j k ; 4_1. Elemento de Supefície; 4_1. Elemento de Volume; 4_ Coodenadas Cilíndicas ( z ); 4_.1 Elemento de Compimento; 4_.1 Elemento de Supefície; 4_. Elemento de Volume; 4_ Coodenadas Esféicas ( ); 4_.1 Elemento de Compimento; 4_. Elemento de áea; Coodenadas cilíndicas e esféicas são bastante úteis paa a solução de poblemas que envolvem essas simetias como po exemplo no cálculo de campos eléticos ou magnéticos devido a distibuição de caga sobe supefícies ou volumes cilíndicos ou esféicos. Po isso é impotante sabe esceve elementos de caminhos áea e supefície usando difeentes sistemas de coodenadas.. Veto posição = xi $ + y$ j + zk $ = x + y + z $ = 4_1 COODENADAS NO ESPAÇO 4_1.1 Dieções i j k : i j k : xi $ + y$ j + zk $ x + y + z Um elemento de caminho no espaço é obtido somando cada elemento nas dieções dl = dxi + d y j + d z k 4_1. Elemento de Supefície: Um elemento de supefície da pode se obtido do poduto de dois elementos de compimento: dax = dydz ; day = dxdz ; daz = dxdy. O subscito i no elemento de áea dai ( i = x y z) indica que a áea é pependicula ao eixo coodenada i ; po exemplo daz é uma áea pependicula ao eixo z.

17 4_1. Elemento de Volume: Um elemento de volume é fomado multiplicando os tês elementos de compimento: dv = dxdydz 4_. COORDENADAS CILÍNDRICAS ( z ) x = cos y = sen z = z 4_.1 Elemento de Compimento: Paa enconta um elemento de compimento deem coodenadas cilíndicas é peciso enconta um elemento de compimento nas dieções de cescimento de z. Denominaemos essas dieções po z espectivamente. Da figua: dl = d + d + dz k ; dl = d ; dl = d ; dlz = dz 4_.1 Elemento de Supefície: Como no caso anteio um elemento de supefície é fomado pelo poduto de dois elementos de compimento: da = ddz ; da = d dz ; daz = dd em que po exemplo da indica a áea pependicula à dieção (ve fig4.). Note que d não é um elemento de compimento é centímetos ect.). 4_. O elemento de volume: d que é o compimento (em metos O volume é obtido do poduto dos elementos de compimento: dv = ( d)( d)( dz) = dddz

18 4_ COORDENADAS ESFÉRICAS ( ) x = sen cos y = sensen z = cos 4_.1 Elemento de Compimento ( ): Denotado po e os vetoes unitáios nas dieções e espectivamente teemos: dl = d ; dl = d ; dl = send e potanto: dl = d + d + sen d 4_. Elemento de áea ( ): da = sen d d ; da sen dd = ; da = dd Ex.: Moste que elemento de volume de uma esfea de aio R é V Solução: V R V = dv = sen ddd R R V = d sen d d ( )( cos )( ) = R R V = (cos cos)( ) = ( )( 1 1) 4 = R. V 4 = R (esp.)

19 ELETROMAGNETISMO 5ª Aula: ELETROSTÁTICA 5_1 Lei de Coulomb; 5_ Campo elético; 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais; 5_ Campo elético de distibuições contínuas de caga. 5_1 LEI DE COULOMB Alei de Coulomb é eminentemente expeimental. Ela desceve a foça de natueza elética ente duas cagas estáticas Q1 e Q : QQ 1 F1 = K 1 Em que 1 = ; 1 = 1 e 9 1 Nm k = = 9 1 ; 4 C 1 C = Nm Em palavas a lei de Coulomb estabelece que a foça elética ente duas cagas é dietamente popocional ao poduto das cagas é invesamente popocional ao quadado da distância. Além disso a foça é diigida ao longo da linha que une as cagas e é epulsiva se as cagas tiveem o mesmo sinal e atativa se foem de sinal contáio. A meno unidade de caga elética é igual à caga de um eléton que vale C. Potanto seiam necessáias ceca de 1 18 elétons paa se te 1 Coulomb (C). Note que o sinal de Q1e Q é fundamental paa defini o sentido da foça. Po exemplo se Q1=-C e Q=C na figua 5.1 então o sentido da foça em Q1 é 1 enquanto que o sentido da foça em Q1 é 1 = 1. 5_ CAMPO ELÉTRICO

20 Definição: Suponha que uma caga Q esteja fixo e que levemos uma outa caga q chamada caga de teste paa divesos pontos ao edo de Q em cada ponto meçamos a foça expeimentada pela caga q. Esse pocedimento evidenciaá que existe um campo de foças (campo vetoial) potanto ao edo de Q. Assim pela lei de Coulomb temos : Qq F = K em que = (ve fig 5.). Define-se campo elético E em tono de uma caga Q como sendo a azão: F q Qq E = ou Q( ) E = K em que E N volt = = C meto em que e são os vetoes que a pati da oigem localizam as cagas q e Q espectivamente. EX. 1: Calcule o campo ciado po uma caga de 1 C situado na oigem em um ponto P situação em (1-). Solução: Q Q( ) E = K = K Dados: = i j + k = (1 ) = () = i j + k = = ( 1)( i j + k) E = ( 14) 9 91 E = ( i j + k ) E = ( i j + k ) (esp.) 15 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais

21 Como o campo elético é um veto o campo devido a N cagas em um ponto qualque é a soma de: N Qi( i) E = E1+ E +... EN = Ei com Ei = k i = 1... N ou ainda i= 1 Q1( i ) Q( i ) QN ( i ) Ei = k + k +... k E i = 1 Q ( ) N i i k. i= 1 i i EX. : Quato cagas Q1 = 1 C Q = C Q = 1 C Q4 = C estão situadas nos vétices de um quadado de lado 1 m. Calcule o campo esultante no cento do quadado. 5_.- CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA. Uma distibuição contínua de cagas eléticas em última análise não existe uma 19 vez que a caga é quantizada (múltipla inteia de 16 1 C ). Entetanto quando lidamos com situações macoscópica o que em geal é o caso o caáte quantizado da caga pode ignoado de modo que podemos tatá-los como uma distibuição contínua(lembe-se de que 1C equivale a 1 18 patículas). Esse fato é análogo a tata a massa como sendo uma distibuição contínua mesmo sabendo que ela é múltipla de uma massa atômica ou de uma molécula. Imaginando a caga como uma distibuição contínua podemos defini uma densidade de cagas como sendo caga po unidade de compimento áea ou volume: L = dq ; dq S = ; dq V = em que dl ds e dv dl ds dv são os elementos de compimento áea e volume L S V são as densidades linea supeficial e volumética de caga espectivamente e não deve se confundida com a coodenada cilíndica. Lembando que uma caga infinitesimal deve poduzi um campo ( de) também infinitesimal podemos esceve: dq( ) d E = k Em que é o veto que localiza o elemento de caga dq.fazendo a integação desde um ponto em que até um ponto qualque temos: N i ou

22 E = k dq( ) Note que a integação se anula onde não houve caga. EX.: Calcule o campo elético em um ponto a uma distância R do cento uma esfea caegada de aio. Solução: ELETROMAGNETISMO 5ª Aula: ELETROSTÁTICA 5_1 Lei de Coulomb; 5_ Campo elético; 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais; 5_ Campo elético de distibuições contínuas de caga. 5_1 LEI DE COULOMB Alei de Coulomb é eminentemente expeimental. Ela desceve a foça de natueza elética ente duas cagas estáticas Q1 e Q : QQ 1 F1 = K 1 Em que 1 = ; 1 = 1 e 9 1 Nm k = = 9 1 ; 4 C 1 C = Nm Em palavas a lei de Coulomb estabelece que a foça elética ente duas cagas é dietamente popocional ao poduto das cagas é invesamente popocional ao quadado da distância. Além disso a foça é diigida ao longo da linha que une as cagas e é epulsiva se as cagas tiveem o mesmo sinal e atativa se foem de sinal

23 contáio. A meno unidade de caga elética é igual à caga de um eléton que vale C. Potanto seiam necessáias ceca de 1 18 elétons paa se te 1 Coulomb (C). Note que o sinal de Q1e Q é fundamental paa defini o sentido da foça. Po exemplo se Q1=-C e Q=C na figua 5.1 então o sentido da foça em Q1 é 1 enquanto que o sentido da foça em Q1 é 1 = 1. 5_ CAMPO ELÉTRICO Definição: Suponha que uma caga Q esteja fixo e que levemos uma outa caga q chamada caga de teste paa divesos pontos ao edo de Q em cada ponto meçamos a foça expeimentada pela caga q. Esse pocedimento evidenciaá que existe um campo de foças (campo vetoial) potanto ao edo de Q. Assim pela lei de Coulomb temos : Qq F = K em que = (ve fig 5.). Define-se campo elético E em tono de uma caga Q como sendo a azão: F q Qq E = ou Q( ) E = K em que E N volt = = C meto em que e são os vetoes que a pati da oigem localizam as cagas q e Q espectivamente. EX. 1: Calcule o campo ciado po uma caga de 1 C situado na oigem em um ponto P situação em (1-). Solução: Q Q( ) E = K = K Dados: = i j + k = (1 )

24 = () = i j + k = = ( 1)( i j + k) E = ( 14) 9 91 E = ( i j + k ) E = ( i j + k ) (esp.) 15 5_.1 Campo devido a N cagas puntuais Como o campo elético é um veto o campo devido a N cagas em um ponto qualque é a soma de: N Qi( i) E = E1+ E +... EN = Ei com Ei = k i = 1... N ou ainda i= 1 Q1( i ) Q( i ) QN ( i ) Ei = k + k +... k E i = 1 Q ( ) N i i k. i= 1 i i EX. : Quato cagas Q1 = 1 C Q = C Q = 1 C Q4 = C estão situadas nos vétices de um quadado de lado 1 m. Calcule o campo esultante no cento do quadado. 5_.- CAMPO ELÉTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA. Uma distibuição contínua de cagas eléticas em última análise não existe uma 19 vez que a caga é quantizada (múltipla inteia de 16 1 C ). Entetanto quando lidamos com situações macoscópica o que em geal é o caso o caáte quantizado da caga pode ignoado de modo que podemos tatá-los como uma distibuição contínua(lembe-se de que 1C equivale a 1 18 patículas). Esse fato é análogo a tata a massa como sendo uma distibuição contínua mesmo sabendo que ela é múltipla de uma massa atômica ou de uma molécula. Imaginando a caga como uma distibuição contínua podemos defini uma densidade de cagas como sendo caga po unidade de compimento N i ou

25 áea ou volume: L = dq ; dq S = ; dq V = em que dl ds e dv dl ds dv são os elementos de compimento áea e volume L S V são as densidades linea supeficial e volumética de caga espectivamente e não deve se confundida com a coodenada cilíndica. Lembando que uma caga infinitesimal deve poduzi um campo ( de) também infinitesimal podemos esceve: dq( ) d E = k qualque temos: Em que é o veto que localiza o elemento de caga dq.fazendo a integação desde um ponto em que até um ponto E = k dq( ) Note que a integação se anula onde não houve caga. EX.: Calcule o campo elético em um ponto a uma distância R do cento uma esfea caegada de aio. Solução: ELETROMAGNETISMO 6ª Aula: EXERCÍCIO RESOLVIDOS (Eletostática) O objetivo desta aula é fixa os conceitos expostos na aula anteio. Vimos po exemplo que o campo E de uma caga puntual é: Q( ) E = k sendo (ve Fig. 6.1) k a constante de Coulomb; Q a caga que gea o campo E ; o veto que pate da oigem até o ponto onde se que calcula E ; o veto que liga a oigem até a caga Q.

26 Paa váias cagas puntuais temos: E = k N i= 1 Q( ) Em que o índice i se efee à inécia caga. Paa uma distibuição contínua de cagas temos: dq E = k ( ) de áea (supefície). Em que dq é um elemento difeencial de caga de caga elética. Paa uma densidade supeficial de caga elética dq = ds ds elemento S S EX.1: Tês cagas de 9 Q= 1 C são colocadas nos vétices de um quadado de lado l =. Calcule o campo E no vétice em que não existe caga. Solução: ( i ) E = k Qi i= 1 i Da figua 6. (caga na oigem) temos: = i + j = i 1 = = j Q1( 1) paa i = 1 : E1 = k 1 ( ) j ( ) = j = 1 = ; j E1 = = j 7 Q( ) paa i = : E = k ( ) = (i + j) ; = = 18 1 = () = 7 = ( 18) = ( ) = 7( )

27 Nota: 18 = 9 = 9 = (i+ j) 1 E = = ( i + j) 7( ) ( ) Q( ) paa i = : E = k ( ) = i = 7 E i = = i 7 Somando: E = E1 + E + E temos: E = j + ( i + j) + i = i(1 + ) + j(1 + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 E = ( i + j ) ( ) (esp.) EX. : Enconte o campo E em um ponto que passa pelo eixo de um anel caegado com uma distibuição unifome linea de cagas e aio = R. Solução: Do execício (simetia cilíndica) dq = dl = d = Rd = zk L L L = = R = ( R + z ) Logo: d( ) E = k LR ou d zk dr E = k R{ R } L ( R + z ) ( R + z ) E = k R L d( zk R) ( R + z ) Da simetia do poblema E = Ek e potanto a componente na dieção adial deve se nula: R( ) k E = kl ou Q= ( R) L ( R + z )

28 E = k Qk ( R + z ) EX. : Enconte E de um plano infinito de cagas. Solução: Podemos imagina um plano infinito como sendo fomado po infinitos anéis concênticos de = R vaiável. Lembando o execício anteio: dq = ds S ds = d d = zk = 1 = = zk = ( z + ) Logo: E = k L S ds( ) S d E = k ( zk ) [ z + ] Como no execício anteio não haveá campo ao longo de logo: d E = k( ) k z S [ z + ] Essa é uma integal que pode se esolvida po substituição tigonomética. Da figua 6.4 podemos foma o tiângulo mostado na figua 6.5 e esceve: = tg = ztg d = z sec d z 1 1+ tg = sec ; sec = cos

29 ELETROMAGNETISMO 7ª Aula: LEI DE GAUSS NA FORMA INTEGRAL 7_1 Linhas de Campo; 7_ Fluxo de Campo Vetoial; 7..1 Fluxo de Campo Elético e Lei de Gauss; 7_ Fluxo de E e lei de Gauss; 7_4 Aplicações.

30 7.1 LINHAS DE CAMPO Vimos que o campo elético é dado po(ve figua 7.1) 1 Q( ) E = 4 e paa uma caga elética situada na oigem ( = ) : E Q = ou E = 4 4 Q sendo = o veto unitáio que pate da caga (oigem) em dieção ao ponto P onde se que calcula o campo E (ve figua 7.). Q E 4 Q E = 4 E se E se Paa epesenta o campo E ao edo da caga Q usamos etas ao edo da caga Q apontando adialmente paa foa () se Q e adialmente paa dento ( ) se Q.Note que quanto maio Q maio a quantidade dessa etas chamadas de linhas de foça ou campo de E : Note que as figuas de linha de foça não se cuzaam: se isso ocoesse haveia duas dieções simultâneas paa o campo elético o quê não se veifica expeimentalmente. 7. FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL F Definição : = F d S F S

31 F Fluxo de campo vetoial F Campo vetoial ds elemento de áea na foma vetoial cujo sentidos é definido pela ega de mão dieita (ve figua 7.4). Nota : Caso S seja fechado é comum utiliza o símbolo 7..1 FLUXO DE CAMPO ELÉTRICO E LEI DE GAUSS O fluxo de campo elético E é uma medida da quantidade de linha de foça de E atavessando uma dada áea S (ve figua 6.5). Como o fluxo é popocional ao campo e este é popocional à caga podemos afima que paa uma supefície fechada qualque quanto maio a caga dento dessa supefície tanto maio o fluxo paa dento (Q>) ou paa foa (Q<). Em outas palavas: O Fluxo atavés de uma supefície fechada é popocional à caga envolvida pela supefície. Lei de Gauss S Matematicamente: E Q ou E = bq ou ainda como a supefície é fechada E d S = bq em que indica integal numa supefície fechada; ds é pependicula as e aponta paa foa da supefície fechada po convenção. Paa detemina a constante de popocionalidade vamos detemina E de uma caga puntual Q escolhendo uma supefície fechada (chamada de gaussiana) esféica centada em Q (ve figua 7.6) e aio : Pela lei de Gauss temos: E = E d S = bq Como E é paalelo a ds (ambos aponta adialmente paa foa). Logo: Eds cos = bq

32 Como E é constante ao longo de ES = 4 : bq E ds = bq ES = bq ou E = compaando com E de uma caga puntual: 4 1 Q 1 E = sendo que b =. Potanto: 4 Q E d S = (Lei de Gauss na foma integal) 7.4 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS EX.1: Calcule E devido a uma distibuição unifome supeficial e infinita de cagas positivas. Solução: Pela simetia o campo E deve se pependicula ao plano. Escolhendo uma supefície etangula que possa po um ponto P onde queemos calcula E ou uma supefície cilíndica (ve figua 7.7) temos: Q E d S =. Escolhendo o cilindo temos que faze tês integais: duas paa as Q tampas uma paa o cilindo: E d S = E d S + E d S E d S S1 + = S S Note que: paa o cilindo S E é pependicula a ds enquanto que paa S 1 e S sendo que E é paalelo a ds. Logo: Q EdS + EdS = S1 S Q ES + ES = ou

33 Q ES = ou S E = (esp.) ; Q S

34 ELETROMAGNETISMO 8ª Aula: LEI DE GAUSS NA FORMA DIFERENCIAL 8_1 Intodução: fluxo atavés de um paalelepípedo; 8_ Teoema da Divegência. 8_1 REGIÃO DA GAUSSIANA Paa enconta a lei de Gauss na foma difeencial tomemos um cubo de volume V = xy z numa egião onde exista uma campo E (ve figua 7.1). Pela lei de Gauss: = E d S E ou de foma apoximada E E S em que a igualdade ocoeá S no limite S : d E = E d S. E = E i + E j + E k x y z x y z d S = ds i + ds j + ds k ds ds ds = dydz = dxdz = dxdy x y z Paa calcula E total atavessando esse cubo temos que soma o fluxo E atavés de cada face: = ( ABCD) + ( A B C D ) + E E E ( ABA`B `) + ( DCD`C `) + E ( ADA`D `) + ( BCB`C `) E E E Se o cubo fo suficientemente pequeno podemos apoxima o veto de E( x y z ) na face do cubo pelo valo de E( xc yc z c ) sendo ( xc yc z c) as coodenadas do cento da face do cubo. Natualmente espeamos que quanto meno o cubo melho seá essa apoximação sendo E( x y z) = E( x y z ) no limite em que xyz dxdydz. c c c Comecemos po calcula ( A ` B E ` C ` D `) na face A`B `C `D ` que chamemos de face_1 sendo ( x 1 y 1 z 1 ) as coodenadas do cento desst face. Da definição de fluxo:

35 ( A ` B ` C ` D `) = E d S E ( x y z ) S E A`B`C `D` c1 c c ( A`B`C `D`) [ E ( x y z ) i + E ( x y z ) j + E ( x y z )] x yk E x y z ( A`B `C `D`) E ( x y z ) x y E z Calculando o fluxo atavés da face oposta ABCD teemos: ( ABCD) E( x y z + z) x yk E Chamando a face ( x y z ) teemos: ADA`D ` de face- e designando as coodenadas dessa face po ( ADA ` D E `) E ( x y z ) x z ( j ) ou ( ADA`D`) E ( x y z ) x z E y e paa a face DCD`C ` oposta à face- e designando de x y z as coodenadas do seu cento teemos: ( DCD ` C `) E E ( x y z ) yz ( i ) ou E( DCD` C`) Ex( x y z) y z e paa face oposta ABA`B ` teemos: ( ABA`B`) E( x + x y z ) z yi ou E E( ABA` B`) Ex( x + x y z) y z O fluxo total (apoximado) seá potanto: ( ABA` B`) [ E ( x y z + z) E ( x y z )] x y + E z z = [ E ( x y + x z ) E ( x y z )] x y + y y = [ Ex( x + x y z) Ex( x y z)] yz Multiplicando e dividindo o 1º temo po z o º temo po y e o º temo po x teemos: [ Ez( x1 y1 z1 + z) Ez( x1 y1 z1)] E xy z + z [ Ey( x y + y z) Ey( x y z)] xy z + y [ Ex( x + x y z) Ex( x y z)] xyz x Tomando o limite de x y e z tendendo a zeo e lembando a definição de deivada pacial teemos: E E x y Ez de = ( + + ) dxdydz ou x y z Supondo a existência de caga elética no inteio do volume difeencial devem te:

36 d = v ou dq = vdxdydz e potanto pela lei de Gauss: dxdydz dq v d = E Edxdydz dxdydz = ou 8_ TEOREMA DA DIVERGÊNCIA O teoema da divegência pemite o cálculo E atavés de uma integal de supefície ou de volume. Da lei de Gauss na foma integal: E d S Q v = = dv s Substituindo v po E temos:

37 ELETROMAGNETISMO 9ª Aula: EXERCÍCIO RESOLVIDOS (LEI DE GAUSS) EX. 1: Dada uma distibuição linea unifome e infinita de cagas calcule o campo E : a) usando a definição de campo E ; b) usando a lei de Gauss Solução: a) ( ) E = k dq dq = LdL = + z = + zk = Lk = ( z L) k 1 = [ + ( L z) ] dl[ ( z L) k] E = k L Po azões de simetia E z = ; [ + ( L z) ] E = kl dl ou : [ + ( L z) ] dl E = k L [ + ( L z) ]

38 Mudança de coodenada: L z = cot g dl = cos se d cos sec d E = kl como [ + ( L z) ] L cos sec E = k sen d kl sen kl kl E = sen d cos = = sen + + ( L z) L ( L z) L ( L z) E = = ( L z) L= L z + 1 ( L z) L E = (esp. a ) + = sen e que se L E aponta adialmente paa foa. Se S1 e S são as tampas da gaussianas e S o lado assim pela lei de Gauss temos: Q E d S = S E d S + E d S E d S S + 1 S = S As integais em S1 e S são nulos pois E ds então: Q E d S = cos S E ds = ou S Q Q ES = E( ) L = Q L ES = E = L( ) L= vetoialmente: (esp. b ) EX. Veifique o teoema da divegência consideando o paalelepípedo x = ; x = 1; y = ; y = ; z = ; z = (ve figua abaixo) e o campo Solução: E = yi + x j.

39 E E E x y z = yx = x = Pelo teoema da divegência temos: V EdV = E d S Paa veifica esse teoema devemos calcula os dois lados mostados que são iguais. Começando com o lado esquedo: E E x y Ez EdV = ( + + ) dxdydz V x y z 1 1 = (y + + ) dxdydz = dx ydy dz = ( x )( y )( z ) = 14 = 1 (lado esquedo) Paa o lado dieito: E d S = S ABCD A B C D ABA B DCD C ADA D BCB C Paa a face ABCD: ABCD E d S = ( yxi + x j) dxdyk = Igualmente paa as outas faces: E d S = A B C D ABA B 1 E d S = ( yxi + x j) ( j) dxdz = x dxdz E d S DCD C x 1 = ( )( z ) = 1 1 = x dxdz = 1 E d S ( yxi x j) idydz yxdydz ADA D + = ; ( x = 1) = () () Finalmente: BCB C = 1 E d S = ( yxi + x ) ( i) dydz = yxdydz = S

40 pois x = na face BCB C. Somando todas as faces: lado dieito V V que é o significado do teoema. Logo E d S = Ed = 1 ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO. 11_1. Intodução; 11_ Enegia Potencial Elética; 11_ Difeença de Potencial Elético; 11_4 Potencial Elético; 11_5 Apêndice. 11_1 Intodução Emboa os conceitos de enegia potencial difeença de potencial e potencial eléticos estejam inteligados é impotante faze a distinção ente eles. Também é impotante nota que esses tês conceitos só faão sentido se o campo elético fo consevativo que é o caso da eletostática. Po definição um campo é consevativo se o tabalho ealizado na sua pesença paa move um objeto de A até B não depende do pecuso que liga A a B. Equivalentemente se o campo é consevativo o tabalho ealizado em qualque pecuso fechado abitáio é nulo. A pova dessa afimativa é bastante simples: Se F dl = paa todo C então essa integal não depende do pecuso. Pova C (ve figua A_11.1): 5 B F dl = F dl + F dl = C A( C1) B( C) A Invetendo o limite da segunda integal:

41 B A B A F dl F dl = F dl = F dl A B A B ( C1 ) ( C ) ( C1 ) ( C ) Igualmente se o tabalho não depende do pecuso então o campo é consevativo. Paa mosta isso basta invete a odem da dedução acima. 11_ ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA Façamos uma analogia com a enegia potencial gavitacional. Quando levantamos uma peda o tabalho que ealizamos conta a foça gavitacional é amazenado no sistema Tea + peda sob a foma de enegia potencial gavitacional: se soltamos a peda ela caiá tansfomando sua enegia potencial gavitacional em enegia cinética. No caso de cagas eléticas quando ealizamos um tabalho paa move qualque caga de um ponto a outo póximo de uma segunda caga esse tabalho fica amazenado sob a foma de enegia potencial elética: se soltamos uma das cagas ela seá aceleada paa longe ou paa peto da outa dependendo do sinal de ambas. Como o tabalho que ealizamos paa move a caga é feito conta a foça elética seja paa afasta ou paa apoxima uma caga da outa a meno foça extena F ext que devemos exece sobe a caga q paa movê-la deve se igual em módulo à foça de Coulomb: F ext = F c = qe. A enegia potencial elética é definida como sendo o (meno) tabalho W ealizado po um agente exteno ( F ext ) paa move uma caga de um ponto A a outo ponto B. Matematicamente: W B AB = F dl dl = dxi + dy j + dzk (catesianas) A ext ou dl = d + d + dzk (cilíndicas) dl = d + d + sen d (esféicas) [W] = Joule (J) Impotante: na integal acima q é a caga conduzida de A até B e não a caga que poduz o campo E. 11_ DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO A difeença de potencial elético (DDP) é simplesmente o tabalho WAB po unidade de caga q: W Joules V V V E dl [ VAB ] = Coulombs B AB AB B A q = = = A

42 Note que se VB = VA isto é se o pecuso fo fechado E dl =. Essa é a condição paa que E seja consevativo e em teoia de cicuitos é conhecida po lei de Kichoff. Compaando W AB e V AB podeíamos intepeta V AB como sendo o tabalho W AB ealizado po um agente exteno paa move uma caga de 1 Coulomb desde A até B. Repae entetanto que a unidade de V AB é Joule/Coulomb sendo potanto gandezas difeentes. 11_4 POTENCIAL ELÉTRICO O potencial elético V() é simplesmente a DDP VA VB tomada em um ponto tal que V B = : VA = V. O ponto V B = é em geal pé-estabelecido ou especificado de antemão. Matematicamente: V o B = E dl O limite infeio denotado po O é uma efeência escolhida tal que V(O) é nulo. Po exemplo paa uma caga puntual V(O) é nulo no infinito já paa um plano infinito O deve se escolhido como sendo a oigem do sistema de coodenadas. Em medidas expeimentais é usual estabelece um potencial nulo no solo (Tea). Paa que esse ponto não fique confuso talvez seja útil ecoe à analogia com o potencial gavitacional. Paa uma peda abandonada de uma ceta altua é mais conveniente escolhe essa altua em elação ao nível com o qual a peda iá se choca (ve figua 11.1) emboa o zeo pudesse se escolhido de foma inteiamente abitáia. Em outas palavas o impotante é a difeença de potencial elético ente os dois pontos quaisque e não o potencial. Po exemplo se A E dl é o potencial no ponto A e o V = então VB VA independe da efeência O. Pova: B E dl é o potencial no ponto B o V = V V = E dl + E dl = ( E dl + E dl ) B A B A B A ; B C C A B. A em que usamos f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx

43 Fig. 11.1: A efeência O pode se escolhida abitaiamente. Note que consideando mgh constante a escolha de O no infinito leva a W infinito! EX. 1: a) Calcule o potencial elético devido a uma caga Q puntual em um ponto B (escolhe O no infinito); b) Calcule VB VA ente dois pontos A e B quaisque; c) Calcule o tabalho necessáio paa move uma caga q de A paa B; c) V B VB VA e W AB dependeam do caminho? Po que? Solução: a) Paa uma caga puntual: kq( ) E =. Escolhendo = (caga na oigem simetia esféica): kq B E = V ( ) B = E dl B kq VB = ( d + d + sen d) como B kq kq B 1 1 VB = d = [ ] = kq( ) B kq VB = (esp a ) B kq b) Fazendo B A temos: VA = B kq 1 1 VB VA = ( ) (esp b ) B B A WAB c) Como VAB W q( VB VA) q = = ou 1 1 W = kqq( ) (esp. c ) B A

44 d) Tanto V B quanto VB VA e W AB só dependem da posição final B e 1 1 B A espectivamente. Potanto não dependem do pecuso que leva a esses pontos. Note ainda que se B = A (pecuso fechado) E dl = W V AA = AA =. ELETROMAGNETISMO 11ª Aula : CAMPOS CONSERVATIVOS: O CAMPO COMO O GRADIENTE DO POTENCIAL 1_1 Potencial De Váias Cagas e De Distibuição Contínua De Cagas; 1_ E u Como Gadiente De V. () Intodução Vimos na aula anteio que um campo é consevativo se o tabalho ealizado na sua pesença paa move um objeto de A até B não depende do pecuso que liga A a B.

45 Equivalentemente se o campo é consevativo o tabalho ealizado em qualque pecuso fechado abitáio é nulo. A pova dessa afimativa é bastante simples: Se F dl = paa todo C então essa integal não depende do pecuso. Pova C (ve figua A_11.1): 5 B F dl = F dl + F dl = C A( C1) B( C) A Invetendo o limite da segunda integal: B A B A F dl F dl = F dl = F dl A B A B ( C1 ) ( C ) ( C1 ) ( C ) Igualmente se o tabalho não depende do pecuso então o campo é consevativo. Paa mosta isso basta invete a odem da dedução acima. 1_1 POTENCIAL DE VÁRIAS CARGAS E DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS Vimos também na aula anteio que o potencial V () em um ponto ( x y z ) qualque em elação a uma efeência O tal que V(O) = é dado po V () = E dl (1) kq1 Paa uma caga puntual vimos também que V() = paa uma caga na oigem ( = ). Paa o caso da caga que gea o potencial não esta na oigem (ve figua 1.1) teemos : kq V() = Como o potencial é um campo escala o potencial esultante em devido a váias cagas puntuais é a soma: V ( ) = V ( ) + V ( ) +... V ( ) = V ( ) ou 1 N N i= 1 N

46 V ( ) = kq + kq +... kq = kq N 1 N i i 1 1 N = i e paa uma distibuição contínua de cagas: dq V () = k () sendo dq = LdL ou dq S densidade depende de cada ponto ( x y z ) isto é = ds ou dq = V dv confome o caso. Note que em geal a = ( ) ; x = L S v. 1_ E u COMO O GRADIENTE DE V. () De acodo com a Eq.(1) x x V () = - ò u E dl u o que implica dv = - E dl. o Paa veifica essa última equação basta integá-la de O até e compaá-la com a pimeia. Dessa última equação: dv = - ( E $ i + E $ j + E $ k) ( dxi $ + dy$ j + dzk $ ) ou x y z dv = - ( E dx + E dy + E dz) x y z Lembando do cálculo que a difeencial de uma função V( x y z ) é dada po V V V dv = dx + dy + dz x y z V V V igualando () e (4) temos Ex =- ; Ey =- ; Ez =- e potanto: x y z u V V V u E = - $ i- $ j - $ V V V k ou E = - ( $ i + $ j + $ k) ou ainda: x y z x y z () (4) (5) Nota: V 1 V V Ñ V = $ + f$ + $ k (cilíndicas) f z V 1 V 1 V Ñ V = $ + $ q+ f$ (esféicas) q senq f

47 EX. 1: Na figua abaixo (fig 1.) enconte a) o potencial devido a uma distibuição unifome anela de cagas positivas em um ponto P situado ao longo do eixo do anel cujo aio vale R. b) calcule E u usando a expessão do potencial calculado no item anteio. Solução: a) V () = dq k ò - dq = ( ) dl = dl L = zk $ ; = L $ ; 1 - = ( z + ) \ dl = df = Rdf Rdf V () = k = df \ V () = p L ò L 1 1 ò ( R + z ) 4 pe( R + z ) L( pr) kq ou V() = pe ( R + z ) ( R + z ) V() = R L 1 e ( R + z ) (esp. a ) u u b) Como E= - Ñ V basta deiva em elação a z que é a única vaiável apaecendo em V isto é V=(z). Isto pode se feito em coodenadas cilíndicas ou catesianas: u u E V ( V V = - Ñ = - $ + f$ + V $ k) f z - 1 u LR LR E = $ k = - ( R + z ) $ k ou 1 z e z e ( R + z )

48 R - u 1 L E = - (- )( R + z ) zk $ \ 4e u L 1 E = R (esp. b ) 4e ( R + z ) EX. : O potencial de uma caga puntual localizada na oigem ( = ) em um 1 Q u ponto P qualque localizado a uma distância da oigem é V() =. Enconte E () 4pe.. Solução: u V 1 V 1 V Como Ñ V = $ + $ q+ f$ então q senq f u u V 1 Q E = - Ñ V = - $ = - ( ) $ \ 4pe u Q E= $ (esp.) 4pe EX. : Refaça o execício anteio paa ( ¹ ).

49 ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : DENSIDADE DE ENERGIA NO CAMPO ELETRÓSTÁTICO 1_1. Enegia Potencial de N Cagas Eléticas Puntuais; 1_ Enegia de Uma Distibuição Contínua de Caga Elética; 1_ Enegia Amazenada No Campo Elético; 1_5 Execício. 1_1 ENERGIA POTENCIAL DE N CARGAS ELÉTRICAS PUNTUAIS Na aula anteio vimos que a enegia potencial elética de uma caga na pesença de um campo E é o tabalho ealizado (po uma foça extena) paa move essa caga de um ponto a outo. Em temos de potencial V( A) = VA no ponto A o tabalho WA ealizado paa move uma caga q desde O é A WA q E dl ou simplesmente W O A = qva em que V( O) = VO = e VA = V( A) é o potencial no ponto A = ( xa ya za). Paa uma kq caga puntual VA =. A Paa enconta a enegia potencial de uma configuação de cagas situadas numa egião qualque devemos calcula o tabalho ealizado paa move cada uma da cagas eléticas desde o infinito até a posição ocupada na configuação. O tabalho total é a somatóia do tabalho gasto paa posiciona cada caga. Paa cagas puntuais em que V é nulo no infinito começamos calculando o tabalho paa popociona a pimeia caga q1 que é: W1 = qv 1 = pois V = uma vez que não há cagas geando V. Paa posiciona uma caga q em póxima de q1 (onde agoa existe o potencial devido a q1) o tabalho W gasto é (ve figua 1.1): kq1 W = q( ) qv1 1 em que V 1 significa o potencial em devido à caga q1. Paa taze um teceia caga q do infinito e colocá-la em póximo de q 1 e q o tabalho W seá: W = qv 1 + qv em quev 1 indica o potencial em devido a q 1 e V indica o potencial em devido à caga q. Em geal Vij indicaá o potencial em i devido à caga taze uma caga q 4 do infinito e colocá-la em 4 póxima de q1 q q seá: q j. O tabalho W 4 paa

50 W4 = q4v41 + q4v4 + q4v4 É fácil obte a expessão paa o tabalho gasto paa se taze outas cagas do infinito. A enegia potencial seá o tabalho total: W = W + W + W + W +... ou W = qv1 + qv 1 + qv + q4v41 + q4v4 + q4v (I) Essa última expessão que muitas vezes é mais pática de se usa paa cagas puntuais pode se eescita obsevando que qv = qv (ve figua 1.): q kq = q kq Desse modo podemos esceve o tabalho total como: W = q1v 1 + q1v 1 + qv + q1v 14 + qv4 + qv (II) Somando (I) e (II) temos: W = q [ V + V + V +...] q [ V + V + V +...] q [ V + V + V +...] Note que V1 + V1 + V V ( 1 ) = V1 é o potencial esultante em 1 onde se localiza q 1 devido às demais cagas; V1 + V + V V ( ) = V é o potencial em onde localiza q devido às demais cagas idem paa V ; V 4 ; etc. Então: 1 W = ( qv qv + qv +...) ou N 1 W = qv i ( i) (III) i= 1 Potanto paa se calcula a enegia potencial elética de N cagas puntuais podemos usa qualque uma das equações III e III acima.

51 1_ ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA ELÉTRICA A genealização paa o caso de distibuições contínuas de caga pode se feita imediatamente a pati da eq. III fazendo N : N 1 1 W = qv i ( i) W = dqv ( ) (IV) i= 1 Em que na equação IV a integal é feita em toda a egião onde houve cagas. 1_ ENERGIA ARMAZENADA NO CAMPO ELÉTRICO A pati da eq. (IV) podemos obte uma expessão elacionando a enegia potencial com o campo elético poduzido pela distibuição de cagas. Paa faze isso suponhamos uma distibuição volumética de cagas em que dq dv = v W 1 = Vdv V v (5) 1 ( E) W = Vdv Nessa última equação usamos E = V. Usando a identidade ( EV ) = ( E) V + E ( V ) (note a semelhança com a ega do poduto paa deivadas) podemos esceve a Eq.(5) como W 1 1 = ( ) EV dv - E Vdv (6) V v Usando o teoema de divegência e E = V a Eq.(6) fica: W 1 1 = ( ) EV d S + E Edv S v sendo S a supefície que limita o volume v. (7) Essa última expessão pode se simplificada se fizemos o volume tende paa o infinito. De fato como a supefície S que limita o volume v é abitáia poque não escolhê-la como sendo infinitamente gande? Fazendo então o volume v e conseqüentemente a supefície S tende a infinito o integando da pimeia integal se anula pois:

52 11 lim = EVS EVS e potanto a expessão final paa a enegia amazenada numa distibuição contínua de cagas é (8) Note que enquanto a integal na Eq.(5) é feita na egião onde houve cagas a integal na Eq.(8) deve se feita em toda a egião onde houve campo. EX. 1: Calcule a enegia eletostática de uma esfea de aio R unifomemente caegada de caga com caga Q. Solução: O potencial na supefície da esfea é usando a Eq.(IV): kq V( R) = e potanto de W R 1 = dqv () W 1 KQ S = S ds = kq ds kq Q R R = = R 8 R Outo caminho - usando a Eq.(8): 1 W = sen ddd = send d R kq k Q d ( ) W 1 Q d Q = ( )() (4 ) = 8 R R.

53 ELETROMAGNETISMO 1ª Aula : CORRENTE ELÉTRICA DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA LEI DE OMH E RESISTÊNCIA ELÉTRICA. 1_1 Coente e Densidade de Coente; 1_ A Equação da Continuidade de coente; 1_ Lei de Ohm na Foma Vetoial; 1_4 Resistência de Um Conduto e Lei de Ohm. 1_1 CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA A coente é definida como sendo a taxa de vaiação das cagas lives (positivas): dq I = (Eq. 1_1) dt Já a densidade de cagas ( J ) é definida como sendo a coente I pela áea A de seção tansvesal de um conduto (figua 1.1): J I = ou I = JA (Eq. 1_) A A coente I em geal é definida como sendo um escala já a densidade J é definida como sendo um veto cujo sentido coincide com o sentido de movimentação da coente. No caso mais geal em que J e ds não coincidem (ve figua 1.) a coente I é obtida como o fluxo J do veto J : I J d S (Eq. 1_) S =

54 O veto J está elacionado à velocidade v dos potadoes de caga. Considee po exemplo a Figua 1. abaixo na qual um volume elementa se movimenta ao longo do eixo y: dq dxdydz I = = V = vvydxdz dt dt I v ds = V y y z I Logo: Vvy ds como v é um veto: 1_ A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE DA CORRENTE ds áea pependicula a z ou J Vvy = ou ainda J = v (Eq. 1_4) A equação da continuidade de coente expessa matematicamente a consevação da caga elética num ponto. Suponha po exemplo um volume qualque do qual uma ceta caga está fluindo (Fig.1.4). Então Q deve diminui isto é: dq I = (Eq. 1_5) dt O sinal negativo indica apenas que Q. Da equação (1-) temos: V I dq = = dt J d S ou como Q V S = dv : d J d S = dv S V Vdv dt = (Eq. 1_6) t v Note que S é a supefície que limita o volume v. Pelo teoema da divegência - J d S = Jdv S - a equação (1-6) pode se escita como: V t V Jdv = (- ) dv V (Eq. 1_7) V V e potanto: J = (Eq. 1_8) t que é a equação da continuidade. Ela indica que a coente que flui paa foa de um ceto volume é igual ao decéscimo da caga em cada ponto dento desse volume.

55 1_ LEI DE OHM NA FORMA VETORIAL Em um mateial conduto a foça elética sobe uma caga Q é dada po: F = QE (Eq. 1_9) Além disso a velocidade adquiida pela caga é dietamente popocional ao campo elético isto é: v = E (Eq. 1_1) e em que a constante de popocionalidade é a mobilidade do eléton em um dado e mateial. Como J = E ou ( Ve ) V e J = v (veja equação 1-4) então: V (Eq. 1_11) que é a Lei de Ohm na foma vetoial (ou puntual). A constante é a condutividade do mateial. Paa condutoes típicos (cobe pata ouo etc.) 1 /m ohmmeto 1_4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA E LEI DE OHM Paa um conduto qualque valem as equações: V AB A E dl (Eq. 1_1) B = I J d S (Eq. 1_1) S = A esistência R de um mateial é definida como sendo a azão entev AB e I : R = A E dl B J d S (Eq. 1_14) Paa o caso de um conduto cilíndico de seção tansvesal S (ve figua 1.5) se E é unifome: VAB El l = = = R [ R] = ohm = ou (Eq. 1_15) I JS S

56 e nesse caso a Eq. 1_15 é chamada de lei de Ohm. Note que a elação VAB sempe sendo V AB e I deteminados nas equações (Eq. 1_1) e (Eq. 1_1). Note = RI é válida também que a lei de Ohm é um caso paticula em que R obedece a uma elação linea ente V AB e I (ve figuas 1.6a e 1.6b): VAB I (esisto ôhmico) VAB I (esisto não-ôhmico) 14ª Aula : CONDUTORES 14_1 Popiedade dos Condutoes: ELETROMAGNETISMO A Caga elética é nula no inteio de condutoes - A equação da continuidade de coente elética; 14_1- O Campo Elético é nulo no Inteio de um Conduto; 14_1- As cagas eléticas se situam na Supefície do conduto; 14_1-4 O campo elético é pependicula à supefície do conduto; 14_1-5. O conduto é um equipotencial. 14_1 PROPRIEDADE DOS CONDUTORES Um conduto é po definição um mateial no qual um ou mais elétons de cada átomo (conduto metálico) é live paa se move atavés desse mateial. Em condutoes líquidos tal como a água salgada são os íons que se movem. As seguintes popiedades eletostáticas se veificam paa um conduto típico: i) a caga elética no seu inteio é nula; ii) o campo elético no seu inteio é nulo; iii) em um conduto caegado a caga elética se localiza na supefície; iv) o campo elético é sempe pependicula à supefície do conduto; vi) um conduto é um eqüipotencial isto é dois pontos quaisque estão sempe a um mesmo potencial.

57 14_ A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA CONDUTORES Quando afimamos que E = dento do conduto estamos nos efeindo a situações estáticas pois é clao que ao colocamos um conduto na pesença de um campo E ext as cagas lives em seu inteio migaão paa a supefície dando oigem a uma coente elética intena. Mostaemos agoa que em condutoes típicos essa coente existiá em um tempo tão ápido que dificilmente seá acessível expeimentalmente podendo paa efeitos páticos se ignoada. Em outas palavas ao colocamos um conduto em um campo elético as cagas instantaneamente ião paa a supefície. Paa mosta isso vamos esolve a equação da continuidade em temos da densidade volumética V : V J + = (Eq. 14.1) t Usando a lei de Ohm J = E e a lei de Gauss E = temos: V V ( E ) + = t t ou ( t ) = ( )e (Eq. 14.) V V V t V = e potanto: O gáfico da Eq.(14-) está mostado na Fig Paa exemplifica vamos calcula quanto tempo leva até que 9999% das cagas existente no inteio do conduto migem paa a supefície. Da Eq.(14-): t V ( t ) = e ou V ( ) V( t ) t V( t ) ln = ln e t = ln ( ) ( ) V Paa condutoes típicos /m V ; além disso 1 1 F / m. Substituindo esses valoes obtemos t 1 1 ln ou t 1 s 1 que é um tempo muito pequeno paa se medido expeimentalmente podendo se consideando nulo paa efeitos páticos. 14_ Campo elético dento dos Condutoes Quando um conduto é colocado em um campo elético as cagas lives dento do conduto migam paa a supefície povocando uma polaização. Na situação de equilíbio eletostático que ocoe quase instantaneamente como vimos acima o campo elético

58 exteno E ext é cancelado pelo campo esultante da polaização dento do conduto (ve figua 14.1). Conduto na Conduto na ausência do pesença do campo E : campo E. ER = Eext + Eint = É admiável que o cancelamento do campo dento do conduto se dê po completo o que se veifica facilmente em laboatóio. Uma impotante aplicação dessa popiedade é a gaiola de Faaday cujo pincípio pode se facilmente demonstado po um expeimento simples utilizando os seguintes mateiais: uma pequena peneia metálica fagmentos de papel um pente e um pedaço de boacha cuja supefície seja maio do que a peneia. Coloque os pedaços de papel sobe a boacha e esfegue o pente nos seus cabelos. Veifique que ao apoxima o pente dos pedaços de papel estes são ataídos pelo pente. Use a peneia metálica paa cobi os pequenos pedaços de papel e veifique que agoa os fagmentos deixam de se ataídos pelo pentes. 14_4 Cagas na Supefície. As cagas lives em um conduto se localizam po assim dize no único luga que podeiam esta: na supefície. Essa é uma conseqüência dieta do que foi discutido nas seções 14- e _5 Campo na Supefície O E ext é pependicula à supefície do conduto (se houve uma componente tangencial as cagas se movimentaiam pela supefície geando uma coente supeficial o que não se veifica - ve figua 14.). Potanto a situação de equilíbio exige que o E ext seja pependicula à supefície.

59 14_5 Um conduto é um equipotencial (figua 14.) pois A a) Na supefície: VA VB = E dl = uma vez que E dl. B A b) No inteio: VA VB = E dl = uma vez que E =. B Conseqüentemente em um conduto VA =VB. 15ª Aula : DIELÉTRICOS ELETROMAGNETISMO 15_1 Dieléticos e o Veto ; 15_ Lei de Gauss paa Dieléticos; 15_ Dieléticos Pefeitos. 15_1 DIELÉTRICOS E O VETOR P. Um dielético (ou isolante) é po definição um mateial no qual não há cagas lives em seu inteio. Ao contáio do conduto potanto em um dielético as cagas estão fotemente ligadas de modo que um campo elético exteno povocaá no máximo uma sepaação das cagas positivas e negativas (ve figua 15.1a-c).

60 Obseve que o efeito final da aplicação de um campo exteno em um dielético é a fomação e alinhamento de dipolos elementaes: quanto maio E ext maio a quantidade N de dipolos elementaes fomados e/ou alinhados ao campo ext. Macoscopicamente obseva-se uma polaização do dielético (ve figua 15.). E a) Vista macoscópica esquemática de um dielético na pesença de E ext polaizado. b) Uma foma equivalente de epesenta um dielético polaizado: veto que liga p R = Qd ( d é o Q a + Q ).

61 Pof. Calos Eduado Fenandes 66 Paa medi o efeito do campo exteno sobe o dielético define-se o veto polaização P cujo módulo é igual à quantidade de dipolos eléticos poduzidos po volume do mateial : P p (Eq 15_1) V N i = i em que pi = Qi di é o i-ésimo momento de dipolo molecula poduzido na molécula pola ou apola. Em um mateial dielético qualque teemos pois (ve figua 15.): N NQPd QTP A P = = = = SP ; Q T = NQ ou seja P = S (Eq. 15_) V Ad A Isto é o módulo de P é igual à densidade supeficial de cagas de polaização. Paa uma densidade vaiável de cagas de polaização Q = ds = PdS (ve Fig. 15.): = P d S e potanto S s = P n (Eq. 14_) P S S ou em geal Pa o caso de uma polaização não unifome isto é ( xyz ) VP = VP haveá uma acumulação de cagas dento do dielético (ve figua 14.4) sendo a caga( Q P ) dento do mateial numeicamente igual à caga na supefície: Q VP = Q ou da Eq.(14-) PS SPd = P d S (Eq 15_4) S pelo teoema da divegência: d Pd SP = P SP = (Eq. 15_5)

62 Pof. Calos Eduado Fenandes 67 15_ LEI DE GAUSS PARA DIELÉTRICOS A lei de Gauss é Q T E d S = ou S E = (Eq. 15_6) VT em que Q (( V )) diz espeito à caga (densidade de caga) total dento da gaussiana. Suponha que a caga (densidade de cagas) total seja a soma: QT = QP + Q VT = VP + V (Eq. 15.7) VP ;Q VP cagas ligadas fomadas po polaização; ;Q V cagas lives ou excesso de cagas que é a caga susceptível de medição. Substituindo a Eq. (15_7) na Eq.( 15_6) temos: VP V E + = Substituindo (Eq. 15.5) em (Eq. 15_8) temos: ( E) ( E P) + P= ou V + = ou ainda V D = V (Eq. 15.9) D = E + P (Eq. 15_1) A Equação (9) é a lei de Gauss na pesença de dielético e a Equação (1) é chamada de elação constitutiva. Paa mateiais ditos lineaes o veto P e o campo E são popocionais isto é: E (mateiais lineaes) ou = xe (Eq. 15_11) e em que a constante de popocionalidade k = xe foi assim escolhida po conveniência. Substituindo a Eq. (15.11) na Eq.(15_1): D E x E ( x )E = 1 + e = + e ou D = E (Eq. 15_1) em que

63 Pof. Calos Eduado Fenandes 68 x e é a susceptibilidade elética do meio; = ( + x ) é a pemissividade elética do meio; 1 e R = 1+ xe = é a pemissividade elética elativa ou simplesmente constante dielética do meio. Paa alguns mateiais (veja a tabela 15_1 abaixo) R não difee essencialmente de em odem de gandeza. Mateial Mateial R R Vácuo 1 Benzeno 8 Hélio 165 Diamante 57 Hidogênio 15 Sal 59 A seco 154 Silicone 118 Nitogênio 155 Metanol Vapo d água 1587 Água 81 Tabela 1: R obtido a1atm e à C.

64 Pof. Calos Eduado Fenandes 69 16ª Aula : EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ELETROMAGNETISMO 16_1 Lei de Gauss paa Dieléticos (evisão); 16_ Execícios Resolvidos. 16_1 Lei de Gauss paa Dieléticos (evisão); Vimos na última aula que a lei de Gauss na pesença de dielético se esceve como: D d S = Q ou D = v (Eq. 16_1) sendo Q o excesso de cagas e a densidade cagas e v D = E + P (Eq. 16_) em que D é o veto deslocamento elético e P é o veto polaização (momento de dipolo/volume). Paa alguns mateiais chamados de dieléticos pefeitos existe uma elação linea ente E e P : P E ou P = xe E (Eq. 16_) em que x e é a constante de popocionalidade escolhida assim po conveniência. Substituindo a Eq. (16_) na Eq. (16_) temos: D = (1 ) E + xee = + xe E E (Eq. 16_4) sendo: xe susceptibilidade elética do meio pemissividade elética do meio R = = (1 + xe) pemissividade elética elatividade ou constante dielética do meio. Note que paa os dieléticos pefeitos da Eq. (16-4) esulta: D x = E ; Dy = Ey ; Dz = Ez x

65 Pof. Calos Eduado Fenandes 7 EX. 1: Uma esfea condutoa de aio R 1 está caegado com caga Q. Envolve-se essa esfea com um isolante também esféico de R R 1 e pemissividade.esboce o gáfico de DEe P em função da distância. Solução: i) dento do conduto E = e potanto das Eqs.(16--4) D = e P =. ii) paa R1 R Q 4 D Q E = = 4 ; xq P = xe = 4 D d S = Q D = ; S iii) paa R : Q 4 D d S = Q D = e S D Q E = = 4 ; P = RIGIDEZ DIELÉTRICA A igidez dielética é po definição o maio valo do campo elético que os dipolos eléticos de um mateial podem supota sem se ompe isto é sem libea elétons. A pati desse maio valo o dielético passa a se conduto. Note entetanto que estamos nos efeindo ao campo elético ciado dento do dielético que suge devido à polaização do mateial. Paa o caso do a especificamente o valo da igidez dielética é da odem de x 1 6 V/m. A pati desse valo o a passa a se conduto ocoendo o chamado efeito coona em que algumas centelhas são facilmente vistas devido à descaga elética.

66 Pof. Calos Eduado Fenandes 71 Ex..: Um geado de van de Gaff consiste em uma esfea metálica de aio R sendo eleticamente caegada de foma contínua. Calcule o valo da tensão que a esfea do geado pode supota sem atingi o efeito coona. Suponha R = cm. Resposta: O potencial elético e o campo elético na supefície de uma esfea condutoa são Q Q espectivamente V = k e E = K R R. Potanto o maio valo do campo elético ocoe paa menoes valoes de R. Como a igidez dielética do a é x 1 6 V/m Paa R = 1m 6 KQ KQ 1 V 6 temos 1 = =. = e potanto V = 1 volts. R R R R Ex.: Enconte o valo da polaização no inteio de uma amosta em que o veto deslocamento elético D vale pc/m. R: Ex.: Sabendo que uma amosta tem 1 moléculas/m e que ao aplica um campo elético exteno de 1 4 volts cada uma das moléculas poduz um momento de dipolo igual a x 1-4 C.m calcule a polaização.

67 Pof. Calos Eduado Fenandes 7 17ª Aula : CAPACITORES. 17_1 Capacitoes e Capacitância 17- Associação de Capacitoes; 17_ Enegia no Capacito. 17_1 Capacitoes e Capacitância ELETROMAGNETISMO Um capacito é um dispositivo fomado po dois condutoes cuja cagas supeficiais são colocadas póximas uma das outas e são muito úteis como amazenadoes de enegia eletostática. Os tipos mais comuns de capacitoes são as de placas paalelas (Figua 16._a) o capacito cilíndico (Figua 16._b) o capacito esféico (Figua 16._c). Uma esfea isolada amazena enegia ao edo e pode se imaginada como um capacito em que uma placa é o conduto de aio R e outa placa se situa no infinito.

68 Pof. Calos Eduado Fenandes 7 A capacitância é definida como sendo a azão ente a caga Q positiva de um capacito caegado e a difeença VAB (em valo absoluto) ente as duas placas do capacito. É inteessante nota que como VAB popocional a Q a capacitância definida como Q Coulomb C = ; [C ] = = Faaday (Eq. 16_5) V Volt é independente de Q e V sendo uma constante que depende apenas do fomato (geometia) do capacito. EX.1 Calcule a capacitância de uma capacito de placas de1cm de áea sepaada po uma distância d=1cm. A constante dielética do meio ente as placas é R = 5 : Solução: Q D d S C = = V B E dl A (Eq. 16.5) Escolhendo a gaussiana que comece dento de uma das placas condutoas e toque um ponto ente as placas (Fig. 16.4) teemos: Q D d S = Q D = como D= E S Q E = Q = ES (Eq. 16_6) S B VAB = E dl = Ed V = Ed (Eq. 16_7) A Substituindo (Eq. 16_6) e (Eq. 16_7) em (Eq. 16_5): ES S C = C = Dos dados do poblema: R Ed d = = 5 ; S = 1cm d 1 = cm : ( 11 ) C = F 1 1 C F = ou C = 4 pf 17_1 Associação de Capacitoes As capacitoes podem se dispostos em séie ou em paalelo (figua 17.1):

69 Pof. Calos Eduado Fenandes 74 Numa associação em séie de capacitoes (Fig.17.1a) a tensão ente os pontos AB é q1 q V = V1+ V e as cagas em cada capacito são iguais. Como C1 C e V 1 V qr CR então dividindo V = V1+ V pela caga q e usando a definição de capacitância V teemos: V V V q q q 1 = + logo: = + (Eq. 17_1) C C C R 1 No caso de associação em paalelo (Fig.17.1b) a caga total é q = q1+ q e as q q1 q tensões em cada capacito são iguais. Assim = + ou V V V C = C + C (Eq. 17_) R 1 EX. 1: Enconte a capacitância equivalente do cicuito abaixo: Solução: = + C 1 R = C1 + esp. C C C C4 4 17_ Enegia no Capacito Quando uma difeença de potencial V é aplicada a um capacito a enegia nele amazenada ocoe pela tansfeência de cagas de uma placa paa outa. Como vimos W = V ou W = qv. Se uma caga dq infinitesimal fo tansfeida pela tensãov então uma q enegia dw infinitesimal teá sido tansfeida ao capacito. Matematicamente: dw = Vdq (Eq. 17_) como q = CV dq = CdV (C = constante) e dw = CVdV (Eq. 17_4) integando a Eq. (17_4) desdew = até W e desde V = até V teemos CV W = (Eq. 17_5)

70 Pof. Calos Eduado Fenandes 75 ou substituindov = q : C q W = (Eq. 17_6) C EX. : Moste usando os conceitos acima que a densidade de enegia eletostática em um capacito de placas planas paalelas de áea S e sepaadas de uma distância d é dw 1 é i = = E. d Solução: ComoV = Ed e = Ad sendo o volume do capacito A a áea de cada placa e d a distância ente elas então a densidade de enegia seá: W CV A V V = = E Ad d = = (Resp.) Ad d EX. : Um capacito de placas planas paalelas de áea S é peenchido com dois dieléticos como mosta a figua abaixo. Enconte a capacitância equivalente. Solução: Podemos pensa nesse sistema como uma associação em séie como sugee a figua Potanto: S S = + com C1 = e C = C C C d d R 1 1 d1 d 1d1 d = + = + CR 1S S S 1 1 EX. : Um capacito de placas cilíndicas concênticas longo (ve figua 17.) é peenchido com um dielético de pemissividade. Enconte sua capacitância. Solução: a = aio inteno b = aio exteno

71 Pof. Calos Eduado Fenandes 76 L = compimento L b q a C = ; Vab = E dl V (Eq. 17_7) b O campo E pode se obtido da lei de Gauss: D d S = q D( )L = q q = LL L L D = E = ou L E = (Eq. 17_8) Substituindo a Eq. 17_8 na Eq. 17_7 temos: V AB a a L L d L a = d = ln b = b b L b VAB = ln a Q LL L C = = = (Resp.) V ab L b b ln ln a a ELETROMAGNETISMO 18ª Aula : FORÇA DE LORENTZ E LEI DE BIOT-SAVART. 18_1 Coente elética e Campo Magnético; 18_ Foça de Loentz; 18_ Foça Magnética em Condutoes; 18_4 Campos Magnéticos Estacionáios e a Lei de Biot-Savat 18_1 Coente Elética e Campo Magnético Até agoa consideamos apenas situações de cagas (discetas ou contínuas) estáticas onde pedominam a foça de Coulomb (figua 18.1).

72 Pof. Calos Eduado Fenandes 77 F 1 QQ 1 = = ( 1 ) 1 1 Q1 a pati da qual obtivemos: E( ) = 4 1 que é o campo elético em ciado po Q 1 situada em 1 e Q E d S = ou E = L (lei de Gauss) S Imagine agoa a seguinte expeiência (ve figua 18.): 1 a) cicuito desligado b) coente em dieções c) coente na mesma opostas:foça de epulsão dieção: Foça de atação Se colocamos uma caga de teste Q em epouso póxima ao fio das Figs. (18._ac) veemos que ela não expeimenta nenhuma foça: os fios estão neutos apesa do movimento de cagas (coente elética). Entetanto se posicionamos uma bússola póxima aos fios das Figs.(18._b-c) veemos a agulha aponta numa dada dieção. Essa foça de natueza magnética suge sempe que há cagas em movimento ainda que o fio conduto esteja neuto. Potanto difeentemente de cagas estacionáias que poduzem um campo elético eletostático E cagas eléticas em movimento poduzem - além de E - um campo magnético B. Expeiências com agulhas suficientemente pequenas e limalhas de feo colocadas póximas a um fio pelo qual passe uma coente I mostam a seguinte configuação paa as linhas de foça do campo magnético Figs. (18.a-b): a) Conjunto de agulhas b) Limalhas de fe póximas a um fio con- o póximas a um duzindo coente fio conduzindo coente coente. As agulhas e as limalhas de feo dão uma pista de como as linhas de foça do campo magnético estão dispostas em tono do fio. Po convenção ao segua um fio de modo que o polega dieito aponte no sentido da coente os outos dedos giaão no sentido do campo magnético.

73 Pof. Calos Eduado Fenandes 78 18_ Foça de Loentz Seja a Fig abaixo. Analisando a dieção do campo B no qual está imeso o fio da dieita que chamaemos de fio teste a dieção da velocidade v das cagas que se movimentam dando oigem à coente no fio teste e a dieção da foça expeimentada no fio teste veemos a seguinte configuação: Fig. 18.4: Configuação de F Bv paa coentes de mesmo sentido: esses tês vetoes são pependiculaes ente si. Note da Fig. (18.4) acima que F v B sendo fácil imagina um poduto vetoial ente eles. De fato a foça poposta po Loentz e que tem esistido aos testes expeimentais consideando uma caga Q com velocidade v na pesença de um campo magnético B é: ( ) F mag Q v B =. Se além do campo B houve ainda um campo elético E póximo da patícula que se movimenta com velocidade v a foça esultante é a soma vetoial ( ) F F mag F elet Q E v B = + = + chamada de foça de Loentz. 18_ Foça Magnética em Condutoes Como sabemos a coente elética é medida em Ampèe que é a taxa de vaiação das cagas eléticas. Em um fio a quantidade de caga Q está elacionada à densidade dos potadoes po dq = dl potanto L L dq dl I = = L = Lv I = Lv dt dt A foça em um pedaço de fio contendo um elemento de caga dq é potanto ( ) ( B) ( B) F mag = dq vb = dl v L = v dl L Essa última igualdade é possível poque v e dl têm o mesmo sentido. Logo: ( ) F mag = I dl B

74 Pof. Calos Eduado Fenandes 79 Paa um fio de compimento l e coente unifome I imeso em um campo B também unifome da equação acima esulta: ( ) F mag = I l B 18_4 CAMPOS MAGNÉTICOS ESTACIONÁRIOS E A LEI DE BIOT-SAVART Vimos que a coente elética ciculando em um fio poduz um campo magnético. Se a coente fo constante isto é não vaia no tempo o campo B seá estático isto é não mudaá com o tempo. A lei de Biot-Savat é uma lei expeimental que desceve o campo B poduzido po uma coente I que cicula em um conduto de compimento (ve figua 18.5). De acodo com essa lei I sen B ; B = tesla (T) ou ainda: R d R B( ) = I 4 R sendo ( ) B R = e potanto = 4 ( ) d I Note que B depende de como definiemos I e que: 1 A integação é feita ao longo do caminho da coente I; d é um elemento difeencial do fio que aponta no sentido de I; R = é o veto que liga dl ao ponto P localizado po (onde se que calcula B ); 4 é o ângulo ente dl e R. 5 é a pemeabilidade magnética do vácuo e vale po definição (veja a aula 7 seguinte) 4 1 Heny / meto (H/m). Note então que não é popiamente uma constante de popocionalidade já que depende da definição de coente elética como veemos adiante. A lei de Biot-Savat é o análogo em magnetostática da lei de Coulomb paa eletostática. EX. 1: Enconte B a uma distância de um fio longo eto conduzindo uma coente constante e unifome I. R: suponha a coente no sentido positivo do eixo z como Mosta a Fig.(18.6):

75 Pof. Calos Eduado Fenandes 8 ( ) B = 4 ( ) d I = + zk = z k ; d = dz k ( ) ( ) 1 = + z z k = + z z ( ) B ( ) B = I 4 = I 4 Da Fig.(18.8): z z = cot an. ; dz cos sec d ( z z ) ( z z ) ( ) dz k + z z k + dz + = ; ( ) B ( ) ( ) ( z z ) + = sen 1 cos sec = sen ( cos sec d ) + ( z z ) I = 4 I I 4 4 ( z z ) z I + = 4 z + ( z z ) B = cos sec sen d = sen d B I = (esp.) B

76 Pof. Calos Eduado Fenandes 81 19ª Aula : LEI DE AMPÈRE. 19_1 Lei de Ampèe; 19_ Coente Elética; 19_1 LEI DE AMPÈRE ELETROMAGNETISMO A lei de Ampèe está paa lei de Biot-Savat assim como a lei de Gauss está paa a lei de Coulomb. Veemos que em muitos exemplos em que há simetia a lei de Ampèe seá mais útil do que a lei de Biot-Savat. A lei de Ampèe estabelece que a ciculação de B (isto é a integal de linha num pecuso C fechado) é popocional à coente enlaçada pelo pecuso fechado (ve Fig. 19.1): B d I Lei de Ampèe C Paa enconta a constante de popocionalidade apliquemos a lei de Ampèe a um fio infinito. Vimos na aula anteio que o campo magnético poduzido po uma coente I constante vale I = ˆ (Eq. 19_1) B Escolhendo um pecuso abitáio (Fig. 19.) e escolhendo o elemento de caminho em coodenadas cilíndicas isto é dl = d ˆ + dˆ + dzkˆ (Eq. 19_) e fazendo a ciculação no sentido de B : I ˆ ˆ ˆ Ñ B dl = Ñ d ˆ + d + dzk C C I Ñ B dl = d ou ainda C ( )

77 Pof. Calos Eduado Fenandes 8 Ñ B dl =I Lei Ampèe (Eq. 19_) Note da Eq.(19-) que a ciculação de B não depende do caminho escolhido. Essa é a essência da lei de Ampèe. Emboa tenhamos usado um fio eto ela é válida qualque que seja o fomato do conduto. Caso o conduto tenha fomato iegula podeá não have simetia e nesse caso emboa pemaneça válida a lei de Ampèe na foma integal pode não se útil sendo necessáio usa a lei de Biot-Savat. Note que: i. d é um pecuso abitáio devendo se escolhido de modo que B pemaneça constante ao longo do pecuso; ii. O sentido da ciculação (integação) é escolhido pela ega da mão dieita: se o polega estive estendido ao longo da coente I os demais dedos indicaão o sentido de B e potanto do caminho de integação; iii. I é a coente esultante enlaçada pelo pecuso. EX. 1: Um conduto cilíndico longo de aio b (ve Fig. 19.) é atavessado po uma coente I unifome. Calcule B paa a) b b) b. Faça o gáfico B. Solução: Note que como I é unifome então I enlaçada é popocional à áea I J = = constante. A a) b Seja o aio do cicuito fechado ou ampeiano (Fig. 19.). Então I IE = I E = I b b Ñ B dl = I E Bdl = I b B = I b ou ( ) B I b = b b) b : IE = I Bd = I B( ) = I ou I B = 19_ Definição de Coente Elética.

78 Pof. Calos Eduado Fenandes 8 A coente é assim definida: 1 Ampèe (1A) é a coente elética que pecoendo dois condutoes idênticos sepaados de 1 m poduz uma foça magnética po unidade de 7 compimento igual a 1 N / m. Essa definição abitáia nos pemite agoa calcula o valo de. Lembando que a foça magnética em um conduto vale F = I B (Eq. 19_4) paa dois condutoes teemos (ve figua 19.5): 19_7) F I B I F ( I ) 1 1 = 1 = ou 1 I I = (Eq. 19_6) Da definição de coente: se I = I 1 = 1A = 1m F 7 7 = = 1 = 4 1 H / m (Eq. Note que o valo de depende de como a coente é definida. Assim esse 7 pocedimento é análogo a atibuimos a o valo abitáio 4 1 H / m e a pati desse valo ajusta a coente paa obte o valo da foça/compimento igual a 7 1 N / m. É nesse sentido que dissemos anteiomente não se a pemeabilidade magnética uma constante de popocionalidade ao contáio da constante de Coulomb na eletostática.

79 Pof. Calos Eduado Fenandes 84 ELETROMAGNETISMO ª Aula : LEI DE AMPÈRE NA FORMA DIFERENCIAL E O TEOREMA DE STOKES _1 Intodução - O Teoema de Stokes - Lei de Ampèe na Foma Difeencial -4 Execícios _1 Intodução Analogamente ao que acontece com a lei de Coulomb em poblemas em que não há simetia a foma integal da lei de Ampèe B d = I I = J d S C (Eq. _1) em que I é a coente enlaçada pelo cicuito C não seá de muita utilidade sendo mais útil a sua foma difeencial. Paa obte a lei de Ampèe na foma difeencial vamos calcula a ciculação de B (Eq. _1) em um pecuso etangula infinitesimal. Antes de faze isso poém note que da figua.1 a ciculação pelo pecuso exteno é a soma das duas ciculações: B d = B d + B d C C1 C pois na integal pelo pecuso C1 a integal é feita de B até A; e na integal pelo pecuso C essa mesma integal é anulada pela integação de A até B. Assim dado um pecuso fechado qualque podemos dividi-lo em malhas infinitesimais (figua. ) cujas supefícies são apoximadamente planas e cuja ciculação esultante envolve apenas o peímeto exteno do pecuso fechado. Essas consideações são muito impotantes paa a deivação da lei de Ampèe na foma difeencial.

80 Pof. Calos Eduado Fenandes 85 Fig.-: Uma supefície abitáia pode sempe se dividida em pecusos elementaes. Note que a ciculação esultante só envolve o peímeto exteno da figua abitáia. _ O Teoema de Stokes Consideemos um pecuso infinitesimal etangula C i em uma egião onde exista um campo B. É clao que a ciculação de B não deve depende de como o sistema de coodenadas é escolhido. Paa facilita potanto vamos escolhe um sistema de coodenadas tal que o pecuso etangula esteja no plano yz (Fig..): da F d = dxi + dy j + dzk ( ) ( ) ( ) B = B x yz i + B x yz j + B x yz k x y z M M y z as coodenadas do cento do etângulo sejam ( ) Fig. -. A ciculação de B nesse etângulo seá B C D A B d = B d + B d + B d + B d Ci A B C D Como o pecuso é infinitesimal vale a apoximação ( ) ( ) B B B B d = B x yz dz B y z dz A A z z M A Em que mantivemos y constante e tomamos o valo de z no cento do etângulo. Essa apoximação tendeá ao valo exato quando o etângulo fo infinitesimal. Potanto ( ) B B d B yz z A z M (Eq. _1) Igualmente teemos paa os outos caminhos ( ) C B d B y z y B y M (Eq. _) Em que novamente fizemos a apoximação toma o valo de y no cento do etângulo (z pemanece constante). Paa os outos pecusos teemos: ( ) D B d Bz y + yz C M z (Eq. _)

81 Pof. Calos Eduado Fenandes 86 ( ) A B d By y D M z + z y (Eq. _4) Somando (Eq. _1) + ( Eq. _) + ( Eq. _) + ( Eq. _4): C i ( ) ( ) B d B z y + yz M B z yz M z + ( ) ( ) By y z + z By y z y M M Multiplicando e dividindo o lado dieito dessa última equação po y e z espectivamente e em seguida tomando o limite y e z teemos agoa a igualdade: C i ( ) ( ) B z y + yzm B z yzm B d = lim zy y z y B y ( y M z + z) B y ( y M z) yz z que pela definição de deivada pacial ainda podemos esceve C i Bz By B d = dydz y z. (Eq. _5) Obseve da Fig.- que ds = dydzi ˆ Bz By e que na Eq.(-5) o temo é a y z componente do otacional na dieção x. Potanto a equação _5 pode ainda se escita como: Bz By B d = dsx ( B) ds C = i y z (Eq. _6) x em que ds é o elemento de áea delimitada pelo pecuso infinitesimal C i. Paa um pecuso não-infinitesimal basta dividi-lo em pecusos infinitesimais e soma todos eles. O esultado seá lembando que os pecusos intenos se cancelam ve Fig. -1 e - o chamado teoema de Stokes: C S ( ) B d = B ds (Eq. _7) em que C é o peímeto e S é a áea do pecuso abitáio C. Emboa deduzida aqui paa o caso do campo magnético esse teoema é válido paa qualque campo vetoial. Esse teoema nos dias que a ciculação de um campo vetoial em um pecuso C é igual ao fluxo do otacional na áea delimitada po esse pecuso.

82 Pof. Calos Eduado Fenandes 87 _ Lei de Ampèe na foma difeencial Paa obte a lei de Ampèe na foma difeencial lembemos que I = J ds em que J é a densidade de coente elética. Usando a (Eq. _7) teemos: C S S ( ) B d = I = J ds = B ds S B= J Lei de Ampèe (difeencial) (Eq. _8) 4 Execícios Dado B ( xyi 4xz j 5k ) = + + calcule J ( 1) Solução: i j k ( ) B = x y z = 4xi 4z + x k xy 4xz 5 J B 4k = = (esp.) EX. : Expesse a lei de Kichoff E d = na foma difeencial. Solução: E d = E ds = C S E = (esp.) Nota: No teoema de Stokes a áea é abeta como po exemplo na Fig. (19.4).

83 Pof. Calos Eduado Fenandes 88 ELETROMAGNETISMO ª Aula : TORQUE EM DIPOLOS MAGNÉTICOS. _1 Dipolo Magnético na Pesença de Campo Magnético; _ Nota Sobe Foça e Toque; _1 Dipolo Magnético na Pesença de Campo Magnético Um dipolo magnético é po definição qualque cicuito fechado pelo qual cicula uma coente elética I (fig..1). Note que a coente I poduz um campo B indicado na figua.1 acima. Suponhamos que um dipolo magnético seja colocado na pesença de um campo B ext exteno e oientado ao longo de + y como indica a figua. abaixo: