Matemática do Ensino Médio vol.2

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1 Matemática do Ensino Médio vol.2 Cap.11 Soluções 1) a) = 10 1, = 9m = 9000 litos. b) A áea do fundo é 10 = 0m 2 e a áea das paedes é ( ) 1, = 51,2m 2. Como a áea que seá ladilhada é ,2 = 111,2m 2 e a áea de cada ladilho é 0,04m 2, o númeo de ladilhos é 111,2 0,04 = ) a) = 280 b) ( )2 = 27 c) ( )4 = 84 d) 8 ) Este é o maio tetaedo que se pode guada dento de um cubo. Suas aestas são diagonais das faces do cubo. Seu volume é igual ao do cubo subtaído de quato tetaedos ti-etângulos: = a 4 a = a. 4) a) A distância do cento de um tiângulo equiláteo de lado a a um dos vétices é a. Aplicando o teoema de Pitágoas no tiângulo etângulo AGD, temos: DG 2 = AD 2 AG 2 = a 2 a 2 = a 2 9.

2 Logo, DG = a. b) = 1 a 2 4 a = a 2 5) a) 8 faces tiangulaes (equiláteas) e quadadas (a b) = a /2) 8 = 5a. c) Os vétices de P são os pontos médios das aestas do cubo. A distância do cento do cubo a um desses pontos é a 2 que é o aio da esfea cicunscita a P. 2 ) O octaedo egula é fomado po duas piâmides iguais cuja base comum é um quadado de lado a e cuja altua é metade da diagonal. O volume é = 2 a 2 a 2 = a ) Se o cubo tem aesta a então = a. Obseve que a a aesta do octaedo mede a 2 2. Então, usando o esultado do execício anteio, o volume do octaedo é: = 2 a 2 2 = a =. 8) Seja ABCD um tetaedo egula de aesta a. Sejam d 1, d 2, d, d 4 as distâncias de um ponto P, inteio ao tetaedo às faces ABC, ABD, ACD, BCD, espectivamente. Sejam ainda S a áea de uma das faces e h a altua do tetaedo. amos decompo o volume do tetaedo na soma dos volumes de quato outos tetaedos; cada um teá base em uma das faces de ABCD e vétice P. (PABC) + (PABD) + (PACD) + (PBCD) = (ABCD) Sd 1 + Sd 2 + Sd + Sd 4 = Sh d 1 + d 2 + d + d 4 = h.

3 9) O volume é = 2 4 = 48 cm. A distância do cento da base a uma das aestas da base é. Como a altua mede 4, a distância do vétice da piâmide a uma das aestas da base é igual a 5. Cada face lateal tem então áea igual a 5 2 = 15cm2. Logo, a áea da piâmide é S = = 9cm 2. Paa enconta o aio da esfea cicunscita imaginemos um ponto P sobe a eta que contém a altua com a popiedade de te mesma distância aos cinco vétices. E R D P R A O B C Se PA = PB = PC = PD = PE = R, temos, no tiângulo POC, po exemplo, R 2 = (4 R) 2 + ( 2) 2. Isto dá, R = Aqui, o leito podeá fica intigado se pecebe que R > 4. Mas, não há poblema algum. Este esultado infoma que, na vedade, o ponto P, cento da esfea cicunscita, está abaixo do plano da base da piâmide. Paa enconta o cento da esfea inscita imaginemos um ponto Q sobe a altua que seja eqüidistante das cinco faces. Sendo M e N os pontos médios das aestas BC e AD, espectivamente, vamos faze uma seção pelo plano AMN. O esultado é a figua abaixo: E N Q O T M

4 Como OM =, EM = 5 e EQ = 4, temos, pela semelhança dos tiângulos ETQ e EOM, = 4 5. Isto dá = 1,5cm. 10) A azão ente as áeas da esfea e do cilindo é A azão ente os volumes é 4 πr πr 2 2R = 2. 4πR 2 2πR 2R + πr 2 + πr 2 = 2. 11) Obseve as figuas a segui: L h A geatiz do cone mede e o compimento L do aco de 0 o é o compimento da cicunfeência da base do cone. 2π Então, = 2π, o que dá = 4. No tiângulo etângulo fomado pela altua, aio da base do cone e geatiz, temos h 2 = = 8, ou seja, h = 8 2. O volume do cone é: = π = 8π cm. ) O volume é = π2 4 =π cm. A áea é S = π 5 + π 2 = 24π cm 2. Sendo R o aio da esfea cicunscita temos R 2 = (4 R) 2 + 2, o que dá R = 25 4.

5 Paa obte o aio da esfea inscita, faça uma seção po um plano que contém a altua. O esultado é exatamente a última figua do execício 9. O esultado também é o mesmo: = 1,5. 1) Obseve a figua abaixo: P 45 o 45 o No copo inclinado, imaginemos uma seção paalela a base pelo ponto P, médio da geatiz. O copo fica dividido em dois cilindos iguais um dos quais está metade vazio. O volume de água que pemaneceu no copo é /4 do volume oiginal, ou seja, 4 π2 = 81π cm. 14) Paalelepípedo etângulo Sejam a, b, c as dimensões de um paalelepípedo etângulo de volume e, dada uma constante positiva k, sejam ka, kb, kc as dimensões de um paalelepípedo etângulo de volume. Os dois sólidos são semelhantes com azão de semelhança k e a azão ente seus volumes é = kakbkc = k. abc Pisma Imaginemos dois pismas semelhantes na azão k. A azão eente as altuas é k e as bases são polígonos semelhantes na azão k. Sabemos entetanto que a azão ente as áeas de figuas semelhantes é igual ao quadado da azão de semalhança. Então, se A e A são as áeas das bases e se h e h são as espactivas altuas então a azão ente os volumes é = A h A h = A A h h = k 2 k = k. As justificativas paa as outas figuas são análogas.

6 15) A azão de semelhança é k = 0 =. Sendo o volume da gaafa oiginal, temos =. Logo, = 150ml. 1) Obseve a figua: 2h h Se é o volume do cone, 1 o volume do cone meno e 2 o volume dea pate compeendida ente os dois planos paalelos temos 1 = 2, ou seja, 1 = 8 27 e, potanto, 2 = ) eja o desenho simplificado abaixo: x h Petóleo e água não se mistuam e o como o petóleo é menos denso que a água, ele fica em cima. O volume do cone meno é o volume da água, ou seja, litos e o volume do cone total é = litos. Temos então, = h 4 = h h = 9. Logo, a altua da camada de petóleo é x = m.

7 18) Pimeia solução (com um pouco de cálculo) Consideemos um cilindo de evolução com aio x e altua y. Seu volume é dado e seja S sua áea total. Temos então = πx 2 y e S = 2πx 2 + 2πxy = 2πx 2 + 2πx, ou seja, πx 2 S = 2πx A deivada de S em elação a x é S = 4πx e como devemos te x x 2 S = 0, o aio do cilindo é x =. Substituindo este valo na fómula do volume 2π encontamos y = 2. 2π Obseve que y = 2x, ou seja, quando o volume é dado, a meno áea total é a do cilindo equiláteo. Segunda solução (sem cálculo) Paa faze sem usa deivada, pecisamos do seguinte teoema: Se o poduto de n númeos positivos é constante, sua soma seá mínima quando eles foem iguais. A afimação acima é uma consequência dieta da desigualdade ente as médias atmética e geomética e uma efeência pode se o atigo Duas Médias da RPM 18. A áea total do cilindo é dada em função de x po S = 2πx amos entetanto x esceve a mesma coisa da seguinte foma: S = 2πx 2 + x + x. Poém, o poduto dessas tês pacelas é 2πx 2 x x = 2π2 que é constante. Logo, a áea total seá mínima quando aquelas tês pacelas foem iguais, ou seja, 2πx 2 =, o que dá x x = 2π. 19) Não. Ao taça a diagonal do etângulo, um dos tiângulos, ao gia, gea um cone cujo volume é a teça pate do volume do cilindo. O volume geado pelo outo tiângulo é então igual a dois teços do volume do cilindo.

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