Apostila de álgebra linear

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1 Apostila de álgeba linea 1 Matizes e Sistemas de Equações Lineaes 1.1 Matizes Definição: Sejam m 1 e n 1 dois númeos inteios. Uma matiz A de odem m po n, (esceve-se m n) sobe o copo dos númeos eais (R) é uma função que elaciona o conjunto dos paes de inteios (i, j), onde 1 i m e 1 j n com um quado etangula de númeos dispostos em m linhas e n colunas, que usualmente epesentada po: a 21 a 22 a 2n A [ ] a m1 a m2 a mn onde α ij R paa 1 i m e 1 j n. Quando é necessáia uma notação mais compacta, pode se escita como: A [a ij ] ou apenas A [a ij ] O símbolo a ij denota o elemento da matiz A que está na i-ésima linha e j-ésima coluna e seá chamado de entada da matiz A. O conjunto de todas as matizes m n seá denotado po M (R). Exemplo 1: Na matiz A [ ] podemos nota que A M 2 3(R). obs: uma pática comum é denota matizes usando letas latinas maiúsculas e letas minúsculas paa indica entadas. Alguns tipos de matizes a) Matiz Quadada: Uma matiz A de odem m n é dita quadada quando tem o mesmo númeo de linhas e colunas, ou seja, m n. Quando se diz que uma matiz é quadada de odem n, devemos entende que é do tipo m n. a 21 a 22 a n A [ ] Exemplo 2: A [ 4 3 1] é uma matiz quadada pois A M 3 3 (R). a n1 a n2 a b) Matiz Diagonal: Uma matiz A de odem n é diagonal quando é quadada e seus elementos que não estão na diagonal pincipal são iguais a zeo, ou seja, α ij 0 se i j paa 1 i m e 1 j n ou seja: a a A [ 22 0 ] Exemplo 3: A [ 0 3 0] é uma matiz diagonal. 0 0 a c) Matiz identidade: Matiz diagonal I de odem n onde os elementos da diagonal pincipal são todos iguais a 1 ou seja: I [ ] Exemplo 4: I [ 0 1 0] é uma matiz identidade d) Matiz Linha: Uma matiz A de odem 1 n é dita Matiz Linha pois, é fomada po uma única linha ou seja: A [ ] Exemplo 5: A [ ] é uma matiz linha.

2 e) Matiz Coluna: Uma matiz A de odem m 1 é dita Matiz Coluna pois, é fomada po uma única coluna ou seja: a 11 a 4 21 A [ ] Exemplo 6: A [ 3] é uma matiz coluna. a 2 m1 f) Matiz Nula: Uma matiz O de odem m n é dita nula se as entadas são todas iguais a zeo, ou seja, α ij 0 onde 1 i m e 1 j n ou seja: O [ ] Exemplo 7: O [ 0 0 0] é uma matiz nula g) Matiz Tiangula Supeio: Uma matiz A de odem n é tiangula supeio quando é quadada e seus elementos abaixo da diagonal pincipal são todos nulos, isto é, α ij 0 se i > j onde 1 i m e 1 j n ou seja: 0 a 22 a n A [ ] Exemplo 8: A [ 0 6 8] é uma matiz tiangula supeio. 0 0 a h) Matiz Tiangula Infeio: Uma matiz A de odem n é tiangula infeio quando é quadada e seus elementos acima da diagonal pincipal são todos iguais a zeo, isto é, α ij 0 se i < j onde 1 i m e 1 j n ou seja: a a A [ 21 a ] Exemplo 9: A [ 1 6 0] é uma matiz tiangula infeio. a n1 a n2 a i) Matiz Simética: Uma matiz quadada A de odem n é denominada simética se, e somente se, a ij a ji onde 1 i m e 1 j n ou seja: a 12 a 22 a n A [ ] Exemplo 10: A [ 3 6 0] é uma matiz simética. a 1n a 2n a Definição: Duas matizes A de odem m n e B de odem s são iguais se, e somente se possuem os mesmos númeos de linhas (m ) e colunas (n s), e todos os seus elementos coespondentes são todos iguais, ou seja α ij α ij onde 1 i m e 1 j n, logo. A B Definição: Dadas duas matizes A e B, ambas do tipo m n, a soma de A com B é dada po: b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n b A + B [ ] + [ 21 b 22 b 2n ] a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a [ 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n ] a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn

3 Na notação compacta temos que se A [a ij ] e B [b ij ] então: A + B [a ij ] + [b ij ] [a ij + b ij ] Exemplo 11: Sejam as matizes A [ ] e B [ ] então A + B [ ] + [ ] [ ] [ ] Teoema 1.1.1: Sejam A, B e C matizes quaisque m n (ou seja, A, B, C M (R)), são validas as seguintes popiedades: 1) associatividade da adição: A + (B + C) (A + B) + C 2) comutatividade da adição: A + B B + A 3) elemento neuto da adição: existe O M (R), tal que A + O A O + A 4) elemento simético da adição: paa cada A M (R) existe ( A) M (R) tal que A + ( A) O ( A) + A Definição: Seja um escala λ R e uma matiz A do tipo m n. O poduto de λ pela matiz A é a matiz fomada pelos elementos de A multiplicados po λ, ou seja: λa 11 λa 12 λa 1n a 21 a 22 a 2n λa λa λ [ ] [ 21 λa 22 λa 2n ] a m1 a m2 a mn λa m1 λa m2 λa mn Na notação compacta temos que se A [a ij ] então: λa λ[a ij ] [λa ij ] Exemplo 12: Seja um escala 5 R e uma matiz A [ 4 6 ] do tipo A 5 [ ] [ ] [ ] Teoema 1.1.2: Sejam A e B matizes quaisque m n (ou seja, A, B M (R)), são validas as seguintes popiedades: 1) λ 1 (A + B) λ 1 A + λ 1 B 2) (λ 1 + λ 2 )A λ 1 A + λ 2 A 3) (λ 1 λ 2 )A λ 1 (λ 2 A) 4) 1 A A 5) 0 A O, isto é, multiplicamos o númeo zeo po qualque matiz, teemos a matiz nula. Definição: Sejam duas matizes A e B do tipo m n. A subtação de matizes é dada po: A B A + ( 1)B A + ( B) Exemplo 13: Sejam as matizes do tipo 2 2, A [ ] e B [4 A B A + ( 1)B [ 2 4 ] + ( 1) 5 [ ]. 2 3 ] [2 4 5 ] + [ ] [ ] [ ] Definição: Dadas duas matizes A de odem m e B de odem n. O poduto de A com B é a matiz C de odem m n dada po: a 11 a 12 a 1 b 11 b 12 b 1n c 11 c 12 c 1n a 21 a 22 a 2 b AB [ ] [ 21 b 22 b 2n c 21 c 22 c 2n ] C [ ] a m1 a m2 a m b 1 b 2 b n c n1 c m2 c mn

4 a 1k b k1 a 2k b k1 a 1k b k2 a mk b k1 a mk b k2 a mk b kn [ Na notação compacta temos que se A [a ij ] e B [b ij ] então: a 2k b k2 a 1k b kn a 2k b kn ] AB C [a ij ] m [b ij ] n [c ij ] [ a ik b kj ] Obs: O poduto AB é definido se o tamanho das linhas de A é igual ao tamanho das colunas de B. A quantidade de linhas da matiz AB é igual a quantidade de linhas de A e que a quantidade de colunas da matiz AB é igual a quantidade de colunas de B. Exemplo 14: Sejam as matizes, A [ 2 4 ] do tipo 2 2 e B [2 ] do tipo 2 3, então: AB [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Teoema 1.1.3: Sejam as matizes A e B de odem m, C odem p e D e E de odem p n, são validas as seguintes popiedades: 1) associatividade da multiplicação: A(CD) (AC)D 2) distibutiva à esqueda da multiplicação, em elação à adição matizes: C(D + E) CD + CE 3) distibutiva à dieita da multiplicação, em elação à adição matizes: (A + B)C AC + BC 4) elemento neuto multiplicativo: existe I de odem, tal que AI A e também existe I de odem m, tal que IA A. Definição: Seja uma matiz A do tipo n sobe um copo K. As potências inteias de A é dada po: A 0 I ou A p AA A p fatoes Exemplo 15: Seja uma matiz A [ 2 4 ] do tipo 2 2, então: 3 1 A 2 AA [ ] [ ] [ ] [4 ] [ ] Definição: Seja uma matiz A do tipo m n sobe um copo K. A matiz tansposta de A é a matiz de odem n m obtida de A tocando as suas linhas pelas colunas coespondentes. Em outas palavas, se a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2n A [ ], então A T a 21 a 22 a 2m [ ], a m1 a m2 a mn a n1 a n2 a nm Exemplo 16: Seja a matiz do tipo 2 3, B [ ], então: BT [ ] 2 3

5 Teoema 1.1.3: Sejam as matizes A e B de odem m, C de odem n são validas as seguintes popiedades: 1) (A T ) T A 2) (λa) T λa T 3) (A + B) T A T + B T 4) (AC) T C T A T. Definição: Seja uma matiz quadada A de odem n sobe um copo K. O taço de A é definida como sendo a soma dos elementos na diagonal pincipal A, denotado po: n t(a) a kk Exemplo 16: Seja uma matiz A [ ] do tipo 2 2, então: t(a) 2 a kk Execícios 1) Sejam as matizes A [ ], B [2 ] e C [1 ] veifique se: a) A + (B + C) (A + B) + C b) A + B B + A c) existe O M 3 2 (R), tal que A + O A O + A d) existe ( A) M (R) tal que A + ( A) O ( A) + A. 2) Sejam A, B e C matizes m n. Pove as seguintes popiedades: a) associatividade da adição: A + (B + C) (A + B) + C A + (B + C) [a ij ] + ([b ij ] + [c ij ] ) [a ij ] + [b ij + c ij ] [a ij + (b ij + c ij )] [(a ij + b ij ) + c ij ] [a ij + b ij ] + [c ij ] ([a ij ] + [b ij ] ) + [c ij ] (A + B) + C b) comutatividade da adição: A + B B + A A + B [a ij ] + [b ij ] [a ij + b ij ] [b ij + a ij ] c) elemento neuto da adição: A + O A. d) elemento simético da adição: A + ( A) O [b ij ] + [a ij ] B + A 3) Sejam as matizes do tipo 2 2, A [ ] e B [1 ] veifique se: a) 5(A + B) 5A + 5B b) (5 + 2)A 5A + 2A c) (5 2)A 5(2A) 4) Sejam A e B matizes quaisque m n sobe um copo K e λ 1, λ 2 K escalaes. Pove as seguintes popiedades opeação de multiplicação po escala com elação à adição matizes. a) λ 1 (A + B) λ 1 A + λ 1 B λ 1 (A + B) λ 1 ([a ij ] + [b ij ] ) λ 1 [a ij + b ij ] [λ 1 (a ij + b ij )] [λ 1 a ij + λ 1 b ij ] [λ 1 a ij ] + [λ 1 b ij ] λ 1 [a ij ] + λ 1 [b ij ] λ 1 A + λ 1 B

6 b) (λ 1 + λ 2 )A λ 1 A + λ 2 A (λ 1 + λ 2 )A (λ 1 + λ 2 )[a ij ] [(λ 1 + λ 2 )a ij ] [λ 1 a ij + λ 2 a ij ] c) (λ 1 λ 2 )A λ 1 (λ 2 A) d) 1 A A [λ 1 a ij ] + [λ 2 a ij ] λ 1 [a ij ] + λ 2 [a ij ] λ 1 A + λ 2 A 5): Sejam as matizes, A [ ] e B [1 ] do tipo 2 2 e C [2 ] do tipo 2 3, veifique: a) A(BC) (AB)C b) (A + B)C AC + BC c) Se I de odem 2, tal que AI A e IA A. 6) Sejam A de odem m, B de odem p e C de odem p n matizes sobe um copo K. Pove a popiedade associatividade da multiplicação: A(BC) (AB)C A(BC) [a ij ] m ([b ij ] p [c ij ] p n ) [a ij ] m [ b ik c kj ] s [ ( a il b lk ) c kj ] l1 [ a il b lj ] l1 m p p n [ a il ( b lk c kj )] l1 s [c ij ] p n ([a ij ] m [b ij ] p ) [c ij ] p n (AB)C 7) Sejam A de odem m, C e B matizes quaisque n sobe um copo K. Pove a popiedade opeação de multiplicação com elação à adição matizes. A(B + C) AB + AC [ a ik (b kj + c kj )] A(B + C) [a ij ] m ([b ij ] n + [c ij ] n ) [a ij ] m [b ij + c ij ] n [ a ik b kj + a ik c kj ] AB + AC [a ij ] m [b ij ] n + [a ij ] m [c ij ] n 8) Sejam A de odem n e I de odem n matizes sobe um copo K. Pove que I é o elemento neuto multiplicativo de M n n (K): AI A IA. 9) Sejam A de odem n e O de odem n matizes sobe um copo K. Pove a multiplicação de A pela matiz nula é a matiz nula: AO O OA 10) Sejam as matizes A de odem m, B de odem n sobe um copo K e λ K escalaes. Pove a popiedade opeação de multiplicação com elação à adição matizes. λ(ab) (λa)b A(λB) λ(ab) λ ([a ij ] m [b ij ] n ) λ [ a ik b kj ] [ (λa ik )b kj ] [ (λa ik )b kj ] [λ a ik b kj ] [λa ij ] m [b ij ] n (λa)b [λa ij ] m [b ij ] n [ (a ik λ)b kj ] [ a ik (λb kj )] [a ij ] m [λb ij ] n A(λB)

7 11) Sejam as matizes do tipo 2 2, A [ ] e B [ 2 1 ]. Veifique se a popiedade comutativa 5 1 paa a opeação de multiplicação é válida, ou seja, AB BA. 12) Sejam as matizes, A [ ] do tipo 2 2 e B [2 ] e C [1 ] do tipo 2 3, então veifique se: a) (A T ) T A b) (5A) T 5A T c) (A + B) T A T + B T d) (AC) T C T A T 13) Pove que uma matiz quadada A de odem n é denominada simética se, e somente se, A T A. Seja a matiz A de odem n sobe um copo K. 14) Sejam A e B matizes quaisque de odem m n sobe um copo K e λ K escalaes. Pove as seguintes popiedades: a) (A T ) T A b) (λa) T λa T c) (A + B) T A T + B T (A + B) T ([a ij ] + [b ij ] ) T ([a ij + b ij ] ) T [a ji + b ji ] n m [a ji ] n m + [b ji ] n m ([a ij ] n m ) T + ([b ij ] n m ) T A T + B T 10) Sejam as matizes A de odem m, B de odem n sobe um copo K. Pove a popiedade de tansposição com a opeação de multiplicação: (AB) T B T A T (AB) T ([a ij ] m [b ij ] n ) T ([ a ik b kj ] [ b jk a ki ] n m ) T [ a ki b jk ] n m [b ji ] n [a ji ] m ([b ij ] n ) T ([a ij ] m ) T B T A T 11) Pove que uma matiz quadada A de odem n é denominada simética se, e somente se, A T A. Seja a matiz A de odem n sobe um copo K. Se A é denominada então α ij α ji onde 1 i m e 1 j n, ou seja, Po outo lado se, A T A então A T ([a ij ] n n ) T [a ji ] n n [a ij ] n n A [a ji ] n n ([a ij ] n n ) T A T A [a ij ] n n Logo α ij α ji onde 1 i m e 1 j n, potanto a matiz é simética. 12) Seja A uma matiz quadadas de odem n sobe um copo K e s e dois númeos inteios. Pove as seguintes popiedades: a) A s A A s+ b) (A s ) A s Seja A s B logo B (BB B) ((AA A) (AA A) (AA A) ) (AA A) A s fatoes s fatoes s fatoes