REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Correlação múltipla

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1 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Coelação múltipla Coeficiente de coelação múltipla: indicado de quanto da vaiação total da vaiável dependente é explicado pelo conjunto das vaiáveis independentes (explicativas) atavés de um modelo linea do tipo Y α +... n n o Paa a população: ρ σε Y,,,..., n σy Vaiância do esíduo (não explicado) Vaiância (inicial) de Y o Paa uma amosta: Vaiação não explicada pela egessão Y,,..., n - Vaiação total de Y ei ( Yi Y ) Nota: o coeficiente de coelação múltipla também pode se obtido avaliando a coelação ente os valoes obsevados Y i e os valoes Ŷ i pevistos pelo modelo de egessão linea múltipla. Coeficiente de deteminação coigido (paa atende ao númeo de vaiáveis independentes k): ou coigido coigido ( ) k n k (SPSS) k ( ) (STATISTICA e ECEL) n k

2 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Coelação pacial Coeficiente de coelação pacial de Y com, etiado o efeito de Z Conceito: na análise de coelação pacial, os valoes da vaiável dependente Y e de são ajustados tendo em conta os valoes coespondentes da vaiável de contole Z (isto é, etiando o efeito de Z sobe as duas pimeias). Opeacionalização: i) Paa etia o efeito de Z sobe Y, é feita uma egessão ente estas duas vaiáveis e consideam-se os esíduos obtidos (que coespondem à pate de Y não explicada po Z); ii) Paa etia o efeito de Z sobe, faz-se uma egessão ente estas duas vaiáveis e consideam-se também os esíduos espectivos (que coespondem à pate de não explicada po Z); iii) O coeficiente de coelação pacial petendido é simplesmente dado pela coelação ente os esíduos das egessões i) e ii). Fomuláio: Y, ( z) Y ( )( ) YZ Z YZ Z Y,, Y, + Y, ( ) ( - Y, ) Facção da vaiação de Y explicada po e Facção da vaiação de Y explicada po Facção adicional da vaiação de Y explicada po Facção da vaiação de Y não explicada po

3 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Coelação pacial Coelação pacial: o conceito apesentado paa tês vaiáveis pode se estendido ao caso multivaiado em que teemos k vaiáveis de contole Po facilidade de notação, identifiquemos todas as vaiáveis po i, com i,,..., n (po convenção, podeá se a vaiável dependente) Notação: ij - coeficiente de coelação simples ente as vaiáveis i e j ij (k) - coeficiente de coelação pacial ente as vaiáveis i e j, etiando o efeito da vaiável k ij (k,l,m) - coeficiente de coelação pacial ente i e j, etiando o efeito das vaiáveis k, l e m Fomuláio: as coelações paciais da odem mais elevada podem se obtidas po um pocesso ecusivo ( em cascata ): ij ( k,l) (k) (k) (k) ij il il (k) jl jl (k) ij ( k,l,m) (k,l) ij im im (k,l) (k,l) jm (k,l) jm (k,l) O conceito mantém-se: tata-se de coelaciona as vaiáveis i e j, mas etiando o efeito das vaiáveis de contole (po exemplo, k, l e m ) - Paa etia o efeito das vaiáveis de contole sobe i e j fazem-se duas egessões múltiplas, em que i e j são as vaiáveis dependentes e as vaiáveis de contole são as vaiáveis independentes; - O coeficiente de coelação pacial é a coelação ente os esíduos daquelas duas egessões. O quadado do coeficiente de coelação pacial ij (k,l,m) dá a facção adicional da vaiação de i explicada po j quando se junta a vaiável j ao conjunto das vaiáveis explicativas k, l e m

4 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Coeficientes de Regessão Num modelo de egessão linea múltipla, o coeficiente de egessão β i da vaiável explicativa i expessa a elação ente a vaiável dependente e i quando as estantes vaiáveis independentes na egessão são mantidas constantes Exemplo: modelo Podução de tigo (Y) vs Fetilizante () e Pluviosidade (Z) Y Z acéscimo de Y po cada unidade adicional de, mantendo Z constante Estes coeficientes são habitualmente designados po coeficientes de egessão paciais (e são difeentes do coeficiente de uma egessão simples ente Y e a vaiável independente i ) Estes coeficientes de egessão não indicam a impotância elativa de cada vaiável independente na explicação da vaiação da vaiável dependente. Esta impotância elativa pode se medida atavés dos chamados pesos (ou coeficientes) beta que coespondem a uma padonização dos coeficientes de egessão paciais: Peso (ou coeficiente) Beta: B Y S S Y βˆ B YZ S S Z Y βˆ Z

5 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA Coeficientes de Regessão Pesos (ou coeficientes) beta: padonização coesponde a medi a vaiação de Y (expessa em temos do desvio padão da vaiável dependente) em função de unidades do desvio padão de cada vaiável dependente Exemplo: se peso beta da vaiável dependente fo igual a 3, tal significa que uma vaiação equivalente a desvio padão de povoca uma vaiação de 3 desvios padão de Y (mantendo-se constantes as estantes vaiáveis independentes) Estes pesos beta têm a vitude de seem adimensionais e, potanto, não dependentes das unidades em que são expessas as vaiáveis independentes. Deste modo, pemitem quantifica a impotância ( peso ) elativo da vaiável independente na explicação da vaiação da vaiável dependente Pesos beta e coeficientes de coelação paciais são duas medidas difeentes de associação, mas que habitualmente odenam as vaiáveis independentes pela mesma odem de impotância em temos de explicação da vaiável dependente. O coeficiente de coelação pacial é uma medida de quanto da vaiação de Y é explicada pela vaiável independente, depois que as outas vaiáveis independentes explicaam o que pudeam. O coeficiente beta indica a alteação de Y induzida po uma vaiação padonizada de uma vaiável independente quando as outas são mantidas constantes.

6 REGRESSÃO REGRESSÃO LINEAR LINEAR MÚLTIPLA MÚLTIPLA - Colineaidade Colineaidade: existência de fote coelação ente duas (ou mais) vaiáveis independentes Face a esta coelação, uma das vaiáveis pode se expessa como uma função linea da(s) outa(s), pelo que não apota capacidade explicativa adicional quando incluída no modelo de egessão linea Y α Se ρ Y α ± γ + δ ( γ + δ )!!! A colineaidade intoduz poblemas séios no ajustamento do modelo de egessão devido à instabilidade numéica que povoca (associada à invesão da matiz de podutos, que se tona quase singula) e conduz a estimadoes dos paâmetos com elevada vaiância e, potanto, pouco fiáveis. No caso limite (coelação pefeita), do método dos mínimos quadados esulta um sistema de equações indeteminado. Nestas cicunstâncias, não é possível isola os efeitos de e e detemina univocamente os espectivos coeficientes de egessão, podendo apenas estima-se o seu efeito conjunto

7 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA - Multicolineaidade Pode mosta-se que o desvio padão do estimado do coeficiente de egessão β da vaiável é dado pela expessão: em que: SB ( i ) R Sε S ε desvio padão do esíduo R coeficiente de coelação múltipla de com todas as outas vaiáveis independentes Quando R SB Ou, dito de outo modo, quando a vaiável é quase totalmente explicada pelas outas vaiáveis independentes, a estimação do seu coeficiente de egessão está sujeita a eos enomes. Estão disponíveis váios testes paa detecta (multi) colineaidade: Análise de confluência de Fisch Teste de Faa-Glaube Testes baseados na estatística t e coeficientes de coelação pacial

8 REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA fomas funcionais Fomas multiplicativas: justificam-se quando: se julga que, paa que Y esteja pesente, então que que devem esta pesentes ; valoes elevados (ou baixos) simultaneamente de e potenciam valoes elevados (ou baixos) de Y. Uma possível fomulação genéica de um modelo do tipo multiplicativo seia Paa o caso de : γ γ Y ( α ) ( α ) Y ( α ) ( α ) γ γ α α + α β + α β β que pode se expesso na foma Y α ' ' ' ' 3 e, tatando o temo coespondente ao poduto cuzado como uma nova vaiável explicativa 3, pode se ajustado como um modelo de egessão linea múltipla. Ao tata o poduto cuzado como uma nova vaiável explicativa convém te pesente que 3 é uma função exacta (não linea) de e que apesenta coelações tipicamente elevadas com e e, potanto, pode intoduzi poblemas de colineaidade O temo coespondente ao poduto cuzado intoduz no modelo aditivo a inteacção ente vaiáveis independentes, sendo conveniente testa a capacidade explicativa adicional apotada po este temo e avalia do inteesse em intoduzi-lo no modelo aditivo. Paa mais do que duas vaiáveis independentes, podem se intoduzidos váios temos de podutos cuzados (coespondentes às combinações das vaiáveis duas a duas, tês a tês, etc.). Nestes casos os poblemas de multicolineaidade podem faze-se senti de foma muito aguda.