RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA DNIT PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula Demonstativa Apesentação Matizes Classificação das Matizes Igualdade de Matizes Adição de Matizes Matiz Oposta Poduto de númeo eal po matiz Poduto de Matizes Matiz Tansposta Deteminantes Popiedades dos deteminantes Teoema de Binet Matiz Invesa Sistemas Lineaes Classificação dos sistemas lineaes Sistema Linea Homogêneo Teoema de Came Questões ESAF Relação das questões comentadas nesta aula Gabaitos Pof. Guilheme Neves 1

2 Apesentação RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA DNIT Olá, pessoal! Tudo bem? Meu nome é Guilheme Neves e sou pofesso de Matemática, Matemática Financeia, Raciocínio Lógico e Estatística. Como vocês já sabem, está na paça o edital paa o DNIT. Esta é a aula demonstativa do cuso (teoia e execícios) de Raciocínio Lógico Quantitativo (RLQ). No cenáio atual, é meio complicado defini o que é RLQ. Um vedadeio mix de matéias (todas as supacitadas que eu ensino). Eis o conteúdo pogamático: Raciocínio Lógico e Quantitativo: 1. Estutuas Lógicas. 2. Lógica de Agumentação. 3. Diagamas Lógicos. 4. Tigonometia. 5. Matizes Deteminantes e Solução de Sistemas Lineaes. 6. Álgeba. 7. Pobabilidades. 8. Combinações, Aanjos e Pemutação. 9. Geometia Básica. O conteúdo pogamático de RLQ deste concuso do DNIT é idêntico ao conteúdo do concuso da CGU, ealizado em 2012 pela ESAF. E a ESAF consegue, em 5 questões, cobi paticamente todo o conteúdo. Po exemplo, eles cobam na mesma questão deteminantes e tigonometia. O conteúdo é muito paecido também com o concuso do Ministéio da Fazenda, também ealizado pela ESAF em Vamos segui o seguinte conogama: Aula 0: Matizes, Deteminantes e Solução de Sistemas Lineaes. Aula 1: Combinações, Aanjos e Pemutação. Aula 2: Pobabilidades Aula 3: Geometia Básica Aula 4: Tigonometia Aula 5: Estutuas Lógicas. Lógica de Agumentação. Diagamas Lógicos. Aula 6: Estutuas Lógicas. Lógica de Agumentação. Diagamas Lógicos. Aula 7: Álgeba Nesta aula, que é demonstativa, estudaemos Matizes, Deteminantes e Solução de Sistemas Lineaes. No final da aula, vamos esolve todas as questões que a ESAF cobou sobe estes assuntos no ano de Sem mais delongas, vamos começa! Pof. Guilheme Neves 2

3 1. Matizes A ideia de matiz do tipo é a de uma tabela etangula fomada po númeos eais distibuídos em linhas e colunas. Adotamos a convenção que linha é hoizontal, coluna é vetical e fila se efee à linha ou coluna (hoizontal ou vetical). Vejamos alguns exemplos: é 3 2 (3 h 2 ) é 1 3 (1 h 3 )! 1 0 " é 2 2 (2 h 2 ) é 1 1 (1 h 1 ) 1 # 2 % é 4 1 (4 h 1 ) 0 5 Em uma matiz qualque, cada elemento é indicado po &'. Este elemento &' é o cuzamento da linha i com a coluna j. Po exemplo, o elemento () é elemento que fica no cuzamento da segunda linha com a teceia coluna. Convencionamos que as linhas são numeadas de cima paa baixo e as colunas da esqueda paa a dieita. Além disso, podemos utiliza colchetes, paêntesis ou baas duplas paa epesenta matizes. Po exemplo: ** *( ** *( ** *( (* (( =, (* (( - =. (* ((. )( )* )( )* )( )* Uma matiz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode se indicada po / = ( &' ) Classificação das Matizes Pof. Guilheme Neves 3

4 Existem divesas classificações das matizes. Veemos as pincipais e mais conhecidas. Deixaemos de lado definições de matizes nilpotente, otogonais, anti-siméticas, peiódicas, etc. - Matiz Retangula é aquela cujo númeo de linhas é difeente do númeo de colunas Matiz Quadada é aquela cujo númeo de linhas é igual ao númeo de colunas. Quando uma matiz quadada é fomada po 2 linhas e 2 colunas dizemos que ela é uma matiz quadada de odem 2.! 5 3 " é 3 2 2ª 0 2 Os elementos 5 e 2 foma a diagonal pincipal e os elementos 3 e 0 fomam a diagonal secundáia , é 3 3 3ª Os númeos 1, 4 e 1 fomam a diagonal pincipal e os númeos 5,4 e 6 fomam a diagonal secundáia. - Matiz Linha é a matiz que possui apenas uma linha Matiz Coluna é a matiz que possui apenas uma coluna. 1 # 2 % Matiz diagonal é a matiz quadada cujos elementos que não petencem à diagonal pincipal são iguais a Pof. Guilheme Neves 4

5 - Matiz identidade é a matiz diagonal cujos elementos da diagonal pincipal são todos iguais a 1. Denotamos po 6 2 a matiz identidade de odem n. Pecebam as condições paa que uma matiz seja denominada de identidade: deve se uma matiz quadada, todos os elementos foa da diagonal pincipal devem se iguais a 0 e todos os elementos da diagonal pincipal são iguais a ) = ( = : = # % Matiz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a Exemplo 1. Constua a matiz ; = ( &' ) ) ) definida po &' = ( + 2= Resolução Tem-se uma matiz quadada de teceia odem. A matiz tem a seguinte epesentação: ** *( *) ; =, (* )* (( )( () - )) Sabemos que &' = ( + 2=. ** = 1 ( = 3, *( = 1 ( = 5, *) = 1 ( = 7 (* = 2 ( = 6, (( = 2 ( = 8, () = 2 ( = 10 )* = 3 ( = 11, )( = 3 ( = 13, *) = 3 ( = 15 Potanto, ; =, Pof. Guilheme Neves 5

6 Pof. Guilheme Neves 6

7 3. Igualdade de Matizes Duas matizes ; = ( &' ) 0 1 e A = (B &' ) 0 1 são iguais quando todos os &' foem iguais aos B &' paa todo i e paa todo j. Ou seja, paa que duas matizes sejam iguais, elas devem se do mesmo tipo (te o mesmo númeo linhas e o mesmo númeo de colunas) e todos os elementos coespondentes (com mesmo índice) devem se iguais. Exemplo: 1 4 ( 3) C 0 4 ( 25 D = , Adição de Matizes Paa começo de convesa, só podemos soma matizes do mesmo tipo, ou seja, paa que seja possível soma matizes, elas devem te o mesmo númeo de linhas e o mesmo númeo de colunas. Esta é a condição de existência da soma de duas ou mais matizes. Então vamos considea duas matizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam ; = ( &' ) 0 1 e A = (B &' ) 0 1, chama-se soma ; + A a matiz C do tipo m x n tal que &' = &' + B &'. Vamos paa de fala em símbolos e vamos taduzi: i) Só podemos soma matizes do mesmo tipo, ou seja, as matizes obigatoiamente devem te o mesmo númeo de linhas e o mesmo númeo de colunas. ii) O esultado (a soma) seá uma matiz do mesmo tipo das matizes oiginais. iii) Paa detemina os elementos da matiz soma, devemos soma os elementos coespondentes das matizes oiginais. Exemplos: Pof. Guilheme Neves 7

8 = = = Obseve que, assim como os númeos eais, a adição ente matizes também é associativa e comutativa. Isto que dize que, se A,B e C são matizes do mesmo tipo, então: (; + A) + G = ; + (A + G) ; + A = A + ; 5. Matiz Oposta Obseve novamente o exemplo que foi feito acima: = A matiz 4 1 é a matiz oposta da matiz 4 1 e ecipocamente, a matiz 4 1 é a matiz oposta da matiz 4 1 poque a soma das duas matizes é uma matiz nula, ou seja, com todos os elementos iguais a 0. Dada uma matiz A, sua matiz oposta é indicada po ;. Se é dada a matiz A, paa detemina a sua oposta deve-se multiplica todos os elementos po 1, ou seja, toca os sinais de todos os elementos. Desta foma, a matiz oposta da matiz ; =! " é a matiz ; =! ". 1. (AFC 2002/ESAF) De foma genealizada, qualque elemento de uma matiz M pode se epesentado po m ij, onde i epesenta a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matiz S = s ij, de teceia odem, é a matiz esultante da soma ente as matizes A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (a ij ) = i 2 + j 2 e que bij = (i + j) 2, então a soma dos elementos da pimeia linha da matiz S é igual a: a) 17 Pof. Guilheme Neves 8

9 b) 29 c) 34 d) 46 e) 58 Resolução Vamos constui as matizes A e B. ** *( *) 1 ( + 1 ( 1 ( + 2 ( 1 ( + 3 ( ; = (* (( () =2 ( + 1 ( 2 ( + 2 ( 2 ( + 3 ( = )* )( )) 3 ( + 1 ( 3 ( + 2 ( 3 ( + 3 ( B ** B *( B *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( A =B (* B (( B () =# (2 + 1) ( (2 + 2) ( (2 + 3) ( % = B )* B )( B )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( I = ; + A = = A soma dos elementos da pimeia linha é igual a = 46. Obviamente não pecisaíamos constui as matizes completamente, apenas o fizemos paa fins didáticos. Leta D 2. (SERPRO 2001/ESAF) Geneicamente, qualque elemento de uma matiz M pode se epesentado po m ij, onde i epesenta a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matiz S = s ij, de teceia odem, é a matiz esultante da soma ente as matizes A = (a ij ) e B = (b ij ), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (a ij ) = i 2 + j 2 e que bij = (i + j) 2, então a azão ente os elementos s 31 e s 13 é igual a: a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 1 Resolução Questão paticamente idêntica! As matizes utilizadas são idênticas! Se você nos pemite, vamos da um Ctl+C / Ctl+V... Pof. Guilheme Neves 9

10 Vamos constui as matizes A e B. ** *( *) 1 ( + 1 ( 1 ( + 2 ( 1 ( + 3 ( ; = (* (( () =2 ( + 1 ( 2 ( + 2 ( 2 ( + 3 ( = )* )( )) 3 ( + 1 ( 3 ( + 2 ( 3 ( + 3 ( B ** B *( B *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( A =B (* B (( B () =# (2 + 1) ( (2 + 2) ( (2 + 3) ( % = B )* B )( B )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( JK I = ; + A = = JK Queemos calcula a azão ente os elementos s 31 (teceia linha e pimeia coluna) e s 13 (pimeia linha e teceia coluna). Colocamos estes númeos em vemelho. Leta E )* = 26 *) 26 = 1 3. (AFC-CGU 2003/2004 ESAF) Geneicamente, qualque elemento de uma matiz M pode se epesentado po &', onde i epesenta a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matiz L = M &', de teceia odem, é a matiz esultante da soma das matizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo que &' = ( e que B &' = ( =) (, então o poduto dos elementos M )* M *) é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 Resolução Não vamos mais constui a matiz completamente. Estamos inteessados nos elementos M )* M *). M )* = )* + B )* = 3 ( + (3 1) ( = = 13 M *) = *) + B *) = 1 ( + (1 3) ( = = 5 Pof. Guilheme Neves 10

11 O poduto dos elementos M )* M *) é igual a 13 5 = 65. Leta D 4. (MPOG 2003/ESAF) Geneicamente, qualque elemento de uma matiz M pode se epesentado po &', onde i epesenta a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matiz L = M &', de teceia odem, é a matiz esultante da soma das matizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo que &' = ( = ( e que B &' = ( + =) (, então a soma dos elementos M )* M *) é igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 Resolução A esolução é paticamente idêntica à da questão anteio. M )* = )* + B )* = 3 ( 1 ( + (3 + 1) ( = = 24 M *) = *) + B *) = 1 ( 3 ( + (1 + 3) ( = = 8 A soma dos elementos M )* M *) é igual a = 32. Leta C 5. (AFC SFC 2000/ESAF) A matiz I = &', de teceia odem, é a matiz esultante da soma das matizes ; = N &' O e A = NB &' O. Sabendo-se que &' = ( + = ( e que B &' = 2=, então a soma dos elementos )* *) é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 32 Resolução Outa questão idêntica!! )* = )* + B )* = 3 ( + 1 ( = = 16 *) = *) + B *) = 1 ( + 3 ( = = 16 Pof. Guilheme Neves 11

12 A soma dos elementos )* *) é igual a = 32. Leta E 6. Poduto de númeo eal po matiz Paa multiplica uma matiz ; po um númeo eal P basta multiplica todos os elementos de A po P. Exemplos: = ! " =! " Pof. Guilheme Neves 12

13 7. Poduto de Matizes Paa começo de convesa, nem sempe é possível multiplica duas matizes. Paa que exista o poduto de uma matiz A po uma matiz B é necessáio e suficiente que o númeo de colunas de A seja igual ao númeo de linhas de B. Desta maneia, se a pimeia matiz do poduto é do tipo m x n, então a segunda matiz deve se do tipo n x p. Pois bem, considee então uma matiz ; 0 1 e uma matiz A 1 Q. Ao efetua o poduto da matiz A pela matiz B, o esultado seá uma matiz do tipo m x p. Ou seja, o poduto é uma matiz que tem o númeo de linhas de A e o númeo de colunas de B. Resumindo, paa veifica se é possível multiplica duas matizes, coloque o tipo da pimeia matiz à esqueda e o tipo da segunda matiz à dieita. O poduto existiá se os númeos do meio coincidiem e o esultado seá uma matiz do tipo m x p, onde m e p são os númeos das extemidades. Po exemplo, seá que é possível multiplica uma matiz do tipo 2 x 4 po uma matiz 4 x 1? Os númeos do meio coincidiam? Sim! 1 º 2 º Então o poduto existe! E o esultado é uma matiz de que tipo? Basta olha os númeos das extemidades: seá uma matiz do tipo 2 x 1. Vejamos outo exemplo: seá que é possível multiplica uma matiz 4 x 1 po uma matiz 2 x 4? Os númeos do meio coincidiam? Não!! 1 º 2 º Potanto, o poduto ente essas duas matizes não existe. Obseve que existe o poduto de uma matiz do tipo 2 x 4 po uma matiz 4 x 1, mas não existe o poduto de uma matiz do tipo 4 x 1 po uma matiz do tipo 2 x 4. Pof. Guilheme Neves 13

14 Bom, já sabemos veifica se podemos ou não multiplica duas matizes e já sabemos identifica o tipo da matiz poduto. Falta ainda o pincipal: apende a multiplica. Existe um pocesso muito fácil paa multiplica matizes. É o seguinte: Desenhe uma cuz bem gande... Assim: É óbvio que você só vai desenha esta cuz depois de veifica se é possível multiplica as matizes, pois se não fo possível, nem peca o seu tempo. Bom, e o que faze com esta cuz? No teceio quadante (lemba dos quadantes do plano catesiano?) você esceveá a pimeia matiz e o no pimeio quadante você esceveá a segunda matiz. 2ª matiz 1ª matiz Pof. Guilheme Neves 14

15 - Beleza até agoa? - Beleza não, pofesso! Chega de delongas e coloca umas matizes aí paa fica clao. - Ok! Exemplo 2. Dadas as matizes ; = e A = R S, detemine, se existi, as matizes ; A e A ;. Resolução A matiz A possui 2 linhas e 4 colunas, potanto é do tipo 2 x 4. A matiz B possui 4 linhas e 3 colunas, potanto é do tipo 4 x 3. Seá que existe o poduto ; A? 1º 2º Os númeos do meio coincidem! É possível multiplica. O esultado seá uma matiz do tipo 2 3. Seá que existe o poduto A ;? 1º 2º Os númeos do meio não coincidem, potanto não existe a matiz A ;. Bom, vamos agoa calcula a matiz ; A que já sabemos se do tipo 2 x 3. Pof. Guilheme Neves 15

16 Vamos desenha a cuz e coloca a matiz A no teceio quadante e a matiz B no pimeio quadante. 2ª matiz ª matiz RESULTADO O esultado do poduto das matizes ficaá localizado no quato quadante. Sabemos que o esultado é uma matiz do tipo 2 x 3, ou seja, teá 2 linhas e tês colunas Pof. Guilheme Neves 16

17 Bom, e agoa, como descobimos cada uma destes númeos? Vejamos po exemplo o elemento que está na pimeia linha e segunda coluna (a bolinha vemelha abaixo) Obseve que esta bolinha vemelha é futo do cuzamento ente a pimeia linha da matiz da esqueda com a segunda coluna da matiz de cima. Então faemos o seguinte. Multiplicaemos os elementos coespondentes destas duas filas e somaemos os esultados. Assim: i) O pimeio elemento fila da esqueda é 1 e o pimeio elemento da fila de cima é 2. Multiplicamos 1 2 = 2. ii) O segundo elemento da fila da esqueda é 3 e o segundo elemento da fila de cima é 5. Multiplicamos 3 5 = 15. iii) O teceio elemento da fila da esqueda é 2 e o teceio elemento da fila de cima é 3. Multiplicamos 2 ( 3) = +6 iv) O quato elemento da fila da esqueda é 5 e o quato elemento da fila de cima é 1. Multiplicamos 5 1 = 5. v) Devemos soma estes esultados obtidos: = 28. Ponto! O númeo a se colocado no luga da bolinha vemelha é 28!! Seá sempe assim... Multiplicando linha po coluna... Pof. Guilheme Neves 17

18 Vamos descobi agoa o elemento que está na pimeia linha e na pimeia coluna Devemos multiplica os elementos coespondentes e soma os esultados. Vamos faze um pouquinho mais ápido. Seá assim: 1º x 1º + 2º x 2º + 3º x 3º + 4º x 4º ( 2) = = 15 Ponto! O númeo a se colocado no luga da bolinha vemelha é igual a Vamos calcula o elemento da pimeia linha e teceia coluna. Vamos então multiplica a fila da esqueda pela fila de cima. Lembe-se: multiplicamos os elementos coespondentes (pimeio com pimeio, segundo com segundo,...) e somamos os esultados. Pof. Guilheme Neves 18

19 ( 2) ( 4) = = Vamos agoa detemina o elemento que está na segunda linha e na pimeia coluna. Efetue o mesmo pocesso. Multiplicamos os elementos coespondentes das duas filas e somamos os esultados ( 1) = = Vamos calcula o númeo que está na segunda linha e na segunda coluna (bolinha vemelha). Multiplicando a fila da esqueda pela fila de cima, elemento a elemento ( 1) ( 3) = = 21 Vamos calcula o númeo que está na segunda linha e teceia coluna (bolinha azul). Multiplicamos a fila da esqueda pela fila de cima, elemento a elemento. Pof. Guilheme Neves 19

20 Teminamos! RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA DNIT ( 1) ( 4) = = Desta foma, o poduto da matiz ; = pela A = R Sé a matiz G = Ufa! Tabalhoso, não? Este mecanismo é bom poque faz com que as pessoas não confundam quais as linhas e quais as colunas que devem se multiplicadas. 6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (a ij )3x3 é a matiz definida po a ij = i + j e B=(b ij )3x3 é a matiz definida po b ij = 2i j, então o elemento localizado na teceia linha e segunda coluna da matiz A.B é (A) 28. (B) 34. (C) 31. (D) 22. (E) 44. Resolução O poblema pede apenas um elemento do poduto AB. Vamos detemina os elementos das matizes A e B. Lembando que i é a linha e j é a coluna do elemento. ** *( *) ; = (* (( () = =3 4 5 )* )( )) Pof. Guilheme Neves 20

21 B ** B *( B *) A =B (* B (( B () = =3 2 1 B )* B )( B )) Estamos multiplicando uma matiz do tipo 3 x 3 po outa matiz do tipo 3 x 3. O poduto existe (poque os númeos do meio coincidem) e o esultado seá uma matiz do tipo 3 x 3 (númeos das extemidades) Queemos calcula o elemento localizado na teceia linha e na segunda coluna. Vamos multiplica a fila da esqueda pela fila de cima. Leta B = = 34 Vale a pena nota que a multiplicação de matizes não é uma opeação comutativa, ou seja, paa duas matizes quaisque A e B é falso dize que necessaiamente U V = V U. Note também que, se estivemos tabalhando com númeos eais, é sempe vedade que se W X = Y,Z2[ã] W = Y ]^ X = Y. Isto não é vedade quando estivemos tabalhando com matizes. Ou seja, é possível enconta matizes não nulas cujo poduto é a matiz nula. Expeimente multiplica, po exemplo, a matiz 8 _ Y 9 pela matiz Y Y 8 Y Y Y 9 e veifique que o esultado é a matiz 8Y Y _ Y Y 9. Pof. Guilheme Neves 21

22 8. Matiz Tansposta Considee uma matiz qualque ; = ( &' ) 0 1. Chama-se tansposta da matiz A a matiz ;` do tipo n x m que se obtém tocando as linhas pelas colunas. Ou seja, as colunas da tansposta são odenadamente iguais às linhas de da matiz oiginal. Exemplos: Popiedades i) (U [ ) [ = U ; = 8 _ J a _ b b c d 9 ;` =, J c- a d b c d b f h ; =, f Z g- ;` =, c Z i- h i j d g j Ou seja, a tansposta da matiz tansposta de A é a pópia matiz A. b c d b f h b c d ; =, f Z g- ;` =, c Z i- (U [ ) [ =, f Z g- h i j d g j h i j ii) Se A e B são matizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo númeo de linhas e o mesmo númeo de colunas, então (U + V) [ = U [ + V [. Isto que dize que tanto faz: Soma duas matizes e depois calcula a tansposta do esultado. Calcula as tanspostas das matizes e depois soma o esultado. iii) Se k é um númeo eal qualque e U é uma matiz, então (k U) [ = k U [ Isto que dize que tanto faz: Multiplica uma matiz po um númeo eal e depois calcula a tansposta do esultado. Calcula a tansposta da matiz e, em seguida, multiplica po um númeo eal. Pof. Guilheme Neves 22

23 iv) Se A e B são matizes que podem se multiplicadas, então V [ e U [ também podem se multiplicadas e (UV) [ = V [ U [ Isto que dize que tanto faz: Multiplica a matiz A pela matiz B e, em seguida, calcula a tansposta. Calcula a tansposta de B, calcula a tansposta de A e multiplica (nesta odem) (MPU 2004/ESAF) Sejam as matizes ; =2 6 e A =! " e seja 3 3 M &' o elemento genéico de uma matiz X tal que L = (;A)`, isto é, a matiz X é a matiz tansposta do poduto ente as matizes A e B. Assim, a azão ente M )* e M *( é igual a: a) 2 b) ½ c) 3 d) 1/3 e) 1 Resolução Vamos multiplica as matizes. Devemos multiplica uma matiz do tipo 3 x 2 (3 linhas e 2 colunas) po uma matiz do tipo 2 x 4. O poduto existe, poque os númeos do meio coincidem e o esultado é uma matiz do tipo 3 x 4 (númeos das extemidades) B l = m h P Obseve que não pecisamos calcula todos os elementos do poduto. O nosso objetivo é calcula a matiz tansposta deste esultado. A matiz tansposta seá: Pof. Guilheme Neves 23

24 B l = n o m P h Queemos calcula a azão ente M )* e M *(. Ou seja, a azão ente o elemento que está situado na teceia linha e pimeia coluna (elemento c) e o elemento que está situado na pimeia linha e segunda coluna (elemento e). Potanto, queemos calcula c/e. Vamos volta ao poduto das matizes B l = m h P = = 16 = = 8 Potanto, =16 8 = 2 Leta A 9. Deteminantes O nosso intuito é faze com que o candidato se sinta seguo paa fecha as povas de Raciocínio Lógico. Potanto, definiemos deteminantes visando às povas de concusos. Na ealidade, os assuntos da pesente aula (matizes, deteminantes e sistemas lineaes) são tópicos da alfabetização paa uma cadeia univesitáia denominada álgeba linea. Livos univesitáios de Álgeba Linea, como o de Benad Kolman, definem deteminantes geneicamente sem faze efeências à odem da matiz utilizando conceitos de pemutações paes e ímpaes, etc. Pof. Guilheme Neves 24

25 Não seguiemos esta linha. Definiemos deteminantes de matizes quadadas de odem 1, 2 e 3. Veificaemos divesas popiedades e teoemas de foma que em eventuais casos que pecisemos calcula deteminantes de odem maio que 3, o possamos faze sem maioes esfoços. Pois bem, paa começa, devemos fisa que apenas matizes quadadas admitem o cálculo de deteminantes. O deteminante da matiz A é denotado po det;. i) Se a matiz quadada é de odem 1, então o deteminante da matiz é o único elemento da matiz. Exemplo: Considee a matiz ; =2. O deteminante da matiz A é o númeo 2. det; = 2 ii) Se a matiz quadada é de odem 2, então o deteminante é o poduto dos elementos da diagonal pincipal menos o poduto dos elementos da diagonal secundáia. ; =! B B " det; = s s = B Obseve que indicamos o deteminante de uma matiz A com baas veticais ao lado dos elementos da matiz. Exemplo: Calcule o deteminante da matiz ; =! ". Resolução s 2 3 s = 2 4 ( 3) 5 = = iii) Se a matiz é de odem 3, o deteminante é calculado com o auxílio da ega de Saus. ** *( *) ; = (* )* (( )( () )) Devemos epeti as duas pimeias colunas. Pof. Guilheme Neves 25

26 Multiplicamos os elementos na dieção da diagonal pincipal de acodo com as flechas e somamos os 3 esultados. Multiplicamos os elementos na dieção da diagonal secundáia e tocamos os sinais dos poduto e somamos os esultados. Em seguida somamos os dois esultados obtidos. Vejamos um exemplo: Exemplo 3. Calcule o deteminante da matiz ; = Resolução det; = t t Devemos epeti as duas pimeias colunas det; = t t Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal pincipal det; = t t ( 1) = 7 Pof. Guilheme Neves 26

27 Multiplicamos os elementos na dieção da diagonal secundáia e tocamos os sinais dos podutos e somamos os esultados det; = t t (1) (5) ( 1) ( 2) (3) (4) (0) (2) (1) = = 29 Devemos soma os dois esultados obtidos. det; = = Popiedades dos deteminantes Vejamos algumas popiedades dos deteminantes: i) Se os elementos de uma fila qualque (linha ou coluna) de uma matiz M de odem n foem todos nulos, então det M = 0. Exemplo / = # % cos57 x 1,37 15 O deteminante da matiz M é igual a 0, pois a matiz possui uma fila composta po zeos. ii) Se uma Matiz M tem duas filas paalelas (duas linhas ou duas colunas) fomadas po elementos espectivamente iguais, então det M = 0. Exemplo: / = # % 15 1,37 15 Pof. Guilheme Neves 27

28 Como a pimeia coluna é igual à teceia coluna, então o deteminante da matiz é igual a 0. iii) Se uma matiz M tem duas filas paalelas (duas linhas ou duas colunas) fomadas po elementos espectivamente popocionais, então det M = 0. Exemplo: / = # % 1 1,37 3 Obseve a pimeia e a teceia coluna. Elas são popocionais e a constante de popocionalidade é igual a 3 (ou seja, a teceia coluna foi poduzida multiplicando a pimeia coluna po 3). Assim, o deteminante da matiz é igual a 0. iv) Se uma matiz quadada M tem uma linha (ou coluna) que é combinação linea de outas linhas (ou colunas), então det M = 0. Deixe-me fala numa linguagem bem coloquial paa explica o que é combinação linea. Imagine que você vai constui uma matiz de teceia odem. 2 5 / = Você constuiu a pimeia coluna e a segunda coluna. E você esolveu se um pouco mais ciativo paa constui a última coluna. E o que você fez? Você multiplicou a pimeia coluna po 2 e multiplicou a segunda coluna po 3 e somou os dois esultados. O que você obteve? / = = Ponto! A teceia coluna é uma combinação linea das duas pimeias colunas. Ou seja, você deve multiplica uma fila po um ceto númeo A e outa fila po qualque outo númeo B. Somando os dois esultados, você obtém uma combinação linea das duas filas. Pof. Guilheme Neves 28

29 Pense bem, uma coisa é cia a matiz e sabe que uma fila é combinação linea das outas duas. Imagine que o quesito fosse assim: Calcule o deteminante da matiz / = Obviamente a pessoa que ciou a questão sabe que a teceia coluna é combinação linea das outas duas e, potanto, o deteminante é zeo. A dificuldade é pecebe na hoa da pova isso. Não seá você o ciado das questões!! Veja só outo exemplo. Calcule o deteminante da matiz: / = Se você tive um excelente olho e pecebe que Pimeia coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Teceia coluna) x 5 Você podeá conclui que o deteminante é zeo. Caso contáio, teás que usa a ega de Saus (o que é bem povável que aconteça. Não peca seu tempo tentando acha alguma ega. Faça as contas que em muitos casos é mais ápido!) v) Se U é uma matiz quadada de odem n e U [ é a sua tansposta, então yz{u = yz{u [. vi) Se multiplicamos uma fila qualque de uma matiz A de odem n po um númeo eal k, o deteminante da nova matiz seá o poduto do deteminante de A pelo númeo k Exemplo: Já vimos que o deteminante da matiz ; =5 2 3 é igual a Vamos multiplica uma fila qualque po 2, digamos a segunda coluna ; * = Pof. Guilheme Neves 29

30 Paa calcula o deteminante desta nova matiz, basta multiplica o deteminante da matiz oiginal po 2. Desta foma, det; * = 2 det; = 2 36 = 72. vii) Se uma matiz quadada A de odem n fo multiplicada po uma constante k, então o seu deteminante seá yz{(k U) = k 2 yz{ (U) Na vedade, esta popiedade vii é uma decoência da popiedade vi. Isto poque multiplica uma matiz de odem n po uma constante k é o mesmo que multiplica as n linhas po k (ou as n colunas). Ao multiplica a pimeia linha po k, multiplicamos o deteminante po k. Ao multiplica a segunda linha po k, multiplicamos o deteminante po k. Ao multiplica a teceia linha po k, multiplicamos o deteminante po k. Se a matiz é de odem n, então teá n linhas. Então, det(p ;) = P}~~~~~~ P P P det; = P 1 det ; 1 `xƒ viii) Considee uma matiz quadada de odem maio ou igual a 2. Se tocamos a posição de duas filas paalelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o deteminante da matiz toca de sinal Exemplo: Já vimos que o deteminante da matiz ; =5 2 3 é igual a Se tocamos a posição da pimeia linha com a teceia linha, o deteminante da matiz toca de sinal ; ( = O deteminante desta matiz é igual a 36. ix) O deteminante de qualque matiz identidade é igual a (MPOG 2008 ESAF) Uma matiz X de quinta odem possui deteminante igual a 10. A matiz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matiz X po 10. Desse modo, o deteminante da matiz B é igual a: Pof. Guilheme Neves 30

31 a) 10-6 b) 10 5 c) d) 10 6 e) 10 3 Resolução Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matiz po um númeo eal a, o deteminante da matiz também seá multiplicado po a. Nessa questão, quando multiplicamos todos os elementos da matiz X po 10, o que aconteceu? Multiplicamos a pimeia linha po 10, assim o deteminante seá multiplicado po 10. Multiplicamos a segunda linha po 10, assim o deteminante seá multiplicado po 10. Multiplicamos a teceia linha po 10, assim o deteminante seá multiplicado po 10. Multiplicamos a quata linha po 10, assim o deteminante seá multiplicado po 10. Multiplicamos a quinta linha po 10, assim o deteminante seá multiplicado po 10. Assim, o deteminante da matiz X, que é igual a 10, seá igual a: det(10l) = det(m) = = 10 É válido o seguinte teoema: se uma matiz quadada A de odem n fo multiplicada po uma constante k, então o seu deteminante seá det(p ;) = P 1 det (;) Assim, como a matiz do poblema é de 5ª odem e foi multiplicada po 10, Leta D det(10 ;) = 10 det(;) = = (ATA MF 2009/ESAF) Seja uma matiz quadada 4 po 4. Se multiplicamos os elementos da segunda linha da matiz po 2 e dividimos os elementos da teceia linha da matiz po 3, o deteminante da matiz fica Pof. Guilheme Neves 31

32 a) Multiplicado po 1. b) Multiplicado po 16/81. c) Multiplicado po 2/3. d) Multiplicado po 16/81. e) Multiplicado po 2/3. Resolução Vamos elemba uma das popiedades. vi) Se multiplicamos uma fila qualque de uma matiz A de odem n po um númeo eal k, o deteminante da nova matiz seá o poduto do deteminante de A pelo númeo k. Oa, se multiplicamos os elementos da segunda linha da matiz po 2, o deteminante seá multiplicado po 2. Se dividimos os elementos da teceia linha da matiz po 3, o deteminante seá dividido po -3. Assim, juntando tudo, o deteminante seá multiplicado po 2/3. Leta E 10. (MPOG 2002 ESAF) A tansposta de uma matiz qualque é aquela que se obtém tocando linhas po colunas. Sabendo-se que uma matiz quadada de segunda odem possui deteminante igual a 2, então o deteminante do dobo de sua matiz tansposta é igual a: a) 2 b) 1/2 c)4 d) 8 e) 10 Resolução O deteminante da matiz tansposta é igual ao deteminante da matiz oiginal. Assim, o deteminante não seá alteado. Poém, quando multiplicamos uma matiz de segunda odem po 2 (já que queemos o deteminante do dobo da matiz), o deteminante seá: Leta D det (2 ;ˆ) = 2 1 det(;ˆ) = 2 ( det(;) = 4 2 = 8 Pof. Guilheme Neves 32

33 11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matizes a b c a 5 1 A = = e B b 3 2, de deteminantes não nulos, paa quaisque c 2 3 valoes de a, b e c, temos A) det(a) = det(b) B) det(b) = 2.det(A) C) det(a) = 2.det(B) D) det(a) = 2.det(B) E) det(a) = det(b) Quais foam as tansfomações sofidas po A paa chega na matiz B? Obseve que a pimeia linha de A é igual à pimeia coluna de B. A segunda linha de A é igual à segunda coluna de B. Vamos constui a matiz tansposta de A. A tansposta de uma matiz qualque é aquela que se obtém tocando linhas po colunas. Obseve agoa a matiz B. ;` = 5 2 B a B= b c A teceia coluna da matiz tansposta de A é igual ao dobo da teceia coluna de B. Dessa foma, o deteminante da tansposta de A é o dobo do deteminante da matiz B. det (;ˆ) = 2 det(a) Como o deteminante de A e de sua tansposta são iguais, det (;) = 2 det(a) Leta C Pof. Guilheme Neves 33

34 12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considee duas matizes quadadas de teceia odem, A e B. A pimeia, a segunda e a teceia colunas da matiz B são iguais, espectivamente, à teceia, à segunda e à pimeia colunas da matiz A. Sabendo-se que o deteminante de A é igual a x 3, então o poduto ente os deteminantes das matizes A e B é igual a: a) x -6 b) x 6 c) x 3 d) 1 e) 1 Resolução Considee a matiz A: B ; = l m h A pimeia, a segunda e a teceia colunas da matiz B são iguais, espectivamente, à teceia, à segunda e à pimeia colunas da matiz A. B A =l h m Obseve que as segundas colunas das matizes são iguais. Apenas pemutamos a pimeia com a teceia coluna. Quando pemutamos (tocamos de luga) duas filas (linhas ou colunas), o deteminante toca de sinal. Como o deteminante de A é igual a x 3, então o deteminante de B seá igual a x 3. O poduto ente os deteminantes das matizes A e B é igual a Leta B det(;) det(a) = M ) ( M ) ) = M 13. (MPOG 2005 ESAF) O meno complementa de um elemento genéico x ij de uma matiz X é o deteminante que se obtém supimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matiz Y = y ij, de teceia odem, é a matiz esultante da soma das matizes A = (a ij ) e B = (b ij ). Sabendo-se que Pof. Guilheme Neves 34

35 (a ij ) = (i+j) 2 e que b ij = i 2, então o meno complementa do elemento y 23 é igual a: a) 0 b) -8 c) -80 d) 8 e) 80 Resolução Vamos constui as matizes A e B. ** *( *) (1 + 1) ( (1 + 2) ( (1 + 3) ( ; = (* (( () =# (2 + 1) ( (2 + 2) ( (2 + 3) ( % = )* )( )) (3 + 1) ( (3 + 2) ( (3 + 3) ( B ** B *( B *) 1 ( 1 ( 1 ( A =B (* B (( B () =2 ( 2 ( 2 ( =4 4 4 B )* B )( B )) 3 ( 3 ( 3 ( = ; + A = = Se quisemos calcula o meno complementa do elemento y 23, devemos supimi a segunda linha e a teceia coluna de Y. s 5 10 s = = = Lembe-se que paa calcula o deteminante de uma matiz de segunda odem devemos calcula a difeença ente o poduto dos elementos da diagonal pincipal e o poduto dos elementos da diagonal secundáia. Leta C 14. (ANA 2009/ESAF) O deteminante da matiz a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c ; = B é: B Pof. Guilheme Neves 35

36 e) 0 Resolução Resolveemos esta questão de duas maneias: a pimeia usando a foça buta do baço e a segunda utilizando algumas popiedades dos deteminantes. Um deteminante de teceia odem pode se calculado com o auxílio da ega de Saus. Devemos epeti as duas pimeias colunas ; = t B t B 2 1 B B Multiplicamos os elementos na dieção da diagonal pincipal de acodo com as flechas. Obtemos 2 B +1 (4 +) + 0 (2 + B) = 2B Vamos multiplica os elementos que estão na dieção da diagonal secundáia e toca o sinal do esultado. Obtemos 1 2 (2 + B) 0 B (4 +) = 4 2B Paa calcula o deteminante da matiz A, devemos soma os dois esultados obtidos: Vamos volta ao quesito: ; = 2B B = 0 (ANA 2009/ESAF) O deteminante da matiz A = B é: B Pof. Guilheme Neves 36

37 a) 2bc + c - a b) 2b - c c) a + b + c d) 6 + a + b + c e) 0 RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA DNIT Oa, peceba que multiplicando a pimeia linha po 2 e somando com a segunda linha, obtemos a teceia linha. Assim, a teceia linha é combinação linea das outas duas e o deteminante é zeo. Leta E 15. (Gesto Fazendáio MG 2005/ESAF) Considee duas matizes de segunda odem, A e B, sendo que A = 2 */: ;. Sabendo que o deteminante de A é igual a 2 */(, então o deteminante da matiz B é igual a: a) 2 1/2 b) 2 c) 2-1/4 d) 2-1/2 e) 1 Resolução As matizes são de segunda odem. Se uma matiz quadada A de odem n fo multiplicada po uma constante k, então o seu deteminante seá det(p ;) = P 1 det (;) Como a matiz A é de segunda odem, então =2. Estamos multiplicando a matiz A po 2 */:, potanto, P = 2 */:. detn2 */: ;O = N2 */: O ( det (;) detn2 */: ;O = N2 */: O ( 2 */( Leta E deta = 2 ( * : 2 */( = 2 */( 2 */( = 2 * ( Ž8 * ( 9 = 2 = 1 Pof. Guilheme Neves 37

38 16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matiz quadada X de teceia odem possui deteminante igual a 3. Sabendo-se que a matiz Z é a tansposta da matiz X, então a matiz = 3 tem deteminante igual a: a) 1/3 b) 3 c) 9 d) 27 e) 81 Resolução A matiz é de teceia odem, logo =3. Estamos multiplicando a matiz Z po 3, logo P = 3. Sabemos também que = L` e sabemos que o deteminante de uma matiz é igual ao deteminante da sua tansposta. det(p ) = P 1 det ( ) det(3 ) = 3 ) det( ) = 27 detl` Sabemos que 3 Como detl = 3, Leta E = 3detL` = detl. det = 27 L det = 27 3 = (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualque elemento de uma matiz X pode se epesentado po xij, onde i epesenta a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. A pati de uma matiz A (aij), de teceia odem, constói-se a matiz B (bij), também de teceia odem, dada po: Pof. Guilheme Neves 38

39 Sabendo-se que o deteminante da matiz A é igual a 100, então o deteminante da matiz B é igual a: a) 50 b) -50 c) 0 d) -100 e) 100 Resolução A matiz A é dada po: b b _J b _a ; =b J_ b a_ b JJ b aj b Ja b aa A matiz B é dada po: B ** B *( B *) b a_ b aj b aa A =B (* B (( B () =b J_ b JJ b Ja B )* B )( B )) b b _J b _a A matiz B foi constuída a pati da matiz A a pati do seguinte pocesso: Repetimos a segunda linha. Tocamos a pimeia linha com a teceia linha Vimos na popiedade viii que se tocamos a posição de duas filas paalelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o deteminante da matiz toca de sinal. Como o deteminante da matiz A é igual a 100, então o deteminante da matiz B é igual a 100. Leta D 11. Teoema de Binet Se ; e A são matizes quadadas de odem n, então: det(;a) = det; deta Pof. Guilheme Neves 39

40 Isto que dize que tanto faz: Calcula o poduto AB e calcula o deteminante do poduto. Calcula o deteminante de A, calcula o deteminante de B e multiplica os esultados (MPU 2004/ESAF) Considee as matizes L =2 4 6; =2 B onde os elementos a,b e c são númeos natuais difeentes de zeo. Então, o deteminante do poduto das matizes X e Y é igual a: a) 0 b) c) +B + d) +B e) + Resolução Queemos calcula (L ). Pelo Teoema de Binet, sabemos que det(l ) = detl det Dê uma olhada na matiz X L = Pecebeu que a segunda linha é igual a pimeia linha multiplicada po 2? Se uma matiz M tem duas filas paalelas (duas linhas ou duas colunas) fomadas po elementos espectivamente popocionais, então det M = 0. Podemos conclui que o deteminante da matiz X é igual a 0. det(l ) = detl det det(l ) = 0 det = 0 Pof. Guilheme Neves 40

41 Leta A 12. Matiz Invesa Considee uma matiz quadada de odem n. Vamos chama esta matiz de A. Dizemos que a matiz A é invesível se existi uma matiz B tal que ; A = A ; = 7 1. Lembe-se que 7 1 é a matiz identidade de odem n. Esta matiz B é chamada matiz invesa de A e é denotada po ; *. Exemplo: A invesa da matiz ; =! " é a matiz ; * =! " poque! "! " =! ". Paa veifica basta faze: B = ( 4) = = 1 B = 5 ( 6) = = 0 = ( 4) = = 0 =4 ( 6) = = 1 Oa, sabemos que ; ; * = 7 1. Vamos aplica o teoema de Binet. det(; ; * ) = 7 1 det; det; * = 7 1 Lembe-se que o deteminante da matiz identidade é igual a 1, potanto: Pof. Guilheme Neves 41

42 det; det; * = 1 Este fato é muito impotante. Pois se fo dado o deteminante de uma matiz, podemos automaticamente calcula o deteminante da sua invesa e ecipocamente. Se a matiz A não admite invesa, a matiz A é chamada de matiz singula. Uma matiz quadada não é invesível quando o seu deteminante é igual a 0. Po exemplo, a matiz! 5 2 " é uma matiz singula, isto é, não admite 10 4 invesa. Isto pode se veificado calculando o seu deteminante. s 5 2 s = = = Bom, podemos conclui que se o deteminante da matiz quadada é difeente de zeo, então a matiz é invesível. E como calculamos a matiz invesa? Neste cuso, ficaemos estitos ao cálculo de matizes invesas de odem 2. Considee uma matiz quadada de odem 2 com deteminante difeente de 0. ; =! B " A invesa da matiz A é calculada da seguinte foma: ; * = 1 det;! B " Ou seja, tocamos de posição os elementos da diagonal pincipal e mudamos o sinal dos elementos da diagonal secundáia. Depois dividimos todos os elementos pelo deteminante da matiz oiginal. Exemplo 4. Detemine, se existi, a invesa da matiz ; =! ". Resolução O pimeio passo é calcula o deteminante da matiz A. det; = = 2 Vamos toca a posição dos elementos da diagonal pincipal e toca o sinal dos elementos da diagonal secundáia.! " Pof. Guilheme Neves 42

43 O póximo passo é dividi todos os elementos pelo deteminante da matiz oiginal que é igual a 2. ; * 4 3 = 5/ (Oficial de Chancelaia MRE 2002/ESAF) Dada a matiz! 1 1 M 1 " e sabendo que o deteminante de sua matiz invesa é igual a 1/2, então o valo de M é igual a: a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) 2 Resolução Sabemos que det; det; * = 1. O poblema já foneceu o deteminante da invesa que é igual a 1/2. det; 1 2 = 1 det; = 2 Oa, temos em mãos o deteminante da matiz oiginal. Leta A s 1 1 M 1 s = M = 2 1 M = 2 M = 1 M = 1 Pof. Guilheme Neves 43

44 13. Sistemas Lineaes Equação linea nas incógnitas M,,, é toda equação do tipo M + B ++ = P. Os númeos eais,b,, (os númeos que multiplicam as incógnitas) são chamados de coeficientes e o númeo P é o temo independente da equação. É impotante nota que os expoentes das incógnitas devem se todos iguais a 1 paa que a equação seja consideada linea. São equações lineaes: Não são equações lineaes: 2M + 3 = 5 4M = 0 2M ) 5 ( = 8 M + 6 = 0 2M + 3M = 7 É impotante também nota que não é pemitido o poduto de duas incógnitas em algum dos temos da equação. Vejamos alguns fatos que apendeemos nas aulas de lógica. Veemos que uma sentença do tipo 3M + 2 = 12 não é uma poposição lógica. Isto poque não podemos detemina o seu valo lógico sem que sejam fonecidos os valoes das incógnitas. Se alguém nos disse que M = 2 = 3, então a sentença 3M + 2 = 12 tona-seá vedadeia poque = 12; ao passo que se M = 3 = 0, a sentença 3M + 2 = 12 seá classificada como falsa poque Pois bem, já que M = 2 = 3 tona a sentença 3M + 2 = 12 vedadeia, dizemos que a sequência (2,3) é uma solução da equação linea. Falamos em equações lineaes. E o que vem a se um sistema linea? Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineaes! Po exemplo: Pof. Guilheme Neves 44

45 2M + 5 = 9 M 3 = 1 Aqui, dizemos que uma sequência de númeos é uma solução do sistema linea, se a sequência fo solução de todas as equações lineaes que compõem o sistema. Po exemplo: A sequência (2,1) é solução do sistema linea acima, poque: = = Classificação dos sistemas lineaes Se um sistema linea admiti pelo menos uma solução, diemos que o sistema é possível (alguns dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não admiti soluções, ou seja, não existi uma sequência que satisfaça todas as equações do sistema, diemos que o sistema é impossível ou incompatível. Se o sistema é possível, ainda podemos faze uma subclassificação: se o sistema admiti apenas uma solução, dizemos que o sistema é possível e deteminado; se o sistema admiti infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeteminado. Sistema linea Possível (admite solução) Impossível (não admite solução) Deteminado (a solução é única) Indeteminado (existem infinitas soluções) Pof. Guilheme Neves 45

46 Paa quem nunca estudou este assunto, paece um pouco estanho que um sistema linea não possua soluções (impossível) ou que possua infinitas soluções (possível e indeteminado). Vamos ve alguns exemplos: Exemplo 5. Resolva o sistema linea M 2 = 5 3M + = 29. Resolução Vamos isola a incógnita M na pimeia equação. M = Vamos agoa substitui esta expessão na segunda equação 3M + = 29 3 (2 + 5) + = = 29 7 = 14 Como M = 2 + 5, então: = 2 M = = 9 Potanto, o sistema admite apenas uma solução: M = 9 = 2. O sistema é possível e deteminado. Exemplo 6. Resolva o sistema linea M 2 = 5 3M 6 = 10. Resolução Vamos isola a incógnita M na pimeia equação. M = Vamos agoa substitui esta expessão na segunda equação. 3M 6 = 10 3 (2 + 5) 6 = 10 Pof. Guilheme Neves 46

47 = 10 0 = 5 Oa, devemos enconta um númeo que multiplicado po zeo seja igual a 5. Mas sabemos que qualque númeo multiplicado po 0 obigatoiamente tem como esultado o númeo 0. Desta foma, não existe um númeo tal que 0 = 5. O sistema é impossível. Exemplo 7. Resolva o sistema linea M 2 = 5 3M 6 = 15 Resolução Vamos isola a incógnita M na pimeia equação. M = Vamos agoa substitui esta expessão na segunda equação. 3M 6 = 15 3 (2 + 5) 6 = = = = 0 Devemos pensa em um númeo que multiplicado po 0 seja igual a 0. Oa, qualque númeo eal seve!! Pense em um númeo qualque, digamos = 1. Neste caso, 0 1 = 0. E já que M = 2 + 5, então M = M = 7 Potanto M = 7 = 1 é uma solução do sistema. Vamos coloca = 5. Já que M = 2 + 5, então M = M = 15 Pof. Guilheme Neves 47

48 Potanto, M = 15 = 5 é outa solução do sistema. Na vedade, você pode escolhe o valo que quise paa a incógnita, substitui o valo na equação M = e calcula o valo coespondente de M. O sistema admite infinitas soluções e, potanto, é possível e indeteminado. 15. Sistema Linea Homogêneo Um sistema linea é dito homogêneo se o temo independente de todas as equações é igual a 0. Exemplos: 2M + 5 = 0 M 3 = 0 M = 0 2M 5 +=0 M = 0 É fácil pecebe que todo sistema linea é possível. Basta substitui todas as incógnitas po 0. Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0 é chamada de solução tivial. Se houve, as outas soluções são chamadas de não-tiviais. Desta foma, todo sistema linea homogêneo é possível. Em beve apendeemos a classificá-lo em deteminado ou indeteminado. 16. Teoema de Came O bem conhecido teoema de Came, publicado em 1750 po Gabiel Came ( ) povavelmente ea conhecido po Maclauin desde Isso ocoe com muita fequência na Matemática. Uma pessoa descobe algum fato e outa, váios anos depois, leva o cédito. Bom, deixemos a Históia da Matemática de lado (quem se inteessa, depois de passa no concuso, pode compa o livo Históia da Matemática de Cal B. Boye). Vamos lá. Considee um sistema linea em que o númeo de incógnitas é igual ao númeo de equações. Pof. Guilheme Neves 48

49 Como o nosso intuito é fecha as povas de concuso, vamos fica estitos aos sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 3 incógnitas. M + B = P * M + = P ( M + B +=P * M + + l = P ( mm + h +=P ) Estamos consideando que as incógnitas são as letas M,,. Vamos considea alguns deteminantes especiais que podem se calculados com os coeficientes e com os temos independentes. Chamaemos de o deteminante da matiz fomada pelos coeficientes das incógnitas. No caso do sistema de segunda odem: No caso do sistema de teceia odem: = s B s B = t lt m h Chamaemos de š o deteminante da matiz obtida da matiz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos temos independentes. No caso, substituiemos a pimeia coluna (a do M) pelos temos independentes (P *,P (, ). Chamaemos de o deteminante da matiz obtida da matiz dos coeficientes, substituindo a coluna do pelos temos independentes. No caso, substituiemos a segunda coluna (a do ) pelos temos independentes (P *,P (, ). Chamaemos de œ o deteminante da matiz obtida da matiz dos coeficientes, substituindo a coluna do pelos temos independentes. No caso, substituiemos a teceia coluna (a do ) pelos temos independentes (P *,P (, ). É óbvio que œ só existe em sistemas de teceia odem. No caso de sistemas de segunda odem, temos: š = P * B P ( = P * P ( No caso de sistemas de teceia odem, temos: Pof. Guilheme Neves 49

50 P * B P * B P * š = tp ( lt, = t P ( lt œ = t P ( t P ) h m P ) m h P ) Vamos ve alguns exemplos numéicos. Considee o sistema M 2 = 5 3M + = 29. Temos os seguintes deteminantes elacionados a este sistema: é o deteminante da matiz fomada pelos coeficientes das incógnitas. = s s = 1 1 ( 2) 3 = = 7 š é o deteminante da matiz obtida da matiz dos coeficientes, substituindo a coluna do M pelos temos independentes. No caso, substituiemos a pimeia coluna (a do M) pelos temos independentes. Analogamente, temos: š = s 5 2 s = 5 1 ( 2) 29 = š = 63 = s 1 5 s = = = 14 O Teoema de Came afima que se um sistema linea tem o númeo de equações igual ao de incógnitas e se 0 o sistema seá possível e deteminado (apesenta solução única) e: No nosso exemplo: M = š, =, M = š = 63 7 = 9 = = 14 7 = 2 Pof. Guilheme Neves 50