Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

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1 INTRODUÇÃO... NOÇÕES BÁSICAS... POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA...4 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS...6 RAZÃO DE SECÇÃO... 5 DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA... 6 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO... 7 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS... RESPOSTAS... 8 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 0 No final das séies de eecícios podem apaece sugestões de atividades complementaes. Estas sugestões efeem-se a eecícios do livo Matemática de Manoel Paiva fonecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouo Peto duante o tiênio Todos os eecícios sugeidos nesta apostila se efeem ao volume. MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

2 INTRODUÇÃO Em 67, o matemático e filósofo fancês Renée Descates publicou seu gande tabalho O Discuso sobe o Método, em que são estabelecidas as bases filosóficas de seu método paa o estudo das ciências, o chamado método catesiano, até hoje pesente na oganização do conhecimento em muitas áeas. No apêndice, Descates ilusta o seu método apesentando a Géométie, que foi o passo inicial no estabelecimento de elações mais esteitas ente a Álgeba e a Geometia. O tabalho contém uma teoia paa equações algébicas associadas a cuvas planas po eemplo, equações de segundo gau associadas a paábolas. Alguns anos mais tade, um outo matemático fancês, Piee Femat, publicou um tabalho onde também elacionou equações a etas, às cuvas que chamamos cônicas e a outas cuvas até então pouco conhecidas. Tem-se egistos de que as idéias iniciais de Femat sobe a Geometia Analítica são, na vedade, anteioes ao tabalho de Descates, mas esses egistos só foam encontados e publicados em 769, após a sua mote. A Geometia Analítica, tata, potanto, desde a sua oigem, das elações ente as equações algébicas e os objetos geométicos, buscando a simplificação técnica dos poblemas geométicos e a intepetação geomética dos esultados obtidos nos cálculos algébicos. Os cálculos e a descição dos objetos geométicos ficam mais simples com os ecusos algébicos da teoia das matizes associados aos pocessos de esolução de equações. As técnicas da Geometia Analítica desempenham um papel fundamental ainda hoje, po eemplo, no desenvolvimento da Computação Gáfica. As telas dos nossos computadoes são modelos da estutua do plano catesiano com um númeo finito de pontos, que é sempe mencionado quando escolhemos a configuação da tela. Aumentando o númeo de pontos, melhoamos a qualidade da imagem do monito ou da impessão dessa imagem. Nas muitas utilizações de ecusos de imagens, como na tomogafia ou na localização po satélite, essa oganização é fundamental paa uma intepetação pecisa dos esultados obtidos. A nomenclatua da Geometia Analítica (coodenadas, abscissas, odenadas, etc.) foi intoduzida po Leibniz, que e inspiou na teminologia adotada pelos gegos em seus cálculos geométicos. As bases da Geometia Analítica estão, potanto, contidas nos tabalhos desses tês gandes matemáticos - Descates, Femat e Leibniz - e foam posteiomente adotadas po Eule ao fomaliza o conceito de função. NOÇÕES BÁSICAS Consideemos dois eios e pependiculaes em O, os quais deteminam um plano. Dado um ponto P qualque tal que P, conduzamos po eles etas e tais que: ' // e //. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 Denominemos P a intesecção de com e P a intesecção de com. E.: Vamos localiza no plano catesiano os pontos A(, 0); B(0, ), C(, 5), D(-, 4), E(-7, -), F(4, -5), G( 5, 9 ), 5 H(, 9 ); Nestas condições, definimos: a) abscissa de P é o númeo eal p = OP. b) odenada de P é o númeo eal p = OP. c) coodenadas de P são os númeos eais p e p gealmente indicados na foma de um pa odenado (p, p) onde p é o pimeio temo. d) o eio das abscissas é o eio O. e) o eio das odenadas é o eio O. f) sistema de eios catesianos otogonais (ou sistema otonomal ou sistema etangula) é o sistema O. g) a oigem do sistema é o ponto O. h) plano catesiano é o plano. Ente o conjunto de pontos do plano e o conjunto de paes odenados (, ), eiste uma coespondência biunívoca, ou seja, paa cada ponto do plano eiste um único pa odenado e paa cada pa odenado eiste um único ponto no plano. A pincipal consequência desta popiedade é o fato de: da um ponto significa da um pa odenado (p, p); pedi um ponto significa pedi um pa de coodenadas (p, p); Todo ponto P pocuado epesenta duas incógnitas: p e p. MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

4 Notemos que os paes odenados A(, 5) e A(5, ) são difeentes visto que a odem em que os temos são apesentados difee dois paes odenados. Na figua abaio você pode ve a epesentação destes dois pontos no plano. Sendo P um ponto qualque do plano catesiano temos que: P I Quad. 0 e 0 P II Quad. 0 e 0 P III Quad. 0 e 0 P IV Quad. 0 e 0 p p p p p p p p Eistem ainda os pontos que estão sobe os eios, assim: P petence ao eio das abscissas se a odenada é nula: P O 0 P petence ao eio das odenadas se a abscissa é nula: P O 0 p p De foma geal, se a b então (a, b) (b, a). POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA Os eios e dividem o plano catesiano em quato egiões chamadas QUADRANTES que ecebem os nomes indicados na figua: Destas popiedades temos que os pontos que estão no eio vetical são do tipo (0, a) e os pontos do eio hoizontal são do tipo (a, 0). O pontos do tipo (a, a) fomam um conjunto de pontos chamado de bissetiz dos quadantes ímpaes. Obseve a figua: Assim, temos que P b p p CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 b) ao segundo quadante? O pontos do tipo (a, -a) fomam um conjunto de pontos chamado de bissetiz dos quadantes paes. Obseve a figua: c) ao teceio quadante? Assim, temos que Pb 4 p p Se uma eta é paalela ao eio das abscissas, então todos os seus pontos possuem a mesma odenada. d) ao quato quadante? Se uma eta é paalela ao eio das odenadas, então todos os seus pontos possuem a mesma abscissa. Também valem as ecípocas das duas popiedades acima. 0) Dados os pontos A 5; 5, B6; 6, C,5;,5, D 9, ; 9,, E 0; 0, F 7,; 0, G 0; 5, H ; 0, I 0;, J ;, ; K e 9 8 L ;, 4 pegunta-se: quais pontos são petencentes: a) ao pimeio quadante? e) ao eio das abscissas? MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

6 f) ao eio das odenadas? DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados os pontos A(; ) e B(; ), calculemos a distância d ente eles: º caso: AB é hoizontal: g) à bissetiz dos quadantes ímpaes? h) à bissetiz dos quadantes paes? d AB º caso: AB é vetical: 0) Localize no plano catesiano, os pontos dados na questão anteio: d AB º caso: AB é oblíqua: d AB CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 Demonstação: O tiângulo ABC é etângulo em C, assim, pelo teoema de Pitágoas temos que: C, d AB d AC d BC Como A,,,, então: d d AB AB B e Obsevação: a notação de módulo em e foi desconsideada pois, ao eleva ao quadado o esultado é positivo ou nulo. d d d d d d AB AB AB AB AB AB Obsevação: Convém destaca que a odem dos temos nas difeenças das abscissas ou das odenadas não influi no cálculo de d já que inveteia apenas o sinal das difeenças e, quando elevado ao quadado, esse sinal é desconsideado. E.(): Calcule a distância ente os pontos A(-, 6) e B(, -). MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

8 E. (): A distância ente os pontos A(a, ) e B(-, ) é. Detemine a. d AB a 9 a a a 8 a 8 c) H, 5 e O 0, 0 d) 0, M e N 5, 0) Calcule a distância ente os pontos dados:,7 B, 4 a) A e e) P, e Q, b) E, e F,5 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 f) C 4,0 e D 0, 05) Calcula a distância ente os pontos A(a-, b+4) e B(a+, b-8) g) K, e L, 4 06) Calcula o peímeto do tiângulo ABC sendo dados A(, ), B(-, ) e C(4, -). 04) Qual a distância do ponto (0, -4) à oigem? MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

10 07) Moste que o tiângulo de vétices A(, ), B(-4, -6) e C(4, -) é etângulo. 0) Dados A(4, 5), B(, ) e C(, 4), detemine de foma que o tiângulo ABC seja etângulo em B. 08) Qual vétice o tiângulo ABC citado na questão anteio detemina o ângulo eto? CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 0) Dados A(, 5), B(-, ) e C(4, ), obte foma que A seja equidistante de B e C. ) Obte P petencente ao eio das abscissas de foma que o ponto P seja equidistante de A(, ) e B(-, 5). MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

12 ) Detemina o ponto P da bissetiz dos quadantes paes que equidista dos pontos A(8, -8) e B(, -). ) Dados os pontos A(8, ), B(-4, -5) e C(-6, 9), obte o cicuncento do tiângulo ABC. (A esolução desta questão enconta-se na secção de espostas) CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 4) Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), detemina P de modo que o tiângulo MNP seja equiláteo. 5) Dados os pontos B(, ) e C(-4,), detemina o vétice A petencente ao eio das odenadas sabendo que ABC é etângulo em A. MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

14 6) Dados A(-, 4) e B(, -) vétices de um quadado, detemina os outos dois vétices. 7) Dados A(8, 7) e C(-, -), etemidades da diagonal de um quadado, calcula as coodenadas dos outos dois vétices. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 8 Eecício R. Pág. 9 Eecícios a 6 CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 RAZÃO DE SECÇÃO Dados tês pontos distintos e COLINEARES A, B e C, chama-se azão de secção do segmento AB pelo ponto C o númeo eal tal que: d d Eistem duas fomas de se detemina este. A pimeia foma é atavés da fómula da distância como apesentado na definição acima, assim, sendo A(, ), B(, ) e C(, ), temos: AC CB A segunda foma, é po meio do Teoema de Talles. Obseve agoa a ilustação: e são, ambos iguais a zeo e a fação fica indeteminada, assim, usamos. Situação semelhante ocoe quando o segmento fo hoizontal. Pelo mesmo motivo, faemos. E.:Dados A(, 7), B(5, ) e C(6, ), detemine a azão ente os compimentos dos segmentos AC e BC. Resolução: A pati das abscissas, temos: A pati das odenadas, temos: 7 6 Pelo teoema de Talles, podemos esceve: Devemos fica atentos apenas quando o segmento consideado fo paalelo a um dos eios coodenados. Note que, caso o segmento seja vetical, temos = =. Desta foma, Ea natual que em ambas as situações, encontássemos o mesmo esultado e, daí, concluímos que um segmento tem o tiplo do compimento do outo. Desconsideando o módulo na epessão apesentada na página anteio, é possível, a pati do sinal de, detemina a posição de C em elação ao segmento AB, assim, consideando A(, ), B(, ) e C(, ), e fazendo temos que: MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

16 CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO i) C 0 é inteio a AB ii) C 0 é eteio a AB iii) A C 0 iv) C é médio de AB v), C 8) Tome tês pontos quaisque da eta abaio e veifique, com númeos, a validade das afimações acima: DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA Dados A(, ), B(, ) e C(, ), calculemos as coodenadas (, ) do ponto C que divide o segmento AB numa azão ( ). Temos: E.: Obte as coodenadas do ponto C que divide AB na azão sendo A(, 5) e B(4, 7). Resolução: Assim, temos que C(, )

17 E.: Obte as coodenadas do ponto C que divide BA na azão sendo A(, 5) e B(4, 7). Resolução: Assim, temos que C(, 9) Obseve que o ponto que divide o segmento AB na azão é difeente do ponto que divide o segmento BA na mesma azão. 9) No plano catesiano, localize os pontos A(, 5) e B(4, 7) dados no eemplo anteio e a segui intepete os pontos C e C que dividem, espectivamente, os segmentos AB e BA na azão, PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO O ponto médio de um segmento é, como o pópio nome diz, o ponto que divide um segmento em duas pates iguais, ou seja, cuja azão ente seus compimentos seja =. Substituindo na fómula que já temos fazendo = m, = m e =, temos: m m m m E.: Obte o ponto médio do segmento AB sendo A(7, -) e B(-, 4). Resolução: 7 4 m e m 6 Logo, M(, 6) 4 0) Sendo A,, B, e C,, detemine a azão ente os segmentos AC e BC. MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

18 ) Detemina as coodenadas dos pontos que dividem o segmento AB em tês pates iguais sendo A = (-, 7) e B = (, -8). ) Detemina os pontos que dividem AB em quato pates iguais quando A = (-, -) e B = (, ). CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 ) Até que ponto o segmento de etemos A(, -) e B(4, 5) deve se polongado paa que seu compimento tiplique? 4) Calcula o compimento da mediana AM do tiângulo ABC cujos vétices são os pontos A(0, 0), B(, 7) e C(5, -). Mediana de um tiângulo é o segmento de eta cujas etemidades são um vétice do tiângulo e o ponto médio do lado oposto. MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

20 5) De um tiângulo ABC são conhecidos o vétice A = (, 4), o ponto M(, ) médio do lado AB e o ponto N(-, ) médio do lado BC. Detemine o peímeto deste tiângulo. (A esolução desta questão enconta-se na secção de espostas) 6) Sendo M(, ), N(, ) e P(6, ) os pontos médios, espectivamente, dos lados AB, BC e CA, detemine as coodenadas dos vétices A, B e C. CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 7) Num tiângulo ABC são dados: i) A(, 0) ii) M(-, 4) ponto médio de AB iii) dac = 0 iv) dbc = 0 Obtenha o vétice C. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Obseve a figua: Se os tês pontos A(, ), B(, ) e C(, ), estão alinhados, então satisfazem à seguinte condição:. Note que 0 Po outo lado, sabemos que: D ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 40 Eecício R.4 Pág. 4 Eecícios 7 a MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

22 Assim, podemos dize que os tês pontos A(, ), B(, ) e C(, ), estão alinhados quando: D 0 Obsevação: Este deteminante acima fica facilmente veificado também em duas situações espeíficas: º Se dois dos pontos coincidiem, teemos duas linhas iguais e consequentemente, D = 0. º Se a eta fo vetical (ou hoizontal) as tês odenadas (ou abscissas) seão iguais. Como já temos uma coluna onde os tês temos são iguais a, passaemos a te duas colunas onde uma é combinação linea da outa, e assim, mais uma vez, D = 0. E.: Detemine k pa que os pontos A(k, k), B(, ) e C(7, -) estejam alinhados. Resolução: k k 0 7 k 7k 9 7 k k 0 Resposta: k = 8k 6 0 8k 6 k E.: Mosta que os pontos A(-, ), B(, ) e C(7, 9) estão alinhados. Resolução: ( ) Logo, A, B e C estão alinhados. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 8) Os pontos A(; ), B(; 5) e C(49; 00) são colineaes? 0) Mosta que A(a; a ), B(a + ; a + ) e C(a + ; a + ) são colineaes paa qualque valo de a eal. 9) Detemina paa que os pontos A(; 5), B(-, 8) e C(4, ) estejam alinhados. MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

24 ) Paa que valoes de a eiste o tiângulo MNP onde M(0, a), N(a, -4) e P(, )? ) Dados A(, ) e B(0, -), obte o ponto da eta AB que intecepta o eio das abscissas. CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 ) Dados os pontos A(, ) e B(5, 5), detemina o ponto do eio OY que também petence à eta AB. 5) Sendo A(7, 4) e B(-4, ), detemina o ponto de intesecção ente a eta que passa po A e B e a bissetiz dos quadantes paes. 4) Dados A(, -) e B(8, ) detemina o ponto em que a eta que passa po A e B intecepta a bissetiz dos quadantes ímpaes. MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

26 6) Dados A(-, 4), B(, 9), C(, 7) e D(4, 5), detemina a intesecção ente as etas AB e CD. 7) Detemina m e n de tal foma que P(m, n) seja colinea, simultaneamente, com A(-, -) e B(, ) e com C(-, ) e D(, -4). CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

27 8) Detemina o ponto P da eta AB que está à distância 5 da oigem onde A(0, -5) e B(-, -) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 46 Eecícios 0 a MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

28 RESPOSTAS 0) a) A, J e L b) D c) B d) C, e K e) E, F, H f) E, G, I g) A, B, E, L h) C, D, E, K 0) 07) demonstação 08) B 09) - 0) ) P(-, 0) ) P(-5, 5) ) Resolução O cicuncento (Cento da cicunfeência cicunscita ao tiângulo) é um ponto equidistante dos tês vétices. 0) a) b) 6 c) 9 04) 6 05) d) 5 e) 6 f) 5 g) 5 06) 5 Tomando P(, ) e fazendo dpa = dpb, temos CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

29 Fazendo agoa dpb = dpc, temos: Montando um sistema com as duas equações lineaes encontadas temos: = e = Assim, temos P(, ) a a a a 4) P, ou a a P 5) 0, ou 0, 5 0 a a, 6) C 8,4 e D,9 ou C,6 e D 7, 7) 8, e,7 8) Questão abeta. 9) Questão abeta. 0) ) C(, ) e D(7, -) ) (5, 6), (, 5) e (7, 4) ) (, 7) 4) 5 5) Resolução: Se M é ponto médio de AB, então: A B B m B 0 A B 4 B m B 0 Assim, temos B = (0, 0) Se N é ponto médio de BC, então: m m B B C C 0 C C 0 C C Assim, temos c= (-, ) Peímeto = dab + dac + dbc d d d AB AC BC d AB dac dbc Resposta: 5 6) A(5; 0), B(-; ) e C(7; 4) 7) C(0; 6) ou C(-6, -6) 8) Não 9) 9 0) (Demonstação) ) a - e a 4 ) (4, 0) 5 ) (0, -5) 4) (-, -) MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

30 5) 0 0, 6) P(, 8) 7) m e n 8) P(-, -4) ou P(-4, ) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Robeto; Matemática, Volume dois. São Paulo, Atica, 005. IEZZI, Gelson e outos; Fundamentos da Matemática Elementa, Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição, 977. Links dos vídeos sugeidos nesta apostila: Página 07: cia-ente-dois-pontos Página vidigal.ouopeto.ifmg.edu.b/alinhament o-de-tes-pontos CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

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