1ª etapa Despertando o olhar geométrico

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1 Oficina Geometia Nesta oficina seão tabalhados alguns conceitos geométicos impotantes: Ângulos Paalelismo e pependiculaidade Polígonos e cicunfeência Simetia O mateial tem o objetivo de desenvolve as seguintes habilidades: H24 Identifica as figuas geométicas planas ou espaciais a pati de suas caacteísticas. H25 lassifica um ângulo a pati de sua medida. H26 Reconhece a posição elativa ente duas etas. ênfase seá dada na pática do DESENHO, que aamente é tabalhada nos cuículos da EJ, mas que tem um gande potencial pedagógico paa facilita a compeensão dos conceitos geométicos. Paa isso, deveão esta disponíveis paa cada aluno os seguintes equipamentos: égua, tansfeido, esquado e compasso, além de lápis (bem apontado), boacha e papel. oficina está estutuada em duas etapas. pimeia etapa tem como objetivo despeta um olha geomético nos alunos. Paa isso seão usadas divesas imagens, sendo, potanto, desejável que esteja disponível um etopojeto ou datashow. aso não haja nenhum equipamento paa pojeta imagens, elas podeão se impessas em papel. Na segunda etapa, seão popostas algumas atividades paa tabalha os conceitos listados acima, com ênfase, como foi dito, na pática do desenho. 1ª etapa Despetando o olha geomético O objetivo desta etapa é, essencialmente, faze com que os alunos comecem a epaa nas caacteísticas ligadas à foma dos objetos. Inicia peguntando aos alunos o que eles entendem po geometia. Dize que a geometia é, em temos simplificados, um amo da Matemática que se peocupa em estuda o espaço. O estudo das fomas, tamanhos e posições, ente outos, faz pate da geometia. Popo aos alunos que deem uma olhada nos objetos ao seu edo, pestando atenção aos seguintes aspectos: - foma: Mosta que as fomas não são aleatóias, isto é, elas seguem alguns padões e egulaidades. Po exemplo, é muito mais comum obsevamos fomas como esta: do que como esta: (basta ve as potas, mesas, janelas, telas de computado etc!) Discuti a impotância da linha eta, isto é, sua pesença na foma das coisas. Seto de Educação de Jovens e dultos

2 - simetia: Mesmo algumas fomas mais complexas, especialmente aquelas encontadas na natueza, possuem egulaidades. Intoduzi o conceito de simetia, identificando-a nas imagens abaixo. Sobe simetia, uma boa leitua enconta-se em - ângulos: Mosta as seguintes imagens e discuti com os alunos como caacteizamos a difeença ente as duas fomas de estaciona os caos, intoduzindo o conceito de ângulo como uma medida da abetua ente duas etas ou pedaços de etas. omo segundo exemplo de situação envolvendo ângulos, pegunta aos alunos qual a difeença ente o sol do meio-dia e o sol das 5 da tade. onduzi a discussão paa o ângulo de incidência dos aios solaes sobe a supefície da Tea. Seto de Educação de Jovens e dultos

3 Mosta, na imagem acima, que o ângulo de incidência detemina o tamanho da somba de um objeto. No início da manhã ou no final da tade, quando o ângulo com a supefície hoizontal da Tea é meno, ou mais asante, as sombas são maioes do que póximo ao meio-dia. Da mesma foma, ao meio-dia os aios solaes atavessam uma espessua meno na atmosfea e, assim, são menos atenuados. Po isso o sol do meio-dia é mais fote. No início da manhã e final da tade, os aios solaes são mais atenuados, poque atavessam uma distância maio de a. ssim, ficam mais facos. - pependiculaidade e paalelismo Pedi paa os alunos obsevaem as famosas toes abaixo: Toe de Pisa (Itália) Toe Eiffel (Fança) Pegunta se eles pecebem a difeença ente ambas. Questioná-los sobe como eles caacteizam, com base no conceito de ângulo, essa difeença. Intoduzi o conceito de ângulo eto e mosta que esse é um ângulo especial, que está pesente em inúmeas situações nas constuções (exceto na toe de Pisa!), nos etângulos, que já foam mencionados anteiomente (potas, janelas, folhas de papel...) etc. Pedi paa os alunos daem outos exemplos de objetos ou situações em que obsevamos ângulos etos. Intoduzi o conceito de pependiculaidade ente etas ou segmentos de eta. Mosta as duas imagens abaixo e pedi que os alunos identifiquem nelas etas. Discuti o conceito de paalelismo e concoência, a pati da ideia de etas que se encontam ou não. Mosta que em um etângulo, temos sempe dois paes de lados paalelos. Seto de Educação de Jovens e dultos

4 2ª etapa tividades de desenho pesenta aos alunos os instumentos de desenho, explicando paa que seve cada um. Régua: taça linhas etas e medi compimentos em linha eta. ompasso: taça acos de cicunfeência e maca distâncias 1 Esquado: taça etas pependiculaes Tansfeido: medi ângulos tividade 1 Medi um ângulo Popo o seguinte execício paa os alunos: figua abaixo mosta uma menina obsevando o céu. Lua Satuno Linha do hoizonte om um tansfeido, meça o ângulo fomado ente: a) a linha do hoizonte e a linha de visão da Lua. b) a linha do hoizonte e a linha de visão de Satuno. c) a linha de visão da lua e a linha de visão de Satuno. 1 O uso do compasso paa maca distâncias talvez não seja familia. Quando queemos maca no papel uma deteminada distância a pati de um ponto dado, abimos o compasso com o compimento desejado, fixamos a ponta seca no ponto dado e macamos a distância com a outa ponta. Váias atividades a segui faão uso dessa função do compasso. Seto de Educação de Jovens e dultos

5 omentáio/esolução: O objetivo dessa atividade é familiaiza os alunos com o uso do tansfeido. tenção deve se dada ao posicionamento do cento do tansfeido, que deve fica sobe o olho da menina. Lua Satuno Hoizonte Lua: apoximadamente 23 Hoizonte Satuno: apoximadamente 11,5 Lua Satuno: apoximadamente 11,5 Linha do hoizonte tividade 2 Taça etas que fomem um deteminado ângulo Pedi que os alunos, usando o tansfeido, desenhem duas etas que fomem ente si: a) um ângulo de 45 b) um ângulo de 135 omentáio/resolução: Novamente, o objetivo é familiaiza os alunos com o uso do tansfeido. O pimeio passo é taça uma eta e escolhe um ponto, que seá o vétice do ângulo. Em seguida, posiciona-se a oigem do tansfeido neste ponto e a linha de 0 ao longo da eta desenhada. Maca-se o ângulo de 45 e liga-se este ponto ao vétice: maca 45 maca de V V Seto de Educação de Jovens e dultos

6 tividade 3 Taça etas paalelas Tace uma eta paalela à eta abaixo, usando a técnica do esquado deslizante omentáio/resolução: técnica do esquado deslizante está ilustada abaixo. É inteessante discuti que pode-se taça infinitas etas paalelas à eta dada inicialmente. asta desliza mais ou menos o esquado. Explica o conceito de ângulos coespondentes: quando duas etas paalelas são cotadas po uma concoente, os ângulos indicados na figua abaixo (a e b) são chamados de ângulos coespondentes, e têm a mesma medida: t a s etas e s são paalelas, e t é concoente a ambas Os ângulos a e b fomam um pa de ângulos coespondentes. s b É a mesma ponta do esquado que se encaixa em ambos os ângulos. Potanto, ângulos coespondentes são iguais. tividade 4 Taça etas pependiculaes a) Tace, usando um esquado, uma eta pependicula à eta que a intecepta no ponto P P Seto de Educação de Jovens e dultos

7 Resolução: P b) Taça a mesma eta, poém usando somente a égua e o compasso omentáio/resolução: Neste poblema, começamos de fato a usa as técnicas de constução caacteísticas do desenho geomético. O pocedimento é o seguinte: - bi o compasso com qualque compimento (ceca de 3 cm está adequado). om a ponta seca sobe o ponto P, gia o compasso macando as duas inteceptações com a eta (pontos e ), como mosta a figua: P Uma vez macados os pontos e, abi o compasso com qualque abetua, desde que maio que a anteio (ceca de 6 cm está adequado). om a ponta seca em, taça dois acos de cicunfeência que passem po cima e po baixo de P, como mosta a figua abaixo: P Seto de Educação de Jovens e dultos

8 Mantendo a abetua do compasso, epeti o mesmo pocedimento, poém com a ponta seca agoa em, de foma que os acos de cicunfeência se cuzem, confome indicado na figua abaixo: P o final do pocesso teemos duas inteceptações ente acos de cicunfeência. linha que passa po esses dois pontos é chamada de mediatiz do segmento 2. Ela tem a popiedade de se pependicula a e dividi-lo ao meio, justamente no ponto P (que é chamado ponto médio de ). P tividade 5 Desenha uma cicunfeência Taça uma cicunfeência de aio 5 cm centada no ponto O indicado abaixo. O 2 Sobe o conceito de mediatiz, ve Seto de Educação de Jovens e dultos

9 omentáio/resolução: O execício é bastante simples. O objetivo é familiaiza o aluno com o uso do compasso. Deve-se abi-lo com 5 cm, fixa a ponta seca em O e giá-lo com uma volta completa, taçando a cicunfeência. tividade 6 Desenha um tiângulo Poblema: Taça um tiângulo de lados 5, 12 e 13. Resolução/comentáio: Deixa que os alunos tentem esolve o poblema, que paece simples mas não é. Se tentamos desenha o tiângulo somente com a égua, taçando um lado de 5 cm e em seguida outo de 12 cm, povavelmente o tiângulo não fechaá com o lado de 13 cm. Isso poque os lados de 5 e 12 têm que foma um ângulo específico, que não sabemos de antemão. técnica paa esolve esse poblema é a seguinte: taçamos inicialmente qualque um dos lados, po exemplo o de 5 cm. Este seá o lado do tiângulo. O poblema agoa é detemina o local do ponto. Uma vez deteminado o ponto, o poblema estaá esolvido. Sabemos que o ponto está a 12 cm de e a 13 cm de (ou o contáio, 13 cm de e 12 cm de, mas nesse contexto isso é ielevante). ssim, abimos o compasso com 12 cm, colocamos a ponta seca em e taçamos um aco de cicunfeência. Em seguida, abimos o compasso com 13 cm, colocamos a ponta seca em e taçamos um segundo aco de cicunfeência. intesecção ente os dois acos é justamente o ponto que pocuamos. Po quê? Poque a intesecção é um ponto que está simultaneamente a 12 cm de (pois faz pate do pimeio aco) e TMÉM a 13 cm de (pois faz pate do segundo aco). ssim, é o ponto que fecha o tiângulo de lados 5, 12 e 13 cm. Os desenhos abaixo ilustam as etapas da esolução: Este ponto de intesecção está simultaneamente a 12 cm de e a 13 cm de. Ou seja, é o ponto que fecha o tiângulo Os pontos desse aco estão todos a 13 cm de Os pontos desse aco estão todos a 12 cm de 12 cm 13 cm 1º passo 2º passo 3º passo 5 cm Seto de Educação de Jovens e dultos

10 tividade 7 Divisão da cicunfeência em acos iguais / polígonos egulaes Desenha 3 cicunfeências. Dividi a pimeia em 3, a segunda em 4 e a teceia em 6 pates iguais. omentáio/resolução: Esse execício é, talvez, o mais impotante de todos, pois envolve váios conceitos. O objetivo pincipal é faze com que os alunos pecebam, desenhando com as pópias mãos, a simetia e algumas popiedades dos polígonos egulaes. segui está descito o pocedimento 3 paa a divisão em 3 pates. Iniciamos macando um ponto qualque da cicunfeência, que chamaemos de ponto (o ponto O é o cento da cicunfeência). O Em seguida, usando o tansfeido, macamos, a pati de, um ângulo de e deteminamos, a pati dele, o ponto da cicunfeência. Veja na figua: maca 120 maca de O O O aco, potanto, é um teço da cicunfeência. Discuti esta ideia muito impotante com os alunos: a popocionalidade ente o compimento do aco e o ângulo cental. 3 Faemos a divisão usando o tansfeido, emboa existam métodos mais elegantes usando apenas a égua e o compasso. 4 Po que 120? Poque é justamente o esultado da divisão de 360 po 3, uma vez que a cicunfeência (360 ) seá dividida em 3 pates iguais. Seto de Educação de Jovens e dultos

11 pati de agoa, usaemos apenas o compasso. Pimeiamente, fixamos sua abetua em um valo igual à distância. Paa isso, basta coloca a ponta seca em e abi o compasso até (essa abetua define o aco associado a um ângulo cental de 1 da cicunfeência, ou 120 ). Em seguida, 3 mantendo a ponta seca em, taçamos um pequeno aco, de foma a intecepta a cicunfeência no ponto que chamaemos de. Isso conclui a divisão da cicunfeência em 3 pates iguais. Veja na figua abaixo. O O Vejamos agoa a divisão da cicunfeência em 6 pates. O pocedimento é paticamente o mesmo. Iniciamos novamente macando um ponto qualque, o ponto. Macamos com o tansfeido, a pati de, um ângulo de 60 (veja que agoa o ângulo que nos inteessa é a divisão de 360 po 6, ou seja, 60 ) e deteminamos o ponto : maca 60 maca de 60 O O 60 Em seguida, abimos o compasso com o compimento (essa abetua define 1 da cicunfeência ). om a ponta seca em, taçamos um aco que intecepta a cicunfeência em. Seto de Educação de Jovens e dultos

12 O Mantendo a mesma abetua e colocando a ponta seca em, deteminamos o ponto D. D O ontinuamos com esse pocedimento, taçando 1 de cicunfeência de cada vez, até obte o ponto F 6 Ou seja, continuamos colocando a ponta seca em D e deteminando E; em seguida, colocamos a ponta seca em E e deteminamos F. o final, teemos a cicunfeência dividida em 6 pates iguais: D O E F O pocedimento paa a divisão da cicunfeência em 4 pates é exatamente o mesmo, poém usando um ângulo de 90 (que é o esultado da divisão de 360 po 4). Uma vez que as tês cicunfeências estiveem divididas, pedi paa os alunos que tacem os polígonos, D e DEF, nas espectivas cicunfeências. Mosta a eles o conceito de polígonos egulaes: polígonos que têm todos os lados e todos os ângulos intenos com as mesmas medidas. Seto de Educação de Jovens e dultos

13 Os tês polígonos egulaes desenhados estão mostados abaixo. Mosta que os polígonos egulaes sempe podem se inscitos em uma cicunfeência (inscito = colocado dento, sem folgas ) D Tiângulo egula (tiângulo eqüiláteo) 90 D Quadiláteo egula (quadado) E F Hexágono egula hama a atenção dos alunos paa o fato de que os polígonos egulaes são figuas especialmente siméticas, no sentido de possuíem váios eixos de simetia. Mas o que é um eixo de simetia? É uma eta que divide as figuas em duas pates espelhadas, pefeitamente coespondentes. Veja abaixo os eixos de simetia dos tês polígonos. Obseve que todos passam pelo cento da cicunfeência que oiginou os polígonos. ssim, os polígonos egulaes também possuem um cento que é justamente o cento da cicunfeência em que eles estão inscitos. cento do tiângulo cento do quadado cento do hexágono Mosta aos alunos um aspecto inteessante dos polígonos egulaes: o tiângulo é um polígono de 3 lados e possui 3 eixos de simetia; o quadado tem 4 lados e 4 eixos de simetia; e o hexágono tem 6 lados e 6 eixos de simetia! Discuti que a cicunfeência é um caso limite de um polígono egula de infinitos lados. Isto é, se fôssemos aumentando sucessivamente o númeo de lados do polígono, ele se tonaia cada vez mais póximo da cicunfeência. ssim, a cicunfeência é a mais simética das figuas planas, pois possui infinitos eixos de simetia (qualque eta que passe pelo cento da cicunfeência é um eixo de simetia). Um último aspecto da simetia dos polígonos egulaes que deve se discutido com os alunos: sua divisão em tiângulos isósceles. Se ligamos os vétices de um polígono egula ao seu cento, fomaemos tiângulos isósceles, onde os dois lados iguais são aios da cicunfeência onde o polígono está inscito. Veja nas figuas abaixo. Seto de Educação de Jovens e dultos

14 s linhas tacejadas que ligam o cento aos vétices são aios da mesma cicunfeência. Potanto, têm a mesma medida e fomam tiângulos isósceles. Veja-os abaixo Os tiângulos do hexágono egula são, além de isósceles, equiláteos. tividade 8 Desenha uma flo Desenha, usando égua e compasso, a flo da figua abaixo. omentáio/resolução: Esta atividade foi extaída de: s instuções passo a passo paa faze o desenho estão bem detalhadas no site, inclusive com imagens. Seto de Educação de Jovens e dultos