DESENHO GEOMÉTRICO INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA

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1 DESENHO GEOMÉTRIO INSTRUIONIS DE MTEMÁTI ONTEXTULIZÇÃO D DISILIN: O seu sucesso na disciplina de desenho geomético está inteiamente ligado ao conhecimento que você tive de Geometia. lao que você pode taça a bissetiz de um ângulo, po exemplo, apenas seguindo os passos ecomendados pelas técnicas do desenho, no entanto, seu conhecimento sobe o que seja bissetiz, e, de quais elações seus pontos têm com os lados do ângulo, cetamente vão gaanti que você compeenda melho o pocesso desenvolvido pelo desenho no taçado dessa bissetiz. Recomendamos, potanto, que você, paalelamente, pocue conhece os conceitos e as elações ente elementos envolvidos numa constução geomética. pesentaemos aqui alguns conceitos que justifiquem as constuções que faemos, no entanto, admitiemos que você já conhece alguns desses conceitos e, não descatamos a hipótese de você pecisa busca em outas fontes, mateial paa seus estudos. pesquisa é uma caacteística fote na ED e contamos com a sua dedicação. Espeamos que este mateial seja útil no desenvolvimento de seus tabalhos e no seu apendizado.

2 UNIDDE I I MTERIL aa a disciplina de desenho vamos pecisa de mateial específico. Uma boa lapiseia ou lápis macio, um pa de esquados, um compasso, um tansfeido, uma boacha macia paa desenho, uma égua gaduada e um bloco 4 paa desenho. Você pode opta po folhas avulsas (tamanho ofício). É aconselhável te atenção quanto às pontas do lápis e compasso. Enquanto a ponta do lápis deve se fina o suficiente paa que o taço pemita identifica um ponto definido pela inteseção de duas taçadas linhas, a ponta do compasso deve se feita com um lixa, pelo lado de foa do compasso, paa se mais confotável, e peciso, medi o tamanho do aio da cicunfeência que se deseja taça, como mostamos na figua abaixo. II ENTES RIMITIVOS. lguns conceitos da Geometia são pimitivos, isso que dize, que não possuem definição, como é o caso de ponto, eta e plano. Não é necessáio defini esses elementos, até poque é impossível, no entanto, pecisamos conhece o acodo que assumiemos aqui, quanto à suas epesentações. ONTO: Repesentado pelo enconto de duas linhas, designaemos po uma leta maiúscula. RET: Designado po leta minúscula, uma eta fica definida quando conhecemos dois de seus pontos. α LNO: Designado po leta gega, um plano pode se associado à supefície de uma mesa, só que ele é infinito. peocupação com a constução de uma figua sempe fez pate da evolução da geometia e teve papel fundamental no desenvolvimento da escita e linguagem do homem. Os gegos associavam a existência de uma figua à possibilidade de constui essa figua e paa Euclides, todas as figuas seiam constuídas com eta e cículo, e, duante boa pate do século do século IV a. as opeações eam ealizadas usando o compasso e a égua (sem gaduação).

3 Emboa o taçado de paalelas e de pependiculaes possa se feito com o compasso é impotante que você saiba tabalha com o pa de esquados. ada um desses esquados é, espectivamente, a metade do quadado e do tiângulo equiláteo, potanto, seus ângulos são 45º ou 30º e 60º. Faemos efeência a esses ângulos paa designa qual esquado usamos. Veificamos se o pa está coeto fazendo coincidi a hipotenusa do 45º com o maio cateto do esquado de 30º. 45º 30º 45º 60º onsideemos um ponto e uma eta. Iniciamos fazendo coincidi a hipotenusa do esquado de 45º, sobe a eta. segui, usamos o segundo esquado, o de e 30º e 60º, paa apoia um dos catetos do pimeio esquado paa que esse possa desliza sobe ele. Deslocamos então o segundo esquado até que a hipotenusa passe pelo ponto. asso asso asso 3 FIXO DESLOR Uma eta pependicula a pode se taçada fazendo uma otação do pimeio esquado, antes de deslizá-lo sobe o segundo (fixo). asso asso 3 asso 4 FIXO ROTÇÃO DE 90º. FIXO DESLOR 3

4 EXERÍIOS: Seia ecomendado que você paticasse, potanto: 0. onstua, em elação à eta t, paalelas po e e, pependiculaes po e D. D t 0. elo ponto, constua uma eta paalela a eta e uma outa eta pependicula a eta s. s 03. s figuas seguintes são constuídas po difeentes posições do pa de esquados. Quais são as medidas dos ângulos α, β e θ? a) b) c) α β θ FIXO FIXO 4

5 III DIVISÃO DE UM SEGMENTO Dado um segmento qualque, é possível dividi-lo em quantas pates desejamos e na azão que desejamos. Os pocessos de divisão de um segmento estão fundamentados no Teoema de Tales: Um feixe de paalelas divide duas tansvesais em segmentos popocionais. a) Seja dividi o segmento em 5 pates iguais elo ponto taçamos um segmento com qualque inclinação e maio do que. Sobe este segmento, a pati do ponto macamos 5 segmentos consecutivos, de mesmo tamanho definindo os pontos,, 3, 4 e 5. Taçamos o segmento 5 e po cada um dos pontos, uma eta paalela. Os pontos,, 3, 4, e 5 dividem o segmento em cinco segmentos iguais. b) Dividi um segmento em pates popocionais a dois segmentos dados ou dividi-lo da mesma foma que outo segmento foa dividido. Ou seja, dividi o segmento em dois segmentos popocionais aos segmentos E e ED. Taçamos pelo ponto um segmento com E qualque inclinação e maio que D e tanspotamos o segmento D paa este segmento, deteminando os pontos e. Ligamos o ponto ao ponto e constuímos uma paalela a pelo ponto. E D O ponto E divide o segmento na mesma azão que E divide D. divisão de um segmento em dois segmentos iguais também pode se obtida constuindo dois acos de M mesmo aio pelos pontos e. s inteseções desses acos definem a eta que passa pelo seu ponto médio (M). 5

6 IV RIZ QUDRD DE UM SEGMENTO Dado um segmento qualque, é possível extai a aiz quadada desse segmento, isto é, constui um segmento cuja medida seja a aiz quadada da medida desse segmento. Os gegos já conheciam esse pocesso desde no século V a.. e isso sugee que as elações do tiângulo etângulo são heança desses povos. O pocesso de extação da aiz quadada de um segmento está fundamentado em dois teoemas da geometia Euclidiana: ) altua de um tiângulo etângulo, elativa à hipotenusa, é a média geomética ente as pojeções dos catetos e; ) Todo tiângulo inscito num semi-cículo é etângulo. h² = m.n  é eto. h m a H n Seja constui o segmento que epesenta a aiz quadada do segmento epesentado abaixo. Dado o segmento, polongamos este segmento de uma unidade até o ponto. Deteminamos então, o ponto médio do segmento e, com cento nesse ponto médio (M), constuímos um semi-cículo de diâmeto. pependicula levantada pelo ponto em elação ao segmento, epesentada aqui pelo segmento S, é a aiz quadada do segmento. Obseve que este segmento seia a altua do tiângulo etângulo S, inscito ao semi-cículo de diâmeto. M M S 6

7 VII - DIVISÃO N MÉDI E EXTREM RZÃO ou DIVISÃO ÁURE Diz-se que um ponto divide um segmento em média e extema azão, se a azão do segmento todo paa o segmento maio é igual à azão deste segmento paa o segmento, isto é: = divisão de um segmento em média e extema azão, deu oigem a um númeo conhecido po Númeo de ouo. Repesentado pela leta gega φ (hi) este númeo sempe foi tatado como um númeo ligado a beleza. Diz-se que, de todas as divisões possíveis de um segmento, a divisão na MÉDI E EXTREM RZÃO paece se a mais agadável aos nossos olhos. Esta divisão seia um modelo hamonioso paa os nossos sentidos. Documentado no apio de Rhind, os Egípcios faziam efeências a uma azão sagada que se cê se a azão áuea, como é chamada a azão que dá o númeo de ouo. busca po azões que justificassem a paticipação do númeo phi no modelo da beleza, levou o matemático alemão Zeizing a fomulou, em 855, o seguinte pincípio: "aa que um todo dividido em duas pates desiguais paeça belo do ponto de vista da foma, deve apesenta a pate meno e a maio a mesma elação que ente esta e o todo." Zeizing s piâmides de Gizé foam constuídas tendo em conta a azão áuea: azão ente a altua de uma face e metade do lado da base da gande piâmide é igual ao númeo de ouo. Esta azão ou secção áuea suge ainda em muitas outas constuções da antiguidade, como o athenon, constuído em thenas po volta dos anos a.. divisão áuea apaece ainda na Música, na oesia, na intua e até na Lógica. secção áuea também egula a espial que apaece na natueza, pesente na magaida, no giassol e na concha de um molusco (náutilo). Essa espial que fonece o padão matemático paa o pincípio biológico que egula o cescimento da 7

8 concha e está pesente na distibuição de pétalas de divesas floes, foi utilizada pelo matemático italiano Fibonacci (80-50) paa calcula o cescimento das populações de coelhos a pati de um casal. Uma seqüência de quadados com lados de medidas iguais aos númeos da seqüência de Fibonacci (,,, 3, 5, 8, 3,...) fomaá esta espial. Dividindo cada um desses númeos po seus antecessoes, temos a seqüência de fações,,,,... que se apoxima do númeo de ouo φ =, Detemina o valo do númeo de ouo equivale a esolve uma equação do º gau. Seja um ponto que divida = l em média e extema azão. hamemos x o segmento. x Então, l x = x l x x = l - lx x + lx - l = 0 Desta equação obtém-se que l = +. x, e daí tem-se que númeo iacional φ =, conhecido como númeo de ouo. = que é o Dado um segmento, constuímos pela extemidade uma pependicula (você pode constui essa pependicula usando o pa de esquados ou, posteiomente, qualque um dos pocessos que veemos a segui); sobe esta pependicula constuímos um segmento igual à metade do segmento. Lembe-se que o ponto médio de () pode se conseguido pela constução da mediatiz. goa, com cento no ponto constuímos um aco de cículo de aio que cota a hipotenusa no ponto. O aco de cento e aio detemina sobe G o segmento G tal que = : G é o segmento áueo do segmento. G G 8

9 G OSERVÇÃO. O etângulo constuído com lados iguais a e G é conhecido po Retângulo áueo. hamamos de Retângulo áueo ou Retângulo de ouo o etângulo cuja azão ente suas medidas é o númeo de ouo. 9

10 VIII OERÇÕES OM SEGMENTOS Dados dois segmentos quaisque, algumas opeações são possíveis de ealiza com égua e compasso. É o caso da adição, subtação, multiplicação e divisão, além da adiciação que vimos anteiomente. onsideemos os segmento de medidas a e b epesentados a segui: a e b a) a soma (a + b) e a difeença (a b) podem se obtidas constuindo sobe uma eta qualque, os segmentos a e b com uma extemidade comum contíguos ou um segmento sobe o outo. a a b b a + b a b a b) O poduto a.b e a divisão podem se obtidas usando ecusos semelhantes ao b que usamos paa dividi um segmento. O teoema de Tales justifica essas constuções. b x a b a x b x a a = x = a.b = x = a b b pati desses pocessos podemos obte quaisque expessões algébicas x envolvendo os segmentos a e b como, po exemplo: a, a b, a + 3ab. Execite! IX MÉDI GEOMÉTRI ente a e b média geomética ente os segmentos a e b pode se constuída fazendo a e b pojeções dos catetos de um tiângulo etângulo. a.b onstuído o semi-cículo de diâmeto (a + b), o segmento pependicula levantado pelo ponto comum aos segmentos a e b é a média geomética dos dois. a b 0

11 USNDO O OMSSO. Nos textos seguintes faemos efeência à ponta seca do compasso como cento do cículo e a abetua do compasso, como deteminante do aio. X TRÇDO DE ERENDIULRES. lém do taçado com os esquados, são muitos os pocessos paa se constui uma pependicula a uma eta, usando o compasso. Nos limitaemos a apesenta duas constuções. Taça pelo ponto uma pependicula em elação a eta. R a) não petence a eta. Taçamos, pelo ponto, um aco que intecepta em e. om a ponta seca em cada um desses pontos e com mesmo aio taçamos dois acos. inteseção desses acos é ponto R que define a pependicula R. b) petence a eta om a ponta seca num ponto qualque () foa da eta taçamos um cículo passando po, que cota a eta em. inteseção da eta com o cículo, detemina o ponto R que define a pependicula R. Obseve que esse pocesso pode se utilizado quando o ponto fo extemidade de um segmento. R Esse último pocesso é fundamentado no teoema sobe o tiângulo etângulo que usamos anteiomente: Todo tiângulo inscito num cículo é etângulo se, e somente se, um dos lados é diâmeto. uscávamos o tiângulo etângulo R.

12 XI TRÇDO DE RLEL. R Taça pelo ponto uma eta paalela à eta. om cento em, aio qualque, taça-se o aco que cuza a eta em. om a mesma abetua, centado em e aio, taça-se o aco que vai cuza a eta s no ponto. Tanspota-se, então, a medida do aco a pati de, sobe o segundo aco taçado, obtendo-se o ponto R que define a paalela R. ÂNGULO α β Região plana limitada po duas semi-etas de mesma oigem, um ângulo, como no exemplo ao lado, pode se denotado po Ô = Ô, pelo seu vétice Ô ou simplesmente po uma leta gega (α). No exemplo: O comum às semi-etas, é o vétice do ângulo. XII TRNSORTE DE ÂNGULOS e O são semi-etas e o ponto O, oigem Tanspota um ângulo significa constui um ângulo conguente a outo, utilizando-se o compasso. Tanspota o ângulo β paa o segmento. om cento no vétice do ângulo constuímos um aco R com qualque aio cotando os β 3 dois lados do ângulo nos pontos e. om a ponta seca no ponto, taçamos um aco, com mesmo aio, que cota em 3. goa, basta tanspota a medida paa o ponto 3 deteminando o ponto R, sobe o aco que se tinha constuído anteiomente, definindo, potanto o lado R do ângulo.

13 XIII ISSETRIZ DE UM ÂNGULO odemos constui um ângulo lançando mão do tansfeido. No entanto, a constução pode se ealizada, com uso da égua e do compasso, a pati do conhecimento que você tenha de geometia: 45º é a metade do eto, 30º e 60º podem se obtidos a pati do tiângulo equiláteo e, outos ângulos, podem se constuídos pela combinação desses ângulos. Nesse caso, convém que saibamos taça a bissetiz de um ângulo: semi-eta que divide o ângulo ao meio. Dado um ângulo qualque, constuímos pelo seu vétice um aco, com aio qualque, cotando seus lados nos pontos e. om centos nesses pontos, com qualque aio, e com aios iguais, taçamos dois acos no inteio do ângulo. inteseção desses acos é um ponto da bissetiz. S EXEMLOS: inda que você possa usa o pa de esquados além do tansfeido, mostaemos como constui os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º com o compasso. 4 3 O tiângulo é equiláteo. bissetiz define o ângulo de 30º. bissetiz de 3 define o ângulo 4 de 45º. O ângulo eto e o ângulo de 45º ainda podem se constuídos como a segui: 3 issetiz do ângulo issetiz define o ângulo 5 de 45º. 3

14 EXERÍIOS: ) Divida o segmento em 3 pates iguais. ) Divida o segmento D da mesma foma que EF foa dividido. D E X F 3) Dados os segmentos, D, EF, detemine gaficamente as expessões pedidas: D E F a) + D b) EF c) d) EF + D EF + D

15 4) Sabendo que MN é áueo do segmento FH, constua o etângulo de ouo que tenha como medidas MN e FH. F H 5) Desenha etas paalelas à eta pelos pontos, e. 6) onstui pependiculaes à eta s passando pelos pontos H, I e J. H J s I

16 7) Usando égua e compasso, tace a eta t paalela à eta u pelo ponto. u 8) Detemine gaficamente as opeações com os ângulos dados: α β χ a) α + β b) β χ c) χ 3α d) α + β χ 4

17 UNIDDE II I LUGR GEOMÉTRIO No campo bidimensional da Geometia lana a posição de um ponto fica pecisamente deteminada quando lhe são impostas duas condições independentes. O atendimento a apenas uma das condições deixa indeteminado o ponto: ele pode ocupa uma séie de posições, as quais constituem uma ceta figua. Esta figua é denominada Luga Geomético. ssim, um luga geomético é a figua fomada po todos os pontos que obedecem a uma deteminada condição exclusiva deles. Quando a esolução de um poblema gáfico depende dietamente da obtenção de um ponto sujeito a duas condições conhecidas, o método geal de esolução consiste em pesquisa os dois lugaes geométicos coespondentes a cada uma as condições, constuí-los e detemina sua inteseção, que seão ponto pocuado. Natualmente, cabe sempe discuti o poblema, isto é, veifica em que condições há, ou não, ponto comum aos dois lugaes geométicos. E mais, se há possibilidade de mais de um ponto comum. Uma mesma condição pode epesenta difeentes objetos, dependendo do espaço onde esteja sendo colocada. Os Lugaes geométicos definidos a segui têm o plano como univeso. LG Luga geomético dos pontos situados a uma distância de um ponto fixo. ÍRULO DE ENTRO E RIO R. LG Luga geomético dos pontos situados a uma distância d de uma eta. d d s s R DE RLELS. 5

18 LG 3 Luga geomético dos pontos eqüidistantes de dois pontos fixos e. MEDITRIZ DO SEGMENTO LG 4 Luga geomético dos pontos inteioes a um ângulo dado XÔY e eqüidistantes de seus lados. Y ISSETRIZ DO ÂNGULO XÔY. O X LG 5 Luga geomético dos pontos eqüidistantes de duas etas paalelas e s. s RET EQUIDISTNTE DE e s. LG 6 Luga geomético dos pontos eqüidistantes de duas etas concoentes e s. s R DE ISSETRIZES DOS ÂNGULOS FORMDOS LG 7 Luga geomético dos pontos dos quais se vê um segmento dado sob um ângulo dado α. α α R DE ROS ZES DO ÂNGULO α 6

19 II ONSTRUÇÃO DOS LUGRES GEOMÉTRIOS LG : Luga geomético dos pontos situados a uma distância de um ponto fixo. Dado o ponto e o segmento, com ponta seca em e a abetua igual a taçamos o cículo. LG : Luga geomético dos pontos situados a uma distância d de uma eta. d s d s 3 Dados e d, taçamos uma pependicula em elação à po qualque ponto (). om cento no ponto constuímos um aco de aio d deteminando os pontos e 3. o esses pontos taçamos as etas paalelas à. LG 3 : Luga geomético dos pontos eqüidistantes de dois pontos fixos e. Dado o segmento, constuindo dois acos de mesmo aio pelos pontos e. s inteseções desses acos definem a mediatiz. LG 4 : Luga geomético dos pontos inteioes a um ângulo dado XÔY e eqüidistantes de seus lados. Y 3 O X Dado o ângulo XÔY, constuímos um aco com cento no vétice O que cota seus lados nos pontos e. om centos nestes dois pontos e com aios iguais taçamos dois acos, cuja inteseção, no inteio do ângulo, define o ponto 3. o este ponto passa a bissetiz. LG 5 Luga geomético dos pontos eqüidistantes de duas etas paalelas e s. 3 4 s Dados as etas paalelas e s, taçamos uma pependicula cotando e s nos pontos e. o estes pontos constuímos acos, com mesmos aios, que inteceptam-se em 3 e 4 que definem a eta pocuada. 7

20 LG 6 Luga geomético dos pontos eqüidistantes de duas etas concoentes e s. Dados as etas e s, concoentes no ponto, constuímos a bissetiz de um dos ângulos e s taçamos um pependicula a essa bissetiz pelo ponto. LG 7 Luga geomético dos pontos dos quais se vê um segmento dado sob um ângulo dado α. Dado o segmento e o ângulo α, constuímos a α 90º x α mediatiz de que intecepta em M. Tanspotamos sobe o lado o complemento do ângulo α com vétice em. inteseção da mediatiz M com o lado do ângulo 90º α (complemento de α), epesentado pelo ponto, é o cento do aco capaz. 3 Um aco com cento em M e aio M detemina o ponto 3, cento do outo aco capaz. OSERVÇÃO: O aco capaz tem elação com o ângulo inscito em uma cicunfeência. hamamos de ângulo inscito, o ângulo fomado po duas codas consecutivas de uma cicunfeência. medida de um ângulo inscito é sempe igual à metade do aco deteminado po seus lados. onsideemos o ângulo α na figua abaixo: α = aco α ssim, todo ângulo inscito que possui o vétice sobe o aco teá medida igual a α. Dizemos então que o aco é o aco capaz do ângulo α. Obseve que o segmento seá obsevado do ponto sob o ângulo α. α α α Essa mesma popiedade, a do ângulo inscito se metade do aco compeendido po seus lados, justifica a afimação de que todo tiângulo inscito num semi-cículo é um tiângulo etângulo e tem o diâmeto como hipotenusa. 8

21 EXERÍIOS 0. Divida o ângulo seguinte em quato ângulos conguentes. 0. Detemina, sobe o cículo dado, um ponto eqüidistante dos dois pontos dados e. 03. Detemina sobe a cuva o ponto X eqüidistante das etas e s, paalelas. s 04. onstua um cículo de aio que passe pelos pontos e. 9

22 05. Detemine os pontos médios dos segmentos e EF. F 06. Dados os ângulos α e β, constua os ângulos α + β e α β. E α β 07. Detemine sobe a cuva o ponto tal que = α. α 08. Detemina a posição do ponto eqüidistante dos pontos e e eqüidistante das etas s e t. s t 0

23 09. Obte um ponto na eta de tal modo que o ângulo seja 45º. 0. Tace a mediatiz do segmento EF e a bissetiz do ângulo Ô. E F O. Dadas as etas paalelas e s, constui um tiângulo isósceles, de base, sabendo-se que a eta supote de passa po e é tal que e s.. onstua um cículo de aio tangente a eta e que passe pelo ponto. s

24 3. onstui o tiângulo etângulo de hipotenusa cuja altua elativa à hipotenusa mede h. h 4. onstui um tiângulo do qual se conhece o lado, a eta que contém o vétice e o compimento b do lado. b 5. onstui um cículo de aio que passa pelo ponto, sabendo-se que seu cento eqüidista dos pontos e. 6. Localiza o ponto eqüidistante das etas paalelas e s e do ponto J. J s

25 7. onstua o tiângulo conhecendo-se o ângulo  = 45º, o lado e o segmento s = a + b. s 8. Obtenha um ponto da cuva tal que o ângulo seja de 60º. b 9. Detemina sobe o cículo o ponto X tal que o ângulo X seja de 30º. 0. onstui o cículo que passa pelos pontos, e. Isto equivale a constui o cículo cicunscito ao tiângulo. 3

26 UNIDDE III ONSTRUÇÃO DE UM OLÍGONO REGULR. Você pode enconta no livo onstuções Geométicas, de Eduado Wagne, a discussão de quais constuções são possíveis usando égua e compasso escita pelo pofesso José aulo aneio. constução de polígonos egulaes é possível com exatidão paa alguns gêneos. Isso acontece paa n = 3; 4; 5; 6; 8; 0, e 5. Desde o século III a.. o homem se ocupou com as constução de polígonos egulaes usando apenas a égua e o compasso, mas, somente no século XVIII, foi possível conclui que nem todos os polígonos são constutíveis, isto é, nem todos podem se constuídos usando apenas égua e compasso. onstuído um polígono de gêneo n fica fácil entende a possibilidade da constução de um polígono de gêneo n. No entanto, a constução dos polígonos egulaes constutíveis sugee um pocedimento difeente paa cada gêneo. I TRIÂNGULO EQUILÁTERO Seja constui um tiângulo equiláteo de lado igual ao segmento. Dado o segmento, po cada um dos pontos e constuímos acos de cículos de aio. O enconto desses dois acos define o vétice do tiângulo equiláteo. II QUDRDO constução do quadado pode se obtida com o uso dos esquados, no entanto, supondo que essa constução possa facilmente se deduzida po você, optamos po apesenta sua constução usando apenas o compasso e a égua (não gaduada). 4

27 aa essa constução, imaginemos que seja dado o segmento que define o lado do quadado. elo ponto (ou ) constuímos um ângulo eto, como vimos anteiomente. O vétice seá definido pelo enconto do aco com a pependicula 3. elo ponto e com aio, constuímos um aco que intecepta o aco que passa pelo ponto, definindo com ele o vétice D do quadado D. 3 D D Obseve que podeíamos, pelo ponto, constui um aco cujo aio tem medida igual a do segmento, diagonal do quadado D. O enconto deste último com o aco que passa pelo ponto define o vétice D. III ENTÁGONO REGULR Dado o segmento, lado do pentágono, constuímos cículos com centos nos pontos e e com aio igual a. Esses cículos definem os pontos e que petencem a mediatiz do segmento. goa, com cento no ponto e mesmo aio taçamos uma última cicunfeência que cota essa mediatiz no ponto 5. Taçando as etas 45 e 35 deteminamos os vétices E e e, a pati desses pontos taçamos acos de cículos de aio igual ao lado do pentágono; o vétice D é dado pelo enconto desses dois acos. D D E E

28 OSERVÇÃO O lado do pentágono pode se constuído, ainda, usando o seguinte pocesso. Dado uma cicunfeência taçam-se os diâmetos e D pependiculaes. om cento no ponto M, médio de O, e aio M desceve-se um aco que intecepta o aio O em E. O segmento E é o lado do pentágono. E M E D IV HEXÁGONO REGULR Se levamos em conta que o Hexágono é composto de tiângulos equiláteos fica fácil entende que o lado do hexágono é igual ao aio do cículo que o cicunsceve. otanto, dado o lado O do hexágono, constuímos um cículo de cento O e aio O e, a pati do ponto e nos pontos subseqüentes, constuímos acos de cículos de aio igual ao do cículo inicial. O hexágono egula seá então inscito a esse cículo. D O D O E F E F Emboa possamos te pocedimentos difeentes paa cada um dos polígonos egulaes que se deseja constui, seja ele um tiângulo, um quadado, um pentágono ou hexágono e a assim po diante ou, a pati desses, polígonos com gêneo igual ao dobo desses, desceveemos aqui um pocesso que pode atende 6

29 a qualque polígono egula. O pocesso é usado paa dividi uma cicunfeência em acos iguais, mas devemos entende que o pocesso dá apenas apoximações quando se tata de polígonos não-constutíveis. V DIVISÃO DE UM IRUNFERÊNI EM RTES IGUIS. Dada a cicunfeência, taçamos seu diâmeto e dividimos este diâmeto no númeo de lados que se deseja paa o polígono; com cento em cada um dos extemos do diâmeto e com abetua igual ao pópio diâmeto, detemina-se a inteseção. eta que passa pelos pontos e, da divisão do diâmeto, cota a cicunfeência no ponto. O aco coesponde a divisão da cicunfeência no númeo de vezes petendido. Então, a medida do segmento é o lado do polígono. segui constuímos um pentágono e um heptágono egulaes. E G 3 4 F D D E E G F D D E Obseve que, dividindo o diâmeto em qualque quantidade n de segmentos iguais, o lado do polígono de gêneo n seá definido pelo enconto da cicunfeência com a eta que passa pelo ponto e pelo ponto. Devemos entende que paa alguns númeos esse pocedimento nos dá um valo apoximado do lado do polígono inscito. 7

30 EXERÍIOS: ) onstui o tiângulo de lado a. a ) Desenha o tiângulo eqüiláteo conhecendo sua altua h. h 3) onstui o quadado D conhecendo o lado.

31 4) Desenha o quadado MNO de diagonal MO. M O 5) onstua um pentágono egula de lado. 6) onstua um hexágono egula de lado x. x 7) Dividi a cicunfeência ( ; 3,5 cm ) em 5 pates conguentes.