Um Curso de Geometria Euclidiana Espacial

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1 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial

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3 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 1 Apesentação Este mateial é a continuação do texto Um uso de Geometia Euclidiana Plana (efeência [1]) que escevemos paa o cuso de Licenciatua em Matemática à Distância da Univesidade Fedeal de Ubelândia. Sendo assim, tal efeência é um impotante pé-equisito paa o estudo de geometia espacial que estamos consideando no pesente mateial didático. As consideações apesentadas em [1] continuam válidas aqui, ou seja, nosso enfoque é um texto cuto e axiomático de Geometia Euclidiana Espacial acessível a leitoes que cusaam o Ensino Médio (potanto, leitoes que já tiveam contato com a geometia espacial daquele nível). Também essaltamos que este texto é quase que exclusivamente de Geometia Sintética, potanto, faemos o uso mínimo de feamentas de Geometia Analítica e álculo Difeencial e Integal. Quanto à oiginalidade, o leito pecebeá que o pesente texto difee bastante dos já consagados [5], [10] e []. Pocuamos apesenta uma edação bastante enxuta e objetiva paa um cuso cuto de geometia espacial. Quanto aos execícios, há ceca de 70 deles neste mateial, sendo a maioia esolvidos. Aqueles execícios que estão popostos cetamente são factíveis paa os estudantes que entendeam bem a pate teóica e a esolução dos execícios esolvidos. É impotante enfatiza que os execícios são pate integante do cuso e constituem um valioso auxílio ao apendizado. Aliás, o leito que estudou álculo Difeencial e Integal pecebeá que no último capítulo desse texto (estudo de cilindos, cones, esfeas e pates desses sólidos), váios execícios podem se feitos po meio de integais. Ao leito inteessado em apofunda seus estudos, sugeimos que a esolução desses execícios seja feita dos dois modos (sintética e com integais) paa efeito de compaação do nível de dificuldade que cada tipo de esolução apesenta. Sobe o conteúdo, o cuso está claamente dividido em tês gandes pates: Geometia de Posição no Espaço. Paalelismo e otogonalidade no espaço euclidiano: Noções pimitivas e axiomas da Geometia Euclidiana Espacial. Deteminação de planos no espaço. Posições elativas ente etas no espaço. Posições elativas ente etas e planos no espaço. O Teoema Fundamental do Pependiculaismo. Posições elativas ente planos no espaço. Pojeção otogonal de pontos e figuas sobe um plano. Distâncias envolvendo pontos, etas e planos no espaço. Ângulo ente eta e plano. Diedos. Ângulos Poliédicos. Sólidos de Faces Planas. Poliedos, pismas e piâmides: Poliedos. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

4 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Poliedos convexos. A Relação de Eule paa poliedos convexos. ondições necessáias e suficientes paa a existência de poliedos convexos. Poliedos egulaes. Volumes. Sólidos conguentes e sólidos semelhantes. O Teoema Fundamental da Popocionalidade. O Pincípio de avaliei. Pismas. Pismas egulaes. Volumes de pismas. Piâmides. Piâmides egulaes. Volumes de piâmides. Toncos de pismas e toncos de piâmides. Sólidos com Faces Não Necessaiamente Planas. ilindos de evolução, cones de evolução e esfeas: ilindos de evolução. ilindos equiláteos. Áeas e volumes de cilindos de evolução. ones de evolução. ones equiláteos. Relações méticas em cones de evolução. Áeas e volumes de cones de evolução. Toncos de cones de evolução. Áeas e volumes de esfeas. alotas, zonas e segmentos esféicos. Fusos e cunhas esféicas. Setoes e anéis esféicos. Inscição e cicunscição de esfeas em poliedos egulaes. Inscição e cicunscição de esfeas em cones de evolução. Po último, mas não menos impotante, algumas Refeências ibliogáficas são apesentadas. ons estudos! Edson Agustini. Ubelândia-MG, agosto de 014. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

5 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Sumáio Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 1 1 Paalelismo e Otogonalidade no Espaço Euclidiano Ampliando a Lista de Axiomas Deteminação de Planos no Espaço Euclidiano Posições Relativas ente Retas no Espaço Euclidiano Posições Relativas ente Retas e Planos no Espaço Euclidiano Posições Relativas ente Planos no Espaço Euclidiano Distâncias Ângulo ente Reta e Plano e Ângulo ente Planos Ângulos Poliédicos Poliedos, Pismas e Piâmides 9.1 Poliedos Volume Pismas Piâmides Toncos de Pisma e de Piâmide ilindos, ones e Esfeas 55.1 ilindos de Revolução ones de Revolução Toncos de ilindo e de one Esfeas e Sólidos Esféicos Inscição e icunscição de Esfeas em Poliedos Regulaes e em ones de Revolução 8 Refeências ibliogáficas 89 agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

6 4 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia

7 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 5 apítulo 1 Paalelismo e Otogonalidade no Espaço Euclidiano 1.1 Ampliando a Lista de Axiomas Já comentamos na seção de Apesentação que este texto é continuação natual da efeência [1] e, potanto, devemos consideá-la como pé-equisito paa nossos estudos. No efeido texto, apesentamos algumas consideações sobe sistemas axiomáticos paa a Geometia Euclidiana Plana, alguns comentáios históicos e, natualmente, todos os axiomas necessáios paa o desenvolvimento da geometia plana. Paa avançamos no estudo de Geometia Euclidiana Espacial, alguns axiomas adicionais àqueles que já foam intoduzidos em [1] são necessáios, e começamos esse capítulo com eles. Antes, poém, vamos ecoda as notações que estamos adotando. Pontos: letas latinas maiúsculas (A,,,...). REORDANDO NOTAÇÕES Segmento com extemos A e : segmento A ou, simplesmente, A. ompimento do segmento A: denotamos simplesmente po A, sem a baa supeio. Também utilizamos letas latinas minúsculas paa designa compimentos (a, b, c,...). Alguns textos também tazem a notação A. Obsevação impotante: quando não houve peigo de confusão, denotamos A tanto paa o segmento A (que é um conjunto de pontos), quanto paa o compimento do segmento A (que é um númeo eal). Semieta com oigem A contendo : semieta A ou, simplesmente, A (quando não houve peigo de confusão com vetoes). Alguns textos também utillizam a notação S A. Retas: letas latinas minúsculas (, s, t,...). Também utilizamos a notação A paa designa a eta que contém os pontos distintos A e. Planos: letas gegas minúsculas (α, β, γ,...). agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

8 6 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial ALGUNS AXIOMAS ADIIONAIS Vamos destaca 8 axiomas, baseados na oba de Hilbet ( 1 ), no estudo de Geometia Euclidiana Espacial que faemos nesse texto. Natualmente, confome já comentado, estamos admitindo os demais axiomas po meio dos divesos esultados de Geometia Euclidiana Plana e das constuções geométicas que estamos utilizando a todo momento. om o objetivo de tona o estudo mais didático, vamos da os seguintes nomes aos axiomas destacados: Axiomas de Existência A1: Em uma eta existem infinitos pontos. Dada uma eta, existe um ponto que não petence a essa eta. A Figua 1.1: A ; /. A: Em um plano existem infinitos pontos. Dado um plano, existe um ponto que não petence a esse plano. A Figua 1.: A α; / α. Axiomas de Deteminação A: Dois pontos distintos deteminam ( ) uma única eta. A Figua 1.: = A. A4: Tês pontos não colineaes deteminam um único plano. A Figua 1.4: A,, α. Axioma de Inclusão A5: Uma eta que possui dois pontos distintos em um plano está contida nesse plano. A Figua 1.5: A α. 1 om o objetivo de tona os textos de geometia mais enxutos, alguns autoes costumam sintetiza os 7 Axiomas de Incidência de Hilbet em apenas ou. O pocedimento inveso também é adotado em pol da didática, ou seja, às vezes, um dos axiomas de Hilbet é dividido em ou axiomas. Po exemplo, os axiomas A1 e A que estamos intoduzindo neste texto é pate de apenas um axioma de Hilbet. Nesses axiomas detemina tem o sentido de existi. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

9 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 7 Axioma de Intesecção A6: A intesecção de dois planos distintos que têm um ponto em comum é uma eta. A Figua 1.6: A = α β. Dizemos que os dois planos do Axioma A6 acima são planos concoentes ou planos secantes. Dizemos que um conjunto não vazio de pontos do espaço euclidiano é um conjunto convexo quando, dados quaisque pontos A e em, o segmento A está contido em. Axioma de Sepaação A7: Uma eta contida em um plano detemina dois conjuntos nesse plano, chamados de semiplanos com oigem em, de tal modo que: - A intesecção dos dois semiplanos é a eta ; - ada semiplano é um conjunto convexo. - Se o ponto A petence a um dos semiplanos e o ponto petence ao outo, então a intesecção do segmento A com é não vazia. A Figua 1.7: A. Nota. O Axioma A7 acima, que fonece a visão de um plano como eunião de dois semiplanos de mesma oigem, possui vesões paa a eta (vista como eunião de duas semietas de mesma oigem) e paa o espaço (visto como eunião de dois semiespaços de mesma oigem). Dizemos que dois conjuntos de pontos no espaço são conjuntos coplanaes quando existe um plano que os contém. Dizemos que duas etas e s distintas no espaço são etas paalelas quando são coplanaes e não possuem ponto em comum (notação: //s). Axioma das Paalelas A8: Em um plano, po um ponto foa de uma eta passa uma única eta paalela à eta dada. A Figua 1.8:!s α, A s, //s. 1. Deteminação de Planos no Espaço Euclidiano Um plano fica univocamente deteminado no espaço de quato modos distintos: 1 o. modo: Pelo Axioma A4: Tês pontos não colineaes deteminam um único plano. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini s

10 8 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial o. modo: (teoema) Uma eta e um ponto exteio a ela deteminam um único plano. Demonstação Sejam A um ponto e uma eta tais que A /. Pelo Axioma A1, existem pontos, com. Logo, A, e são pontos não colineaes (de fato, o Axioma A estabelece que é a única eta que passa po e e, po hipótese, A / ). Pelo Axioma A4, existe um único plano α tal que A,, α. De, α e do Axioma A5 temos α. onclusão: α contém A e. A Figua 1.9: Reta e ponto deteminam plano. Po fim, não há outo plano α α que contém A e pois, caso contáio, α deveia conte A,,. Mas, como vimos acima, o único plano que contém A,, é α. o. modo: (teoema) Duas etas concoentes deteminam um único plano. Demonstação Sejam e s etas concoentes em A. Pelo Axioma A1, existe e A. Logo, / s. Pelo o. modo de deteminação de planos acima, existe um único plano α tal que α e s α. omo A, α, o Axioma A5 gaante que α. onclusão: α contém e s. A s Figua 1.10: Retas concoentes deteminam plano. Po fim, não há outo plano α α que contém e s pois, caso contáio, α deveia conte e s. Mas, como vimos acima, o único plano que contém e s é α. 4 o. modo: (teoema) Duas etas paalelas deteminam um único plano. Demonstação Sejam e s etas paalelas. Pela definição de etas paalelas, e s são coplanaes e não possuem ponto em comum. Deste modo, seja α o plano que as contém. Resta mosta que α é o único plano tal que, s α. Mas, tomando um ponto A s (Axioma A1), temos, pelo o. modo de deminação de planos acima, que existe um único plano que contém A e. Mas α é um plano que contém A e. Logo, α é único. 1. Posições Relativas ente Retas no Espaço Euclidiano O estudo de posições elativas ente etas no espaço faz uso do pincípio lógico do teceio excluído, ou seja, que uma afimação ou é vedadeia ou é falsa, não havendo teceia possibilidade. Equivalentemente, ou x é y ou x não é y, não havendo teceia possibilidade. Sejam e s etas distintas no espaço. Logo, podemos considea as duas seguintes possibilidades: (1) e s são coplanaes. () e s não são coplanaes. No caso (1) temos outas duas possibilidades: (1.1) s é um conjunto vazio. (1.) s não é um conjunto vazio. Em (1.1) temos cumpida a definição de etas paalelas, ou seja, e s são coplanaes e não possuem ponto em comum. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

11 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 9 Em (1.) temos, devido ao fato de e s seem distintas e ao Axioma A, que s é um conjunto unitáio. Logo, temos cumpida a definição de etas concoentes, ou seja, e s possuem um único ponto em comum. No caso () temos um tabalho exta: pova que existem etas não coplanaes. Execício Resolvido Execício 1.1) Pove que existem etas não coplanaes. De fato, vimos que uma eta e um ponto A / deteminam um único plano α ( o. modo de deteminação de planos). Seja / α (Axioma A). Seja s = A (Axioma A) e, potanto, s α = {A} (caso contáio, ou seja, se s possui outo ponto em comum com α além de A, teíamos s α pelo Axioma A5, o que contadiz / α). A s Figua 1.11: Existem etas não coplanaes. Afimamos que e s são não coplanaes. De fato, se existi um plano α que contém e s, então α deveá conte A e e, potanto, deveá coincidi com α. ontadição, pois α não contém s. Retas não coplanaes são chamadas de etas evesas. Também é comum dize, neste caso, que é evesa a s. Em esumo: e s distintas coplanaes intesecção vazia intesecção não vazia = paalelas intesecção unitáia intesecção não unitáia = concoentes = não ocoe não coplanaes = evesas ÂNGULO ENTRE RETAS REVERSAS Recodemos a noção de ângulo ente duas etas concoentes da Geometia Euclidiana Plana. Duas etas concoentes e s deteminam dois paes de ângulos opostos pelo vétice. Lembemos que ângulos opostos pelo vétice são conguentes po possuíem um mesmo ângulo suplementa comum (teoema de Geometia Euclidiana Plana). Recodemos também que duas etas concoentes e s são chamadas de pependiculaes ou otogonais quando deteminam quato ângulos conguentes (notação: s). Nesta situação, também dizemos que as etas e s fomam quato ângulos etos. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

12 10 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Desta foma, há um pa de ângulos agudos conguentes, ou etos, fomados po duas etas concoentes e s. om as consideações acima, qualque um dos ângulos agudos, ou etos, deteminado po duas etas concoentes e s é definido como sendo o ângulo ente as etas e s. Po fim, alguns autoes ainda definem o ângulo ente duas etas paalelas como sendo o ângulo nulo. Queemos estende a noção de ângulo ente etas paa etas evesas. Paa isso, consideemos que dada uma eta e um ponto A / no espaço, existe e é única a eta // tal que A. Essa afimação é decoência dieta do o. modo de deteminação de planos e do Axioma A8. om isso, dadas duas etas evesas e s e um ponto A exteio a elas, sempe existem e são únicas etas e s concoentes em A tais que // e s//s. Mais ainda, se tomamos A (exteio a e s) e as etas e s paalelas a e s, espectivamente, passando po, então os quato ângulos fomados po e s são odenadamente conguentes aos quato ângulos fomados po e s (consequência da tansitividade do paalelismo). s Figua 1.1: Tansitividade do paalelismo. A discussão acima pemite defini, sem ambiguidades, a noção de ângulo ente etas evesas, confome descevemos abaixo. Sejam e s etas evesas. O ângulo ente etas concoentes e s paalelas a e s, espectivamente, é definido como sendo o ângulo ente as etas evesas e s. E ainda, quando as etas concoentes e s são pependiculaes, dizemos que as etas evesas e s são otogonais. Nota. (1) Não é usual utiliza a palava pependicula paa o caso de as etas e s seem evesas otogonais. Pependiculaismo pessupõe intesecção não vazia ente os objetos em consideação. () Podemos estende a discussão que fizemos acima, incluindo o caso em que A e s //s passando po A. O ângulo ente e s é conguente ao ângulo que definimos como sendo ente as etas evesas e s. 1.4 Posições Relativas ente Retas e Planos no Espaço Euclidiano Uma eta e um plano α são paalelos quando não possuem pontos em comum (notação: //α). Também se diz que é paalela a α, ou então α é paalelo a. Uma eta e um plano α são ditos secantes ou concoentes quando possuem um único ponto em comum. Também se diz que é concoente a α, ou então α é concoente a. A ' s' '' s'' A paalelos concoentes Figua 1.1: Reta e plano paalelos e concoentes. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

13 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 11 Execício Poposto Execício 1.) Moste que existem: (a) Reta e plano paalelos. (b) Reta e plano concoentes. Dica: o pocedimento no caso (b) já foi desenvolvido quando mostamos a existência de etas evesas (Execício 1.1). Já no caso (a), tome um plano, uma eta contida nele e um ponto foa dele. Use o o. modo de deteminação de planos e o Axioma A8. Sejam eta e α plano. Utilizando o pincípio lógico do teceio excluído, temos duas possibilidades: (1) α é vazio; () α não é vazio. No caso (1) temos a definição de eta e plano paalelos cumpida. No caso () temos dois subcasos possíveis: (.1) α é conjunto unitáio; (.) α não é conjunto unitáio. No subcaso (.1) temos a definição de eta e plano concoentes cumpida. No subcaso (.) temos, devido ao Axioma A5, a inclusão α. Em esumo: intesecção vazia = e α paalelos eta e α plano intesecção não vazia intesecção unitáia intesecção não unitáia = e α concoentes = inclusão α Poposição 1.1 (ondições necessáias e suficientes paa paalelismo ente eta e plano) Uma eta é paalela a um plano α se, e somente se, não está contida em α e é paalela a uma eta de α. Demonstação. ( ) omo é paalela a α, não pode esta contida em α (definição de eta e plano paalelos). Seja A α. Logo, A / e, pelo o. modo de deteminação de planos, existe um único plano β que contém e A. omo A α β, o Axioma A6 gaante que s = α β é uma eta. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

14 1 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial A s Figua 1.14: Paalelismo ente eta e plano. Afimamos que //s. De fato, como e s estão em β, se supomos que não é paalela a s, então e s são concoentes, o que leva a te ponto em comum com α, uma contadição. onclusão: //s e s α, como queíamos. ( ) Seja s α eta paalela a. Logo, pela definição de etas paalelas, e s devem se coplanaes, ou seja, deve existi um plano β que as contém. omo β e α temos que os planos α e β são distintos. Além disso, o Axioma A6 gaante que s = α β. Afimamos que //α. De fato, se supomos que existe A α, então A α β (pois β), ou seja, A s, o que é contadição com //s. onclusão: //α, como queíamos. Execícios Resolvidos Execício 1.) Demonste que se uma eta é paalela a um plano, então ela é paalela ou evesa a qualque eta desse plano. (po absudo) Sejam eta e α plano tais que //α. Seja s α eta. Suponhamos que não seja paalela e nem evesa a s. Logo, deve se concoente com s, o que leva à conclusão de que tem ponto em comum com α, o que é uma contadição. onclusão: é paalela ou evesa a s, como queíamos. Execício 1.4) Demonste que se dois planos possuem uma eta como intesecção e uma eta de um deles é paalela ao outo, então essa eta é paalela à intesecção. (po absudo) Sejam α e β planos e s = α β. Seja β eta paalela a α. Temos que mosta que //s. Suponhamos que não seja paalela a s. Então: (1) e s são evesas ou; () e s são concoentes. A opção (1) não ocoe poque e s são coplanaes (ambas estão em β) Na opção () seja A s. Logo, A α e, potanto, não é paalela a α, uma contadição. onclusão: s//, como queíamos. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO PERPENDIULARISMO Uma eta é pependicula ou otogonal a um plano α quando é concoente com α e é pependicula a todas as etas do plano que passam pelo ponto de intesecção {O} = α (notação: α). Também é usual dize que α é pependicula (ou otogonal) a ou, ainda, que e α são pependiculaes (ou otogonais). Uma eta concoente com um plano α e não pependicula a α é chamada de eta oblíqua em elação ao plano α. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

15 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 1 O O pependicula oblíqua Figua 1.15: Reta pependicula e oblíqua a plano. Execício Poposto Execício 1.5) Moste que existe eta pependicula a duas etas concoentes de um plano. Dica: tome uma eta em um plano α. Tome um ponto P foa de α. Tome o plano β passando po P e. Logo, = α β. Tome O. Em α há uma única pependicula s a passando po O. Em β há uma única pependicula t a passando po O. As etas s e t são concoentes em O e deteminam um plano γ. A eta é pependicula às etas concoentes t e s do plano γ. Teoema 1.1 (Fundamental do Pependiculaismo) Se uma eta é otogonal a duas etas concoentes de um plano, então ela é pependicula a esse plano. Demonstação Sejam e s etas concoentes em O contidas no plano α. Seja m eta otogonal a e a s. 1 o. aso: m é pependicula a e a s. Neste caso, O m. Além disso, m α pois, caso contáio, e s seiam coincidentes. onsidee n eta abitáia de α passando po O. m O n s Figua 1.16: Reta m pependicula a e a s. Nosso objetivo é mosta que m é otogonal a n. De fato, sejam em um semiplano (contido em α) deteminado po n e s no outo semiplano deteminado po n. Pelo Axioma A7, D n com D. Sejam A, A m tais que AO A O e A A (ou seja, A e A são siméticos em elação a O). m A O D D n s A O A' A' Figua 1.17: Usando conguências de tiângulos. Pelo caso de conguência LAL: AO A O e AO A O A A e A A. Pelo caso de conguência LLL: A A A D A D. Pelo caso de conguência LAL: AD A D AD A D. Logo, ADA é isósceles e DO é a mediana elativa a D. Potanto, DO é altua de ADA elativa a D, ou seja, DO m m n, como queíamos. o. aso: m é pependicula a, e evesa otogonal a s. Obsevemos que m não pode esta contida em α (senão m e s não seiam evesas). agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

16 14 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Seja {P} = m. Neste caso, P s. Pelo Axioma A8 existe uma eta s //s contida em α passando po P. Pela definição de etas evesas otogonais, temos que m e s são pependiculaes. Pelo 1 o. aso acima, m é pependicula a α, como queíamos. m O P s s' Figua 1.18: Reta m pependicula a e evesa otogonal a s. o. aso: m é evesa otogonal a e a s. omo no caso acima, m não pode esta contida em α. Entetanto, temos que gaanti que m é concoente com α. De fato, se supomos que m é paalela a α, a Poposição 1.1 gaante que existe m α com m//m. Sendo m e evesas otogonais temos m e pependiculaes (definição de evesas otogonais). Analogamente m e s são pependiculaes. Logo, e s são pependiculaes a m. s O m' m O m P s s' ' Figua 1.19: Reta m evesa otogonal a e a s. omo essas tês etas estão em α, temos //s ou coincidente com s, uma contadição. onclusão: m é concoente com α. Seja {P} = m α. Neste caso, P e P s. Pelo Axioma A8 existem etas s //s e // contidas em α passando po P. omo e s são concoentes em O, o mesmo ocoe com e s em P. Pela definição de etas evesas otogonais, temos que m e são pependiculaes. Analogamente, m e s também são pependiculaes. Pelo 1 o. aso acima, m é pependicula a α, como queíamos. Obsevemos que o Teoema Fundamental do Pependiculaismo, juntamente com o Execício 1.5, gaantem a existência de eta e plano pependiculaes. Execício Poposto Execício 1.6) Moste que existe eta oblíqua a plano. Dica: tome uma eta pependicula a um plano α em A. Tome uma eta s em α passando po A. Tome o plano β deteminado pelas etas concoentes e s. Em β tome uma eta t s não pependicula a s. A eta t é oblíqua a α. Paa o cooláio abaixo: dizemos que um segmento é otogonal a uma eta ou a um plano quando a eta que o contém assim o fo. aso esse segmento otogonal a eta ou plano possua intesecção não vazia com esses elementos, também podemos dize que o segmento é pependicula à eta ou ao plano. ooláio 1.1 (Teoema das Tês Pependiculaes) Seja PP pependicula ao plano α em P. Seja Q α distinto de P. Seja α eta pependicula a P Q em Q. Então, PQ é pependicula a. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

17 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 15 P P' Q Figua 1.0: Figua padão do Teoema das Tês Pependiculaes. Demonstação Tomemos o plano β deteminado po PP e P Q. P P' Q Figua 1.1: Retas concoentes deteminando o plano β. Logo, PQ β (Axioma A5). Sendo PP e P Q concoentes e contidas em β, pependicula a P Q e otogonal a PP, pelo Teoema Fundamental do Pependiculaismo, temos que é pependicula a β. Logo, é pependicula a PQ, como queíamos. Execício Poposto Execício 1.7) Moste que: (a) Dado um plano α e um ponto A, existe e é única a eta que passa po A e é pependicula a α (obseve que A pode ou não esta em α). (b) Dada uma eta e um ponto A, existe e é único o plano α que passa po A e é pependicula (obseve que A pode ou não esta em ). Dica: em (a) tome s α. Tome o plano β que passa po A e s. Po fim, em β tome //s passando po A. Já paa (b) divida em dois casos: se A / tome o plano β deteminado po A e. Tome P / β e o plano γ deteminado po P e. Em β tome s pependicula a passando po A. Seja {} = s. Em γ tome t pependicula a passando po. Seja α plano deteminado po s e t, que é pependicula a passando po A. Se A tome β e γ planos distintos passando po A e s e t pependiculaes a em A em β e γ, espectivamente. Po fim, α é plano deteminado po s e t. 1.5 Posições Relativas ente Planos no Espaço Euclidiano Dois planos α e β são ditos paalelos quando não possuem pontos em comum (notação: α//β). Também se diz que α é paalelo β. Dois planos são ditos concoentes (ou secantes) quando possuem uma única eta em comum. Também se diz que α é concoente com β. paalelos concoentes Figua 1.: Planos paalelos e concoentes. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

18 16 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Execício Poposto Execício 1.8) (a) Moste que existem planos paalelos. (b) Moste que existem planos concoentes. Dica paa (a): use o Execício 1.7. Sejam α e β planos distintos. Utilizando o pincípio lógico do teceio excluído, temos duas possibilidades: (1) α β é vazio; () α β não é vazio. No caso (1) temos a definição de planos paalelos cumpida. No caso () temos dois subcasos possíveis: (.1) α β é uma eta; (.) α β não é uma eta. No subcaso (.1) temos a definição de planos concoentes cumpida. O subcaso (.) não ocoe, pois pelo Axioma A6 a única possibilidade de dois planos distintos possuíem intesecção não vazia é quando essa intesecção é uma eta. Em esumo: intesecção vazia = paalelos α e β planos distintos intesecção não vazia intesecção é uma eta intesecção não é uma eta = concoentes = não ocoe Poposição 1. (ondições necessáias e suficientes paa paalelismo ente planos) Dois planos α e β são paalelos se, e somente se, existem duas etas concoentes de α que são paalelas a β. Demonstação. ( ) Sejam e s duas etas quaisque de α que sejam concoentes (sempe existem: basta toma tês pontos não colineaes em α). omo α//β temos α β = e, como, s α temos β = s β =, ou seja,, s//β, como queíamos. A s Figua 1.: onsideando etas paalelas a plano. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

19 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 17 ( ) Sejam e s duas etas concoentes de α que são paalelas a β. Desta foma, α e β são distintos. Suponhamos que α e β sejam concoentes. Logo, existe a eta t = α β. O Execício 1.4 gaante que //t e s//t. Logo, pela tansitividade do paalelismo, //s, uma contadição. onclusão, α e β são paalelos, como queíamos. Dois planos α e β são ditos pependiculaes ou otogonais quando em um deles existi uma eta pependicula ao outo (notação: α β). P Figua 1.4: Planos pependiculaes. 1.6 Distâncias PROJEÇÃO ORTOGONAL A pojeção otogonal de um ponto A sobe um plano α é definida como sendo o pé da pependicula, A, baixada do ponto A ao plano α. Notação: A = poj α A. A A' Figua 1.5: Pojeção otogonal de ponto sobe plano. Em paticula, se A α, então A = A. Vimos no Execício 1.7 que, fixado A, a pependicula AA a α é única, ou seja, a pojeção otogonal A é única. A pojeção otogonal de uma figua F ( ) sobe um plano α é definida com sendo o conjunto das pojeções otogonais dos pontos de F sobe α. Notação: F = poj α F. F F ' Figua 1.6: Pojeção otogonal de figua sobe plano. Execício Resolvido Execício 1.9) A pojeção otogonal de uma eta não pependicula a um plano α sobe α é, também, uma eta. De fato, é clao que se α, então =. Quando α, tomemos P, Q foa de α e suas pojeções otogonais P = poj α P e Q = poj α Q sobe α. Afimamos que P, Q, P e Q são coplanaes. De fato, supondo o contáio, os planos β 1 e β que passam po P, P, Q e po Q, P, Q, espectivamente, seiam distintos mas concoentes na eta P Q. Entendemos po figua qualque conjunto de pontos no espaço. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

20 18 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Q 1 P P' Q' t P P' t Q Q' Figua 1.7: Supondo que os planos β 1 e β sejam distintos. Assim, uma eta t de α pependicula a P Q seia otogonal a PP, potanto, pelo Teoema Fundamental do Pependiculaismo, t seia pependicula a β 1. Analogamente, t seia pependicula a β. Potanto, β 1 e β seiam planos concoentes com uma pependicula comum. Uma contadição, pelo Execício 1.7. onclusão: P, Q, P e Q são coplanaes. hamemos simplesmente de β o plano que passa po esses quato pontos. omo P, Q α β, o Axioma A5 gaante que α β = P Q. Po fim, afimamos que = poj α = P Q. De fato, caso contáio, existiia um ponto T β tal que T / P Q e, potanto, T / β. Aplicando o mesmo pocedimento acima, temos que P, P, T e T são coplanaes. Mas β é o único plano que passa po P, P e T (Axioma A4). Logo, T β. Uma contadição. onclusão: = poj α é uma eta. Uma obsevação impotante na esolução do Execício 1.9 é que e = poj α são coplanaes (ambas estão no plano β da esolução). Já a pojeção otogonal de uma eta pependicula a um plano α sobe α é um único ponto. ' = { A} Figua 1.8: Pojeção otogonal de eta pependicula a plano sobe o plano. DISTÂNIA DE PONTO A PLANO Seja P um ponto e α um plano. A unicidade da pojeção otogonal pemite que definamos a distância de P a α (notação d (P, α)) como sendo o compimento do segmento PP, sendo P = poj α P, ou seja, d (P, α) = PP. P d ( P, ) = d ( P, P' ) P' Em paticula, se P α, então d (P, α) = 0. Figua 1.9: Distância de ponto a plano. É impotante nota que de todos os segmentos ligando P a um ponto de α, o segmento PP é o de meno compimento (consequência do Teoema de Pitágoas). Aliás, essa é a ideia po tás do conceito de distância ente duas figuas quaisque no espaço: se F e G são figuas no espaço, d (F, G) é definida com sendo o ínfimo do conjunto dos compimentos de todos os segmentos que ligam um ponto de F a um ponto de G. Obsevemos que devemos utiliza o ínfimo e não o mínimo, pois nem Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

21 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 19 sempe existe um segmento ligando um ponto de F a um ponto de G que tenha o meno compimento possível. Po exemplo: na Figua 1.0 sejam F e G dois discos abetos (isto é, sem o bodo) de aios 1 com centos distando. Temos d (F, G) = 1, mas não existe um segmento ligando um ponto de F a um ponto de G que tenha compimento 1. F 1 1 G Figua 1.0: Analisando a distância ente discos abetos. DISTÂNIA DE RETA A PLANO Seja uma eta e α um plano. Quando α, definimos a distância de a α (notação d (, α)) como sendo nula, ou seja, d (, α) = 0. Quando α =, ou seja, quando e α são paalelos, definimos a distância de a α como sendo a distância de um ponto qualque de a α, ou seja, d (, α) = d (P, α), sendo P ponto abitáio. P' P d (, ) = d ( P, ) Figua 1.1: Distância ente eta e plano paalelos. Obsevemos que a definição acima é coeente, pois quando é paalela a α, todos os pontos de estão à mesma distância de α. De fato, suponhamos que existam P, Q tais que d (P, α) d (Q, α). Vimos no Execício 1.9 que P, Q, P e Q são coplanaes e que = P Q. Potanto, e são coplanaes. Assim, o quadiláteo PP Q Q é plano mas não é um etângulo, o que significa que o ângulo P PQ não é eto e, consequentemente e não são paalelas. potanto existe {A} = α, ou seja, α, uma contadição. P Q P' Q' ' Figua 1.: Supondo que d (P, α) d (Q, α). DISTÂNIA DE PLANO A PLANO Sejam α e β planos distintos. Quando α β, ou seja, quando α e β são concoentes, definimos a distância de α a β (notação d (α, β)) como sendo nula, ou seja, d (α, β) = 0. Quando α β =, ou seja, quando α e β são paalelos, definimos a distância de α a β como sendo a distância de um ponto qualque de α a β, ou seja, d (α, β) = d (P, β), sendo P α ponto abitáio. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

22 0 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial P P' d(, ) = d ( P, ) Figua 1.: Distância ente planos paalelos. Obsevemos que a definição acima é coeente, pois quando α é paalelo a β, todos os pontos de α estão à mesma distância de β. De fato, suponhamos que existam P, Q α tais que d (P, β) d (Q, β). omo P e Q deteminam uma eta α, a mesma análise que fizemos acima pemite conclui que β, ou seja, que α β, que é uma contadição. Sejam e s etas distintas. DISTÂNIA DE RETA A RETA Quando e s são coplanaes, estamos na situação já estudada em Geometia Euclidiana Plana: - e s concoentes: d (, s) = 0. - e s paalelas: d (, s) = d (P, s), sendo P ponto abitáio. A situação mais inteessante ocoe quando e s não são coplanaes, ou seja, quando e s são evesas. Nesta situação, consideemos os seguintes execícios. Execícios Resolvidos Execício 1.10) Sejam e s etas evesas. Moste que existe e é único o plano que passa po s e é paalelo a. Existência: Seja P s. Pelo o. Modo de Deteminação de Planos existe um único plano β passando po e P. Pelo Axioma A8 (das paalelas), existe em β uma única eta t passando po P paalela a. As etas t e s são concoentes em P. Pelo o. Modo de Deteminação de Planos existe um único plano α passando po s e t. Sendo e s evesas, os planos α e β são distintos e, pelo Axioma A6, t = α β. Pela Poposição 1.1, de //t e t α temos paalela a α. P t s Figua 1.4: Deteminando plano paalelo a uma de duas etas evesas. Unicidade: Apoveitando o ponto P s e o plano β acima, suponhamos que existam α 1 e α planos distintos passando po s (s = α 1 α ) e paalelos a. Sejam t 1 = α 1 β e t = α β. Logo, t 1, t e são etas de β com t 1 e t etas concoentes em P. Logo, pelo Axioma A8 t 1 ou t (decoência da unicidade da paalela). Assim, α 1 ou α, uma contadição. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

23 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 1 Execício 1.11) Sejam e s etas evesas. Moste que existem e são únicos os planos paalelos passando po e po s. Existência: apoveitando o Execício 1.10: seja α plano passando po s e paalelo a. Seja β plano passando po e paalelo a s. s Figua 1.5: Planos paalelos passando po etas evesas. Afimação: α e β são paalelos. De fato, caso contáio, α e β seiam concoentes e existiia a eta t = α β. Sem peda de genealidade, suponhamos que t (pela tansitividade do paalelismo, t não pode se paalela a e a s). Logo, α, uma contadição. onclusão: α e β são paalelos. Unicidade: como no Execício Execício 1.1) Sejam e s etas evesas. Moste que existe e é única a eta pependicula comum a e a s. Existência: seja α o único plano paalelo a passando po s (Execício 1.10). Sejam = poj α e {Q} = s. Tomemos P como sendo o pé da pependicula baixada de Q a. omo e são paalelas temos que PQ é pependicula a e a. P ' Q s Figua 1.6: Encontando a pependicula comum às etas evesas. Afimação: P = poj α P é tal que P = Q e, potanto, PQ é pependicula a s. De fato, caso contáio, P seia difeente de Q e teíamos o tiângulo PQP com dois ângulos etos, uma contadição. onclusão: P = Q. om isso, PQ é pependicula a e a s. Unicidade: Suponhamos que existam P 1 Q 1 e P Q distintas pependiculaes a e a s com P 1, P e Q 1, Q s. Seja α plano paalelo a passando po s. Seja t// contida em α. Logo, t e s são concoentes sendo P 1 Q 1 e P Q otogonais a ambas. P 1 P t s Q Q 1 Figua 1.7: Povando a unicidade da pependicula comum a etas evesas. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

24 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Pelo Teoema Fundamental do Pependiculaismo, P 1 Q 1 e P Q são pependiculaes a α, potanto, são paalelas, fazendo com que = P 1 P e s = Q 1 Q sejam coplanaes. Uma contadição. Obsevações. (1) Um fato impotante decoente da demonstação da unicidade no Execício 1.1: a eta pependicula comum a duas etas evesas é pependicula aos planos paalelos que passam po essas evesas. () Outa obsevação impotante decoente das demonstações dos Execícios 1.10, 1.11 e 1.1: sejam e s etas evesas. A distância da eta ao plano que passa po s e é paalelo a é a mesma que a distância ente os planos paalelos que passam po e po s que, po sua vez, também é igual ao compimento do segmento PQ, sendo PQ a eta pepedicula comum a e a s com P e Q s. om base no que desenvolvemos acima, vamos defini a distância ente as etas evesas e s como sendo o compimento do segmento PQ pependicula comum a e a s com P e Q s. Execício Resolvido Execício 1.1) onsidee duas etas e s evesas cuja distância ente elas é a e a medida de seu ângulo é θ. Tome em um ponto situado à distância b da pependicula comum às evesas. Qual é a distância de à eta s? hamemos de o pé da pependicula baixada de até a eta s. Logo, x = d (, s) = d (, ) é a distância pocuada. Sejam α e β os planos paalelos que contém e s (Execício 1.11). Já obsevamos que o segmento RS pependicula à eta e à eta s é pependicula aos planos α e β. Sejam = poj β e s = poj α s. Logo, = poj β e = poj α s. s S R a b s' R b ' ' b x =? a x b. sen( ) s a R ' ' S ' Figua 1.8: Visualizando melho a distância de a s. b. sen( ) Já vimos que e são coplanaes e, sendo α paalelo a β, temos paalela a. Analogamente, s é paalela a s. Logo, RS, e SR são etângulos planos otogonais a α e β e, potanto, RS. Em paticula, s é pependicula a. omo s também é pependicula a, o Teoema Fundamental do Pependiculaismo gaante que s é pependicula ao etângulo e, em paticula, s é pependicula a. onsequentemente o tiângulo S é etângulo em. Sendo S R temos que R é tiângulo etângulo em. O ângulo ente e s (ecode a definição) é o mesmo ângulo ente e s (ou ente e s). Seja θ a medida desse ângulo. Desta foma, no tiângulo etângulo R temos b como a medida da hipotenusa e θ como medida do ângulo R. Logo, o cateto mede b sen (θ). Po fim, no tiângulo etângulo temos o cateto medindo b sen (θ), o cateto medindo a e a hipotenusa medindo x. Pelo Teoema de Pitágoas x = a + b sen (θ). Uma obsevação: a esolução acima consiste em constui um pisma tiangula eto R S de altua a (estudaemos pismas mais adiante). O compimento da diagonal de uma das faces é o objetivo desse execício. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b x

25 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 1.7 Ângulo ente Reta e Plano e Ângulo ente Planos Seja uma eta não paalela a um plano α. Quando é pependicula a α dizemos que foma ângulo eto com α. Quando α dizemos que foma ângulo nulo com α. Quando e α são concoentes (não pependiculaes), definimos o ângulo ente e α como sendo o ângulo ente e = poj α. P t Q ' P' P s Figua 1.9 Ângulo ente eta e plano e ente planos. Sejam α e β planos concoentes. Logo, = α β é uma eta. Sejam P, s α e t β etas pependiculaes a em P. Definimos o ângulo ente α e β como sendo o ângulo ente s e t. Obsevemos que a definição acima independe de P. De fato, se P 1 é distinto de P, s 1 α e t 1 β são etas pependiculaes a em P 1, então s//s 1 e t//t 1. Logo, os ângulos fomados po s e t são odenadamente conguentes aos ângulos fomados po s 1 e t 1. Obsevemos que, na situação em que o ângulo ente α e β é eto, estamos de acodo com a definição, já apesentada, de planos pependiculaes (ou otogonais). A eta s da definição acima também é, às vezes, chamada de eta de maio declive de α em elação a β pelo motivo exposto no Execício Execícios Popostos Execício 1.14) Sejam α e β planos concoentes, não otogonais, com = α β eta de intesecção e P. Seja s β, s, eta abitáia em β passando po P. Moste que o ângulo fomado po s e po s = poj α s é meno do que ou igual ao ângulo fomado po α e β. Execício 1.15) Sejam α e β planos concoentes com = α β eta de intesecção e P. Fixemos uma eta t β pependicula a em P. Po fim, tomemos uma eta s α abitáia passando po P. Moste que o ângulo ente s e t é maio do que ou igual ao ângulo ente α e β. Execício Resolvido Execício 1.16) Demonste que se a eta intesecta o plano α no ponto A e não é pependicula a α, então o ângulo ente e = poj α é meno do que ou igual ao ângulo ente com qualque outa eta s do plano α que passa po A. Pimeiamente, obsevemos que a hipótese de não se pependicula a α gaante que seja, de fato, uma eta e, potanto, faça sentido fala no ângulo ente e. onsideemos o caso em que s. hamemos de θ a medida do ângulo ente e α e de γ a medida ente e s. Sejam P tal que P A e P = poj α P. Tomemos s tal que A AP e tal que γ seja a medida do ângulo ÂP. om isso, o tiângulo PP é etângulo em P e, potanto, a hipotenusa P é maio do que o cateto PP. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

26 4 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial P P P s A ' P' A P' A Figua 1.40: Aplicando o Teoema da Dobadiça. Sendo PP A e PA tiângulos tais que PA é lado comum, AP A e PP < P, temos PÂP < PÂ, ou seja, θ < γ (teoema de Geometia Euclidiana Plana, também conhecido como Teoema da Dobadiça - veja a seção Desigualdade Tiangula na efeência [14]). No caso em que s = temos, obviamente que θ = γ. 1.8 Ângulos Poliédicos A eunião de dois semiplanos não coplanaes com uma mesma eta de oigem é chamada de ângulo diédico ou diedo. ada um dos semiplanos de um diedo são chamados de faces e a eta de oigem é a aesta. t P semiplanos com oigem em plano pependicula a s Figua 1.41: Diedo. Um diedo sepaa o espaço em duas egiões desconexas: uma convexa e a outa não convexa. A egião convexa é chamada de inteio do diedo. A eunião de um diedo com seu inteio é chamada de seto diedal. A medida de um diedo é a medida de um ângulo obtido pela intesecção do diedo com um plano pependicula à sua aesta. Ao contáio da noção de ângulo ente planos, um diedo pode se obtuso. É fácil mosta que a medida de um diedo não depende do plano pependicula a sua aesta escolhido paa faze a intesecção. Nesse sentido, a medida de um diedo, confome acima, está bem definida. Dois diedos são conguentes quando possuem a mesma medida. Execício Resolvido Execício 1.17) De um ponto P no inteio a um diedo de medida 110 taçam-se as pependiculaes e s às faces. alcule a medida do ângulo fomado po e s. Sejam P e P pontos de intesecção de e s com as faces do diedo. Sejam ainda α o plano deteminado po e s e, po fim, t a aesta do diedo. Temos que t é otogonal às etas concoentes e s. Pelo Teoema Fundamental do Pependiculaismo temos que t é pependicula a α. Seja Q ponto de intesecção de t com α. om isso, a medida do ângulo P QP é a medida do diedo, que é de 110. Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

27 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 5 P'' s P 110 o P' t Q Figua 1.4: O quadiláteo PP QP plano. Desta foma, temos um quadiláteo PP QP contido no plano α, sendo que esse quadiláteo possui dois ângulos etos em P e P, um ângulo de medida 110 em Q e, potanto, o ângulo P deve medi 70. onclusão: o ângulo ente e s mede 70. Recodemos que um seto angula é uma egião plana composta po um ângulo e seu inteio, e que a medida de um seto angula é a medida de seu ângulo. Abaixo, consideamos apenas setoes angulaes não degeneados, ou seja, não nulos e não asos. A eunião dos setoes angulaes σ 1, σ,..., σ n distintos, com n, tais que: (1) todos possuem um mesmo vétice V em comum; () σ i e σ i+1, com i = 1,..., n, (sendo σ n+1 = σ 1 ) não são coplanaes; () os lados de σ i, com i = 1,..., n, são também lados de, e apenas de, σ i 1 e σ i+1 (sendo σ 0 = σ n e σ n+1 = σ 1 ); (4) a intesecção de dois setoes angulaes quaisque ou é o vétice V ou é um lado comum; é chamada de ângulo poliédico de vétice V (ou ângulo sólido de vétice V). Os setoes angulaes que compõem um ângulo poliédico são chamados de suas faces. Os lados dos setoes angulaes que compõem um ângulo poliédico são chamados de suas aestas. Sendo assim, um ângulo poliédico possui n aestas que concoem no vétice V. V Figua 1.4: Ângulo Poliédico. Obsevemos que a condição () da definição acima diz que faces vizinhas de um ângulo poliédico não podem se coplanaes. Isso significa que faces vizinhas de um ângulo poliédico sempe deteminam um diedo (que as contém). Já a condição () diz que uma aesta de ângulo poliédico petence exatamente a duas faces. Po fim, a condição (4) oganiza as faces de um ângulo poliédico de tal foma que não haja autointesecção de seus inteioes. Um ângulo poliédico ecebe o nome de acodo com a quantidade n de aestas: n Nomenclatua Ângulo tiédico (ou tiedo) 4 Ângulo quadiédico 5 Ângulo pentaédico 6 Ângulo hexaédico. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini.

28 6 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Um ângulo poliédico sepaa o espaço em duas egiões desconexas. Quando uma dessa egiões é convexa, dizemos que o ângulo poliédico é convexo e a efeida egião é o inteio do ângulo poliédico. Notemos que, geometicamente, o vétice de um ângulo poliédico convexo foma, necessaiamente, um bico. abe ainda obseva que um tiedo é sempe convexo. Também é inteessante ecoda que cada octante do sistema de coodenadas catesianas otogonais da Geometia Analítica é delimitado po um tiedo (as vezes chamado de tiedo ti-etângulo). V V tiedo 1 ti-etângulo 1 tiedo ângulo pentaédico não convexo Figua 1.44: Alguns ângulos poliédicos. Um conceito impotante utilizado adiante neste texto é o de conguência de ângulos poliédicos. Dois ângulos poliédicos são conguentes quando fo possível estabelece uma coespondência biunívoca ente as aestas de um e as aestas do outo, de modo que as faces e os diedos coespondentes sejam odenadamente conguentes. Geometicamente ângulos poliédicos conguentes são iguais ou cópia um do outo, ou seja, é possível leva um no outo po meio de um movimento ígido (sem distoções) no espaço. A demonstação do teoema abaixo pode se encontada na efeência [5]. Teoema 1. (1) Sejam φ 1,..., φ n as medidas das faces de um ângulo poliédico convexo. Então: (i) φ i < n k=1 k i φ k paa qualque i = 1,..., n, ou seja, a medida de uma face qualque é meno do que a soma das medidas das demais faces; (ii) n k=1 φ k < 60 (ou n k=1 φ k < π adianos), ou seja, suas faces não cobem um plano ; () Sejam φ 1,..., φ n númeos eais tais que: 0 < φ i < 180 (ou 0 < φ i < π) paa qualque i; φ i < n φ k paa qualque i; k=1 k i n φ k < 60 (ou k=1 n k=1 φ k < π adianos). Então, existe um ângulo poliédico convexo com n aestas cujas faces medem φ i, i = 1,..., n. Execícios Resolvidos Execício 1.18) Existe tiedo cujas faces medem: (a) 70, 80 e 10? (b) 40, 75 e 10? (c) 80, 15 e 150? Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b

29 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 7 (a) Os númeos eais 70, 80 e 10 satisfazem o item () do teoema acima. Logo, existe tiedo com essas medidas. (b) Os númeos eais 40, 75 e 10 são tais que 10 > = 115. A contapositiva do item (1) do teoema acima gaante que não existe tiedo com essas medidas. (c) Os númeos 80, 15 e 150 são tais que = 65 > 60. A contapositiva do item (1) do teoema acima gaante que não existe tiedo com essas medidas. Execício 1.19) As faces de um tiedo medem 60 e 85. Dê o intevalo de vaiação da medida da teceia face. Seja x a medida da teceia face. De acodo com o teoema acima devemos te: 0 < x < 180 x < x < < 60 + x 5 < x 60 < 85 + x 5 < x x < 60 x < 15 onclusão: 5 < x < 145. Execício Poposto Execício 1.0) As faces de um ângulo pentaédico convexo medem 10, 0, 0, 40 e x. Dê o intevalo de vaiação de x. Resposta: 0 < x < 100. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

30 8 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia

31 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial 9 apítulo Poliedos, Pismas e Piâmides.1 Poliedos A DEFINIÇÃO DE POLIEDRO Recodemos a definição de polígono: Sejam A 1,..., A n com n pontos distintos de um plano tais que os segmentos A 1 A, A A,..., A n 1 A n, A n A 1 cumpem as seguintes popiedades: (i) Nenhum pa de segmentos se autointesecciona, a não se em um extemo. (ii) Nenhum pa de segmentos com extemo comum é colinea. A eunião dos segmentos acima é chamada de polígono de vétices A 1,..., A n e lados A 1 A, A A,..., A n 1 A n, A n A 1 e indicamos po A 1 A... A n. Obsevemos que, como consequência da definição acima, um polígono é uma linha poligonal plana fechada e, potanto, detemina no plano duas egiões: uma limitada (chamada de inteio do polígono, e cuja fonteia é o pópio polígono) e outa não limitada. Quando o inteio de um polígono é uma egião convexa do plano, dizemos que o polígono é convexo. Po fim, ecodemos que é comum nos textos de geometia utiliza a palava polígono com dois sentidos: (1) de acodo com a definição acima, ou seja, polígono como eunião de segmentos e; () como eunião do polígono (segmentos) com seu inteio (supefície). É isso que pemite que se fale, po exemplo, em áea de um polígono. Poliedo é uma eunião P de um númeo finito de polígonos planos, chamados de faces, onde: (a) ada lado de um desses polígonos é, também, lado de um, e apenas de um, outo polígono. (b) A intesecção de duas faces quaisque ou é um lado comum, ou é um vétice comum, ou é vazia. ada lado de um polígono, comum a exatamente duas faces, é chamado de aesta de P e cada vétice de uma face é um vétice de P. (c) Sejam A, P pontos distintos dos vétices de P. É sempe possível taça uma linha poligonal sobe P, ligando A a, sem passa po vétices de P. Obsevemos que as faces de um poliedo, que incidem em um deteminado vétice, dão oigem a pelo menos um ângulo poliédico no espaço. Sendo assim, paa que a definição de poliedo acima se cumpa, devemos te, no mínimo, quato polígonos. Todo poliedo detemina no espaço duas egiões: uma limitada, cuja fonteia é o pópio poliedo, e outa não limitada. A egião limitada é chamada de inteio desse poliedo. Dizemos que o poliedo é convexo quando seu inteio fo uma egião convexa do espaço. agustini@ufu.b Univesidade Fedeal de Ubelândia Edson Agustini

32 0 Um uso de Geometia Euclidiana Espacial Assim como obsevamos no caso dos polígonos, é comum nos textos de geometia confundi a eunião de um poliedo e seu inteio com o pópio poliedo. É isso que pemite que se fale, como veemos adiante, em volume de um poliedo. A definição de poliedo pode se mais, ou menos, estitiva confome o nível de estudos que se queia empeende. A que demos acima teve po objetivo estabelece que um poliedo tenha sempe uma egião inteio conexa. Vejamos algumas situações que são evitadas com a definição acima: (i) A exigência de que poliedo seja eunião de polígonos evita que a figua abaixo seja poliedo: face supeio Figua.1: Não é Poliedo. (ii) A exigência de que cada lado de um polígono seja lado de outo polígono evita que as figuas abaixo sejam poliedos: sem a face supeio ( 1 ) ( ) ( ) Figua.: Não são poliedos. (iii) A exigência de que cada lado de um polígono seja lado de apenas um outo polígono evita que a figua abaixo seja poliedo: Figua.: Não é poliedo. (iv) A exigência de que a intesecção de duas faces quaisque ou é um lado comum, ou é um vétice comum, ou é vazia oganiza a disposição das faces e evita que as figuas abaixo sejam poliedos: ( 1 ) ( ) ( ) ( 4) Figua.4: Não são poliedos. A exigência (iv) também evita que os objetos () e () da Figua.1 sejam poliedos. (v) A exigência de que seja sempe possível i de um ponto de uma face a um ponto de qualque outa, sem passa po nenhum vétice, evita que as figuas abaixo sejam poliedos: Edson Agustini Univesidade Fedeal de Ubelândia agustini@ufu.b