Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RET

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1 INTRODUÇÃO... NOÇÕES BÁSICAS... POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA... DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS... 5 RAZÃO DE SECÇÃO... DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA... 4 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO... 5 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS... 8 EQUAÇÃO GERAL DA RETA... EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA... 8 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA... EQUAÇÃO PARAMÉTRICA... 4 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO... 7 CONDIÇÃO DE PARALELISMO CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS... 5 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA... 5 ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR RESPOSTAS... 6 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No final das séies de eecícios podem apaece sugestões de atividades complementaes. Estas sugestões efeem-se a eecícios do livo Matemática de Manoel Paiva fonecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouo Peto duante o tiênio Todos os eecícios sugeidos nesta apostila se efeem ao volume. MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RET

2 INTRODUÇÃO Em 67, o matemático e filósofo fancês Renée Descates publicou seu gande tabalho O Discuso sobe o Método, em que são estabelecidas as bases filosóficas de seu método paa o estudo das ciências, o chamado método catesiano, até hoje pesente na oganização do conhecimento em muitas áeas. No apêndice, Descates ilusta o seu método apesentando a Géométie, que foi o passo inicial no estabelecimento de elações mais esteitas ente a Álgeba e a Geometia. O tabalho contém uma teoia paa equações algébicas associadas a cuvas planas po eemplo, equações de segundo gau associadas a paábolas. Alguns anos mais tade, um outo matemático fancês, Piee Femat, publicou um tabalho onde também elacionou equações a etas, às cuvas que chamamos cônicas e a outas cuvas até então pouco conhecidas. Tem-se egistos de que as idéias iniciais de Femat sobe a Geometia Analítica são, na vedade, anteioes ao tabalho de Descates, mas esses egistos só foam encontados e publicados em 769, após a sua mote. A Geometia Analítica, tata, potanto, desde a sua oigem, das elações ente as equações algébicas e os objetos geométicos, buscando a simplificação técnica dos poblemas geométicos e a intepetação geomética dos esultados obtidos nos cálculos algébicos. Os cálculos e a descição dos objetos geométicos ficam mais simples com os ecusos algébicos da teoia das matizes associados aos pocessos de esolução de equações. plano catesiano com um númeo finito de pontos, que é sempe mencionado quando escolhemos a configuação da tela. Aumentando o númeo de pontos, melhoamos a qualidade da imagem do monito ou da impessão dessa imagem. Nas muitas utilizações de ecusos de imagens, como na tomogafia ou na localização po satélite, essa oganização é fundamental paa uma intepetação pecisa dos esultados obtidos. A nomenclatua da Geometia Analítica (coodenadas, abscissas, odenadas, etc.) foi intoduzida po Leibniz, que e inspiou na teminologia adotada pelos gegos em seus cálculos geométicos. As bases da Geometia Analítica estão, potanto, contidas nos tabalhos desses tês gandes matemáticos - Descates, Femat e Leibniz - e foam posteiomente adotadas po Eule ao fomaliza o conceito de função. NOÇÕES BÁSICAS Consideemos dois eios e pependiculaes em O, os quais deteminam um plano. Dado um ponto P qualque tal que P, conduzamos po eles etas e tais que: ' // e //. Denominemos P a intesecção de com e P a intesecção de com. As técnicas da Geometia Analítica desempenham um papel fundamental ainda hoje, po eemplo, no desenvolvimento da Computação Gáfica. As telas dos nossos computadoes são modelos da estutua do CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 Nestas condições, definimos: a) abscissa de P é o númeo eal p = OP. b) odenada de P é o númeo eal p = OP. c) coodenadas de P são os númeos eais p e p gealmente indicados na foma de um pa odenado (p, p) onde p é o pimeio temo. d) o eio das abscissas é o eio O. e) o eio das odenadas é o eio O. f) sistema de eios catesianos otogonais (ou sistema otonomal ou sistema etangula) é o sistema O. g) a oigem do sistema é o ponto O. h) plano catesiano é o plano. Ente o conjunto de pontos do plano e o conjunto de paes odenados (, ), eiste uma coespondência biunívoca, ou seja, paa cada ponto do plano eiste um único pa odenado e paa cada pa odenado eiste um único ponto no plano. A pincipal consequência desta popiedade é o fato de: da um ponto significa da um pa odenado (p, p); pedi um ponto significa pedi um pa de coodenadas (p, p); Todo ponto P pocuado epesenta duas incógnitas: p e p. Notemos que os paes odenados A(, 5) e A(5, ) são difeentes visto que a odem em que os temos são apesentados difee dois paes odenados. Na figua abaio você pode ve a epesentação destes dois pontos no plano. E.: Vamos localiza no plano catesiano os pontos A(, 0); B(0, ), C(, 5), 5 9 D(-, 4), E(-7, -), F(4, -5), G(, ), 5 H(, 9 ); De foma geal, se a b então (a, b) (b, a). POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA Os eios e dividem o plano catesiano em quato egiões chamadas QUADRANTES que ecebem os nomes indicados na figua: MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

4 Os pontos do tipo (a, -a) fomam um conjunto de pontos chamado de bissetiz dos quadantes paes. Obseve a figua: Sendo P um ponto qualque do plano catesiano temos que: P I Quad. 0 e 0 P II Quad. 0 e 0 P III Quad. 0 e 0 P IV Quad. 0 e 0 p p Eistem ainda os pontos que estão sobe os eios, assim: p p P petence ao eio das abscissas se a odenada é nula: P O 0 p P petence ao eio das odenadas se a abscissa é nula: P O 0 Destas popiedades temos que os pontos que estão no eio vetical são do tipo (0, a) e os pontos do eio hoizontal são do tipo (a, 0). O pontos do tipo (a, a) fomam um conjunto de pontos chamado de bissetiz dos quadantes ímpaes. Obseve a figua: p p p p p Assim, temos que Pb 4 p Se uma eta é paalela ao eio das abscissas, então todos os seus pontos possuem a mesma odenada. Se uma eta é paalela ao eio das odenadas, então todos os seus pontos possuem a mesma abscissa. Também valem as ecípocas das duas popiedades acima. 0) Dados os pontos A 5; 5, 6; 6 C,5;,5, D 9, ; 9,, E 0; 0, 7,; 0 G 0; 5, H ; 0, 0; ; p B, F, J, I, 9 8 K ; e L ;, pegunta-se: quais 4 pontos são petencentes: a) ao pimeio quadante? b) ao segundo quadante? Assim, temos que P b p p CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 c) ao teceio quadante? 0) Localize no plano catesiano, os pontos dados na questão anteio: d) ao quato quadante? e) ao eio das abscissas? DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados os pontos A(; ) e B(; ), calculemos a distância d ente eles: f) ao eio das odenadas? º caso: AB é hoizontal: d AB g) à bissetiz dos quadantes ímpaes? º caso: AB é vetical: h) à bissetiz dos quadantes paes? d AB MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

6 º caso: AB é oblíqua: d AB Demonstação: O tiângulo ABC é etângulo em C, assim, pelo teoema de Pitágoas temos que: então: d AB d AC d BC Como A,, B, e, C, d d d d d AB AB AB AB AB dab 0 Obsevação: Convém destaca que a odem dos temos nas difeenças das abscissas ou das odenadas não influi no cálculo de d já que inveteia apenas o sinal das difeenças e, quando elevado ao quadado, esse sinal é desconsideado. d d AB AB Obsevação: a notação de módulo em e foi desconsideada pois, ao eleva ao quadado o esultado é positivo ou nulo. E.(): Calcule a distância ente os pontos A(-, 6) e B(, -). E. (): A distância ente os pontos A(a, ) e B(-, ) é. Detemine a. d AB a 9 a a a 8 a 8 CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 e) P, e Q, 0) Calcule a distância ente os pontos dados:,7 B, 4 a) A e b) E, e F, 5 f) C 4,0 e D 0, c) H, 5 e O 0, 0 g) K, e L, 4 d) 0, M e N 5, 04) Qual a distância do ponto (0, -4) à oigem? MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

8 05) Calcula a distância ente os pontos A(a-, b+4) e B(a+, b-8) 07) Moste que o tiângulo de vétices A(, ), B(-4, -6) e C(4, -) é etângulo. 06) Calcula o peímeto do tiângulo ABC sendo dados A(, ), B(-, ) e C(4, -). 08) Qual vétice o tiângulo ABC citado na questão anteio detemina o ângulo eto? CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 09) Dados A(4, 5), B(, ) e C(, 4), detemine de foma que o tiângulo ABC seja etângulo em B. 0) Dados A(, 5), B(-, ) e C(4, ), obte foma que A seja equidistante de B e C. MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

10 ) Obte P petencente ao eio das abscissas de foma que o ponto P seja equidistante de A(, ) e B(-, 5). ) Dados os pontos A(8, ), B(-4, -5) e C(-6, 9), obte o cicuncento do tiângulo ABC. (A esolução desta questão enconta-se na secção de espostas) ) Detemina o ponto P da bissetiz dos quadantes paes que equidista dos pontos A(8, -8) e B(, -). CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 4) Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), detemina P de modo que o tiângulo MNP seja equiláteo. 5) Dados os pontos B(, ) e C(-4,), detemina o vétice A petencente ao eio das odenadas sabendo que ABC é etângulo em A. MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

12 6) Dados A(-, 4) e B(, -) vétices de um quadado, detemina os outos dois vétices. 7) Dados A(8, 7) e C(-, -), etemidades da diagonal de um quadado, calcula as coodenadas dos outos dois vétices. ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 8 Eecício R. Pág. 9 Eecícios a 6 CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 RAZÃO DE SECÇÃO Dados tês pontos distintos e COLINEARES A, B e C, chama-se azão de secção do segmento AB pelo ponto C o númeo eal tal que: d d Eistem duas fomas de se detemina este. A pimeia foma é atavés da fómula da distância como apesentado na definição acima, assim, sendo A(, ), B(, ) e C(, ), temos: AC CB A segunda foma, é po meio do Teoema de Talles. Obseve agoa a ilustação: indeteminada, assim, usamos. Situação semelhante ocoe quando o segmento fo hoizontal. Pelo mesmo motivo, faemos. E.:Dados A(, 7), B(5, ) e C(6, ), detemine a azão ente os compimentos dos segmentos AC e BC. Resolução: A pati das abscissas, temos: A pati das odenadas, temos: 7 6 Ea natual que em ambas as situações, encontássemos o mesmo esultado e, daí, concluímos que um segmento tem o tiplo do compimento do outo. Pelo teoema de Talles, podemos esceve: Devemos fica atentos apenas quando o segmento consideado fo paalelo a um dos eios coodenados. Note que, caso o segmento seja vetical, temos = =. Desta foma, e são, ambos iguais a zeo e a fação fica Desconsideando o módulo na epessão apesentada acima, é possível, a pati do sinal de, detemina a posição de C em elação ao segmento AB, assim, consideando A(, ), B(, ) e C(, ), e fazendo temos que: i) 0 C é inteio a AB ii) 0 Cé eteio a AB iii) 0 C A iv) Cé médio de AB v) C, MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

14 CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO 8) Tome tês pontos quaisque da eta abaio e veifique, com númeos, a validade das afimações do final da página anteio: DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA Dados A(, ), B(, ) e C(, ), calculemos as coodenadas (, ) do ponto C que divide o segmento AB numa azão ( ). Temos: E.: Obte as coodenadas do ponto C que divide AB na azão sendo A(, 5) e B(4, 7). Resolução: Assim, temos que C(, )

15 E.: Obte as coodenadas do ponto C que divide BA na azão sendo A(, 5) e B(4, 7). Resolução: Assim, temos que C(, 9) Obseve que o ponto que divide o segmento AB na azão é difeente do ponto que divide o segmento BA na mesma azão. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO O ponto médio de um segmento é, como o pópio nome diz, o ponto que divide um segmento em duas pates iguais, ou seja, cuja azão ente seus compimentos seja =. Substituindo na fómula que já temos fazendo = m, = m e =, temos: m m m m 9) No plano catesiano, localize os pontos A(, 5) e B(4, 7) dados no eemplo anteio e a segui intepete os pontos C e C que dividem, espectivamente, os segmentos AB e BA na azão, E.: Obte o ponto médio do segmento AB sendo A(7, -) e B(-, 4). Resolução: 7 4 m e m 6 Logo, M(, 6) 4 0) Sendo A,, B, e C,, detemine a azão ente os segmentos AC e BC. MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

16 ) Detemina as coodenadas dos pontos que dividem o segmento AB em tês pates iguais sendo A = (-, 7) e B = (, -8). ) Até que ponto o segmento de etemos A(, -) e B(4, 5) deve se polongado paa que seu compimento tiplique? ) Detemina os pontos que dividem AB em quato pates iguais quando A = (-, -) e B = (, ). 4) Calcula o compimento da mediana AM do tiângulo ABC cujos vétices são os pontos A(0, 0), B(, 7) e C(5, -). Mediana de um tiângulo é o segmento de eta cujas etemidades são um vétice do tiângulo e o ponto médio do lado oposto. CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 5) De um tiângulo ABC são conhecidos o vétice A = (, 4), o ponto M(, ) médio do lado AB e o ponto N(-, ) médio do lado BC. Detemine o peímeto deste tiângulo. (A esolução desta questão enconta-se na secção de espostas) 6) Sendo M(, ), N(, ) e P(6, ) os pontos médios, espectivamente, dos lados AB, BC e CA, detemine as coodenadas dos vétices A, B e C. MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

18 7) Num tiângulo ABC são dados: i) A(, 0) ii) M(-, 4) ponto médio de AB iii) dac = 0 iv) dbc = 0 Obtenha o vétice C. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Obseve a figua: Se os tês pontos A(, ), B(, ) e C(, ), estão alinhados, então satisfazem à seguinte condição:. Note que 0 Po outo lado, sabemos que: D ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 40 Eecício R.4 Pág. 4 Eecícios 7 a Assim, podemos dize que os tês pontos A(, ), B(, ) e C(, ), estão alinhados quando: D 0 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 Obsevação: Este deteminante acima fica facilmente veificado também em duas situações específicas: º Se dois dos pontos coincidiem, teemos duas linhas iguais e consequentemente, D = 0. º Se a eta fo vetical (ou hoizontal) as tês odenadas (ou abscissas) seão iguais. Como já temos uma coluna onde os tês temos são iguais a, passaemos a te duas colunas onde uma é combinação linea da outa, e assim, mais uma vez, D = 0. E.: Mosta que os pontos A(-, ), B(, ) e C(7, 9) estão alinhados. Resolução: ( ) ) Os pontos A(; ), B(; 5) e C(49; 00) são colineaes? Logo, A, B e C estão alinhados. E.: Detemine k pa que os pontos A(k, k), B(, ) e C(7, -) estejam alinhados. Resolução: k k 0 7 k 7k 9 7 k k 0 8k 6 0 8k 6 k 9) Detemina paa que os pontos A(; 5), B(-, 8) e C(4, ) estejam alinhados. Resposta: k = MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

20 0) Mosta que A(a; a ), B(a + ; a + ) e C(a + ; a + ) são colineaes paa qualque valo de a eal. ) Dados A(, ) e B(0, -), obte o ponto da eta AB que intecepta o eio das abscissas. ) Paa que valoes de a eiste o tiângulo MNP onde M(0, a), N(a, -4) e P(, )? ) Dados os pontos A(, ) e B(5, 5), detemina o ponto do eio OY que também petence à eta AB. CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 4) Dados A(, -) e B(8, ) detemina o ponto em que a eta que passa po A e B intecepta a bissetiz dos quadantes ímpaes. 6) Dados A(-, 4), B(, 9), C(, 7) e D(4, 5), detemina a intesecção ente as etas AB e CD. 5) Sendo A(7, 4) e B(-4, ), detemina o ponto de intesecção ente a eta que passa po A e B e a bissetiz dos quadantes paes. 7) Detemina m e n de tal foma que P(m, n) seja colinea, simultaneamente, com A(-, -) e B(, ) e com C(-, ) e D(, -4). MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

22 8) Detemina o ponto P da eta AB que está à distância 5 da oigem onde A(0, -5) e B(-, -) EQUAÇÃO GERAL DA RETA A toda eta do plano está associada uma equação na foma a + b + c = 0 onde a, b e c são númeos eais e a e b não são simultaneamente nulos. Qualque pa odenado (, ) que satisfaz a equação citada epesenta um ponto de. Dados os pontos A(, ) e B(, ), consideemos um ponto genéico G(, ) petencente à eta deteminada po A e B, então podem os esceve que: 0 e, desenvolvendo o deteminante, temos 0 e, po fim, fazendo a, b c, temos: 0 e 0 a b c ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 46 Eecícios 0 a a b c 0 que é chamada de EQUAÇÃO GERAL da eta. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 É impotante destaca, que, a pati do que vimos, qualque eta possui uma equação geal e esta pode se encontada a pati de dois de seus pontos. Vale essalta também que uma mesma eta pode assumi equações difeentes visto que a equação encontada depende dos pontos A(, ) e B(, ) consideados. Entetanto, independente dos pontos escolhidos, as difeentes equações de uma mesma eta são equivalentes, daí concluímos que uma eta do plano está associada à um conjunto de equações equivalentes e que um conjunto de equações equivalentes está associado à uma eta. O coeficientes a e b não seão simultaneamente nulos se os pontos A(, ) e B(, ), foem distintos, obseve: a 0 b A B E.: Esceve a equação da eta que passa pelos pontos A(5, -) e B(, ). Resolução: Logo, a equação pocuada é Paa A(5, -): Paa B(, ) Como, em ambos os casos, encontamos igualdades vedadeias, podemos afima que a esposta está coeta. O que acabamos de faze é, na vedade, uma foma de veifica se um ponto A petence a uma eta. Vale ainda essalta que podemos multiplica ambos os temos da equação encontada po um númeo eal qualque difeente de zeo. Isto apenas nos entegaá uma outa equação da mesma eta. Assim, multiplicando os dois temos po -, encontamos: E.: Enconte a equação da eta da figua abaio: Obsevações:. Note que não é necessáio faze o esboço da eta em questão paa enconta sua equação.. É possível veifica se a esposta está coeta substituindo as coodenadas dos dois pontos A e B dados na equação encontada, veja: MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

24 Resolução: Paa esceve a equação devemos escolhe dois pontos da eta, vamos toma, neste eemplo, os pontos B(-, ) e E(6, 5) ) Detemina as equações das etas supote dos lados do tiângulo ABC deteminado pelos pontos A(0, 0), B(, ) e C(4, 0) Vamos, agoa, escolhe outo pa de pontos: faemos com os pontos A(-6, -) e D(4, 4) Note que a equação encontada foi difeente mas as duas são equivalentes, veja: Logo, a equação da eta da figua e 4 0. Nesta vídeo-aula, podemos ve uma foma difeente de se enconta a equação geal de uma eta a pati de dois pontos conhecidos. CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 40) Detemina a equação da eta definida pelos pontos A, e B,. 4) A eta deteminada po A(a, 0) e B(0, b) passa po C(, 4). Qual a elação ente a e b? MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

26 4) A eta deteminada po A(p, q) e B(, -) passa pela oigem. Qual a elação ente p e q? 4) Pove que os pontos A(a; b+c), B(b; a+c) e C(c; a+b) são colineaes e detemine a equação de eta que os contém. CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

27 44) Dados A(-5, -5), B(, 5), C(9, 0) e :5 = 0, veifica se passa pelo baicento do tiângulo ABC. 45) Desenha no plano catesiano as etas cujas equações são dadas a segui: : = s: + = 5 t: + 5 = 0 u: + + = 0 v: + = 0 w: 4 = 0 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 60 Eecício 06 MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

28 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Dada a equação geal de uma eta não vetical : a + b + c = 0 como a apesentada na página desta mesma apostila, vamos isola : a b c 0 b a c a c b b a c Fazendo m e n, temos b b : m n denominada equação eduzida da eta. Os dois coeficientes que apaeceam na equação eduzida meecem um estudo especial. Acompanhe: Sejam A(; ) e B(; ) dois pontos de uma eta : a + b + c = 0 e o ângulo fomado ente e o eio das abscissas no sentido positivo. daí m se chamado de coeficiente angula da eta ou simplesmente de declividade. Paa vetical, temos = 0 logo não há como epesenta esta eta po meio de uma equação eduzida visto que, inclusive, m não é definido paa este tipo de eta. Falando ainda da equação = m + n, fazendo = 0, temos = n, assim podemos conclui que a eta cuza o eio das odenadas no ponto (0, n) daí n se chamado de coeficiente linea da eta. A intepetação coeta destes dois coeficientes é de suma impotância paa a pefeita localização de uma eta no plano. E.: Reesceve na foma eduzida a equação da eta dada po : 6 0. Resolução: temos que: BC tg AC pelo que foi definido na página, temos que a e b. Assim, podemos eesceve a epessão acima substituindo, em seguida, a e b: a b como está definido acima, concluímos que: m tg a m, assim, b Logo, : E.: Esceve a equação eduzida da eta que passa po A(0, ) e B(-, 0). Resolução: m Como a eta passa pelo ponto (0, ) já sabemos que n =. Falta detemina o valo de m que pode se encontado fazendo-se : 0 0 CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO a a b b Assim, a equação pocuada é = +

29 E.: Obte a equação eduzida da eta que passa pelo ponto K(, -) e foma 45º com o eio OX. Resolução: m tg m tg45º m Já sabemos que m =, agoa, tomando um ponto genéico (, ) podemos esceve: 4 Assim, a equação pocuada é = + 4. Paa A(-, ), temos = -m + n. Paa B(5, -4) temos -4 = 5m + n. m n m n 5m n 4 5m n 4 8m 6 m m n n n 4 Logo, 4 4 Obsevação: Os 4 eemplos acima podem se esolvidos de váias outas fomas mas o objetivo foi mosta apenas algumas soluções. Nesta vídeo-aula, podemos ve uma foma difeente de se enconta a equação eduzida de uma eta a pati de dois pontos conhecidos. 4 4 E.4: Esceve a equação eduzida da eta que passa pelos pontos A(-, ) e B(5, -4). Resolução: Podemos substitui as coodenadas dos pontos em = m + n e esolve um sistema, veja: MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

30 46) Detemine o coeficiente angula da eta que passa po (0, ) e (5, ) e a segui esceva sua equação eduzida. 48) Dente os pontos A(5; -), B(; -5), C ; e D ; quais petencem à eta da questão anteio? 49) Esceva a equação eduzida da eta que passa pelo ponto 5; e foma, com o eio das abscissas um ângulo de 60º no sentido positivo. 47) Obtenha a equação eduzida da eta que possui coeficiente linea - e coeficiente angula -. CASSIO VIDIGAL 0 IFMG CAMPUS OURO PRETO

31 50) Detemine as equações eduzida e geal de uma eta que passa pela oigem e pelo ponto 7 ;. 5) Enconte a tangente do ângulo indicado na figua. 5) Detemine os coeficientes angula e linea da eta de equação + 4 = 0 5) Qual a equação da eta mostada na figua abaio? MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

32 54) Detemine a equação da eta que passa po P(, ) e pelo ponto Q simético de P em elação à oigem. 55) Dados B(-, -9) e C(-4, ), detemine a equação da eta que passa pelo ponto médio de BC e tem declividade. CASSIO VIDIGAL IFMG CAMPUS OURO PRETO

33 56) Na figua, OABC é um quadado. Detemine as equações das etas AB e BC. EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA Consideemos uma eta que intecepta os eios catesianos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q) distintos, como na figua: A equação da eta é: 0 p q 0 0 q p pq 0 q p pq q p pq pq pq p q Esta equação é denominada equação segmentaia. 57) Qual a áea do quadado OABC da questão anteio? E.: Obte a equação geal da eta que intecepta o eio O no ponto P(, 0) e o eio O no ponto Q(0, -). Resolução: Como temos os pontos de inteseção da eta com os eios, podemos pati da ideia de equação segmentáia Assim, a equação pocuada é 6 = 0. MATEMÁTICA III GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

34 E.: Sendo P(p, 0) e Q(0, q) os pontos de intesecção da eta a b c 0 onde abc 0 com cada um dos eios coodenados, esceva p e q em função e a, b e c. Resolução: Se P e Q petencem à eta, então: c a p b 0 c 0... p a c a 0 bq c 0... p b E.: Qual a equação segmentaia da eta de equação geal = 0? Resolução: Esta é a equação que estamos pocuando e concluímos que a eta intecepta os eios nos 5 pontos P,0 4 e Q 5 0, 9. E.: Qual a equação geal da eta onde t e t? 5 Resolução: Isolando o paâmeto t em ambas as equações, temos: t t 5 t 5 5 t t t Compaando as equações, obtemos: Assim, a equação pocuada é OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Como foma geal, no caso em que é dada a equação de uma eta numa deteminada foma e pedida em outa, tal mudança deve se feita passando pela foma geal. Veja este eemplo: EQUAÇÃO PARAMÉTRICA As equações geal, eduzida e segmentáia elacionam dietamente ente si as coodenadas (, ) de um ponto genéico da eta. As equações paaméticas dão as coodenadas (, ) de um ponto qualque da eta em função [gealmente linea] de uma teceia vaiável t chamada de paâmeto. Assim, temos que: f t e f t A pati destas equações paaméticas, encontamos a equação geal isolando e eliminando o paâmeto t. E. Detemine a equação eduzida da eta t :. t 4 Resolução: Vamos em pincípio esceve a equação geal de : t t t t 4 t t CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

35 Agoa vamos passa paa a foma segmentáia: Aí está, então, a equação segmentáia de. 59) Dados A(, 0) e B(-6, -5), detemina a equação segmentáia da eta AB. DICA: Compae a foma paamética e a segmentáia de eta e tia algumas conclusões. 58) Detemina a equação eduzida da eta AB quando A = (-, ) e B = (7, 5). 60) Detemina a equação geal das etas abaio: a) MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

36 b) 6) Quais as coodenadas do ponto de intesecção com o eio hoizontal da eta do item c) acima? c) CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

37 6) Dadas as equações paaméticas de uma 5t eta :, detemina a equação t 4 segmentáia de. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Dadas duas etas e s cujas equações são: : a b c s : a b c elas podem ocupa tês posições elativas no plano catesiano. Essas posições podem se definidas com base na quantidade de pontos em comum ente as etas, isto é: e s concoentes um ponto em comum s 6) Acha as coodenadas do ponto de intesecção ente as etas e s onde: ` t ` u : t e s : u t u e s paalelas distintas nenhum ponto em comum s e s coincidentes Infinitos pontos em comum s Obs: Com o símbolo s indicaemos que as etas e s são concoentes, com o símbolo s indicaemos que e s são paalelas e distintas e com s, indicaemos que e s são coincidentes. É impotante destaca ainda que // s indica s ou s. MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

38 Todo ponto comum a e s é solução de um sistema linea fomado pelas equações das etas e s: : a b c s : a b c Se o sistema é possível e deteminado, a única solução seá o ponto de intesecção das etas e s. Caso o sistema não apesente solução, podemos conclui que as etas são paalelas e distintas e, po fim, se o sistema fo indeteminado, as etas e s são coincidentes. Vamos esolve o sistema acima a fim de entende a caacteização da posição elativa ente duas etas a pati dos coeficientes a, b e c de suas equações geais: : a b c s : a b c fazendo b e b, temos: a b b b b c ab bb bc a b a b b c b c agoa, fazendo a e a, obtemos: aa ab ac aa ab ac a b a b a c a c 4 Po outo lado, se ab ab 0 o sistema seá indeteminado ou impossível: se bc bc 0 e ac ac 0 o sistema seá indeteminado e e s seão coincidentes; se bc bc 0 ou ac ac 0 então o sistema é impossível e as etas e s são paalelas distintas: a b c bc bc 0e ac ac 0 a b c a b c bc bc 0ou ac ac 0 a b c e, desta foma, podemos esumi: s s s a a b b a b c a b c a b c a b c E.: Veifica a posição elativa das etas e s em cada caso: a) : + + = 0 e s: = 0 Resolução: a b e s são concoentes a b e, assim, temos que: bc bc de : ab ab e ac ac de 4 : a b a b Assim, se ab ab 0 podemos afima que e são únicos, logo e s são concoentes: a b ab ab 0 ab ab a b b) : + + = 0 e s: = 0 Resolução: a b c 6 a b c e s paalelas distintas c) : + + = 0 e s: = 0 Resolução: a b c 4 6 a b c e s paalelas coincidentes CASSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

39 E.: Veifica a posição elativa das etas : + + m = 0 e s: + + = 0. Resolução: a b e s são paalelas a b Paa m = temos s(coincidentes) Paa m temos s (paalelas distintas) 66) Moste que as etas : 0, s : 0 e t : 4 0 concoem num mesmo ponto. 64) Acha a intesecção ente as etas : 0 e s : ) As etas supotes dos lados do tiângulo ABC são AB : 4 0, AC : 4 0 e BC : 7 0. Enconte os vétices deste tiângulo. MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

40 68) Moste que as etas : 0, s : 8 0 e t : k k 8 0 concoem num mesmo ponto P, k R 68) Detemine k paa que as etas de equações + k = 0, k = 0 e k = 0 sejam concoentes no mesmo ponto, CASSIO VIDIGAL 40 IFMG CAMPUS OURO PRETO

41 69) Moste que as etas : 0, s : m m 5 0 e t : 5 0 são concoentes num mesmo ponto, qualque que seja m. 70) Detemine a de modo que as etas : a 0, s : 0 e 5 0 sejam supotes paa os lados de um tiângulo. MATEMÁTICA III 4 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

42 7) Em cada caso, detemine a equação da eta que passa pelo ponto P e é paalela à eta : a) P(, ) e :8 0 c) P(4, -4) e : 5 0 b) P(, 5) e : d) P(-, ) e : CASSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

43 e) P(-4, ) e : 0 7) Detemine o peímeto do tiângulo ABC que veifica as seguintes condições: O vétice A petence ao eio OX O vétice B petence ao eio OU A eta BC tem equação 0 A eta AC tem equação 0 f) P(, -5) e : MATEMÁTICA III 4 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

44 7) Dadas as etas: : 0 s : 0 t : 5 0 u : 4 0 v : 6 z : 4 6 Detemine a posição elativa ente: e s e t e u e v e z s e t s e u s e v s e z t e u t e v t e z u e v u e z v e z 74) Quando nos depaamos com a equação = 0 temos o hábito de dividi todos os coeficientes po a fim de simplifica os coeficientes. Neste caso, obtemos a equação + 5 = 0. Veifique se as duas equações epesentam ou não a mesma eta. CASSIO VIDIGAL 44 IFMG CAMPUS OURO PRETO

45 CONDIÇÃO DE PARALELISMO Dadas duas etas e s, não veticais, são paalelas se, e somente se, seus coeficientes angulaes são iguais. Demonstação: // s m ms // s tg tg m m E.: Veifica se as etas : 6 0 e s : são paalelas. Resolução: Vamos esceve as duas equações na foma eduzida: Reta : Reta s: m ms Como m =m s, podemos afima que //s. E.: Esceve a equação da eta s que passa pelo ponto (, -) e é paalela á eta : 6 0. Resolução: Vamos, em pincípio, enconta a inclinação da eta escevendo sua equação eduzida: s assim, concluímos que m. Como m ms pois s deve se paalela a, já conhecemos a inclinação de s e um de seus pontos. Usaemos agoa o mesmo pincípio visto nos eemplos e 4 das páginas 45 e 46: p ms p daí, a equação pocuada é s : 9 0. Obs.: Eiste uma outa foma de esolve esta questão e patiemos da ideia de que duas etas paalelas, quando escitas na foma geal ( a b c 0 ) possuem os coeficientes a e b iguais difeenciando apenas o coeficiente c caso não sejam coincidentes. Daí substituímos as coodenadas do ponto P em deiando c como incógnita, obseve: c 0 c 0 6 c 0 9c 0 c 9 po fim, substituímos c 9 na pimeia linha a fim de encontamos a equação e fica s : 9 0. MATEMÁTICA III 45 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

46 75) Detemina a equação da eta s que contém P(-5, 4) e é paalela à eta de equações t paaméticas : 5t 76) Detemina a equação da eta que passa po P(-5, ) e é paalela à eta definida po 6 A, 5 e 4 B, 5. CASSIO VIDIGAL 46 IFMG CAMPUS OURO PRETO

47 77) Detemina a equação da eta que passa pelo ponto de intesecção das etas e t e é paalela à eta s. Dados: :, t s : t e t : ) Dois lados de um paalelogamo ABCD estão contidos nas etas : e s :. Dado o vétice A (5, 4), detemine os vétices B, C e D. MATEMÁTICA III 47 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

48 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO Duas etas e s são pependiculaes ente si se, e somente se, o poduto de seus coeficientes angulaes fo igual a -. Demonstação: s m m Confome o caso, das figuas acima, tiamos: ou Pois o ângulo eteno é igual a soma dos ângulos etenos não adjacentes, lemba-se? Então: tg tg tg cot g s tg tg tg tg m m s s Obsevação: Eistem duas fomas páticas de detemina se duas etas são pependiculaes:. A pati de suas equações eduzidas : m b e s : ms bs, as etas e s seão pependiculaes se: m m s. A pati de suas equações geais : a b c 0 e s : as bs cs 0, as etas e s seão pependiculaes se: a a b b 0 s s E.: Veifica se as etas : 0 e s : são pependiculaes. Resolução: a m b as 4 ms bs 6 logo, as etas e s são pependiculaes. E.: Esceva a equação da eta s que passa pelo ponto (6, -) e é pependicula à eta : 0. Resolução: a m ms b 6 m s m ms 5 0 Assim, a equação pocuada é s : 5 0 E.:Qual a equação da eta mediatiz do segmento AB onde A = (, ) e B = (-4, 6)? Resolução: Pimeiamente vamos enconta o ponto médio do segmento AB. 4 6 M M 4 M,4 CASSIO VIDIGAL 48 IFMG CAMPUS OURO PRETO

49 Agoa calculamos a inclinação da eta que passa po A e B mab mab A inclinação da eta, pependicula àquela deteminada po A e B pode se encontada a pati de m, assim: m 7 m Po fim, vamos esceve a equação da eta que passa po M,4 e tem 7 inclinação m : AB 80) Detemina a equação da eta que passa pelo ponto P e é pependicula à eta em cada caso: a) P(-, ) e : b) P(, 6) e : c) P(, 4) e : 0 79) Moste que as etas : e 7 9 s : são pependiculaes. 9 7 MATEMÁTICA III 49 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

50 d) P(, 5) e : 4 0 8) Dadas as etas : p p p 0 e s : p 7 0, detemine p de foma que e s sejam pependiculaes. 8) Detemina a pojeção otogonal do ponto t P(-7, 5) sobe a eta :. t CASSIO VIDIGAL 50 IFMG CAMPUS OURO PRETO

51 8) Detemina a pojeção do ponto P(, ) sobe a eta : 0. 84) Detemina o ponto Q, simético de P, em elação á eta : + = 0. MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

52 ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS Consideemos duas etas concoentes e s, oblíquas aos eios coodenados e não pependiculaes ente si, de coeficientes m e ms espectivamente. A tangente do ângulo fomado ente elas pode se encontada a pati de m e ms. tg tg tg tg tg tg tg m ms tg m m Obsevações:. Se e s foem paalelas, m = ms e = 0.. Se e s são pependiculaes, mms = - e = 90º.. Se uma das etas fo vetical, temos: s tg 5 5 tg 45º Obsevação: As etas e s deste eemplo fomam dois ângulos: um de 45 e outo de 5º. Pense nisso e justifique a pesença do módulo na fómula a que chegamos na coluna ao lado. 85) Detemina o ângulo agudo fomado ente as etas : 4 6 e s : º 90º tg tg 90º tg cotg tg tg tg m s E.: Detemina o ângulo agudo fomado ente : 4 5 e s : 7 0. as etas Resolução : m s : m s CASSIO VIDIGAL 5 IFMG CAMPUS OURO PRETO

53 86) Detemina a tangente do ângulo agudo fomado pelas etas : = 7 e s: + 5 = 0. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Sabemos que calcula a distância ente um ponto P e uma eta é, na vedade, enconta a MENOR distância ente P e e isto pode se feito encontando-se a distância de P até sua pojeção otogonal P em. Uma outa foma de enconta tal distância é aplicando uma fómula de demonstação não tão simples a ponto de não cabe neste cuso mas que pode fica como pesquisa paa inteessados. Dados um ponto P(P, P) e uma eta : a + b + c = 0, a distância ente P e pode se encontada a pati de: d P ap bp c a b 87) Detemina a equação da eta que passa pelo ponto P(, ) e foma um ângulo de 45º com a eta de equação = 5 +. E.: Detemina a distância ente o ponto P(, -) e a eta : 4 0. Resolução: 4 5 dp 5 5 Assim, a distância pocuada é 5 5 u. c. E.: Enconta a distância ente as etas : 0 0 e s : 6 0. Resolução: Se e s são duas etas paalelas, então a distância ente elas é igual à distância ente um ponto e e a eta s, assim, vamos enconta um ponto qualque de e acha a distância deste ponto até s. Deteminando um ponto de : Fazendo, abitaiamente, = -, temos 0 0 MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA 0 4 P(, 4)

54 Agoa vamos, aplicando a fómula, calcula a distância de P(, 4) à eta s : 6 0 : d P c) P(, -) e : = 0 Logo, a distância pocuada é 4 u. c. 88) Nos seguintes casos, calcule a distância de P e : a) P(0, ) e : = 0 d) P(6, 4) e : = 0 b) P(, -5) e : 4 = 0 89) Sendo P a intesecção a eta : + 4 = 0 e o eio das abscissas e s a eta de equação = 0, detemine a distância ente P e s. CASSIO VIDIGAL 54 IFMG CAMPUS OURO PRETO

55 90) Detemine a distância ente as etas paalelas : e s : ) Detemine k sabendo que a distância ente o ponto P(0, k) e a eta : 4 0 é, 9) Se a distância de P(k, ) à eta : é 4 unidades, qual o valo de k? MATEMÁTICA III 55 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

56 9) Qual a distância do ponto A(8, 7) à eta deteminada pelos pontos B(7, -) e C(-, )? 94) Os pontos A(, -), B(9, ) e C(-, 4) são vétices de um tiângulo. Quanto mede a altua elativa ao lado BC? CASSIO VIDIGAL 56 IFMG CAMPUS OURO PRETO

57 95) As etas : 5 7 0, s : e t : 0 são supotes dos lados de um tiângulo. Detemine a altua elativa ao lado definido pela eta t. 96) Calcule a áea do ABC definido pelos pontos A(, -), B(9, ) e C(-, 4). (Dica: chame o lado BC de base e a distância do ponto A à eta BC de altua e, a segui, faça S = b h) MATEMÁTICA III 57 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

58 ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR No último tópico da apostila anteio vimos que o deteminante é igual a zeo se, e somente se, os pontos A(, ), B(, ) e C(, ) estão alinhados. Caso estes pontos não estejam alinhados, eles fomaão os vétices de um tiângulo e esse mesmo deteminante ajudaá a enconta a áea deste tiângulo. Chamando de D o deteminante acima e de S a áea do tiângulos de vétices A, B e C temos que: D e S D 98) Um tiângulo com vétices nos pontos A(5, ), B(4, ) e C(, k) tem áea igual a 8. Calcule k. E.: Calcule a áea do ABC definido pelos pontos A(, -), B(9, ) e C(-, 4). Resolução: D S 58 9 Assim, a áea do ABC é 9 u. a. 97) Calcule a áea do tiângulo que tem como vétices, os pontos A(4, 0), B(-, ) e C(-, ). CASSIO VIDIGAL 58 IFMG CAMPUS OURO PRETO

59 99) As etas supote dos lados de um tiângulo, tem como equações : 5 0, s : 0 e t : 7 0. Calcule a áea deste tiângulo. 00) Sabendo que os pontos A(m, m), B(m, -m) e C(0, 0) são vétices de um tiângulo, detemine sua áea em função de m. MATEMÁTICA III 59 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

60 0) Calcule a áea do quadiláteo definido pelos pontos A(-, -), B(, -) C(-, 4) e D(, 5). 0) Moste que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um tiângulo: a) é paalelo ao teceio lado. b) tem compimento igual à metade do compimento do teceio lado. CASSIO VIDIGAL 60 IFMG CAMPUS OURO PRETO

61 0) Sendo A, B e C os vétices que um tiângulo e M, N e P os pontos médios de cada lado, detemine a azão ente as áeas dos tiângulos ABC e MNP. RESPOSTAS 0) a) A, J e L b) D c) B d) C, e K e) E, F, H f) E, G, I g) A, B, E, L h) C, D, E, K 0) 0) a) b) 6 c) 9 d) 5 e) 6 f) 5 g) 5 04) 6 05) 06) 5 07) demonstação 08) B 09) Resolução Dados A(4, 5), B(, ) e C(, 4), detemine de foma que o tiângulo ABC seja etângulo em B Se é etângulo em B, então AC é hipotenusa e AB e BC são catetos. Assim: d AC = d BC + d AB ( (4 ) + (5 4) ) ( ( ) + ( 4) ) + ( (4 ) + (5 ) ) MATEMÁTICA III 6 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA (4 ) + (5 4) = ( ) + ( 4) + (4 ) + (5 ) = = 8 = =

62 0) Resolução Dados A(, 5), B(-, ) e C(4, ), obte foma que A seja equidistante de B e C. Resolução Equidistante significa MESMA DISTÂNCIA. Isso que dize que D AB = D AC então: ( + ) + (5 ) = ( 4) + (5 ) Elevando os dois lados ao quadado (podemos faze isso poque como estamos tabalhando com distâncias, sabemos que só estamos lidando com númeos positivos) ( + ) + (5 ) = ( 4) + (5 ) = = 4 = ) Resolução Se P petence ao eio das abscissas, então ele é o tipo (, 0) Se é P equidistante de A e B, então ( ) + ( 0) = ( ) + (5 0) ( ) + ( 0) = ( ) + (5 0) = = 4 = ) P(-5, 5) ) Resolução O cicuncento (Cento da cicunfeência cicunscita ao tiângulo) é um ponto equidistante dos tês vétices Fazendo agoa d PB = d PC, temos: Montando um sistema com as duas equações lineaes encontadas temos: = e = Assim, temos P(, ) 4) Resolução Chamaemos P de (, ). Se o tiangulo é equiláteo, então d MN = d MP = d NP, assim: (a 0) + (0 a) 0 = (a ) + (0 ) = (0 ) + (a ) Tomando P(, ) e fazendo d PA = d PB, temos Da segunda igualdade: (a ) + (0 ) = (0 ) + (a ) (a ) + (0 ) = (0 ) + (a ) a a + + = + a a + a = a = CASSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

63 Agoa tabalhaemos com a pimeia igualdade: (a 0) + (0 a) = (a ) + (0 ) (a 0) + (0 a) = (a ) + (0 ) a + a = a a a a = 0 Como =, + a a = 0 a a = 0 Δ = ( a) 4 ( a ) = 4a + 8a = a a ± a a ± 4a = = 4 a ± a = a + a a a = e = Assim, o ponto P pode se dado po ( a+a, a+a ) ou ( a a, a a ) 5) Resolução Se é etângulo em A, então d BC = d AB + d AC Vamos chama A de (, ), assim: ( ( + 4) + ( ) ) = ( ( ) + ( ) ) + ( ( + 4) + ( ) ) ( + 4) + ( ) = ( ) + ( ) + ( + 4) + ( ) = = = 0 Se A petence ao eio das odenadas, então A = 0, logo: = = 0 = e = 5 Assim, A = (0, ) ou A = (0, 5) 6) C 8,4 e D,9 ou C,6 e D 7, 7) 8, e,7 8) Questão abeta. 9) Questão abeta. 0) ) Resolução Obseve a figua que ilusta a questão Assim, podemos afima que C é ponto médio de AD e D é ponto médio de CB. Baseado nisso, podemos esceve que: (pimeio tabalhaemos com as abscissas) A + D C + B = C + D = C C + D = = D C + = D C D = Montando um sistema com as equações encontadas: { C + D = C D = C = e D = 7 Agoa seguiemos o mesmo pocedimento em temos das odenadas C + B A + D = C 7 + D = C C + D = 7 = D C 8 = D C D = 8 Montando um sistema com as equações encontadas: { C + D = 7 C D = 8 C = e D = MATEMÁTICA III 6 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

64 Assim, os pontos C e D possuem coodenadas (, ) e (7, -) espectivamente ) (5, 6), (, 5) e (7, 4) ) Obsevemos a figua que ilusta a questão: Na figua, B é médio de AC e C é médio de BD. Se estende o segmento AB até C, o segmento doba de tamanho. Estendendo até D, o segmento tiplica de tamanho (na dieção de B). Se B é médio de AC, então + C = 4 C = 7 e + C = 5 C = Logo C = (7, ) Se C é médio de BD, então 4 + D = 7 D = 0 e 4 + D = D = 8 Assim, as coodenadas do ponto D são (0, 8). Obsevação: este poblema possui outas espostas e outas fomas de esolve. Esta é UMA DAS possíveis espostas pois eistem infinitas fomas de estende o segmento e ele tiplica de tamanho. 4) Resolução: A mediana AM liga o vétice A ao ponto médio do lado BC. Médio de BC: m = B + C m = B + C m = + 5 m = 7 m = 4 m = Logo o ponto M tem coodenadas (4, ) Agoa vamos detemina a distância ente A e M paa enconta o compimento da mediana em questão d AM = (0 4) + (0 ) = = 5 Resposta: 5 5) Resolução: Se M é ponto médio de AB, então: A B B m B 0 A B 4 B m B 0 Assim, temos B = (0, 0) Se N é ponto médio de BC, então: 0 C C 0 C C CASSIO VIDIGAL 64 IFMG CAMPUS OURO PRETO m m B B C C Assim, temos c= (-, ) Peímeto = d AB + d AC + d BC d d d AB AC BC d AB dac dbc Resposta: 5 6) A(5; 0), B(-; ) e C(7; 4) 7) C(0; 6) ou C(-6, -6) 8) Não 9) 0) (Demonstação) ) a - e a ) (4, 0) ) (0, -5) 4) (-, -) 5) 0 0, 6) Resolução Consideemos o ponto P (, ) como sendo a inteseção ente as etas. Assim,

65 P está alinhado com AB e também com CD. Desta foma: ) Consideando os pontos A, B e P 4 9 = = = 0 ) Consideando os pontos C, D e P = = = 0 9) AB: = 0; BC: + 4 = 0; e AC: = 0 40) = 0 4) b + 4a ab = 0 4) p + q = 0 4) + (a + b + c) = 0 44) G 45) Vamos, agoa, monta um sistema com as duas equações encontadas: + 7 = 0 { = e = = 0 7) Logo o ponto de intesecção ente as etas é P(, 8) m e n 8) Resolução O ponto P tem coodenadas (, ). ) Se petence à eta AB, está alinhado 0 5 com A e B, então = 0 logo, 4 50 = 0 e, consequentemente, 7 + = 5 ) Se está a uma distância 5 da oigem, então d OA = ( 0) + ( 0) = 5 e, daí, tiamos que + = 5. Montando, agoa, um sistema com as equações de ) e ), temos: 7 + = 5 { + = 4 e = = 5 ou = e = 4, Assim, o poblema tem duas espostas: P = ( 4, ) e P = (, 4). 46) m ; ) 48) B e C 49) 6 50) e ) Coef. Angula 5) e Coef. Linea: 4 5) + + = ) 55) = 0 56) AB: = + 6 BC: = 6 57) 8 u. a. 58) =+4 MATEMÁTICA III 65 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA

66 59) 5 60) a) + 6 = 0 b) = 0 c) = 0 6) 4 0, 6) 6 5 6) (, ) 64) (, ) 65) A(0, 0); B(4, ); e C(, 4) 66) (demonstação) 67) Resolução: Em pincípio vamos obte a intesecção ente e s: 0 4e 8 0 Vamos agoa veifica se P(4, ) petence à eta t: k k ) k ou k k k 4 4k8 0 k 69) (Demonstação) 70) a 7 e a 0 0, k 7) a) 4 6 b) 8 c) 7 d) 5 5 e) f) 7) Resolução: A OX A 0 AA, A A AC A A 0,,0 A A A A B, C B C, C B B OY B 0 B BC B B 0, 0,0 B B B B C AC C C 0 C BC C C 0,, C C Peímeto: d d d C C AB AC BC 0 5 7) e s Concoentes e t Paalelas distintas e u Concoentes e v Concoentes e z Paalelas coincidentes s e t Concoentes s e u Concoentes s e v Paalelas distintas s e z Concoentes t e u Concoentes t e v Concoentes t e z Paalelas distintas u e v Concoentes u e z Concoentes v e z Concoentes 74) Você deve veica que as etas são coincidentes. 75) s: = 0 76) = 0 77) 4 = 0 78) B (4, ), C (0, 0) e D (, ) 79 Demonstação 80) a) b) 4 0 c) 5 0 d) 0 CASSIO VIDIGAL 66 IFMG CAMPUS OURO PRETO

67 8) p 8) 4 P 6 9 ', 8) P ', 84) Q, 4 85) 90º 86) 87) 4 e Links dos vídeos sugeidos nesta apostila: vidigal.ouopeto.ifmg.edu.b/alinhamento-detes-pontos 88) 4 89) a) c) 5 b) 5 d) 90) 5 9) 4 ou 8 9) 5 ou 4 9) ) ) ) 9 97) 4 98) -6 ou 6 99) 84,5 00) m 0) 48 0) Demonstação 0) Demostação REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Robeto; Matemática, Volume dois. São Paulo, Atica, 005. IEZZI, Gelson e outos; Fundamentos da Matemática Elementa, Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição, 977. MATEMÁTICA III 67 GEOM. ANALÍTICA PONTO E RETA