XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (14 de agosto de 2010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

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1 Instuções: XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Pova da Pimeia Fase (14 de agosto de 010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Peguntas A duação da pova é de 3h30min. O tempo mínimo de pemanência é de 1h30min. Nesta pova há poblemas. Cada poblema vale,0 pontos. Coloque nas Folhas de Respostas todos os dados pessoais solicitados. Todas as espostas devem se justificadas, e apesentadas somente nas Folhas de Respostas. Resoluções a tinta ou a lápis. É pemitido o uso de calculadoa. Ao temina, entegue apenas as Folhas de Respostas e leve esta Folha de Peguntas com você. PROBLEMA 1 Segundo uma pesquisa, os peços de cetos medicamentos vaiam muito ente as famácias. Veja alguns exemplos: Doga Alfa Fama Beta Rede Gama Medicamento A R$36,7 R$3, R$7,0 Medicamento B R$9,78 R$8,1 R$9,7 Medicamento C R$,36 R$,40 R$,9 Medicamento D R$33,66 R$8,68 R$,0 Como as tês famácias são muito póximas, visita cada uma delas e pesquisa os peços não gea custos adicionais elevantes. a) Analdo que compa os 4 medicamentos na mesma famácia. Nesse caso, em qual delas ele gastaá menos? b) Benaldo passaá pelas tês famácias e compaá cada medicamento onde o peço fo o meno. Nesse caso, quanto ele gastaá na compa dos 4 medicamentos? c) Qual dos emédios possui a maio difeença pecentual ente o seu peço mais baixo e o seu peço mais alto? Difeença pecentual é o aumento pecentual aplicado ao meno valo paa se obte o maio valo. PROBLEMA A Esponja de Menge é um factal de dimensão apoximadamente,73 (sim, existem objetos de dimensões facionáias!), descito pela pimeia vez em 196 pelo matemático austíaco Kal Menge. Esponja de Menge de odem 1 Figua 1 Figua Figua 3 Os passos paa a constução de uma esponja de Menge são os seguintes: i) Comece com um cubo (Figua 1); ii) Divida cada face do cubo em 9 quadados, dividindo assim o cubo em 7 cubinhos (Figua ); iii) Remova o cubinho do cento de cada face e também o cubinho cental, ficando agoa 0 cubinhos na estutua (Figua 3). Esta é uma Esponja de Menge de odem 1; Paa obte as odens seguintes das Esponjas de Menge, basta epeti o pocedimento em cada um dos cubinhos da última esponja obtida. a) A aplicação do pocedimento na esponja de odem 1 poduz a esponja de odem. Quantos cubinhos há na esponja de odem? b) Na Fança, o pofesso Michael Lucas coodenou a constução de uma escultua com bilhetes de ônibus e metô paa epesenta a Esponja de Menge de odem 3. Foam utilizados bilhetes paa poduzi a escultua. Ela ficou exposta na cidade de Nantes, onde foam instaladas unas paa ecolhe os bilhetes paa a sua ciação. Depois da pova, visite o site e veja fotos e detalhes do pojeto. Mas antes, esponda: quantos bilhetes há, em média, em cada cubinho da escultua?

2 Nível Alfa Pimeia Fase PROBLEMA 3 Num dado convencional, a soma das faces opostas é sempe 7. a) Vamos associa a cada vétice o poduto dos númeos das tês faces conectadas a ele, como mostado a segui. 48 = = = 3 6 OPM-010 b) M. Dice, matemágico, mudou a posição dos númeos das faces e obteve os seguintes podutos associados aos vétices: 6, 10, 1, 0, 36, 60, 7 e 10. Descuba o dado ciado po M. Dice: peencha as faces em banco do dado planificado com os númeos, 3, 4, e 6 (é mais fácil do que desenha bolinhas!). O 1 já foi colocado paa facilita o seu tabalho (e a nossa coeção!). Atenção: a soma dos pontos nas faces opostas não é mais necessaiamente igual a = = = 1 3 Não foam escitos dois podutos associados a dois dos vétices. Quais são esses podutos e quais são os númeos multiplicados paa obtê-los? PROBLEMA 4 Neste poblema vamos mosta uma foma de calcula o esto da divisão de um númeo inteio positivo po 7. Considee a figua ao lado, com os estos que um númeo inteio pode deixa na divisão euclidiana po 7 e algumas flechinhas petas ou bancas ente eles. Paa descobi o esto da divisão de um númeo qualque n po 7, fazemos o seguinte: patimos do zeo e seguimos o caminho indicado po x 1 flechas petas, sendo x 1 o algaismo mais à esqueda de n. Seguimos po uma flecha banca e então seguimos o caminho indicado po x flechas petas, sendo x o segundo algaismo mais à esqueda de n. Seguimos po uma flecha banca e então seguimos o caminho indicado po x 3 flechas petas, sendo x 3 o teceio algaismo mais à esqueda de n e assim po diante até segui a quantidade de flechas petas indicada pelo algaismo das unidades de n e temina em algum dos estos de 0 a 6. O númeo no qual teminamos é o esto da divisão de n po Po exemplo, paa n = 3401: Patimos do 0 e seguimos po 3 flechas petas, chegando em 3. Seguimos uma flecha banca paa e, então, seguimos po 4 flechas petas, chegando em 6. Seguimos uma flecha banca paa 4 e, então, seguimos po 0 flecha peta (ou seja, ficamos na mesma posição), continuando em 4. Seguimos uma flecha banca paa e, então, seguimos po 1 flecha peta, chegando em 6. Podemos conclui que 6 é o esto da divisão de 3401 po 7. a) Enconte, segundo a ega descita, o esto da divisão de 488 po 7. Seguindo o modelo acima, desceva os passos paa obtenção do esto. b) Enconte, segundo a ega descita, o esto da divisão de po 7. Não é necessáio desceve todos os 011 passos, mas não se esqueça de justifica a sua esposta. PROBLEMA Ao peenche uma ficha de cadasto em um site, Esmealdinho tocou a dezena com a unidade do ano de seu nascimento. No site ficou egistado que Esmealdinho tem 1 anos. Ele pecebeu imediatamente que invetendo esse númeo chegava à sua idade coeta, 1 anos. E ficou pensando se aquilo ea uma coincidência ou se, sempe que alguém comete o mesmo eo, basta invete as casas decimais paa obte a idade coeta. Nesse poblema vamos ajuda Esmealdinho a satisfaze a sua cuiosidade. Suponha que o ano de nascimento de uma pessoa seja 19AB (ou seja, A + B) e que ela tenha CD anos completados em 010 (ou seja, 10C + D). a) Moste que 110 = 10(A + C) + (B + D). b) Conclua que caso ela tenha cometido o mesmo eo de Esmealdinho (toca dezena com unidade do ano de seu nascimento) e a idade obtida fo meno do que 100 anos, então basta invete as casas decimais paa obte a sua idade coeta.

3 Instuções: XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Pova da Pimeia Fase (14 de agosto de 010) Nível β (8 o e 9 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Peguntas A duação da pova é de 3h30min. O tempo mínimo de pemanência é de 1h30min. Nesta pova há poblemas. Cada poblema vale,0 pontos. Coloque nas Folhas de Respostas todos os dados pessoais solicitados. Todas as espostas devem se justificadas, e apesentadas somente nas Folhas de Respostas. Resoluções a tinta ou a lápis. É pemitido o uso de calculadoa. Ao temina, entegue apenas as Folhas de Respostas e leve esta Folha de Peguntas com você. PROBLEMA 1 Segundo uma pesquisa, os peços de cetos medicamentos vaiam muito ente as famácias. Veja alguns exemplos: Doga Alfa Fama Beta Rede Gama Medicamento A R$36,7 R$3, R$7,0 Medicamento B R$9,78 R$8,1 R$9,7 Medicamento C R$,36 R$,40 R$,9 Medicamento D R$33,66 R$8,68 R$,0 Como as tês famácias são muito póximas, visita cada uma delas e pesquisa os peços não gea custos adicionais elevantes. a) Analdo que compa os 4 medicamentos na mesma famácia. Nesse caso, em qual delas ele gastaá menos? b) Benaldo passaá pelas tês famácias e compaá cada medicamento onde o peço fo o meno. Nesse caso, quanto ele gastaá na compa dos 4 medicamentos? c) Qual dos emédios possui a maio difeença pecentual ente o seu peço mais baixo e o seu peço mais alto? Difeença pecentual é o aumento pecentual aplicado ao meno valo paa se obte o maio valo. PROBLEMA Neste poblema vamos mosta uma foma de calcula o esto da divisão de um númeo inteio positivo po 7. Considee a figua ao lado, com os estos que um númeo inteio pode deixa na divisão euclidiana po 7 e algumas flechinhas petas ou bancas ente eles. Paa descobi o esto da divisão de um númeo qualque n po 7, fazemos o seguinte: patimos do zeo e seguimos o caminho indicado po x 1 flechas petas, sendo x 1 o algaismo mais à esqueda de n. Seguimos po uma flecha banca e então seguimos o caminho indicado po x flechas petas, sendo x o segundo algaismo mais à esqueda de n. Seguimos po uma flecha banca e então seguimos o caminho indicado po x 3 flechas petas, sendo x 3 o teceio algaismo mais à esqueda de n e assim po diante até segui a quantidade de flechas petas indicada pelo algaismo das unidades de n e temina em algum dos estos de 0 a 6. O númeo no qual teminamos é o esto da divisão de n po Po exemplo, paa n = 3401: Patimos do 0 e seguimos po 3 flechas petas, chegando em 3. Seguimos uma flecha banca paa e, então, seguimos po 4 flechas petas, chegando em 6. Seguimos uma flecha banca paa 4 e, então, seguimos po 0 flecha peta (ou seja, ficamos na mesma posição), continuando em 4. Seguimos uma flecha banca paa e, então, seguimos po 1 flecha peta, chegando em 6. Podemos conclui que 6 é o esto da divisão de 3401 po 7. a) Enconte, segundo a ega descita, o esto da divisão de 488 po 7. Seguindo o modelo acima, desceva os passos paa obtenção do esto. b) Enconte, segundo a ega descita, o esto da divisão de po 7. Não é necessáio desceve todos os 011 passos, mas não se esqueça de justifica a sua esposta.

4 Nível Beta Pimeia Fase OPM-010 PROBLEMA 3 O método chakavala foi desenvolvido na Índia paa, po exemplo, enconta soluções inteias positivas (x, y) da famosa equação de Pell x Ny = 1, com N um inteio positivo que não seja quadado pefeito. Ele segue os seguintes passos: Tome x tal que x seja o meno quadado pefeito maio que N e y = 1. Teemos, então, uma tena (x, y, k) paa a qual x Ny = k. Se k = 1, encontamos os valoes desejados de x e y. Caso contáio, consideamos a tena xm + yn x + ym m N,, tomando m inteio não negativo tal que x + ym seja múltiplo de k e k k k seja o mais póximo possível de zeo. m N Caso = 1, encontamos os valoes desejados de x e y. Caso contáio, epetimos o passo anteio. k Po exemplo, paa a equação x 11y = 1: Começamos com x = 4, y = 1 e k =. Ou seja, a tena inicial é (4, 1, ). Devemos agoa enconta m com 4 + m inteio e m =, isto é, a tena m + + m m,, = (3,1, ). m N k o mais póximo possível de zeo. Tomamos m = 1, obtendo 3 + m m Agoa, pocuamos m com inteio e o mais póximo possível de zeo. Usamos m = 3, obtendo = E uma solução paa x 11y = 1 é x = 10 e y = 3. a) Demonste que, se x Ny xm + yn x + ym m N = k, então N =, paa qualque m inteio. k k k b) Vamos agoa enconta uma solução (x, y) de x 19y = 1. A tena inicial está escita na tabela ao lado, com os valoes de m que devem se usados a cada passo. Po exemplo, com a tena inicial e m = 1, na linha seguinte, obtemos uma nova tena (4, 1, 3). Complete a tabela até enconta uma solução da equação x 19y = 1. m x y k PROBLEMA 4 A bissetiz de um ângulo é o conjunto de pontos equidistantes dos segmentos que fomam o ângulo. A pati dessa definição pode-se demonsta que as bissetizes dos ângulos de um tiângulo concoem em um único ponto chamado incento que é equidistante dos lados do tiângulo. Tal distância comum é denominada inaio, pois é possível constui uma cicunfeência, o incículo, centada no incento e com aio a qual toca os lados do tiângulo. Nesse poblema considee o tiângulo etângulo de lados, 1 e. a) Pove que a áea do tiângulo é 1. b) Calcule. c) Polongando os lados do tiângulo, como mosta a figua, obtemos seis pontos C, O, N, W, A e Y. Pove que esses seis pontos estão sobe uma cicunfeência centada no incento do tiângulo oiginal e calcule o aio dessa cicunfeência. C O 1 N 1 1 W Y A PROBLEMA Ao esolve uma equação do segundo gau, você obtém também uma fatoação. De fato, se x 1 e x são as aízes da equação do segundo gau ax + bx + c = 0, então obtemos a fatoação ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Po exemplo, como as aízes da equação x 7x + 6 = 0 são 3/ e, temos x 7x + 6 = (x 3/)(x ). Isso pode se útil paa fatoa expessões de gaus maioes: po exemplo, podemos obseva a expessão x 3 10x 10x como um caso paticula da expessão y y(x + x) + x 3, que é do segundo gau em y. A equação y (x + x)y + x 3 = 0 tem aízes y = x e y = x (veifique!); ou seja, y y(x + x) + x 3 = (y x)(y x ) e, potanto, x 3 10(x + x) = (10 x)(10 x ). a) Ao eleva os dois membos da equação 7 x = 7 x ao quadado, obtemos uma equação da foma 7 + b 7 + c = 0 (*), em que b e c dependem de x. Enconte b e c. b) Você pode encaa a equação (*) como do segundo gau na vaiável 7. Usando essa ideia, esolva a equação 7 x = 7 x.

5 Instuções: XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Pova da Pimeia Fase (14 de agosto de 010) Nível γ (1 a e a séies do Ensino Médio) Folha de Peguntas A duação da pova é de 3h30min. O tempo mínimo de pemanência é de 1h30min. Nesta pova há poblemas. Cada poblema vale,0 pontos. Coloque nas Folhas de Respostas todos os dados pessoais solicitados. Todas as espostas devem se justificadas, e apesentadas somente nas Folhas de Respostas. Resoluções a tinta ou a lápis. É pemitido o uso de calculadoa. Ao temina, entegue apenas as Folhas de Respostas e leve esta Folha de Peguntas com você. PROBLEMA 1 a( 1 e ) A distância d do Sol a um copo celeste que gia em tono dele, como o planeta Tea, pode se dada po d =, onde a é a 1 ecosθ distância média, em unidades astonômicas, e é uma constante chamada excenticidade, e θ é um ângulo ente 0 e 360º (veja a figua a segui). As constantes a e e são fonecidas na tabela paa cada planeta e também paa Plutão. d θ a e Mecúio 00,39 0,06 Vênus 00,78 0,007 Tea 01,00 0,017 Mate 01, 0,093 Júpite 0,0 0,048 Satuno 09,4 0,06 Uano 19,0 0,047 Netuno 30,10 0,009 Plutão 39,40 0,49 Plutão está sempe mais distante do Sol do que Netuno? PROBLEMA Nesse poblema deduziemos uma fómula pática que dá o númeo de anos necessáios paa doba o seu capital em um investimento estável. Considee um investimento que ende % ao ano. Note que, po causa disso, sendo C o seu investimento inicial, ele tem uma quantia de C 1 + após n anos. 100 n a) Na pática, costuma se pequeno (meno do que 10). Nesses casos, ln Utilizando a apoximação ln 0, 7, moste que é peciso apoximadamente é muito póximo de anos paa se doba o capital, ou seja, te C. Obs.: ln t é o logaitmo natual de t, ou seja, ln t = loge t, sendo e, 718 a constante de Eule. b) Ganaldo investiu R$1000 na poupança. A cadeneta de poupança endeu em 009 ceca de 7%. Supondo que tal entabilidade se mantenha, em quanto tempo Ganaldo teia um milhão de eais?. PROBLEMA 3 A bissetiz de um ângulo é o conjunto de pontos equidistantes dos segmentos que fomam o ângulo. A pati dessa definição pode-se demonsta que as bissetizes dos ângulos de um tiângulo concoem em um único ponto chamado incento que é equidistante dos lados do tiângulo. Tal distância comum é denominada inaio, pois é possível constui uma cicunfeência, o incículo, centada no incento e com aio a qual toca os lados do tiângulo. Nesse poblema considee o tiângulo etângulo de lados, 1 e. a) Pove que a áea do tiângulo é 1. b) Calcule. c) Polongando os lados do tiângulo, como mosta a figua, obtemos seis pontos C, O, N, W, A e Y. Pove que esses seis pontos estão sobe uma cicunfeência centada no incento do tiângulo oiginal e calcule o aio dessa cicunfeência. C O 1 N 1 1 W Y A

6 Nível Gama Pimeia Fase OPM-010 PROBLEMA 4 Alguns países como a Inglatea, a Alemanha e a Holanda utilizam moinhos de vento paa gea enegia a pati do vento. Todavia, nem toda a enegia fonecida pelo vento pode se apoveitada. Em 1919, o engenheio alemão Albet Betz calculou qual é a maio pocentagem possível de enegia que o vento pode fonece. Os moinhos funcionam da seguinte maneia: o vento passa po suas pás, entando com velocidade U e saindo com velocidade V, meno do que U. U +V A velocidade média do a passando pelas pás é a média de U e V, ou seja,, de modo que a massa de a que passa pelas pás U + V po unidade de tempo é m = D A, sendo A a áea das pás e D a densidade do a. A potência P geada pelo vento é a difeença ente as enegias cinéticas po unidade de tempo depois e antes do vento enta, ou seja, m U m V P =. m' U Se o vento não tivesse encontado o moinho, a sua potência seia Q =, sendo m' = D A U a massa de a que passa pela áea das pás po unidade de tempo. P Deste modo, a pocentagem de enegia do vento utilizada é 100%. Q V a) Seja x =. Esceva a pocentagem acima em função exclusivamente de x. U b) Sabe-se que a expessão acima é da foma ax 3 + bx + cx + d e é máxima quando 3ax + bx + c = 0. Detemine o valo de x que tona a pocentagem de enegia apoveitada do vento máxima e enconte essa pocentagem. PROBLEMA Um poblema clássico da Matemática Receativa é a cobetua de tabuleios com os chamados poliminós. Essa áea foi bastante desenvolvida pelo gande matemático note-ameicano Solomon W. Golomb em sua oba Polyominoes. Um dos poblemas pincipais dessa pate da Matemática é detemina se uma deteminada cobetua é possível ou não. Po exemplo, ao lado mostamos que é possível cobi um tabuleio com 4 poliminós 4 1 deixando vazia apenas a casa supeio dieita. Neste poblema vamos mosta que é impossível cobi o tabuleio com os 4 poliminós deixando vazia apenas a sua casa cental. Atibuímos à casa da i-ésima linha e j-ésima coluna o númeo i 1 ( 1) j 1 e a cada poliminó a soma dos quato númeos coespondentes às quato casas que ele ocupa na cobetua do tabuleio. Po exemplo, o poliminó (colocado na dieção vetical) mostado abaixo coesponde a ( 1) ( 1) ( 1) 1 + ( 1) 1 = 60. a) A que númeo coespondem os poliminós que são colocados na dieção hoizontal? b) Supondo que a cobetua citada acima fosse possível, qual seia a soma dos 4 númeos atibuídos aos poliminós? c) Demonste que tal cobetua não existe.