4.4 Mais da geometria analítica de retas e planos

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1 Mais da geometia analítica de etas e planos Equações da eta na foma simética Lembemos que uma eta, no planos casos acima, a foma simética é um caso paticula da equação na eta na foma geal ou no espaço, é deteminada po um ponto A e um veto v, não nulo, sendo sua equação vetoial dada po : X = A + λ v, λ R. O escala λ é chamado paâmeto da equação. f : R R ou R 3 A aplicação, que associa a cada λ eal um ponto X = A+λ v, é λ f(λ) = A + λ v chamada paametização da eta e evidencia o caáte dinâmico da tajetóia etilílea pecoida po um ponto X da eta, dependendo do paâmeto λ. As equações paaméticas da eta que passa po A = (x 0,y 0,z 0 ) e tem a dieção de v = (a,b,c) (0,0,0) (no caso de R 3 ) expessam a dependência das coodenadas de X = (x,y,z) da eta, em elação ao paâmeto em questão: x = x 0 + λa y = y 0 + λb λ R z = z 0 + c Se a, b e c foem todos não nulos, então em cada uma das equações paaméticas podemos isola o paâmeto λ coespondente ao ponto (x,y,z): λ = x x 0 = y y 0 = z z 0 a b c As expessões dento do etângulo acima não contém λ e expessam as elações que existem ente as coodenadas de X, independente do paâmeto. São chamadas equações da eta na foma simética. Se a = 0, b 0 e c 0, ficamos com as equações x = x 0, y y 0 b eta está contida num plano paalelo ao plano yz dado po x = x 0. = z z 0 c e fica clao que a Se a = 0 e b = 0 (neste caso, somente c 0), ficamos com as equações x = x 0, y = y 0 como as equações na foma simética. Faça como execício as análises dos outos casos: (i) somente b = 0, (ii) somente c = 0, (iii)

2 08 somente a 0, (iv) somente b 0. Nesta ilustação obtida no Maple, a eta foi y : x = x 0 dada pela equação na foma simética y : x =, = z, e visualizada na 3 egião 0 x 4, (x,y,z) R 3 y 4, z 4 A eta é a intesecção do plano : x =, paalelo ao plano yz, y com o plano : = z 3. Agoa, consideemos o caso em R : Sejam A = (x 0,y 0 ), v = (a,b) (0,0) e a eta (A,v) dada x = x 0 + ta em equações paaméticas, t R. y = y 0 + tb Consideando a 0 e b 0, temos a equação simética x x 0 b = y y 0 b, donde y y 0 = b a (x x 0), que pode se escita na foma y = m(x x 0 ) + y 0, onde m = b, ou ainda, y = mx + n, a onde n = mx 0 + y 0. y A m = tg θ, onde θ é o ângulo ente e o eixo positivo Ox. n b v n é a odenada do ponto de intesecção da eta como o eixo Oy. Temos a conhecida fómula θ ı a x da eta na foma y = mx + n, onde m é chamado coeficiente angula de e n é chamado coeficiente linea de.

3 09 Quando a = 0, a equação da eta na foma simética seá simplesmente x = x 0. Analogamente, se b = 0, a equação na foma simética é y = y 0. Em qualque dos casos acima, a foma simética é um caso paticula da equação na eta na foma geal, da foma αx + βy + γ = 0, onde w = (α,β) é o veto nomal á eta. osição elativa ente dois planos A pati da equação geal de um plano no espaço, : ax + by + cz + d = 0, onde = (a,b,c) é o veto nomal ao plano, o estudo das posições elativas ente dois planos se tona mais ico. Consideemos os planos : a x + b y + c z + d = 0 e : a x + b y + c z + d = 0.. O plano é paalelo ao plano se e somente se é vazio. Isto é, o sistema linea a x + b y + c z + d = 0 é impossível. Neste caso, posto(a)= e posto([a B])=. a x + b y + c z + d = 0 Geometicamente, isto ocoe quando { = (a,b,c ), = (a,b,c )} é l.d. e, potanto, = k paa um escala k 0, mas d kd. Nesta ilustação, os planos são : y + z = y x 0 e : x + z = 4. = (0,,) é paalelo a = (0,,) com =, mas 4. Logo não existe (x,y,z) satisfazendo as duas equações ao mesmo tempo.. é coincidente com se todos os pontos de também são pontos de e vice-vesa. Neste a x + b y + c z + d = 0 caso, o sistema é possível e indeteminado, com posto(a)= e a x + b y + c z + d = 0 posto([a B])=, e potanto, o gau de libedade é, que é a dimensão de um plano. Geometicamente, {, } é l.d., = k e além disso, d = kd.

4 0 3. intecepta segundo uma eta. Neste caso {, } é l.i. e o sistema a x + b y + c z + d = 0 é possível e a x + b y + c z + d = 0 indeteminado, com gau de libedade, ou seja, existe a escolha de um paâmeto = v escala paa desceve o conjunto de soluções, e potanto esse conjunto é uma eta. Já vimos que a equação vetoial (ou as paaméticas) da eta apaece natualmente quando aplicamos o método de eliminação de Gauss paa esolve o sistema. Aqui apesentamos uma outa maneia geometicamente inteessante paa o poblema de detemina, que é obseva que o veto dieção v 0 de = deve se otogonal a e a simultaneamente. De fato, po v se um veto contido em, segue que v e po v se um veto de, segue que v. Logo v e são paalelos. Assim, conhecido um ponto, solução do sistema, a equação vetoial seá conhecida: : X = + t( ), t R. o exemplo, os planos da ilustação, : 3x z = 0 e : x + z = 0 têm o ponto = (0,0,0) na intesecção. Como = (3,0, ) e = (,0,), temos que v = (0,,0). odemos toma v = (0,,0. Então : X = (0,0,0) + t(0,,0), t R, ou seja, neste caso é o eixo Oy. osições elativas ente etas no espaço, com poduto vetoial As posições elativas ente etas no espaço também podem se analisadas com o uso do poduto vetoial. Sejam : X = A + λ v, λ R e : X = B + µ v, µ R as duas etas.

5 . Se v v = 0 temos que v e v são l.d., e potanto, as etas são paalelas ou coincidentes. Se além disso, A (ou B ), então são coincidentes. É clao que se v e v são conhecidos em coodenadas, é muito mais fácil ve se são l.d ou l.i. veificando se são múltiplos ou não. Quando as etas são paalelas, temos também que { v, AB} é l.i. O plano deteminado po A, v e AB é o plano contendo ambas as etas.. Se v v 0 as etas têm dieções l.i. e potanto, são concoentes ou evesas. Se ainda [ v, v, AB] = 0, então AB é coplana com v e v, donde as etas são concoentes. Caso contáio, { v, v, AB} é l.i. e as etas são evesas. Se as etas são concoentes e =, o plano X = + λ v + µ v é o plano contendo as etas. O veto nomal a esse plano é v v. Se as etas são evesas, o plano v v : X = A + t v + s v, t,s R, contendo e paalelo a, é paalelo ao plano v A : X = B + t v + s v, t,s R, contendo e paalelo a. Ambos os planos têm veto nomal v v. Obseve que não existe v v B plano algum contendo as duas etas v simultaneamente. Execício : Enconta a equação da eta pependicula a duas etas evesas. Execício : Enconta a equação do plano que contém e é otogonal ao plano. Enconta a intesecção deste plano com. Qual é a posição elativa ente e esta eta intesecção? Ângulo ente dois planos Consideemos dois planos : a x + b y + c z + d = 0 e : a x + b y + c z + d = 0. Os vetoes = (a,b,c ) e = (a,b,c ) são espectivamente os vetoes nomais de e.

6 Já vimos que se {, } é l.d. os planos são paalelos ou coincidentes. Quando são coincidentes, dizemos que o ângulo ente e é zeo. Quando são paalelos, não definimos o ângulo ente e. Consideemos então o caso em que {, } é l.i. e potanto a intesecção é uma eta, e tem sentido considea os ângulos que se fomam na intesecção, chamados ângulos diedais, como na figua. Obsevemos que, po um ponto foa dos planos, podemos taça etas pependiculaes aos planos e, que inteceptam os planos nos pontos Q e R, espectivamente. Veja a ilustação ao lado. Os pontos, Q e R deteminam um plano que é otogonal a e simultaneamente (um veto nomal deste plano Q S R é ) e que intecepta = no ponto S, fomando um quadiláteo QSR. Neste quadiláteo, os ângulos em R e Q são etos po constução, e os ângulos em S e são suplementaes e iguais aos ângulos diedais que se fomam ente os planos (confia na figua). Definimos como ângulo ente os planos e, o meno dos suplementaes, que é exatamente o ângulo ente as etas nomais, (,Q) e (,R). Logo, (, ) = accos, sendo o ângulo ente 0 e adianos. Em paticula, se, temos que. Ângulo ente uma eta e um plano Consideemos uma eta dada po : X = A + t v, t R, e um plano : ax + by + cz + d = 0, com veto nomal = (a,b,c).. Se { v,} fo l.d., então a eta é pependicula ao plano, e potanto o ângulo ente e é eto (90 gaus ou adianos). (Obs: Não confundi a notação utilizada ao nome do plano

7 3 e o númeo eal usada na medição de ângulos!). { v,} fo l.i, há tês casos a considea: (a) v = 0, isto é, v, e A /. Neste caso, a eta é paalela ao plano já que a dieção de v é uma dieção do plano. Nenhum ponto da eta petence ao plano, isto é, a intesecção é vazia. Neste caso, não há ângulo a considea. (b) v = 0, e A. Como v é um veto do plano, estaá inteiamente contida em. Neste caso, o ângulo ente a eta e o plano é zeo. (c) v 0. Neste caso a eta é tansvesal ao plano, inteceptando-o num único ponto. odemos considea então um plano α contendo a eta e é pependicula ao v α plano dado, geado po { v,} e que passa pelo ponto. A eta s de intesecção de α com o plano é chamada pojeção otogonal de sobe o plano. s O ângulo ente s e em é definido como o ângulo ente a eta e o plano. ela pópia constução, este ângulo é complementa do ângulo agudo ente as dieções de v e de. Logo, (,) = accos v v = acsen v v. Distâncias. Distância ente ponto e plano. A distância de um ponto a um plano é o compimento do segmento Q, com Q e Q. O ponto Q é a intesecção da eta nomal a que passa po, com o plano.

8 4 dist(, ) Q A oj A Também se pode obte a distância de a escolhendo qualque ponto A e pojetanto otogonalmente A sobe a nomal do plano e tomando o compimento da pojeção.. Distância ente eta e plano. Se algum ponto da eta estive também no plano, a distância é zeo. Se a eta fo paalela ao plano, a distância da eta ao plano é a distância de qualque um de seus pontos ao plano. Q 3. Distância ente dois planos. A distância ente dois planos é zeo se eles se inteceptam ou são coincidentes. A distância ente dois planos paalelos é a distância de qualque ponto de um dos planos ao outo plano. Q 4. Distância ente ponto e eta no espaço.

9 5 Dada uma eta : X = A + t v, t R, e um ponto = (x 0,y 0,z 0 ) foa de, a distância de a é o compimento do segmento Q pependicula a, com Q. ode-se detemina Q como a intesecção de com o plano pependicula a passando po, de equação geal a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0. Daí, basta calcula Q. Mas também pode-se pojeta o veto A Q v A sobe o veto v da eta, obtendo um veto v, donde o veto A v seá otogonal a e seu compimento é a distância pocuada. 5. Distância ente duas etas. Sejam as etas : X = A + t v, t R, e : X = B + s v, s R. se e foem duas etas coincidentes ou duas etas concoentes, a distância ente elas é zeo. Se e são duas etas paalelas, a distância ente elas é o compimento de um segmento Q, onde, Q e Q pependicula às duas etas. aa se obte esta distância, basta escolhe qualque ponto e calcula a distância de a. dist(, )=dist(, ) Q Também no caso de etas e evesas, a distância é dada como o compimento do segmento Q,

10 6 onde, Q e Q é pependicula às duas etas. O plano α : X = A + t v + s v v é um plano contendo e a dieção nomal às duas etas. Logo o segmento Q pocuado está em α e potanto, Q só pode se α. Fica como execício enconta. v v A v v v α B Q v d(, Essa distância pode se obtida de divesas maneias sem necessaiamente obte-se os pontos e Q. Os planos paalelos e contendo e espectivamente, como na figua, distam ente si dist(, ) = dist(, ). Mas tendo o plano contendo e paalelo a, a distância de a é a distância deste plano a. Ou ainda, tomando dois pontos quaisque A e B. e pojetando otogonalmente o veto AB sobe o veto v v,obtemos um veto otogonal às duas etas e de compimento igual à distância. Em todos os casos, a distância ente as etas e é o meno compimento XY, onde X e Y. E esse mínimo ocoe no segmento Q pependicula às duas etas. Simético de um ponto em elação a um plano o /, considee a eta pependicula a que o intecepta num único ponto Q. O ponto simético a Q em elação a é o ponto sobe esta eta que satisfaz Q = Q. Que estatégia você usaia paa enconta o ponto? Q