Proposta de teste de avaliação

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1 Matemática 11. N DE ESLRIDDE Duação: 90 minutos Data:

2 adeno 1 (é pemitido o uso de calculadoa) Na esposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção coeta. Esceva, na olha de espostas, o númeo do item e a leta que identiicam a opção escolhida. 1. Na igua estão epesentadas, num plano munido de um eeencial otonomado: a cicuneência de cento deinida pela equação ( ) ( ) = 0 ; a eta de equação + 7 = 0 ; o ponto P, ponto da cicuneência com abcissa 1 e odenada negativa Detemine uma equação da eta s que passa no ponto P e é pependicula à eta. P 1.. eta s é tangente à cicuneência? Justiique Detemine a amplitude do ângulo P, sendo o ponto a imagem do ponto na eleão de eio. pesente o esultado em gaus, aedondado às décimas Seja α a inclinação da eta, em adianos. Qual é o valo de α, aedondado às centésimas? (),03 () 4,5 () 1,11 (D),19

3 . Na igua está epesentada uma cicuneência de cento e aio > 0, bem como uma coda. aco coespondente à coda tem amplitude θ, em adianos, com 0 < θ <..1. Moste que a áea do tiângulo [ ] é dada, θ em unção de θ, po ( ) sin cos θ = θ θ... Justiique que a áea do seto cicula deinido pelo ângulo é dada po S ( θ ) θ = e, usando a calculadoa gáica, detemine o valo de θ paa o qual a áea deste seto cicula é o dobo da áea do tiângulo [ ]. Na sua esposta deve: esceve a equação que taduz o poblema; epoduzi o gáico da unção, ou os gáicos das unções, que tive necessidade de visualiza na calculadoa, devidamente identiicado(s), bem como o espetivo eeencial. indica o valo de θ, em adianos, com aedondamento às centésimas. 3. Na igua está epesentado o tapézio etângulo [ D ]. Sabe-se que = 10 cm e D = 40. D Então, pode aima-se que: () = 4 cm () = 6 cm () D = 6 cm (D) D = 4 cm Fim do adeno 1 TÇÕES (adeno 1) Item otação (em pontos) Fomuláio α Áea de um seto cicula: (α amplitude, em adianos, do ângulo ao cento; aio) 3

4 adeno (não é pemitido o uso de calculadoa) Na esposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção coeta. Esceva, na olha de espostas, o númeo do item e a leta que identiicam a opção escolhida. 4. No intevalo [ [ 0,, quantas soluções tem a equação tan = cos? () () () (D) Nenhuma Duas Tês Quato =. 5. onsidee a unção, de domínio R, deinidas po ( ) 1 sin 5.1. Pove que é uma unção peiódica de peíodo Detemina a epessão geal das soluções da equação ( ) ( ) = Na igua está epesentada pate do gáico da unção bem como o tiângulo [ ]. 4 Sabe-se que: e são pontos de inteseção do gáico de com o eio das abcissas; a odenada do ponto é igual ao máimo de. Detemine a áea do tiângulo [ ]. 4

5 6. Moste que, paa todos os valoes eais de θ paa os quais a epessão tem signiicado, cosθ sinθ 1 = cos sin cos sin 1 sin θ θ θ + θ θ 7. onsidee, paa um ceto númeo eal a, dieente de zeo, as etas e s deinidas num eeencial otonomado pelas equações: ( ) ( ) ( ) :, =,1 + k a,1 a, k R s : a + 1 = 0 Sabendo que as etas e s são pependiculaes, qual é o valo de a? () () 1 () 1 (D) 8. Seja α a inclinação da eta deinida pala equação = +. Qual é o valo de cosα? () 3 () 3 3 () 6 (D) 6 3 Fim da pova TÇÕES (adeno ) Item otação (em pontos) TTL (adeno1 + adeno) 00 5

6 Poposta de esolução adeno 1 1. ( 3,1) é o cento da cicuneência ( ) ( ) = 0. : + 7 = 0 = + 7 ( 1, ) P, com < 0, é um ponto da cicuneência P( 1, ) petence à cicuneência ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 omo 0 ( ) ( ) = 0 1 = 16 1 = 4 1 = 4 = 3 = 5 <, temos ( 1, 3) P. Declive da eta : m = Declive da eta omo P( 1, 3) s : m s 1 1 = = m s, vem = s : + 3 = ( + 1) = + 3 = 1 5 s : = P 1.. ( 3,1) e P ( 1, 3) Declive da eta P: m P m P 1 ms = = 1 Logo, como m m 1 P s = = = 1+ 3 =, a eta s é pependicula ao aio [ ] Potanto, a eta s é tangente à cicuneência no ponto P. P, no ponto P. 6

7 1.3. P ( 1, 3), ( 3,1) e ( 3,1) P = P = = P = P = = ( P P cos P, P ) = P P P P = = + = ( 3,1) ( 1, 3) ( 4, 4) ( 3,1) ( 1, 3) (, 4) ( 4, 4) (, 4) P = = 4 = 4 ( ) P = + 4 = = 0 = 4 5 = 5 ( P P 8 1 cos P, P ) = = = P P Se ( 1 cos P, P ) = 10, então P 71,6º m = tanα = α, α = actan ( ) α,03 ad Resposta: ()..1. Seja M o ponto médio de [ ]. omo o tiângulo [ ] Então, M é isósceles, [ M ] [ ]. = θ θ M M M = cosθ M = cosθ = sinθ M = sinθ M M M [ ] = = = sinθ cosθ ( ) = sin cos θ θ θ 7

8 α.. áea do seto cicula é dada po Logo, S ( θ ) θ = = θ. Petendemos esolve gaicamente a equação ( ) ( ) com α = θ. 0 = = sin cos S θ θ θ θ θ θ = sinθ cosθ θ sinθ cosθ = 0 Deteminando, com ecuso à calculadoa, o zeo da unção 1 = sin cos, obteve-se o esultado seguinte. 0,95 áea do seto cicula é o dobo da áea do tiângulo [ ] paa θ 0,95 ad. 3. Seja E a pojeção otogonal de D na eta. Então D = E. D = 40 E = 40 = 10 cm D 10 E = 40 E = 4 E E + E = 4 + E = 10 E = 6 D = E = 6 cm Resposta: () adeno = tan 4. Esboçando, no intevalo [ 0, [, os gáicos das unções = cos tan e cos, podemos conclui que a equação tan = cos 3 tem, neste intevalo, duas soluções. Resposta: () 8

9 5. = ; 5.1. ( ) 1 sin Se D, então 4 D ( ) D =R +, poque D =R = 1 sin = 1 sin + = = 1 sin + = = 1 sin = ( ) D, + 4 D e ( + 4 ) = ( ). ( unção seno é peiódica de peíodo.) Logo, é uma unção peiódica de peíodo ( ) ( ) = 1 sin = 1 sin sin = sin ( ) sin = sin( ) = + k = + k, k Z = + 4k = + 4k, k Z = 4k 3 = + 4k, k Z 4k = 4k = +, k Z s abcissas de e são os zeos de em ] 0, 4 [. ( ) 0 ] 0, 4[ = 1 sin ] 0, [ 1 sin = ] 0, [ = = = = = = = =

10 Máimo de : Se R, sin toma todos os valoes do intevalo [ 1,1 ]. 1 sin 1 sin 1 1+ sin 1+ 1 ( ) 3 máimo de é igual a 3. Logo, a altua, h, do tiângulo [ ] é igual a 3. [ ] 4 3 h 3 4 = = = = 6. cosθ sinθ = cosθ sinθ cosθ + sinθ ( + ) ( ) ( cosθ sinθ )( cosθ + sinθ ) cosθ cosθ sinθ sinθ cosθ sinθ = = cos θ + cosθ sinθ sinθ cosθ + sin θ = = cos θ sin θ cos θ + sin θ 1 = = 1 sin θ sin θ 1 sin θ 7. s : a + 1 = 0 = a + 1 declive da eta s é igual a a. Logo, = ( 1, ) = ( a,1 a ) é um veto dieto da eta. e s são pependiculaes s = 0 ( ) ( ) ( ) a,1 a 1, a = 0 a + 1 a a = 0 s a é um veto dieto da eta s. ( ) a a a a a a a + = 0 = 0 = 0 omo a 0, vem a =. Resposta: (D) 8. tanα = declive de tanα =, 0 < α < : = + ( ) tan α = 1+ = = 3 cos α = cos α cos α cos α 3 omo cosα > 0, vem Resposta: () cosα = = =