singular GEOMETRIA ANALÍTICA 2º E.M. Tarde Colégio Técnico Noturno Profª Liana (Lista de exercícios elaborada pelo professor DANRLEY)

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1 1 singula GEOMETRIA ANALÍTICA 2º E.M. Tade Colégio Técnico Notuno Pofª Liana (Lista de eecícios elaboada pelo pofesso DANRLEY)

2 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 2 1) Indique a que quadante petence cada ponto: a) A(-5,2) b) B(7,-3) c) C(1/3,-1/2) d) D( 2, 3) e) E(-1,-1) f) F(-2/5, 5) g) G( 17,-91) h) H(-19,97) i) I(-80,-90) j) J(2/3,-3/2) 2) Localize no sistema catesiano otogonal os pontos: a) A(-2,1) b) B(2,-1) c) C(2,2) d) D(0,3) e) E(0,0) f) F(-1,0) g) G(0,-3) h) H(-3,-3) i) I( 2,0) j) J(2,-2) 3) Veifique paa quais valoes de m o ponto P(-2,m) petence ao local indicado: a) eio das abscissas b) eio das odenadas c) bissetiz dos quadantes ímpaes d) bissetiz dos quadantes paes e) 3º- quadante DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 4) Calcule a distância ente os pontos dados: a) A(-3,2) e B(1,-1) b) C(22,13) e D(7,5) c) M(11,7) e N(5,13) R:6 2 d) P(5,0) e Q(0,6) R: 61 5) Calcule o compimento do segmento AB : A(5,-8) e B(12,-32). R:25 6) Calcule o peímeto do tiângulo de vétices A, B e C, em cada caso : a) A(0,0), B(-4,0) e C(0,-3) b) A(1,2), B(2,1) e C(3,-1) c) A(0,-1), B(-2,1) e C(1,0) R:12 R: ) Os pontos A(2,-3) e B(5,0) são etemidades da diagonal de um quadado. Calcule o lado desse quadado. 8) Dados os pontos A(,1), B(2,3) e C(4,5), detemine a abscissa paa que A seja eqüidistante de B e C. 9) Detemine as coodenadas do ponto P, petencente ao eio das abscissas, sabendo que P eqüidista dos pontos A(1,2) e B(4,4). R:(9/2,0) 10) Enconte as coodenadas do ponto P, petencente ao eio das odenadas, sabendo que P eqüidista dos pontos A(1,3) e B(3,4). 11) Detemine as coodenadas do ponto da bissetiz dos quadantes ímpaes que eqüidista dos pontos A(2,-3) e B(-4,1). 12) Detemine as coodenadas do ponto da bissetiz dos quadantes paes que eqüidista dos pontos A(1,4) e B(5,2).

3 3 13) Paa que valo de k o ponto P(k,5) dista 4 do ponto Q(3,1)? 14) Classifique cada tiângulo ABC como isósceles, eqüiláteo ou escaleno: a) A(4,3), B(2,8) e C(3,5) b) A(0,1), B( 3,2) e C(0,3) c) ) A(-1,1), B(3,-1) e C(3,4) 15) Moste que o tiângulo de vétices A(0,7), B(4,4) e C(7,8) é etângulo. 16) Classifique cada tiângulo como etângulo, acutângulo ou obtusângulo: a) A(1,3), B(7,-1) e C(7,9) (A) b) A(-2,1), B(2,7) e C(11,1) (R) c) A(0,0), B(4,6) e C(18,0) (O) 17) Calcule a distância ente o ponto P(3,-4) e o ponto P, simético de P em elação à oigem do sistema de coodenadas. 18) Detemina as coodenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A(1,7) e B(11,3). 19) Uma das etemidades de um segmento AB é o ponto A(3,2). Sendo M(-1,3) o ponto médio desse segmento, detemine as coodenadas da outa etemidade do segmento. B(-5,4) 20) Os vétices de um tiângulo são os pontos A(0,4),B(2,-6) e C(-4,2). Calcula os compimentos das Medianas do tiângulo. 21) Num paalelogamo ABCD dois vétices consecutivos são os pontos A(2,3) e B(6,4). Seja M(1,-2) o ponto de enconto das diagonais AC e BD do paalelogamo. Sabendo que as diagonais no paalelogamo cotam-se mutuamente ao meio, detemine as coodenadas dos vétices C e D desse paalelogamo. BARICENTRO, ÁREA DO TRIÂNGULO E POLÍGONOS 22) Obtenha as coodenadas do baicento do tiângulo ABC: a) A(-2,-5), B(-3,4) e C(3,3) b) A(5,4), B(6,-4) e C(-2,-3) G(3,-1) c) A(-7,3), B(-8,-4) e C(3,-2) G(-4,-1) d) A(0,4), B(8,0) e C(-2,-2) G(2,2/3) 23) O baicento de um tiângulo é G(5,1) e dois de seus vétices são A(2,4) e B(3,7). Detemine o teceio vétice. C(10,-8) 24) Calcule a áea S do tiângulo de vétices A, B e C, em cada caso: a) A(-1,1), B(1,3) e C(4,0) b) A(0,3), B(-2,-2) e C( 2,-1) c) A(-3,3), B(3,2) e C( 2,-2) d) A(0,-1), B(-4,-1) e C(-7,0) e) A(0,0), B(0,7) e C(6,0) 25) Detemine o valo de Y paa que o tiângulo de vétices A(5,Y), B(-4,3) e C(-1,-2) tenha áea igual a 25.

4 4 ALINHAMENTO DE 3 PONTOS 26) Veifique em cada caso, se estão ou não estão alinhados os pontos A, B e C: a) A(0,2), B(1,0) e C(2,-3) (N) b) A(0,4), B(1,3) e C(3,5) (N) c) A(-1,-6), B(4,-1) e C(9,4) (S) d) A(1,-1), B(2,1) e C(4,6) e) A(1,2), B(2,3) e C(5,6) 27) Detemine o valo de X paa que os pontos A, B e C sejam colineaes: a) A(X,-1), B(4,0) e C(-3,1) R:11 b) A(-1,1), B(-3,X) e C(2,2) R: 1/3 c) A(1,-3), B(-4,4) e C(X,3) d) A(0,X), B(2,-1) e C(6,2) R: -5/2 28) Detemine paa que valoes de P eiste o tiângulo ABC: a) A(p,3), B(1,6) e C(-1,1) b) A(0,2), B(3,0) e C(p,3) c) A(p,-1), B(4,9) e C(p+1,4) R:p -1/5 R: p 2 29) Sabendo que os pontos A, B e C estão alinhados, detemine o valo de m em função de n, em cada caso: a) A(m,n), B(2,3) e C(-1,5) b) A(1,4), B(m,n) e C(5,3) c) A(-3,-2), B(2,1) e C(m,n) R: m= -4n+17 R: m=(5/3)n+1/3 30) Obtenha o ponto em que a eta AB cota o eio das abscissas: A(2,3) e B(3,2) R:P(5,0) 31) Obtenha o ponto em que a eta AB cota o eio das odenadas : A(1,2) e B(2,1) R:P(0,3) 32) Obtenha o ponto em que a eta AB cota a bissetiz dos quadantes ímpaes: A(-1,3) e B(3,2) 33) Obtenha o ponto em que a eta AB cota a bissetiz dos quadantes paes: A(1,4) e B(-2,-3) b 34) Obtenha o ponto de intesecção das etas AB e CD : A(0,1), B(1,0), C(0,0) e D(2,-4) EQUAÇÃO GERAL DA RETA 35) Detemine em cada caso uma equação geal da eta AB : a) A(3,5) e B(4,7) b) A(-3,2) e B(2,-3) c) A(0,3) e B(-2,-4) d) A(0,0) e B(3,-4) R: -2+-1=0 R:++1=0 e) A(1,1/2) e B(2/3,-2) R: =0 36) Detemine, paa cada gáfico, uma equação geal da eta nele epesentada: a) b)

5 5 c) d) ) Obtenha uma equação geal paa cada uma das etas-supote dos lados do tiângulo de vétices A(-3,1), B(2,2) e C(1,0). AB:-5+8=0 ; AC:+4-1=0 e BC:2--2=0 38) Dada a eta de equação +3-5=0, veifique se cada ponto petence à eta : a) A(-5,0) b) B(2,1) c) C(1,2) (N) d) D(0,5/3) (P) e) E(4,1/3) (P) 39) Dada a eta () 2-3+6=0, detemine : a) o ponto A de abscissa 2 A(-2,2/3) b) o ponto B onde intecepta o eio X B(-3,0) c) o ponto C onde intecepta o eio Y C(0,2) d) o ponto D onde intecepta a bissetiz dos quadantes ímpaes D(6,6) e) o ponto E onde intecepta a bissetiz dos quadantes paes. 40) Obtenha a áea do tiângulo deteminado pela oigem e pelas intesecções da eta () =0 com os eios catesianos. 41) Obtenha o ponto de intesecção das etas e s em cada caso : a) () --3 = 0 b) () 2-+4 = 0 (s) = 0 (s) = 0 R:P(8,5) R:P(-1,2)

6 6 Coeficiente Angula DA RETA 42) Calcule o coeficiente angula da eta : a) b) c) d) )O cescimento de uma cultua biológica passa de 8 cm² paa 10 cm², enquanto o tempo aumenta de 1 paa 2 hoas. Se a taa média de cescimento é epesentada pelo coeficiente angula da eta que passa po esses dois pontos, detemine essa taa média de cescimento. R:m=2 44) Dados os pontos A e B, calcule o coeficiente angula da eta AB : a) A(3,-4) e B(6,-1) b) A(2,-1) e B(3,-4) c) A(-5,3) e B(-7,4) d) A(1,8) e B(1,5) R:1 R: -3 e) A(-3,2) e B(2,2) 45) Calcule a inclinação da eta AB em cada caso : a) A(5,-2) e B(4,-1) b) A(0,0) e B(2,-2 3) c) A(4,2) e B(5,3) d) A(-2,9) e B(5,9) R:α=135º R:α=120º e) A(3,-2) e B(3,7) 46) Dado o ponto A(1,3), obtenha as coodenadas do ponto B(k,2k-1) de modo que o coeficiente angula de AB seja -3. R:B(7/5,9/5) 47) Dado o ponto A(-2,1), obtenha as coodenadas do ponto B(2k,k+1) de modo que a inclinação da eta AB seja 135 gaus. 48) Obtenha o coeficiente angula de cada uma das etas : a) 3+4=7 b) -5+2 = 3 c) 2-7+5=0 d) -=0 e) =0 R: - ¾ R:2/5

7 7 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA e EQUAÇÂO GERAL DA RETA 49) Obtenha a equação geal (utilizando-se da fundamental) da eta de coeficiente angula m e que passa pelo ponto A : a) m=-4 e A(3,2) b) m=2 e A(-2,3) c) m=1/3 e A(-3,0) d) m=5 e A(0,-2) R:2-+7=0 R:-3+3=0 R:5--2=0 50) Obtenha a equação geal (utilizando a fundamental) da eta de inclinação alfa e que passa pelo ponto A : a) alfa=30 gaus e A(1,3) b) alfa=120 gaus e A(-1,5) R: =0 c) alfa=135 gaus e A(-2,-2) d) alfa=150 gaus e A(5,-3) R:++4=0 51) Detemine a equação da eta que passa pelo ponto A : a) b) 3 A 6 A c) d) 45 A A 60 52) Obtenha a equação geal (utilizando a fundamental) da eta AB : a) A(-3,4) e B(3,-2) b) A(-2,-1) e B(3,2) c) A(0,0) e B(-5,5) d) A(5,2) e B(9,2) R:+-1=0 R:3-5+1=0 e) A(-3,-2) e B(-5,-2)

8 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 8 53) Obtenha a equação eduzida das etas: a) 3-2+1=0 b) 4-2+3=0 c) ++1=0 d) 2+3=0 e) 2-6=0 R: =2+3/2 R:=--1 R:= - (2/3) R:=3 54) Obtenha uma equação geal das etas: a) = 3-2 b) = - +5 c) =- 3-1 d) =-4 e) =7 R:3--2=0 R:+-5=0 55) Obtenha o coeficiente angula de cada uma das etas : a) = 3-4 b) = 3 7 c) = 56) Obtenha a equação eduzida das etas : 7 6 d) = e) = 2 a) b) c) d)

9 57) Detemina a equação eduzida das etas em cada caso : a) b) c) d) R:= --4 R: =(5/3)-5 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA 58) Obtenha a equação segmentáia da eta que passa pelos pontos P e Q : a) P(7,0) e Q(0,4) b) P(-4,0) e Q(0,9) c) P(-6,0) e Q(0,-7) d) P(8,0) e Q(0,-6) 59) Obtenha a equação segmentáia da eta epesentada em cada um dos gáficos : a) b)

10 10 c) d) ) Esceva a equação segmentáia de cada eta : a) 2-5+4=0 b) +3-2=0 c) 3-+5=0 d) 2+2-3=0 61) Obtenha a equação segmentáia de cada eta : a) = 2-1 b) = 3+2 c)= - +5 d)= ) Obtenha a equação segmentáia da eta que passa pelos pontos A e B : a) A(2,3) e B(3,5) b) A(5,-2) e B(4,0) c) A(-3,-1) e B(-1,-2) d) A(5,-3) e B(3,-5) R:/4+/8=1 63) Obtenha a equação segmentáia da eta epesentada em cada um dos gáficos : a) b) R:/6+/6=1 c) d)

11 11 64) Esceva uma equação geal paa cada eta dada : a) / 5 + / 6 = 1 b) / 12 + / 3 = 1 c) / / 6 = 1 R:6+5-30=0 R:3-4+24=0 65) Obtenha a equação eduzida paa cada eta dada ; a) / / 7 = 1 b) / 6 + / -4 = 1 c) / 15 + / 10 = 1 R: =(7/2)+7 R:=(2/3)-4 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS Retas Paalelas e Retas Concoentes: 66) Detemine a posição elativa das etas e s : a) () = b) () = 3+2 c) () = - +7 d) () = 5 (s) = (s) = 3-2 (s) = - (s) = 4 R:paalelas R:paalelas 67) Classifique a posição elativa das etas e s : a) () 3+5+7=0 b) () 2-5+1=0 c) () -+2=0 d) () -2=0 e) () -1=0 (s) =0 (s) =0 (s) 2+-1=0 (s) -2=0 (s) +1=0 68) Detemine m paa que as etas e s sejam paalelas : a) () =(m-1)+9 b) () =m+2 c) () m--4=0 d) () - +2+m=0 (s) =3-2 (s) =(2-m)-3 (s) 2++5=0 (s) 2-4-3=0 R:m=4 R:m=1 69) Em cada caso, obtenha a equação da eta que passa pelo ponto P e é paalela à eta s : a) P(1,2) e (s) 2-+5=0 b) P(-3,-3) e (s) 2-4+7=0 R:-2-3=0 c) P(-3,4) e (s) +2=0 d) P(5,-2) e (s) -6=0 70) Obtenha a equação eduzida da eta que passa pelo ponto Q(0,-2) e é paalela à bissetiz dos quadantes ímpaes. 71) Obtenha a equação eduzida da eta que passa pelo ponto Q(0,4) e é paalela à bissetiz dos quadantes paes. R:+-4=0 72) As etas e s de equações +-4=0 e 2-+1=0, espectivamente, se inteceptam num ponto P. Detemina esse ponto. R:P(1,3) 73) (FUVEST) As etas de equações 4-3+a =0, 5-+9 =0 e = 0,se inteceptam em um ponto.detemine o ponto de intesecção e o valo de a.

12 12 74) Detemine a equação geal(utilizando a fundamental) da eta, sabendo que ela é paalela à eta s : a) b) s s R:+-5=0 R: =0 c) d) s s Retas Pependiculaes: 75) Veifique em cada caso, se as etas e s são ou não são pependiculaes : a) () = b)() = 2/3+1 c)() = +8 d)() = 3-2 (s) = /2-3 (s) = 3/2-1 (s) = - +7 (s) = - 1/3 76) Veifique, em cada caso, se as etas e s são ou não são pependiculaes: a) () =0 b) () 4+-5=0 c)() 7-2+5=0 d) () +5=0 e) () +8=0 (s) 3+5-4=0 (s) =0 (s) 2-7=0 (s) -1/5=0 (s) +8=0 R:são R:são R:não são R:não são R:são 77) Em cada um dos casos, detemine m paa que as etas e s sejam pependiculaes : a) () 8-3+1=0 b) () -m+3=0 c) () +m-1=0 d) () m++5=0 (s) m+8-2=0 (s) 6-2+7=0 (s) 2m-2+7=0 (s) +m+5=0 R:m=3 78) Em cada caso, obtenha a equação da eta que passa pelo ponto P e é pependicula à eta s : a) P(2,3) e (s) +3-4=0 b) P(0,0) e (s) ++3=0 c) P(3,- 1) e (s) - 2+=0 R: -3++3=0 R:-=0 d) P(- 2,- 3) e (s) -1=0 e) P(- 4,1) e (s) +2=0

13 13 79) Detemine a equação da eta pependicula a s no ponto P ( que petence a s ) de abscissa 2 : (s) 3+2-6=0. R:2-3-4=0 80) Obtenha a equação da mediatiz do segmento AB : a) A(2,5) e B(7,3) b) A(-2,3) e B(4,1) c) A(3,5) e B(3,9) d) A(-6,4) e B(2,4) R: =0 81) Os pontos A(1,2) e C(7,5) são etemidades de uma das diagonais do quadado ABCD. Obtenha a equação da eta BD, supote da outa diagonal. R:4+2-23=0 82) Em cada caso, detemine a pojeção otogonal Q do ponto P sobe a eta e o ponto P', simético de P em elação a : a) P(3,6) e () +3-6=0 b) P(0,5) e () -2+12=0 R:Q(3/2,3/2) e P (0,-3) DISTÂNCIA DE PONTO À RETA 83) Calcule a distância ente o ponto P e a eta em cada caso: a) P(1,2) e () 2-3+1=0 b) P(-2,-5) e () +2-3=0 c) P(4,-1) e () -=0 R:3 5 d) P(-1,2) e () 3-5=0 e) P(-3,-2) e () 2+1=0 R:8/3 R:3/2 84) Obtenha a distância ente o ponto P e eta em cada um dos casos : a) P(2,5) e () =2-3 b) P(-2,3) e () /3 + /2 = 1 R:4 5/5 85) Calcule a distância do ponto oigem à eta : a) () 5-2+1=0 b) () =0 c) () -3-+1=0 d) () 2-5=0 R: 29/29 R:2 53/53 R: 10/10 R:5/2 86) Calcule a medida da altua HA, elativa ao lado BC, do tiângulo de vétices A(1,2), B(3,5) e C(5,1). 87) Calcule a medida das tês altuas do tiângulo de vétices A(-1,1), B(1,7) e C(2,2). HÁ=8 26/13 ; HB=8 10/5 e HC=4 10/5 88) Calcule a distância ente cada pa de etas paalelas : a) () 3+4+4=0 b) () =0 c) () +2-6=0 (s) =0 (s) =0 (s) =0 R:3 R=3

14 14 ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA 89) Esceva a equação eduzida da cicunfeência de cento C e aio em cada um dos casos : a) C(5,5) e =2 b) C(-1,2) e =1 c) C(-3,-4) e =3 d) C(6,-1) e = 5 (-5)²+(-5)²=4 (+1)²+(-2)²=1 (+3)²+(+4)²=9 (-6)²+(+1)²=5 e) C(0,0) e =2 3 f) C(0,-2) e =7 g) C(-8,0) e =3 2 ²+²=12 90) Em cada caso, detemine o cento e o aio da cicunfeência dada pela sua equação eduzida : a) (-1)² + (+1)² =1 b) (+7)² + (+8)² =11 c) (-5)² + (-9)² =3 C(1,-1) e =1 C(-7,-8) e = 11 C(5,9) e = 3 d) (-6)² + (+11)² =50 e) (+9)² + ² =5 f) ² + (+8)² =98 C(6,-11) e =5 2 C(-9,0) e = 5 g) ² + ² =20 91) Dados os pontos A(3,-7), B(1,-6), C(-2,-9) e D(4,-10), veifique se eles petencem ou não petencem à cicunfeência de equação (-1)² + ( +9)² =9. B e C petencem, A e D não 92) Dados os pontos A(2,-4), B(1,-10) e D(-2,-2), veifique se eles petencem ou não à cicunfeência de cento C(-2,-7) e aio = 5. 93) Obtenha os pontos em que a cicunfeência de equação (-2)² + (+3)² =25 intecepta a abscissa. R:( -2,0) e (6,0) 94) Obtenha os pontos em que a cicunfeência de equação (+3)² + (-1)² =18 intecepta a odenada. R:(0,4) e (0,-2) 95c) Obtenha os pontos em que a cicunfeência de equação (-2)² + (-2)² =8 intecepta a bissetiz dos quadante ímpaes.r:(0,0) e (4,4) 96) Obtenha a equação eduzida da cicunfeência de cento C(1,-1), que passa pelo ponto P(7,7). 97) Obtenha a equação eduzida da cicunfeência de cento C(-3,-2), que passa pela oigem do sistema de coodenadas. R: (+3)²+ (+2)²=13 98) Os pontos A(6,2) e B(-2,-4) são etemidades do diâmeto de uma cicunfeência. Obtenha sua equação eduzida. EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA 99) Em cada caso, esceva a equação geal da cicunfeência, conhecidos o cento C e o aio : a) C(8,2) e = 9 b) C(-7,5) e = 8 c) C(9,-6) e = 1 ²+² =0 ²+² =0

15 15 d) C(-5,0) e = 3 e) C(0,0) e = 2 5 ²+²+10+22=0 100) Detemine o cento e o aio paa cada cicunfeência : a) ²+² =0 b) ²+²-16-17=0 c) ²+²+20+95=0 C(8,0) e = 33 C(0,-10) e = 5 d) ²+²-7=0 e) ²+² =0 C(0,0) e = 7 C(11,-7) e =10 101) Veifique se cada uma das equações epesenta ou não uma cicunfeência. Em caso afimativo, detemine o cento e o aio. a) ²+² =0 b) ²-² =0 c) ²+² =0 d) ²+² =0 e) ²+² =0 102) Detemine o valo de k paa que cada equação epesente uma cicunfeência : (Condição : > 0 então 2 > 0) a) ²+²-8+6+k = 0 b) ²+²+10-2+k = 0 R: k Real,k<26 c) 2²+2²-4-8-k = 0 d) -²-²+6-16+k = 0 R: k eal,k> -10 R:k Real,k> ) Obtenha o cento e o aio da cicunfeência de equação 4²+4² = 0. POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA: 104) Paa cada ponto detemine sua posição em elação à cicunfeência ²+² = 0 : a) L(5,0) b) M(9,5) c) N(0,0) d) P(10,10) e) Q(0,20) 105) Paa cada ponto detemine sua posição em elação à cicunfeência (+7)² + (-4)² = 64 : a) A(-7,4) b) B(7,-4) c) D(7,4) d) E(-7,-4) e) F(0,0) (int.) (et.) (et.) (petence) (et.) 106) Obtenha o valo de k paa que o ponto P(k,2) seja inteio à cicunfeência ²+ (-1)² = 4. R: k Real,- 3<k< 3 107) Obtenha o valo de k paa que o ponto P(1,k) seja eteio à cicunfeência (+2)² + (-3)² = 25. INTERSECÇÃO DE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 108) Paa cada eta dada, detemine sua posição em elação à cicunfeência (+4)² + (-5)² = 64 : a) (s) = 0 b) (t) = 0 c) (u) = 0 eteio tangente d) (v) = 0 e) (w) = 0

16 16 109) Detemine a posição da eta (s) =0 em elação a cada cicunfeência : a) ²+² = 4 b) ²+² = 9 c) 25²+25²-144 = 0 d) (-1)² + (-2)² = 1 eteio secante secante e) ²+² = 0 secante 110) A eta (s) -=0 é secante à cicunfeência (-2)² + (+1)² = 9 nos pontos A e B. Detemine o valo da coda AB. AB= ) Detemine a equação eduzida da cicunfeência de cento C(0,5), sabendo que a eta (t) 4-3=0 é tangente a ela. BIBLIOGRAFIA : MATEMÁTICA CONCEITOS E FUNDAMENTOS Antônio Nicolau Youssef Vicente Paz Fenandez Editoa Scipione Vol. III

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