Uma derivação simples da Lei de Gauss

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1 Uma deivação simples da Lei de Gauss C. E. I. Caneio de maço de 009 Resumo Apesentamos uma deivação da lei de Gauss (LG) no contexto da eletostática. Mesmo paa cagas em epouso, uma deivação igoosa da LG necessita de uma discussão mais cuidadosa da paametização de supefícies. Isto não é feito aqui. A finalidade pincipal deste texto é mosta como a dependência do campo elético com o inveso do quadado da distância faz com que seu fluxo atavés de uma supefície fechada independa da foma da supefície. A lei de Gauss A lei de Gauss é uma das equações fundamentais do eletomagnetismo e afima que E = E n = Q in, ou seja o fluxo do campo elético total atavés de uma supefície fechada é igual à caga líquida Q in no inteio da supefície. Note que E inclui as contibuições das cagas intenas e extenas à supefície. A nomal n é extena à supefície. Antes de estudamos a lei de Gauss vamos eve algumas popiedades de supefícies.

2 Coodenadas Esféicas Um ponto P com coodenadas catesianas (x, y, z), a uma distância = x + y + z da oigem O, tem coodenadas esféicas (, θ, ϕ) definidas atavés das elações, z x = sen θ cosϕ y = sen θ sen ϕ z = cosθ cos θ O ϕ θ P = (x,y,z) y senθcosϕ x sen θsenϕ onde 0 θ π e 0 ϕ < π. Podemos paametiza uma supefície usando θ e ϕ como paâmetos (Às vezes é necessáio dividi a supefície em váios pedaços paa efetua esta paametização.). Assim, uma supefície pode se caacteizada po uma função = (θ, ϕ), onde θ min θ θ max e ϕ min ϕ ϕ max. A função = (θ, ϕ) fonece a distância ente o ponto de na dieção (θ, ϕ) e a oigem do sistema de coodenadas. Usaemos esta paametização na demonstação da lei de Gauss mais adiante.

3 3 Áea infinitesimal na supefície de uma esfea z θ + dθ O θ ϕ ϕ + d ϕ d θ sen θ dϕ y x A poção infinitesimal da supefície esféica de aio, desenhada em vemelho na figua acima, é essencialmente um etângulo de lados dθ e senθdφ e áea = senθdθdϕ dω, onde dω / é chamado ângulo sólido Em duas dimensões, o ângulo em adianos é definido pela azão (compimento de aco)/aio. Em tês dimensões, o ângulo sólido é definido pela azão (áea sobe a esfea)/aio. 3

4 4 Pojeção de áeas z Podemos pojeta uma áea infinitesimal sobe uma supefície usando o cosseno do ângulo ente as nomais da áea e da supefície. Na figua ao lado, paa pojeta uma supefície plana de áea A no plano xy usamos o ângulo ente ˆn e o eixo z v n α k u A y A xy = A cosα x A xy Paece estanho que baste um único cosseno paa pojeta uma áea sobe uma supefície. Poém, se definimos o veto áea como A = u v, onde u e v estão ao longo dos lados da supefície azul de áea A (veja a figua), então uma popiedade básica do poduto vetoial gaante que A = u v. Ou seja, o veto A tem módulo igual à áea A e dieção dada pelo veso nomal à supefície, n. Desta foma fica fácil ve que pojeta uma áea sobe uma supefície é equivalente a calcula o poduto escala ente o veto A = A n e a nomal a esta supefície (o veso k no exemplo da figua). O cosseno que apaece é o do poduto escala ente os vesoes k e n. e π/ < α < π então cosα < 0, em outas palavas a pojeção do veto áea pode se negativa. Isto vai se impotante mais adiante quando calculamos o fluxo do campo elético de uma caga extena a uma supefície. O fato de podemos expessa a áea como um veto é impotante na fomulação da lei de Gauss. Lembe-se que o agumento da integal é E d A que é o poduto escala dos dois vetoes. Este poduto independe do sistema de coodenadas usado. Podeíamos te utilizado um outo sistema de coodenadas com outa oigem, ou com os eixos oientados ao longo de outas dieções, e mesmo assim obteíamos o mesmo esultado. É impotante expessa as leis da Física de uma foma invaiante. 4

5 5 Demonstação da Lei de Gauss Vamos dividi a demonstação em dois casos: 5. Caga intena à supefície n α Q O fluxo Φ do campo elético atavés da supefície devido à caga Q, intena à supefície, é dado po Φ = = Q E n = Q π 0 dϕ π 0 ˆ n = Q senθdθ = Q 4π = Q cosα = Q Usamos: cos α = = senθdθdϕ, ou seja o cosα pojeta a áea da supefície sobe a supefície esféica de aio. A áea esultante desta pojeção, = senθdθdϕ, contém um que cancela o fato / que vem do campo elético da caga Q. Este cancelamento faz com que toda a dependência com a foma da supefície desapaeça (desde que a caga continue intena a ). Finalmente, obseve que paa vae toda a supefície devemos te 0 θ π e 0 ϕ < π quando a caga é intena. 5

6 5. Caga extena à supefície Q n n O fluxo do campo elético atavés da supefície devido à caga Q, extena à supefície, pode se dividida em duas pacelas, confome mosta a figua. dφ = Q ˆ dφ = Q ˆ n = Q cosα = Q = Q dω n = Q cosα = Q = Q dω Obseve que o ângulo α ente n e ˆ está no intevalo [π/, π] e potanto cosα =. Este sinal de menos faz com que dφ + dφ = 0. Po este mecanismo é fácil de ve que o fluxo total Φ atavés de vai se zeo se Q é extena. Combinando os esultados dos dois casos obtemos E = Q in, onde Q in é a caga dento da supefície. 6

7 Note que a posição da caga não apaece na expessão acima. O que impota é se a caga é intena ou extena à supefície. Assim, se houve váias cagas, podemos usa o pincípio de supeposição paa afima que o campo e potanto o fluxo elético atavés de é igual à soma do fluxo de cada uma das cagas. Cada caga Q i intena à supefície contibue com um fato Q i / paa o fluxo. Potanto, E d A = i Q i Q in. Finalmente, você pode esta se peguntando poque incluimos o campo das cagas extenas no cálculo da Lei de Gauss uma vez que elas não contibuem paa a integal de supefície. A pincipal azão é que as leis do eletomagnetismo devem faze afimações sobe os campos elético e magnéticos totais. Estes são os campos que vão atua sobe as cagas e coentes e são os campos que apaecem nas outas equações de Maxwell. Do ponto de vista do cálculo da integal de supefície que apaece na lei de Gauss, a inclusão do campo das cagas extenas é uma questão de conveniência. 7