Aula 7 Círculos. Objetivos. Apresentar as posições relativas entre dois círculos. Determinar a medida de um ângulo inscrito.

Transcrição

1 ículos MÓDUL 1 - UL 7 ula 7 ículos bjetivos pesenta as posições elativas ente etas e cículos. pesenta as posições elativas ente dois cículos. Detemina a medida de um ângulo inscito. Intodução cículo é consideado po muitos como a foma geomética plana mais pefeita possível. Relacionados aos cículos estão gandes poblemas da Geometia, como o da quadatua do cículo e o da deteminação do valo do númeo π. Daemos, agoa, a definição fomal de cículo. Definição 18 ículo é uma figua geomética fomada po todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixado no plano. ponto fixado é chamado cento do cículo, e a distância de qualque ponto do cículo ao cento é chamada aio do cículo. Também chamamos de aio a qualque segmento que liga o cento a um ponto do cículo. Veja a figua 11. c Fig. 11: ículo de cento e aio c 79 EDERJ

2 ículos Qualque segmento ligando dois pontos de um cículo é chamado de coda. Uma coda que passa pelo cento é chamada de diâmeto. medida de um diâmeto é também chamada de diâmeto. Veja a figua 113. D númeo π e a quadatua do cículo π é um númeo com caacteísticas muito especiais. Uma delas é se tanscendente, ou seja, não é um númeo algébico, pois não é aiz de nenhum polinômio com coeficientes acionais. possibilidade de constução com égua e compasso de um quadado de áea igual a de um cículo dado é chamado de poblema da quadatua do cículo. solução desse poblema dependia inteiamente de o π se ou não algébico. teoema de Lindemann povou então a tanscendência do π e que o poblema da quadatua do cículo é impossível pelas egas da Geometia gega. Potanto, a tanscendência do π implica que não existe uma constução com égua e compasso paa constui um quadado com áea igual à de um cículo dado. Fig. 113: odas de um cículo. Um cículo divide o plano em duas egiões: inteio do cículo e exteio do cículo. Um ponto está no inteio (ou dento) de um cículo de aio se a distância desse ponto ao cento do cículo fo meno do que. Se essa distância fo maio do que, o ponto está no exteio (ou foa) do cículo. cos e medida de acos onsidee um ângulo aio qualque, como na figua 114. ˆ e, com cento em, tace um cículo de 1 1 Fig. 114: ângulo  divide o cículo em dois acos. Esse cículo intesecta os lados de ˆ em pontos 1 e 1. ângulo ˆ divide o cículo em dois acos. omo denota cada um desses acos? Note que os dois têm como extemidade os mesmos pontos 1 e 1. Quando houve dúvida, consideaemos dois outos pontos, X e Y, um em cada aco, e usaemos a notação 1 X 1 paa designa o aco que contém X, e 1 Y 1 paa designa o aco que contém Y (veja a figua 115). EDERJ 80

3 ículos MÓDUL 1 - UL 7 Y 1 X Você sabia que... 1 Quando Fig. 115: cos deteminados pelo ângulo Â. ˆ mede 180 o, dizemos que o aco 1 X 1 (e também 1 Y 1 ) assim deteminado é um semicículo. Melho dizendo, cada um dos acos deteminados po uma eta que cota o cículo passando pelo cento é um semicículo. medida de um semicículo, po definição, é 180 o e de um cículo inteio (de aio qualque) é 360 o. É clao que essa maneia de medi não dá o compimento do cículo (que cetamente depende do tamanho do aio, e que está elacionado com o númeo π que mencionamos anteiomente - paa entende melho, veja a figua 116). X 180 o 1 1 al Louis Fedinand von Lindemann d.. lemanha. Lindemann foi o pimeio a pova que π é tanscendental. Naquela época já havia sido povado que o númeo e é tanscendental. Usando métodos similaes aos usados paa o númeo e, Lindemann povou que π é tanscendental. onsulte: st-nd.ac.uk/~histoy/ Mathematicians/Lindemann. html Y Fig. 116: Medida em gaus de um cículo: 360 o. Definiemos, a segui, a medida de um aco qualque. Definição 19 Dado um ângulo agudo  e um cículo centado em, a medida do meno aco deteminado po  é a mesma medida de  e a medida do maio aco deteminado po  é 360o Â. Usaemos a mesma notação paa designa o aco e a sua medida. Po exemplo, chamaemos a medida do aco 1 X 1 de 1 X EDERJ

4 ículos Posições elativas ente etas e cículos Você sabia que... Dados uma eta e um cículo no plano, existem tês possibilidades: não intesecta ( é exteio a ), intesecta em dois pontos ( é secante a ) ou intesecta em apenas um ponto ( é tangente a ). Veja essas possibilidades na figua 117. Hippakhus (ou Hipaco) nasceu em Nicéia, na itínia, viveu em lexandia, mas tabalhou sobetudo em Rodes, ente 161 e 16 a.. Destacou-se pelo método e igo de suas obsevações. Hippakhus foi um dos cientistas mais epesentativos da época alexandina. omo os babilônios, ele também aceditava que a melho base paa ealiza contagens ea a base 60. s babilônios não haviam escolhido a base 60 po acaso. númeo 60 tem muitos divisoes e pode se facilmente decomposto num poduto de fatoes, o que facilita muito os cálculos, pincipalmente as divisões. onsulte: st-and.ac.uk/~histoy/ Mathematicians/ Hippachus.html (a) (b) (c) Fig. 117: a) Reta exteio. b) Reta tangente. c)reta secante. onsidee agoa um cículo de cento no ponto, um ponto e o segmento que liga o cento do cículo ao ponto. Seja a eta que passa po e é pependicula ao segmento (veja figua 118). Vamos mosta a segui que é tangente ao cículo. De fato, se tomamos qualque outo ponto em e consideamos o tiângulo, veemos que o ângulo Â, que mede 90o, é o seu maio ângulo. omo o lado oposto a ele é, esse segmento é maio que. omo a medida de é o aio do cículo, o ponto está foa de. Mostamos então que um ponto de que não seja está foa de, ou seja, que é o único ponto na inteseção de e. Potanto é tangente a. Fig. 118: Reta que passa po e é pependicula a. Qualque eta que passe po difeente de intesecta em dois pontos. Emboa esse fato seja bastante intuitivo, ele necessita de uma pova. No pêndice apesentamos uma pova deste fato. Podemos então afima que uma eta passando po é tangente a se, e somente se, é pependicula a. Destacamos este esultado logo a segui. EDERJ 8

5 ículos MÓDUL 1 - UL 7 Toda eta tangente a um cículo é pependicula ao aio no ponto de tangência. Toda eta pependicula a um aio em sua extemidade é tangente ao cículo. Tataemos, agoa, das posições elativas ente cículos. Posições elativas ente cículos Dados dois cículos, temos as seguintes possibilidades: os dois cículos não se intesectam, os dois cículos se intesectam em um ponto ou os dois cículos se intesectam em dois pontos. Poém, cada um desses casos pode se subdividido, como veemos a segui. ículos que não se intesectam Paa o caso em que os cículos não se intesectam, há duas possibilidades: cada cículo está contido no exteio do outo (veja figua 119) ou um dos cículos está contido no inteio do outo (veja figua 10). 1 ' Fig. 119: ículo exteio a outo cículo. 1 ' Fig. 10: ículo inteio a outo cículo. ículos secantes Dizemos que dois cículos são secantes quando eles se intesectam em dois pontos (veja figua 11). 83 EDERJ

6 ículos 1 ' Fig. 11: ículos secantes. Nesse caso, pova-se que a eta que liga os dois centos e é a mediatiz do segmento deteminado pelos pontos de inteseção dos cículos. om efeito, taçando-se os segmentos,,, e, fomamos os tiângulos isósceles e, ambos de base (veja figua 1). Mas sabemos do execício 15 da aula 6 que num tiângulo isósceles a mediatiz da base passa pelo vétice oposto. ssim, a mediatiz de passa po e po, ou seja, a eta é mediatiz de. 1 ' 1 ' 1 ' Fig. 1: eta contendo e é mediatiz de. ículos tangentes Dizemos que dois cículos são tangentes quando eles se intesectam em um ponto. Paa cículos tangentes temos dois casos a considea: cículos tangentes exteiomente e cículos tangentes inteiomente. No pimeio caso, os dois cículos intesectam-se em um ponto e todos os outos pontos de cada um deles está no exteio do outo (veja figua 13). 1 ' Fig. 13: ículos tangentes exteiomente. EDERJ 84

7 ículos MÓDUL 1 - UL 7 Nesse caso, o ponto de enconto petence ao segmento e a eta pependicula à eta no ponto de enconto é tangente aos dois cículos (veja o execício 7). ponto de enconto é chamado de ponto de tangência. Veja a figua T ' Fig. 14: é tangente aos dois cículos. No caso de cículos tangentes inteiomente, os dois cículos intesectamse em um ponto e todos os outos pontos de um deles está no inteio do outo (veja a figua 15). 1 ' Fig. 15: ículos tangentes inteiomente. Nesse caso,, e o ponto de enconto são colineaes e a eta tangente a um dos cículos no ponto de enconto é também tangente ao outo (veja o execício 8). ponto de enconto é chamado ponto de tangência (veja a figua 16). 1 ' T Fig. 16: é tangente aos dois cículos. 85 EDERJ

8 ículos Ângulos centais e ângulos inscitos Vamos agoa ve algumas definições de ângulos elacionadas a cículos. Você sabia que... Definição 0 (Ângulo cental) Um ângulo cental de um cículo é um ângulo com vétice no cento do cículo. Definição 1 (Ângulo inscito) Um ângulo inscito é um ângulo com vétice sobe o cículo e cujos lados são semi-etas tangentes ou secantes ao cículo (veja a figua 17). Eatóstenes a.. iene, Gécia. Geógafo, matemático, astônomo, poeta e filósofo gego. Eatóstenes viveu pate da juventude em tenas. Foi um atleta bastante popula, destacando-se em váias modalidades espotivas. uto de muitos livos de stonomia e Geometia, esceveu ainda poesias e textos paa teato. Nenhuma de suas obas, poém, chegou até nós. Tudo o que sabemos sobe Eatóstenes é atavés de outos autoes. Uma das questões que desafiaam os matemáticos e astônomos da ntigüidade foi a deteminação do tamanho do Sol e da Lua. Paa chega a essas medidas, ea necessáio conhece o tamanho da cicunfeência da Tea. Muitos matemáticos daquela época se dedicaam a medi a Tea, mas foi Eatóstenes quem fez a demonstação mais inteessante. onsulte: st-and.ac.uk/~histoy/ Mathematicians/ Eastostenes.html Fig. 17: Ângulos inscitos. Dado um ângulo inscito  de um cículo, o aco de cículo contido na união do inteio com os lados de  é chamado aco subentendido po Â. Diz-se também que  subentende tal aco (veja figua 18). Fig. 18: D é o aco subentendido po D ˆ. EDERJ 86

9 ículos MÓDUL 1 - UL 7 Medida do ângulo inscito Podemos agoa detemina a medida de um ângulo inscito atavés da seguinte poposição: Poposição 15 medida de um ângulo inscito é a metade da medida do aco que ele subentende. Pova: Seja  um ângulo inscito em um cículo centado em. Dividiemos a pova em váios casos, dados pela figua 19. Faemos a pova de alguns casos e deixaemos os demais como execício. Fig. 19: Divesas configuações de ângulos inscitos. aso 1: Um dos lados do ângulo  é tangente ao cículo e o outo passa pelo cento. Suponha que seja o lado tangente e o lado que passa po. Nesse caso já vimos que  mede 90o. omo o aco subentendido po  é um semicículo (mede 180o ), não há o que pova. aso : s dois lados de  são secantes ao cículo e um deles passa pelo cento. Suponha que seja o lado que passa po e tace o segmento, como na figua EDERJ

10 ículos Fig. 130: aso. Sabemos que  + ˆ + Ô = 180o. ssim,  + ˆ = 180 o Ô = Ô omo Ô é um ângulo cental, sua medida é a mesma do aco que ele subentende. omo o tiângulo é isósceles com base (pois e são aios), temos que  = ˆ, e, potanto,  mede a metade do aco que ele subentende. aso 3: Um dos lados de  é tangente ao cículo e o ponto está foa de Â. Suponha que seja o lado tangente e tace a semi-eta. Seja D o ponto em que essa semi-eta intesecta e escolha um ponto X em que esteja no inteio de D ˆ (figua 131). X D Fig. 131: aso 3. ˆ = Pelo caso 1, D ˆ D ˆ = 90 o. Pelo caso, D, ˆ temos ˆ D = m( XD ). Daí, como m( ˆ = 90 o D ) m( D) m( XD) =. Daí concluímos que a medida de  é a metade da medida do aco que ele subentende. EDERJ 88

11 ículos MÓDUL 1 - UL 7 aso 4: Um dos lados de  é tangente ao cículo e o ponto petence ao inteio de Â. Suponha que seja o lado tangente e tace a semi-eta. hame de D ao outo ponto onde intesecta (figua 13). Y X D Fig. 13: aso 4. Segue dos casos 1 e desta demonstação que ÂD = 90o e m( DX), onde X é um ponto de no inteio do ângulo DÂ. Logo,  = ÂD + D = 90 o + m( DX) = m( Y D) m( D) =. + m( DX) ˆ D = s dois póximos casos têm demonstação muito paecida com a deste caso: em ambos deve se taçada a semi-eta. Vamos deixa as demonstações como execício. Pocue usa os casos anteioes paa pová-los. baixo seguem os enunciados. aso 5: s dois lados de no inteio de  (figua 19). aso 6: s dois lados de no exteio de  (figua 19).  são secantes e o ponto está ˆ são secantes e o ponto está aso 7: s dois lados de  são tangentes a. Nesse caso, ˆ é um ângulo aso (180 o ) e o aco subentendido po  é a cicunfeência inteia (3600 ). Veja a figua EDERJ

12 ículos Resumo Nesta aula você apendeu... Quais as posições elativas ente etas e cículos. Quais as posições elativas ente dois cículos. Que uma eta é tangente a um cículo em um ponto se, e somente se, ela é pependicula ao aio que passa po esse ponto. Qual a medida de um ângulo inscito. Execícios 1. Faça as povas dos casos 5 e 6 da poposição 15.. Na figua 156, o aco XD mede 110 o e o aco Y mede 40 o. Detemine a medida do ângulo Ê. E Y D X Fig. 133: Execício. 3. Na figua 157, o aco XD mede 90 o e o aco Y mede 40 o. Detemine a medida do ângulo ˆ ED. Y E X D Fig. 134: Execício 3. EDERJ 90

13 ículos MÓDUL 1 - UL 7 4. Detemine o valo do ângulo  na figua 135, sabendo que é tangente ao cículo o o D Fig. 135: Execício Detemine os valoes dos ângulos  e ˆ da figua 136. D 60o 70 o Fig. 136: Execício Na figua 158, é o cento do cículo,, e P R são tangentes ao cículo e  = 8o. Detemine P R. ˆ P Q R Fig. 137: Execício EDERJ

14 ículos 7. Sejam 1 e cículos tangentes exteiomente em um ponto T. Sejam o cento de 1 e o cento de. Pove que T petence ao segmento e que a eta pependicula a em T é tangente aos dois cículos. 8. Sejam 1 e cículos tangentes inteiomente em um ponto T. Sejam o cento de 1 e o cento de. Pove que, e T são colineaes e que a eta tangente a 1 em T é também tangente a. 9. Seja uma coda (que não é um diâmeto) de um cículo. Pove que a mediatiz de passa pelo cento do cículo. 10. Sejam uma coda de um cículo centado em e uma coda de um cículo centado em. Se os dois cículos têm o mesmo aio e, pove que os ângulos centais Ô e Ô são conguentes. 11. Sejam um cículo e uma eta. Seja a figua fomada pelos eflexos de todos os pontos de em elação a. Pove que é um cículo. 1. (Desafio) Seja um segmento e uma eta paalela à eta, como na figua 138. Fig. 138: Execício 1. Detemine o ponto paa que o ângulo Ĉ seja o maio possível. EDERJ 9

15 ículos MÓDUL 1 - UL 7 pêndice: Paa sabe mais... Nos agumentos abaixo, você enconta uma pova do seguinte fato: Se uma eta cota um cículo de cento no ponto, e não é pependicula ao segmento então cota o cículo também em um outo ponto. Seja um segmento e seja uma semi-eta tal que  seja um ângulo agudo (figua 139). Moste que existe um ponto em tal que. Fig. 139: omo conseqüência, se é um ponto de um cículo centado em e fo qualque eta que passe po e não seja pependicula a, então cota o cículo em dois pontos (figua 140). Fig. 140: 93 EDERJ