Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares - Parte 1

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares - Parte 1"

Raquel Fragoso Gameiro
5 Há anos
Visualizações:

1 ateia Teóico - óduo Tiânguo etânguo, Leis dos ossenos e dos Senos, Poĺıgonos eguaes eações éticas em Poĺıgonos eguaes - Pate 1 Nono no uto: Pof. Uisses Lima Paente eviso: Pof. ntonio aminha. Neto 5 de agosto de 018 Pota da P

2 1 Intodução Iniciamos esse mateia embando que um poígono convexo é egua se os seus ados e de todos os seus ânguos intenos são conguentes. Lembamos também que todo poígono egua admite um cícuo inscito (isto é, tangente a seus ados e contido em seu inteio) e um cícuo cicunscito (isto é, que passa po todos os vétices do poígono). demais, tais cícuos são concênticos, que dize, têm um mesmo cento; ta cento comum a esses cícuos é denominado o cento do poígono egua. apótema de um poígono egua é a distância do seu cento a um de seus ados. enotaemos po n e po a n o ado e o apótema de um poígono egua de n ados, espectivamente. Na figua abaixo, podemos obseva o ado e o apótema de um octógono egua inscito em um cícuo. a 8 segui, apesentaemos, com justificativa, agumas fómuas que pemitem cacua os compimentos dos ados e apótemas de tiânguos equiáteos, quadados e hexágonos eguaes (poígonos eguaes com, 4 e 6 ados, espectivamente), a pati do aio do cícuo inscito (ou cicunscito) nesses poígonos. Tiânguo equiáteo onsidee a figua a segui, em que é um tiânguo equiáteo, é seu cento, é o aio do cícuo inscito e o ponto médio do ado. Veja que Ĉ = 60o. Também, como equidista dos ados do tiânguo, é uma bissetiz intena de. aí, Ĉ = 0o. goa, como = e é o ponto médio de, temos = 90 o. Logo, cacuando a tangente do ânguo, vem: 8 Pota da P tg0 o = = 1 = = = = =. (1) a inda obsevando a figua acima, temos caamente que a =. Na póxima figua, temos novamente um tiânguo equiáteo de cento, mas dessa vez destacamos seu cícuocicunscito, de aio. omo antes, o ponto médio do ado. a Po azões já obsevadas anteiomente, temos = 90 o e Ĉ = 0o. Potanto, cacuando o cosseno e o seno do ânguo, obtemos: e cos0 o = 0 o 0 o = = = = sen0 o = a = 1 = a = a =. exempo a segui execita a discussão acima. Po comodidade, em sua soução apicamos dietamente a 1 matematica@obmep.og.b

3 fómuaque obtivemospaa em função doaiodo cícuo inscito. ntetanto, após compeende a dedução de ta fómua, sugeimos que, sempe que ea se fize necessáia, o eito apique o aciocínio utiizado paa deduzi-a, em vez de tenta dea emba-se. Ta aciocínio é bastante simpes e, nas notações das figuas anteioes, esume-se a apica a tigonometia do tiânguo etânguo ao tiânguo. videntemente, um comentáio anáogo é váido paa quaisque outas fómuas deduzidas acima. xempo 1. nconte o peímeto do tiânguo equiáteo, dado na figua abaixo (as medidas são dadas em centímetos). Soução. Veja que o aio do cícuo inscito no tiânguo é igua a cm. ssim, utiizando a fómua (1) e com base na figua acima, temos: = = 6 cm. Potanto, como é um tiânguo equiáteo, seu peímeto é dado po Quadado = 6 = 18 cm. Sejam o aio do cícuo inscito e o cento de um quadado (veja a póxima figua). aamente, temos Pota da P a 4 =. Poouto ado, o diâmeto que passa po, sendo pependicuaadoisadosde, odivideemdoisetânguos. ntão, 4 =. a 4 Ô = Ô = 45, de sote que, e são coineaes. Uma vez que um aciocínio anáogo é váido paa, e, concuímos que em todo quadado, as diagonais cuzam-se em seu cento. goa, seja o aio do cícuo cicunscito a (veja a figua abaixo). onfome mostamos acima, as diagonais de cuzam-se em. ssim, po um ado, eas medem e, po outo (apicando o Teoema de Pitágoas ao tiânguo, concuímos que eas medem 4. ntão, obtemos: a = = 4 = = = 4 = = 4 =. ém disso, a 4 = 4 = a 4 =. xempo. Na figua a segui, o aio do cícuo cicunscito ao quadado mede cm. acue a medida do ado do quadado GH, em que os pontos, estão sobe o ado e os pontos G, H estão sobe o cícuo. 4 () e passagem, obsevamos que, como a 4 = 4, os tiânguos etânguos e são isóscees. ssim, Soução. Seja o ponto médio do ado GH. omo GH é uma coda do cícuo, temos que o tiânguo G é matematica@obmep.og.b

4 H etânguo em. ssim, se L é a medida do ado do quadado, então = L +, G =, e G =. ém disso, como a medida do aio do cícuo cicunscito é cm, segue de () que G L = = 4 cm. Logo, o teoema de Pitágoas apicado ao tiânguo G nos dá: ( ) ( ) +G = G L ( = + + = ) L = (+) + 4 = 8 = = 8 = = 0 = = 0. esovendo a equação do segundo gau acima, obtemos = 4 = 0,8 ou = 4. as, como é a medida do ado 5 do quadado GH, devemos te > 0. aí, segue que = 0,8 cm. xempo. ncone a azão ente o peímeto do quadado inscito em um cícuo de aio e o peímeto do quadado cicuscito a esse cícuo. Soução. Nas notações da póxima figua, sejam e L os ados dos quadados inscito e cicunscito ao cícuo, espectivamente. onfome estabeecemos anteiomente, temos: L = e =. Pota da P Uma vez que os peímetos dos quadados inscito e cicunscito ao cícuo são espectivamente iguais a 4 e 4L, temos que 4 4L = L = =. 4 Hexágono Na figua abaixo, é o aio do cícuo cicunscito ao hexágono egua. a 6 L 6 bseve que o tiânguo é isóscees e 60 Ô = o = 60 o. ssim, é, de fato, equiáteo, o que 6 nos dá 6 =. ém disso, a 6 é a atua do tiânguo equiáteo, cujo ado mede. aí, já vimos que a 6 =. inamente, seja o aio do cícuo inscito no hexágono egua (veja a figua a segui). aamente, temos a 6 =. Po outo ado, como é um tiânguo equiáteo e é a medida da atua deste tiânguo, temos = 6 = 6 = = 6 = () = 6 =. matematica@obmep.og.b

5 a 6 6 xempo 4. No hexágono egua da póxima figua, o ado mede 10 cm. acue: (a) a medida do aio do cícuo inscito em ta hexágono; (b) a medida da diagona. Soução. Sendo o aio do cícuo inscito e utiizando a fómua (), obtemos: 10 = = = 0 = 15 = = 15 = = 15 = = 5. Pota da P goa, seja o ponto de inteseção dos segmentos e. omo os tiânguos e são equiáteos, temos em paticua que = = = =. ntão, é um osango e, como ta, suas diagonais e encontam-se em seus pontos médios e são pependicuaes. esse modo, é uma atua do tiânguo equiáteo. omo as atuas de um tiânguo equiáteo têm compimentos iguais, concuímos que =. naogamente, =. Potanto, = + = 5 +5 = 10. icas paa o Pofesso ecomendamos que sejam utiizadas peo menos duas sessões de 50min paa expo o conteúdo deste mateia. Sugeimos ao pofesso enfatiza a simpicidade dos cácuos envovidos na dedução das fómuas paa a,, a 4, 4, a 6, 6, sempe aetando os aunos paa o fato de que não devem tenta memoizá-as, e sim deduzi-as quando necessáio. Há fómuas que nos pemitem cacua o ado e o apótema de outos poígonos eguaes, como o pentágono, o octógono e o decágono, em função dos aios dos cícuos inscito e cicunscito a tais poígonos. aso haja tempo disponíve, suas deduções, apesa de bem mais tabahosas que as que apesentamos aqui, fomam exceente continuação deste mateia. e todo modo, as efeências a segui tazem os cácuos coespondentes, aém de conteem mais exempos e pobemas de vaiados gaus de dificudade. Sugestões de Leitua ompementa 1.. aminha. Tópicos de atemática ementa, Voume : Geometia ucidiana Pana. io de Janeio, ditoa S..., 01.. G. Iezzi. undamentos de atemática ementa, Voume : Tigonometia. São pauo, ditoa tua, matematica@obmep.og.b

Documentos relacionados

Áreas de Figuras Planas: Resultados Básicos - Parte 2. Nono Ano. Autor: Prof. Ulisses Lima Parente Revisor: Prof. Antonio Caminha M.

Áreas de Figuras Planas: Resultados Básicos - Parte 2. Nono Ano. Autor: Prof. Ulisses Lima Parente Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Mateial Teóico - Módulo Áeas de Figuas Planas Áeas de Figuas Planas: Resultados ásicos - Pate Nono no uto: Pof. Ulisses Lima Paente Reviso: Pof. ntonio aminha M. Neto 8 de outubo de 08 xemplos Nesta segunda