X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 MODELGEM MEMÁI: OSRUÇÃO SIGIFII DO ESIO D GEOMERI ademi Maim Univesidade Fedea de Ubeândia maim@ponta.ufu.b na aoina Igawa Babosa Univesidade Fedea de Ubeândia cao_igawa@otmai.com Resumo: modeagem matemática se apesenta como uma poposta atenativa paa o ensino. Isso significa i aém das simpes esouções de questões matemáticas e eva a aquisição de uma meo compeensão tanto da teoia quanto da natueza do pobema a se modeado. abaamos neste pojeto com a embaagem de um deteminado cocoate, de foma a obte uma embaagem que utiizasse menos mateia paa a sua fabicação. Este pojeto teve como objetivo cia um modeo matemático utiizando a tigonometia duante o pocesso de modeagem. om objetivo de popo uma embaagem ótima, que utiize uma meno áea que compote o mesmo voume, paa o cocoate obeone de 100g, que eve em consideação apenas o fato economia de pape catão paa a fabicação do invóuco. Paa que isso seja possíve, deve-se muda também a foma do cocoate, já que tanto a embaagem quanto o seu conteúdo estão na foma de pismas tianguaes. oncui-se que a caia atua é a que gasta mais mateia paa a fabicação e a embaagem na foma de ciindo cicua eto é a que gasta a meno quantidade de pape catão paa sua fabicação, pois possui a meno áea tota, sendo esta a embaagem idea pocuada paa souciona a questão. Paavas-cave: Modeagem; igonometia; Geometia espacia. IRODUÇÃO o Basi a modeagem conquistou espaço a pati da década de 1980 com tabaos desenvovidos peos pofessoes Baeto, PU do Rio de Janeio e Bassanezzi, UIMP de ampinas-sp (BIEMBEGU & HEI, 005). Sendo esses os pecusoes desta pática no país, que atuamente vêm tonando-se cada vez mais apicada no campo educaciona, científico e socia. Segundo Bassanezi (199), podemos compeende a modeagem matemática como o estudo de pobemas ou situações eais como inguagem paa a sua compeensão, simpificação e esoução com vistas à uma possíve pevisão ou modificação do objeto estudado. nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 1

2 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 pincipa finaidade do pocesso de modeagem é desenvove a capacidade de anaisa e intepeta dados, testa ipóteses fomuadas, cia modeos e veifica se ees são eficazes; dando condições paa que os aunos possam entende um fenômeno e tenam condições de atua paa sua tansfomação. Desta foma, a matemática deve se vista como uma discipina dinâmica, pois quando se anaisa uma situação do ponto de vista matemático, o pocesso de ensino-apendizagem é desencadeado, estimuando a abstação, a ciação de novos instumentos matemáticos e a fomuação de novas teoias. ssim, a única maneia que se tem de conduzi os aunos paa a modeagem matemática, é epô-os uma ampa vaiedade de pobemas e a uma ampa vaiedade de modeos. Modeagem Matemática pemite a inteação do sujeito com o objeto de estudo sendo que o conecimento não é inato nem tansmitido, não está no sujeito nem no objeto, mas na foma de inteação ente sujeito e objeto. ém do que, o auno não é passivo e nem o pofesso é um simpes tansmisso de conecimento, ogo essa inteação é uma constução contínua, dada pea invenção e descobeta (RH, 1996), visto que essa inteação pea descobeta é uma possibiidade de eva o auno a se cidadão cítico, paticipativo e efeivo. modeagem sempe faz apeo à eaidade na qua está inseido o sistema que deu oigem ao modeo com o qua se tabaa, sempe pocuando veifica a adequação dos paâmetos seecionados e as impicações dessa seeção no inte-eacionamento desse sistema com a eaidade com um todo (BIEMBEGU, 1999). ssim, os modeos nem sempe são eatos. Devem-se epoa então, todos os detaes do modeo, eaminando as ipóteses, cecando as pecisões, efetuando os ajustes necessáios que tonem o modeo adequado, fazendo as pevisões que consigam vaida as ipóteses. ão se devem abandona os modeos poque ees são apoimados, pois em cada modeo enconta-se um camino paa cega a uma pevisão e toma uma decisão na meoia do sistema abodado. pati de um modeo já eistente, no caso a embaagem do cocoate suíço obeone, é que buscamos um modeo otimizado visando à obtenção de uma embaagem ótima, ou seja, que utiize o mínimo de mateia, onde caiba a mesma quantidade do poduto, eduzindo os custos da embaagem e economizando pape. nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência

3 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 o se popo uma nova embaagem paa o poduto, não é espeado que o fabicante toque a foma da caia, já que o gande maketing da empesa está na foma tanto do cocoate quanto da caia, que são patenteados e somente ea pode poduzi cocoates na foma de pismas tianguaes, e este é um dos gandes fatoes que contibuem paa o sucesso deste cocoate que possui 98 anos de tadição. Este pojeto teve como objetivo cia um modeo matemático que utiize a tigonometia duante o pocesso de modeagem. O objetivo específico é popo uma embaagem ótima, que utiize a meno áea onde caiba o mesmo voume, paa o cocoate obeone de 100g, que eve em consideação apenas o fato economia de pape catão paa a fabicação da mesma e paa que isso seja possíve, deve-se muda também a foma do cocoate, já que tanto a embaagem quanto o seu conteúdo estão na foma de pismas tianguaes. isando a economia de mateia na fabicação da embaagem, qua a foma ótima paa a embaagem do cocoate obeone de 100g? pati desta pegunta, seguiemos os passos do pocesso de modeagem. OS PROESSOS D MODELGEM MEMÁI Eistem infinitos tipos de embaagens, isto poque cada uma coesponde a um tipo de maketing. guns fabicantes investem mais na estética, pois esta é a pincipa caacteística que encanta os oos dos consumidoes. uanto mais difeente, cooida fo a embaagem mais atenção ea ecebe. Sabe-se que ao compa um poduto não só se paga po este como também po sua embaagem. Dessa foma, quanto mais caa é a embaagem, mais cao fica o peço fina do poduto. tuamente, ante a concoência, o fabicante ou o comeciante aém de pocua ofeece um bom poduto, com boa apaência, necessita detecta as divesas vaiáveis que pemitem baatea o poduto, em paticua a embaagem. a embaagem uma das popostas é estabeece um fomato adequado que utiize a quantidade mínima de mateia e o máimo apoveitamento ou o voume. Po este motivo popõe-se uma nova foma de embaagem paa o cocoate, a fim de baatea o peço paa o consumido, eduzi o custo paa o fabicante, assim como o despedício de pape. nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência

4 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 ão é inteesse deste pojeto o despedício de pape no momento que se faz o cote do mateia paa a fabicação das embaagens, já que é poposto um modeo panificado, eduzindo a utiização da coa na oa de agupa as pates. Utiiza-se como base a embaagem de cocoate de 100g que possui a foma de um pisma tiangua egua com aestas da base medindo,5cm e atua igua a 1cm. Paa cacua a quantidade de mateia de uma embaagem de quaque foma temos que abi-a, ou seja, panificá-a. panificação desta embaagem nos fonece dois tiânguos equiáteos cujas aestas medem,5cm e tês etânguos de medidas,5 cm e 1 cm. pati destes dados podemos cacua a quantidade de mateia utiizado paa a fabicação da embaagem. omo os tiânguos que compõem a embaagem do cocoate são equiáteos, ou seja, são poígonos eguaes, ees podem se inscitos em uma cicunfeência de aio, onde é a atua do tiânguo da base. Utiizando o softwae Geogeba, constuímos o tiânguo equiáteo cujas aestas medem,5cm, taçamos todas as bissetizes do tiânguo e encontamos o ponto D que é o incento do tiânguo. Depois taçamos uma cicunfeência de cento em D cujos vétices do tiânguo constituem pontos da cicunfeência. Paa acamos a medida do aio taçamos o segmento D e encontamos o aio igua a,0cm confome a figua. Figua 1 Figua nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência

5 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 Utiizando a tigonometia podemos cacua a medida da atua do tiânguo da base em função do ado. O tiânguo fomado peo incento e os vétices da base fomam um tiânguo isóscees, ou seja, com dois ados conguentes. ssim pea figua, temos que =y. Desta foma. y y cos0 * Figua pati da medida do ado, pode-se cacua a áea da base do tiânguo ( B ), assim como o voume ( ) e a áea tota ( ) do pisma tiangua egua: B B ( ) * B * ( ) * B ( ) * ( ) B (,0) 111,1cm 1,11cm B 5,0cm pós esta etapa é necessáio popo novos fomatos paa a embaagem, mas que mantenam o mesmo voume, os modeos popostos seão todos poígonos eguaes inscitos na cicunfeência de aio =,0cm. Utiizando a mesma cicunfeência, mas modificando o poígono inscito - um quadado - obtêm-se a figua. ovamente o tiânguo fomado ente o incento e os vétices do quadado é isóscee, desta foma, temos que = y, pois a atua m do tiânguo divide a base em dois segmentos conguentes. Desta foma temos que: nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 5

6 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 y y cos5 Figua pati desta fómua, podemos detemina em função do aio a áea, assim como o voume e a áea tota do pisma quadangua egua. Desta foma, tem-se que: ( ) (,0) 8,16cm * * * omo mede 1 cm e evando-se em consideação que as embaagens devem te o mesmo voume, podemos cacua a atua H e a áea tota do pisma quadangua. ( ) 8 8 * 1 8 1,6cm * * ( * ( (,0) ) ) 17,18cm * * * * * (,0) * *1,6 *1,6 pós os cácuos temos que > 1,11cm > 17,18cm nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 6

7 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 difeença ente as áeas é pequena, poém quando somado a miaes de embaagens, essa difeença é significativa. naogamente popomos um novo fomato paa a embaagem, modificando a base e a atua do pisma, mas mantendo o voume cacuaemos os dados eativos a um ciindo cicua eto cujo aio mede,0cm. * * (,0) 1,8cm * ( ) ( * * ) * * pati destas fómuas e do pincípio de que os pismas tiangua e o ciindo devem te o mesmo voume deteminamos a medida da atua do ciindo e a áea tota do mesmo. c * 1 8,68cm * * * 15,80cm ompaando com os esutados obtidos temos que: > > * * ( 1,11cm > 17,18cm > 15,80cm *,0 * (,0 Oganizando os dados cacuados obtemos a seguinte tabea: abea 1: Fomas das embaagens Foma da embaagem Pisma tiangua egua Pisma quadangua egua úmeo de ados Áea da base (cm ) ) 8,68) Áea tota (cm ) tua (cm) 5,0 1,11 1,00 8,16 17,18 1,6 nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 7

8 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 iindo 0 1,8 15,80 8,68 naisando a eação ente a áea tota e a áea da base, podemos obseva que quanto maio o númeo de ados do poígono da base, isto é, quanto maio a áea da base meno a áea tota do pisma. Então quanto mais ados têm o poígono egua da base, mais esta áea se apoima de um cícuo. Desta foma, maio seá a áea da base e meno seá a áea tota do pisma. ssim, a base que possui a maio áea da base é o ciindo cicua eto. Potanto, a embaagem que utiizaia a meno quantidade de pape catão paa a fabicação é a embaagem que possui a foma de um ciindo cicua eto, com aio igua a,0cm e atua igua a 8,68cm. Mesmo após todos os cácuos é necessáio cegamos a um modeo matemático dito genéico que compove que o ciindo cicua eto é a meo opção de embaagem. Faemos então, os cácuos paa quaque poígono egua de n ados, inscito na cicunfeência de, neste caso =,0 cm. Desta foma, se o poígono tem n ados, podemos foma n tiânguos cujos vétices é o incento e dois vétices do poígono, confome a figua 5. ssim, é possíve cacua a soma de todos os ânguos intenos do poígono S I e consequentemente a medida de cada ânguo inteno do poígono I. SI (n ) *180 I ( n )*180 n om base na útima fómua e na figua 6, podemos cacua a medida do ânguo que é dada po ( n )*180 ( n )* 90. n n onsideando os vétices 0 e 1 do poígono inscito na cicunfeência, como mosta a figua 5, conseguimos um tiânguo genéico. Desta maneia, podemos cacua a aesta do poígono, bem como a atua m do tiânguo. O cácuo é feito da seguinte maneia: nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 8

9 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 y cos y cos cos sen m m sen Figua 5 pati da medida da aesta em função do aio, podemos detemina a áea da base, assim como a áea tota do pisma de n ados. B B B b n * n *( cos * sen ) n * cos * sen Patindo do pincípio que os poígonos estão inscitos na mesma cicunfeência e os pimas devem te o mesmo voume, podemos detemina a atua do poígono de n ados e a áea tota do mesmo. n * n * cos * sen cos * sen n * n n B sen n(,0) cos cos sen cos sen 8,1608 n cos sen n * ( ) cos sen ( cos )( ) n nsen cos sen (,0) (1) sen 110,1099 sen acuando o imite da função da áea da base do poígono egua de n ados, B, quando n tende a infinito obtemos 1,818cm, o que confima que quanto mais ados o poígono da base tive, mais sua áea se apoimaá da áea da cicunfeência que é de 1,8cm. naogamente, cacuando o imite da áea tota do pisma egua nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 9

10 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 de n ados,, com n tendendo a infinito obtemos 15,796cm, cujo vao se apoima da áea tota do ciindo poposto como idea que é de 15,80cm. pati da anáise dos imites cacuados podemos concui que: B B 1,8cm 15,80cm Desta foma, concui-se que a caia atua do cocoate obeone é a embaagem que gasta mais mateia paa a fabicação como foi mostado nos cácuos e nos gáficos epostos e a embaagem na foma do ciindo cicua eto é a embaagem que gasta a meno quantidade de pape catão paa sua confecção, pois possui a meno áea tota, sendo esta a embaagem idea pocuada paa souciona a questão. Encontado o modeo matemático, é necessáio popo novos fomatos paa a embaagem de modo a vaida o mesmo. Utiizando as fómuas definidas paa quaque poígono de n ados, com n assumindo os vaoes 5, 6 e 8, podemos detemina as áeas da base, a áea tota e a atua destes pismas. Os vaoes foam tabuados de acodo com a tabea e a eação ente a áea da base e a áea tota é mostada na figua 6. abea : Foma das Embaagens Foma da embaagem úmeo de vétices do poígono (n) Áea da base (cm ) Áea tota (cm ) tua (cm) Pisma tiangua 5,0 1,11 1,00 Pisma quadangua 8,16 17,18 1,6 Pisma pentagona 5 9,70 155,59 11,7 Pisma eagona 6 10,60 18,6 10,50 Pisma octogona 8 11,5 1,1 9,6 iindo 0 1,8 15,80 8,68 ompaando estes esutados temos que: > > P > H > O > 1,11cm > 17,18cm > 155,59cm > 18,6cm > 1,1cm > 15,80cm pós a anáise dos dados, notamos que o modeo matemático poposto continua vaendo após a vaidação, ou seja, quaque pisma egua de n ados inscito na nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 10

11 Áea ota X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 cicunfeência de aio,0cm possui áea tota maio do que a áea tota do ciindo eto. Reação Áea tota X Áea da base ,0 8,16 9,70 10,6 11,5 1,8 Áea da base Figua 6 Reação áea tota áea da base OLUSÃO pós todos os cácuos e todas as demonstações contatou-se que a embaagem que utiiza meno quantidade de mateia paa poduzi-a é a que possui a foma de ciindo cicua eto com aio igua a,0cm e atua igua a 8,68cm. ssim, a caia poposta é capaz de amazena a mesma quantidade de cocoate como a do modeo oigina. Destaca-se neste pojeto, utiizando o pocesso de modeagem, uma foma difeente de se tabaa a tigonometia, a geometia espacia, aém de outos conteúdos matemáticos, de foma difeente da convenciona. Utiizando a modeagem matemática paa o ensino, pecebe-se que os aunos podem apende e apica a matemática em seu cotidiano de uma foma contetuaizada, consequentemente minimizando a não apendizagem. a ação de modea, dento do pocesso de modeagem, pode-se visumba uma apendizagem po eceência, isto é, tona o apendiz capaz de comunica, de apeende e compeende, de enfenta novas situações, esove pobemas, apendendo com isso não apenas o meo domínio de técnicas matemáticas, pincipamente de cácuos, e sim desenvove as abiidades necessáias paa a sua vida. nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 11

12 X Enconto aciona de Educação Matemática Educação Matemática, utua e Divesidade Savado B, 7 a 9 de Juo de 010 mudança do ensino da matemática paa essa nova pespectiva pode significa a obtenção de um ambiente de apendizagem cutuamente sensitivo. ambém pode significa a otimização de cuícuos, a intodução de novas tecnoogias, das nomas da saa de aua ou na intodução de métodos de esoução de pobemas, de conecimentos, de páticas ou de cenças dos pofessoes e aunos, no sentido de popociona uma apendizagem de quaidade e que seja significativa ao auno no momento de gandes tansfomações técnicas e científicas em que vivemos. REFERÊIS BIBLIOGRÁFIS RH, Maia Lúcia de uda. Fiosofia da Educação. Editoa Modena BSSEZI, R. Modeagem Matemática, Dynamis,.1, n.7, p Bumenau-S: b/jun 199. BIEMBEGU, M.S. Modeagem matemática e impicações no ensino apendizagem de matemática. Bumenau: FURB, BIEMBEGU, M. S.; HEI,. Modeagem Matemática no Ensino. São Pauo: Editoa onteto, 005. nais do X Enconto aciona de Educação Matemática Reato de Epeiência 1