REINTERPRETANDO A CONSTRUÇÃO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE LEIBNIZ COM USO DE RECURSOS GEOMÉTRICOS

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1 REINERPREAND A CNSRUÇÃ D CÁLCUL DIFERENCIAL E INEGRAL DE LEIBNIZ CM US DE RECURSS GEMÉRICS Intodução Ségio Caazedo Dantas Resumo Nesse teto apesentamos algumas deduções que Leibniz ealizou paa chega ao Cálculo Difeencial e Integal. Paa tanto abodamos conceitos como sequências de difeenças, tiângulos caacteísticos e tansmutações. Esses conceitos aliados a algumas das questões que Leibniz buscava esponde, como a quadatua de cuvas possibilitou sua invenção do Cálculo Integal e Difeencial. Nesse teto apesentamos alguns poblemas e as soluções encontadas po Leibniz que levaam-no a sua invenção do Cálculo Difeencial e Integal. Apesentamos os tópicos sequências de difeenças, tiângulos caacteísticos e tansmutações aliados a uma intepetação geomética com o empego do Softwae GeoGeba 1. Concluímos com a fomalização em notação atual do cálculo de áea po meio de integal definida. Sequências de difeenças No ano de 1672 Leibniz foi defontado com a seguinte pegunta: Qual é a soma dos ecípocos dos númeos tiangulaes? s númeos tiangulaes fazem pate de uma sequência numéica que epesenta um elo ente a Aitmética e a Geometia, as chamadas sequências figuadas. Na figua a segui são apesentados os quato pimeios temos da sequência de númeos tiangulaes e o seu temo geal. Figua 1: Repesentação gáfica dos pimeios temos da sequência de númeos tiangulaes 1 Alguns dos gáficos que ilustam o teto possuem objeto inteativo que disponibilizamos no site ais gáficos aliados a leitua do teto podem contibui com a compeensão das deduções de Leibniz.

2 Po ecipoco de um númeo entende-se o seu inveso. Assim, Leibniz deveia enconta a soma dos invesos dos númeos tiangulaes, o que se taduz em: ( 1) Paa ealiza esse cálculo, Leibniz fez uso de sequências de difeenças, conceito que já havia estudado em função de outas motivações. Considee uma sequência (a n ) = a 1, a 2, a 3, a 4,...,a n. A pati dos temos de (a n ) é possível obte uma sequência (b n ), tal que: Assim, b = a a b = a a b = a... a b = a n n an 1 b b b... b a a a a a a... a a n n n1 b b b... b a a n 1 n1 Em outas palavas, isso significa que Leibniz descobiu que uma sequência cujos temos podem se escitos como difeenças são facilmente somados. E, voltando a pegunta inicial, Leibniz notou que: n1 n ( 1) ( 1) 1 Daí concluiu que: n1 n ( 1) 1 As sequências de difeenças seviam de feamenta paa Leibniz calcula somas de númeos impaes e sequências numéicas no tiângulo hamônico 2. A pati do estudo das sequências de difeenças Leibniz concluiu que soma sequências e toma as suas sequências de difeenças são opeações mutuamente invesas em ceto sentido (Baon, 1985). 2 Paa mais detalhes consulte Boye páginas e

3 Paa ilusta a conclusão apesentada anteiomente, considee a cuva da epesentação gáfica de f () 3. Considee ainda a sequência 1, 2, 3, 4, 5,..., n em que n n1 y, y, y, y, y,..., y em que cada y f n 1 e a sequência com N*. Figua 2: Repesentação gáfica de f () com as sequências ( n ) e ( y n ). Considee também a eta secante s po,f e ,f. Figua 3: Repesentação gáfica de f () e da eta secante s. Como 2 1 1, temos que o declive da eta s é dado po: f f f f m f f s Leibniz não utilizou uma epessão analítica paa a cuva e sim um aco abitáio passando po tês pontos. Nossa escolha deve-se a elação que petendemos estabelece ente cuvas e as epessões analíticas da áea de egiões que limitam.

4 Assim, o declive de uma eta secante po n1,f n 1 e n n calculado po f f n n 1, ou seja, pela difeença das odenadas.,f é Leibniz concluiu ainda que tomando 2 1 1, a áea limitada pelo gáfico 1 n de f() no intevalo, é calculada po 1 o quanto meno possível. n 1 y. Isso é possível tomando a unidade Figua 4: Escolha da unidade 1 a cada vez meno. Segundo Baon, Leibniz pecebeu [...] uma analogia ente o cálculo de difeenças finitas e somas, po um lado, e a deteminação de áeas e de tangentes pelo outo: a adição das sequências coespondia à quadatua de cuvas; toma as difeenças coespondia à deteminação das tangentes. A elação invesa ente toma somas e difeenças sugeiu a Leibniz que as deteminações de áeas e de tangentes também são opeações invesas. (1985, p. 46) iângulo caacteístico Em um segundo momento, Leibniz utiliza as sequências de difeenças juntamente com os chamados tiângulos caacteísticos que abodamos a segui. Paa ealiza a constução do tiângulo caacteístico tomamos a mesma cuva dos eemplos anteioes, ou seja, f (). Consideamos ainda os pontos, C e sobe essa cuva.

5 Figua 5: Repesentação gáfica de f () e das etas tangente t e nomal n. Po C é taçada a eta tangente t que intecepta o eio em G e o eio y em S. E ainda po C é taçada a eta nomal n que intecepta o eio em E. Sobe a eta t obtém um ponto C 1 póimo do ponto C. A pati desses pontos constuímos o tiângulo CC 1 D, com ângulo eto no vétice D. Figua 6: Repesentação gáfica de f () e do tiângulo CC 1 D. tiângulo CC 1 D é chamado de tiângulo caacteístico. ansmutação Nas últimas constuções é possível identifica tiângulos semelhantes ao tiângulo caacteístico. Na Figua 7 é eibido o tiângulo CBE.

6 Figua 7: iângulos semelhantes CEB e CC 1 D. A Figua 9 eibe o tiângulo GBC também semelhante ao tiângulo caacteístico CC 1 D. Figua 8: iângulos semelhantes GBC e CC 1 D. Pelo ponto taçamos uma pependicula a eta t obtendo o ponto P. tiângulo SP também é semelhante ao tiângulo caacteístico CC 1 D. Figua 9: iângulos semelhantes SP e CC 1 D.

7 Na sequência dessa constução obtemos o ponto B 1 de tal maneia que B 1 D seja pependicula ao eio. Em seguida, obtemos os pontos Q e Q 1 po uma paalela ao eio po S, e constuímos o etângulo BB 1 Q 1 Q. Figua 10: Retângulo BE 1 Q 1 Q. Na Figua 12 destacamos o tiângulo CC 1 de altua P. Figua 11: iângulo CC 1. A áea do tiângulo CC 1 pode se calculada pela seguinte epessão: 1 áea CC1.CC 1.P 2 Como os tiângulos CC 1 e SP são semelhantes, temos: CC1 CD S CC 1.P CD.S P Assim, a áea CC CC 1.P.CD.S.CD.BQ 2 2 2

8 Desse modo Leibniz mostou que é possível calcula a áea do tiângulo CC 1 a pati da áea do etângulo BB 1 Q 1 Q. E daí concluiu que paa cada ponto C i é possível enconta um ponto Q petencente a uma cuva QJ. Com isso ele eduz a quadatua de uma cuva dada C à quadatua de outa cuva QJ que pode se constuída a pati da cuva dada mediante suas tangentes. Figua 12: Cuva QJ que epesenta a quadatua de C. Assim, a áea abaio da cuva C, acima do eio e limitada no intevalo, é calculada po: n i1 áea CR áea dos tiangulos Ci1C i áea R n i1 1 áea CR. áea BBiQiQ áea R 2 Figua 13: Áea da egião CR.

9 Como cada ponto C i possui um coespondente Q i é possível enconta uma epessão analítica paa o calculo da áea da egião CR. Figua 14: Cuvas C e QC com indicações de, y, d e dy. Paa inicia a dedução da epessão analítica essaltamos que = B, y = BC e z BQ. emos assim que 1 S BC, ou seja, z y a 2 2 emos ainda que dy CQ dy BC BQ dy y z. d B d B d Da última igualdade obtemos dy z y. (1) d Integando em elação a ambos os membos da equação (1), obtemos dy z d y. d d Logo, a áea da egião CR é calculada po 1 dy 1 áea CR y. d+.y 2 d dy 1 y d. d.y 2 2 d 2 y d.y y d.y

10 y d.y y d.y y d Atualmente, a epessão elação a no intevalo,. y d é lida como a integal definida de y em É possível nota, nas demonstações que apesentamos até aqui, que foi consideado apenas um aco com concavidade voltada paa baio e po uma função f cescente. Podemos nota ainda que a áea abaio da cuva é calculada pela soma da áea do tiângulo R com a soma das áeas dos tiângulos C i 1 C i, cujas áeas, devido as popoções eistentes são calculadas em função da medida do lado S do tiângulo PS, que são as altuas dos etângulos BB i Q i Q. Figua 15: Cuvas C e sua tansmutada QC com 10 tiângulos CCi e seus espectivos etângulos BBiQiQ. Essa escolha pemite deduzi uma epessão analítica paa a cuva QJ. Vejamos cada um dos quato casos eistentes e a dedução da epessão analítica () da cuva QJ.

11 Caso 1: Função cescente com concavidade voltada paa baio. Figua 16: Gáfico de função cescente com concavidade voltada paa baio Caso 2: Função cescente com concavidade voltada paa cima. Figua 17: Gáfico de função cescente com concavidade voltada paa cima

12 Caso 3: Função decescente com concavidade voltada paa cima. Figua 18: Gáfico de função decescente com concavidade voltada paa cima Caso 4: Função decescente com concavidade voltada paa baio. Figua 19: Gáfico de função decescente com concavidade voltada paa baio Em cada um dos casos 1, 2, 3 e 4, a áea da egião CR é calculada pela soma n i1 áea R áea dos tiangulos Ci 1C i. pimeio temo dessa epessão

13 coesponde a áea do tiângulo R e o segundo temo coesponde a egião tansmutada paa cuva QJ ou RQJ. Já sabemos que a soma das áeas dos tiângulos Ci 1Ci é equivalente a um meio da soma das áeas dos etângulos BBiQiQ, ou seja, n n 1 C C. BB Q Q i1 i i i 2 i1 i1 Sabemos ainda que a altua BQ de cada etângulo BBiQiQ coesponde a odenada do ponto S 4, o que é equivalente a afima que a altua de cada etângulo BB Q Q é a odenada de Q i que pode se calculada po: i i df () Q() f () 0 f ( 0) d Essa última epessão possibilita compeende a elação que Leibniz fez quando afimou que as deteminações de áeas e de tangentes também são opeações invesas (Baon, 1985). que nos leva a afima que a invenção do Cálculo po Leibniz sugiu a pati da esolução de um poblema em que foam uteis e desenvolvidas simultaneamente conceitos de deivada e de integal. REFERÊNCIAS BIBLIGRÁFICAS BARN, M. E. Cuso de Históia da Matemática: oigem e desenvolvimento do Cálculo. Basília, UnB, v.1/2/3/4/, GUIDRIZZI, Hamilton Luiz, Cálculo, Volume 1 5ª edição LC Editoa. LIMA, Elon Lages, Cuso d Análse, Volume 1 IMPA. SWKWSKI, Eal W., Cálculo com Geometia Analítica, Volume 1 2ª edição MAKRN Books do Basil Editoa Ltda. 4 ponto S é obtido pela intesecção da tangente t intecepta a eta = o

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