Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pea Universidade Federa do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pea UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 199. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 000 a 005. Autor de ivros didáticos destinados a concursos púbicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio ógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 003 a 007. Professor sócio do Coégio Positivo de Joinvie desde 006. Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 005. Autor de materia didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 005 a 009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 199, ecionando as discipinas de raciocínio ógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consutor da Empresa Resut Consutoria em Avaiação de Curitiba de 1998 a 000. Consutor em Estatística Apicada com projetos de pesquisa desenvovidos nas áreas socioeconômica, quaidade, educaciona, industria e eeições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvovimento (Iprocade) desde 008. Autor de questões para concursos púbicos no estado do Paraná desde 003.

2 Trigonometria em triânguos retânguos Teorema de Pitágoras Antes de trabaharmos com o Teorema de Pitágoras, precisamos estudar os triânguos retânguos. Triânguo retânguo Os triânguos são figuras geométricas fundamentais, pois são os poígonos que possuem a menor quantidade possíve de ados. Consequentemente, podemos pensar que são os triânguos que constituem os demais poígonos. Assim, estudar triânguos nos fornece uma consideráve vantagem em Geometria, já que o triânguo é eemento formador desses poígonos. Iniciaremos nosso estudo com os triânguos retânguos. Definição: triânguo retânguo é todo triânguo que apresenta um ânguo reto, ou seja, um ânguo de 90. A seguir temos um triânguo retânguo onde A,B ec representam as medidas dos três ânguos internos do triânguo, sendo o ânguo reto ocaizado no vértice A. A c b B a C O ado BC, oposto ao ânguo reto, é chamado de hipotenusa e os ados AB e AC são chamados de catetos do triânguo retânguo. Uma reação matemática importante afirma que: 95

3 Em quaquer triânguo, a soma dos ânguos internos é sempre igua a 180. Como num triânguo retânguo um dos ânguos é reto, a soma das medidas dos outros dois ânguos agudos de vértices B e C é sempre 90 : B + C = 90 Quando a soma das medidas de dois ânguos é igua a 90, dizemos que esses ânguos são compementares. Um dos teoremas mais importantes da Geometria é o Teorema de Pitágoras. De significado simpes, esse teorema estabeece uma reação sempre váida entre as medidas dos catetos e da hipotenusa de um mesmo triânguo retânguo. Em todo triânguo retânguo, o quadrado da medida da hipotenusa é igua à soma dos quadrados das medidas dos catetos. b a c Na figura, se a representa a medida da hipotenusa e b e c as medidas dos catetos, então: a = b + c Vamos mostrar agumas apicações geométricas do triânguo retânguo, iniciando com o cácuo da medida da atura de um triânguo equiátero. Dado um triânguo equiátero ABC, ou seja, um triânguo cujas medidas dos ados são todas iguais, podemos traçar a atura de medida h reativa ao ado AB obtendo, assim, o triânguo HBC: C h 96 A H B

4 Observe que o ponto H é ponto médio do ado de medida AB. Assim, sendo a medida de cada ado, apicando o teorema de Pitágoras no triânguo HBC, temos: = h + æ è ç ö ø h = h = 4 h = h = Logo, a atura h de um triânguo equiátero, em função do ado, é dada por h = 3. Vamos mostrar agora uma apicação do Teorema de Pitágoras em um quadrado que, como sabemos, é um quadriátero que possui quatro ados de mesma medida e quatro ânguos internos retos. No caso de um quadrado ABCD, podemos traçar a diagona de medida AC e representá-a por d: D C d A B 97

5 Sendo a medida do ado, apicando o teorema de Pitágoras no triânguo ABC, temos: d = + d = d = d = A concusão é a de que a medida da diagona d de um quadrado de ado, é dada por d =. Razões trigonométricas num triânguo retânguo Estudaremos agora agumas reações matemáticas extremamente úteis, chamadas de reações trigonométricas e que estão reacionadas com as medidas dos ânguos e dos ados de um triânguo retânguo. Dado um triânguo retânguo quaquer, definem-se três razões trigonométricas para os dois ânguos agudos (menores que 90 ) α e β do triânguo. b β a Razão Seno: o seno de um ânguo agudo em um triânguo retânguo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto ao ânguo e da hipotenusa. c α 5 β α

6 hipotenusa cateto oposto a α sen α= cateto oposto a α hipotenusa α Exempo: 5 sen a = 13 1 senb = 13 Razão cosseno: o cosseno de um ânguo agudo em um triânguo retânguo é a razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ânguo e da hipotenusa. hipotenusa cos α= cateto adjacente a α hipotenusa α cateto adjacente a α Exempo: 5 β 13 α 1 1 cos a = 13 5 cos b = 13 99

7 Razão tangente: a tangente de um ânguo agudo em um triânguo retânguo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ânguo. hipotenusa cateto oposto a α tg α= Exempo: cateto oposto a α cateto adjacente a α α cateto adjacente a α 5 β 13 α 1 5 tg a = 1 1 tgb = 5 Cácuo de seno, cosseno e tangente dos ânguos 30, 45 e 60 Nas reações geométricas, os ânguos 30, 45 e 60 se destacam em reação aos demais, pois são muito utiizados nas construções de figuras panas importantes. Por essa razão, são denominados de ânguos notáveis. Para encontrar os vaores de seno, cosseno e tangente de 30 e 60, vamos considerar um triânguo equiátero ABC cujo ado tem medida e cuja atura tem medida h =

8 C 30 ⁰ 30⁰ h = 3 A 60 ⁰ 60⁰ H B No triânguo BCH anterior, vamos utiizar as razões trigonométricas dos ânguos de 30 e 60 : sen 30 = 1 = cos 30 = 3 h 3 = = 3 tg 30 = = = h sen 60 = = 3 cos 60 = 1 = 3 h tg 60 = = = 3 301

9 Para o cácuo das razões seno, cosseno e tangente de 45, vamos utiizar um quadrado ABCD cujo ado tem medida e cuja diagona tem medida. D C d A 45 ⁰ B Observe o triânguo retânguo ABC que compõe o quadrado anterior. Utiizando as razões trigonométricas, temos: 1 sen 45 = = = 1 cos 45 = = = tg 45 = = 1 Os vaores que obtivemos permitem a construção de uma tabea das razões trigonométricas de ânguos notáveis: sen 1 3 cos 3 1 tg

10 Observação: as razões trigonométricas mais empregadas nos probemas de Física ou Matemática são para os ânguos 30, 45 e 60. Reações entre seno, cosseno e tangente Considere o triânguo retânguo de medidas a, b e c e ânguos agudos α e β. c β a b α Nesse triânguo, o cateto de medida c é oposto em reação ao ânguo α e adjacente em reação a β. Da mesma forma, o cateto de medida b é oposto em reação ao ânguo β e adjacente em reação a α. Consequentemente: c sen a esen b a = cosb= b= cos a = a Essas iguadades serão verdadeiras sempre que os ânguos α e β forem compementares, ou seja: α + β = 90. De uma forma gera, se α e β são ânguos compementares, então: sen α = cos (90 α) e cos α = sen (90 α) Exempo: sen 30 = cos 60 = 1 sen 60 = cos 30 = As iguadades são váidas porque = 90, ou seja, os ânguos 30 e 60 são compementares

11 Reação fundamenta da trigonometria Considerando novamente o triânguo retânguo anterior, vamos utiizar o Teorema de Pitágoras para obter outra reação importante: a = b + c Dividindo a = b + c por a, com a 0, temos: a a b c = + a a c Mas, considerando que sen a esen b a = cosb= b= cos a =, então a a iguadade corresponde a: 1 = ( cos a) +( sen a) ou sen α + cos α = 1 Esse fato pode ser generaizado para quaquer ânguo α: a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um mesmo ânguo é sempre igua a 1. sen α + cos α = 1 Devido à sua importância, essa útima reação é chamada de reação fundamenta da trigonometria. Existe também uma importante reação entre as medidas do seno, do cosseno e da tangente de um mesmo ânguo agudo. Para compreendê-a, considere um triânguo retânguo de medidas a, b e c, e ânguo agudo α: c a b α O que ocorre quando dividimos o seno peo cosseno de um mesmo ânguo agudo? 304

12 Observe: c sen a a c a c = = = = cos a b a b b tg a a Logo, a tangente de um ânguo agudo α é o quociente entre o seno e o cosseno desse ânguo α: sen a tg a = cos a Essa reação permite obter o vaor da tangente de um ânguo agudo a partir do seno e do cosseno desse ânguo, sem a necessidade de construir um triânguo e observar as medidas dos ados. Com esses conteúdos, estamos prontos para resover agumas questões. Resoução de questões 1. (Esaf) Os ânguos de um triânguo encontram-se na razão : 3 : 4. O ânguo maior do triânguo, portanto, é igua a: a) 40. b) 70. c) 75. d) 80. e) 90.. (Esaf) Se de um ponto P quaquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados peo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círcuo inscrito em um triânguo retânguo mede 1cm. Se a hipotenusa desse triânguo for igua a 0cm, então seu perímetro será igua a: 305

13 a) 40cm. b) 35cm. c) 3cm. d) 4cm. e) 45cm. 3. (FCC) Sabendo-se que cos x + 3sen x = 1, então um dos possíveis vaores para a tangente de x é igua a: a) 4/3. b) 4/3. c) 5/3. d) 5/3. e) 3/4. 4. (Fuvest) Se o triânguo ABC é retânguo em A, e se o seno do ânguo B é 0,8, qua o vaor da tangente do ânguo C? a) 0,5. b) 0,50. c) 0,75. d) 1,00. e) 1,5. 5. (Unicamp) Seja x um número rea positivo ta que x, x +1 e x + sejam medidas dos ados de um triânguo retânguo. Assinae, entre as aternativas a seguir, aquea que contém o perímetro desse triânguo. a) 10. b) 1. c) 11. d) e) 15.

14 6. (UFV) Depois de andar 5m numa escada roante, uma pessoa percebeu que se desocou 4m em reação à horizonta. Tendo andado 10m na mesma escada, de quantos metros terá se desocado em reação à vertica? a) 5. b) 8. c) 9. d) 6. e) (Fuvest) Um dos catetos de um triânguo retânguo mede e a hipotenusa mede 6. A área do triânguo é: a). b) 6. c) 4. d) 3. e) (Cesgranrio) Um cateto de um triânguo retânguo é duas vezes e meia o outro cateto. Se a área do triânguo vae 0, o menor cateto mede: a). b) 4. c) 5. d). e). 9. (UEL) Um triânguo retânguo é ta que a hipotenusa mede 6 5 cm e a soma das medidas dos catetos é igua a 18cm. A área desse triânguo, em centímetros quadrados, é: a) 36. b)

15 c) 144. d) 156. e) (ES) O perímetro de um triânguo retânguo isóscees é ( 1 + 6) cm. A área deste triânguo, em cm², é: a) 5. b) 4. c) 3. d). e) 3. Dica de estudo Das inúmeras quantidades de ados que um poígono pode ter, o triânguo se destaca por possuir a menor quantidade possíve de ados. Esse fato faz do triânguo um poígono especia, por ser o poígono formador dos demais, de modo que compreender bem as reações trigonométricas constitui-se em um grande trunfo na resoução de probemas geométricos. Aém disso, entre os triânguos, destaca-se o triânguo retânguo. O fato de possuir um ânguo reto permite reacioná-o com mais faciidade a outras figuras geométricas. Nesse sentido, iniciar com o domínio dos conteúdos dessa aua é uma maneira adequada para se embasar na Trigonometria e na Geometria. Referências BOYER, Car B. História da Matemática. 1. ed. São Pauo: Edgard Bücher Ltda., GARBI, G. Giberto. A Rainha das Ciências um passeio histórico peo maravihoso mundo da Matemática. São Pauo: Livraria de Física, 006. LIMA, Eon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasieira de Matemática. (Coeção do Professor de Matemática.) 308

16 LIMA, Eon Lages et a. Temas e Probemas Eementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasieira de Matemática, 001. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Bumenau: FURB, v. 1. TAHAN, Maba. O Homem que Cacuava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, Gabarito 1. Se os ânguos agudos encontram-se na razão : 3 : 4, vamos supor que os ânguos tenham medida x, 3x e 4x. Assim, se a soma dos ânguos internos é igua a 180, temos: Assim, o maior dos ânguos mede: Resposta: D x + 3x + 4x = 180 9x = 180 x = 0 4x = 4. 0 = 80. Sendo x a medida dos segmentos que têm extremidades no ponto P e nos pontos de tangência, temos: 0 x 0 x 1 0 x x P O perímetro do triânguo é igua à soma das medidas dos ados. Logo, o perímetro é dado por: (0 x) x + x + (0 x) = 4cm 309

17 Resposta: D 3. Soução: cos x + 3sen x = 1 cos x = 1 3sen x Substituindo na reação fundamenta da trigonometria, temos: Se sen x = 0, então: Se sen x = 3/5, então: Resposta: E sen x + cos x = 1 sen x + (1 3sen x) = 1 sen x sen x + 9sen x = 1 10sen x 6. sen x = 0. sen x.(5. sen x 3) = 0 sen x = 0 ou sen x = 3/5 cos x = 1 e tg x = 0/1 = 0. cos x = -4/5 e tg x = -3/4. 4. Se sen (B) = 0,8 = 4/5, então, sem perda de generaidade, pode-se considerar que a medida do cateto oposto ao ânguo do vértice B é igua a 4 e a hipotenusa mede 5. Utiizando o teorema de Pitágoras, podemos obter a medida do outro cateto: a = b + c 5 = 4 + c 5 = 16 + c 5 16 = c 9 = c c = 3 310

18 Logo, a tangente do ânguo do vértice C, definida como sendo a razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente ao ânguo C, é dada por: Resposta: C tg( C 3 )= = 075, 4 5. Se x, (x +1) e (x + ) são as medidas dos ados de um triânguo retânguo, então x e (x + 1) são as medidas dos catetos e (x + ) é a medida da hipotenusa. Assim, utiizando o teorema de Pitágoras, temos: (x + ) = (x + 1) + x x + 4x + 4 = x + x x x x 3 = 0 Resovendo pea fórmua de Bhaskara, temos: ( ) ( ) 4.1.( 3) ± x =.1 ± x = ± 16 x = ± 4 x = x1= = = 3 ou x = = = 1 (não convém, pois x > 0). Assim, se x = 3, as medidas dos ados do triânguo são x = 3, x + 1 = 4 e x + =

19 O perímetro do triânguo é igua à soma das medidas dos ados, ou seja, = 1 unidades de comprimento. Resposta: B 6. Vamos considerar um triânguo retânguo que representa essa situação, de modo que 5m seja a medida da hipotenusa e 4m seja a medida do cateto de mede o desocamento em reação à horizonta. Utiizando o teorema de Pitágoras, obtém-se a medida do outro cateto: 3m. Como o desocamento tota pea escada roante é igua a 10m, mantendo-se a incinação ao ongo da subida, é possíve um triânguo congruente ao primeiro. Observe a figura: α α Logo, o desocamento tota em reação à vertica é igua a = 6m. Resposta: D 7. Sendo x a medida do outro cateto, utiizando o teorema de Pitágoras, temos: 6 = + x 36 = 4 + x 36-4 = x 3 = x x= 3 x= 4 31

20 A área de um triânguo retânguo pode ser cacuada peo semiproduto das medidas dos catetos, ou seja, 4. = 4. Resposta: C 8. Se o menor cateto mede x, então o outro cateto deve medir,5 x. A medida da área do triânguo retânguo pode ser cacuada peo semiproduto das medidas dos catetos. Logo: x. 5, x = 0 x 0. = 5, x = 16 Resposta: B x = 4 9. Sejam x e y as medidas dos catetos, respectivamente. Então, x + y = 18. Eevando-se ao quadrado ambos os membros da útima equação, temos: Mas, por Pitágoras, x Então: (x + y) = 18 x + xy + y = 34 + y =( 6 5) = 6. ( 5) = 180. (x + y ) + xy = xy = 34 xy = 144 xy = 7 313

21 Como a área de um triânguo retânguo é igua ao semiproduto das medidas dos catetos x e y, temos: Resposta: A x.y 7 Área = = = Sendo x a medida de cada cateto e y da hipotenusa, utiizando o teorema de Pitágoras, temos: y = x + x y = x y= x y= x ( ) O perímetro do triânguo é igua a x+ x+ y= x+ x = x. +. Logo: x. ( + )= x.( + )= x.( + )= 6. + ( ) x = 6 Assim, a medida da área do triânguo é dada por: Resposta: C = = = = 3 314

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