Árvores Digitais. Fonte de consulta: Szwarcfiter, J.; Markezon, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos, 3a. ed. LTC. Capítulo11

Transcrição

1 Ávoes Digitais Fonte de consulta: Szwacfite, J.; Makezon, L. Estutuas de Dados e seus Algoitmos, 3a. ed. LTC. Capítulo

2 Pemissas do que vimos até aqui } As chaves têm tamanho fixo } As chaves cabem em uma palava do computado (paa popicia manipulação eficiente em memóia) 2

3 Pemissas do que vimos até aqui } As chaves têm tamanho fixo } As chaves cabem em uma palava de computado (paa popicia manipulação eficiente em memóia) } Na pática, isso nem sempe acontece } Exemplo: aplicação que amazena um texto e pemite busca po fases nesse texto } Chaves: fases } Tamanho vaiável } Não cabem em uma palava de computado 3

4 Pemissas do que vimos até aqui } As chaves têm tamanho fixo Soluções que vimos até agoa não são aplicáveis paa indexa esse } As chaves cabem em uma tipo palava de chave de computado (paa popicia manipulação eficiente em memóia) } Na pática, isso nem sempe acontece } Exemplo: aplicação que amazena um texto e pemite busca po fases nesse texto } Chaves: fases } Tamanho vaiável } Não cabem em uma palava de computado 4

5 Solução } Uso de Busca Digital } Ávoe Digital } Ávoe Digital Bináia } Ávoe Patícia (implementação eficiente de Ávoe Digital Bináia) 5

6 Busca Digital } Ávoe Digital } Ávoe Digital Bináia } Ávoe Patícia (implementação eficiente de Ávoe Digital Bináia) 6

7 Ávoes Digitais } Também chamadas de Ties } Chave não é indivisível } Considea-se que uma chave é uma sequência de dígitos que podem se usados na indexação } Ao invés de compaa a chave inteia, a compaação é feita dígito a dígito 7

8 Exemplo o p a i t o s Chaves Indexadas: madi bacelona ma manaus pais poto m a n a u s d i b a c e l o n a 8

9 Exemplo o p a i t o s Nós azuis apontam paa o egisto que contém aquela chave Nós bancos apontam paa NULL m a n a u s d i b a c e l o n a 9

10 Exemplo: Busca a chave madi o t o p a i s m a n a u s d i b a c e l o n a

11 Exemplo: Busca a chave madi o t o p a i s m a n a u s d i b a c e l o n a

12 Exemplo: Busca a chave bahia o t o p a i s m a n a u s d i b a c e l o n a 2

13 Exemplo: Busca a chave bahia o t o p a i s m a n a u s d i b a c e l o n a 3

14 Exemplo: Busca a chave bahia p o a i t o s Busca é mal sucedida pois o nó macado em vemelho não epesenta nenhuma chave m a n a u s d i b a c e l o n a 4

15 Definições } S = {s,.., s n } é o conjunto de chaves a seem indexadas } Cada chave s i é fomada po uma sequência de elementos d j denominados dígitos } Supõe-se que existe, em S, um total de m dígitos distintos, que compõe o alfabeto de S } Os dígitos do alfabeto admitem odenação, tal que d <... < d m } Os p pimeios dígitos de uma chave compõem o pefixo de tamanho p da chave 5

16 Definições } Uma ávoe digital paa S é uma ávoe m-áia T, não vazia, tal que:. Se um nó v é o j-ésimo filho de seu pai, então v coesponde ao dígito d j do alfabeto de S (isso exige que a posição dos nós que não existem seja pesevada, paa caso pecisem se inseidos no futuo) 2. Paa cada nó v, a sequencia de dígitos definida pelo caminho desde a aiz de T até v coesponde a um pefixo de alguma chave de S } A aiz da ávoe sempe existe e não coesponde a nenhum dígito do alfabeto 6

17 No exemplo anteio } S = {madi, bacelona, ma, manaus, pais, poto} } Alfabeto de S = {a, b, c, d, e, i, l, m, n, o, p,, s, t, u} o t o p a i s m a n a u s d i b a c e l o n a 7

18 Exemplo que mosta espaço pesevado 8 e s s s e e s s S = {ee, ees, es, esse, esses, se, se, see, e, es, ese, eses, sees, sees} Alfabeto de S = {e,, s} (ávoe tenáia) e s e s e e s e s

19 Repesentação da ávoe } Alfabeto de tamanho m (ávoe m-áia) } Cada nó v apontado po pt (pt λ) possui m filhos odenados apontados po pt.pont[],..., pt.pont[m], espectivamente } Se algum i-ésimo filho desse nó estive ausente, então pt.pont[i] = λ } Se v fo nó teminal de alguma chave, então v.info = teminal. Caso contáio, v.info = não teminal 9

20 Pocedimento de Busca } A chave x a se pocuada possui k dígitos, denotados po d[],..., d[k] } O paâmeto pt indica o nó coente da ávoe } Os paâmetos l e a indicam o esultado da busca } l = tamanho do maio pefixo de x que coincide com um pefixo de alguma chave. Esse pefixo é obtido pecoendo-se a ávoe desde sua aiz até o nó w apontado po pt ao final do pocesso } Se a =, chave foi encontada no nó w, caso contáio, a = 2

21 Pocedimento Busca Digital /* Pocedimento assume que a ávoe é epesentada confome slides anteioes A chamada extena é: buscadig(x, pt, l, a), com pt = ptaiz, l =, a = */ pocedimento buscadig(x, pt, l, a) se l < k então /* k é o númeo de dígitos da chave x */ seja j a posição de d(l+) na odenação do alfabeto se pt.pont[j] λ então pt := pt.pont[j]; l := l + buscadig(x, pt, l, a) senão se pt.info = teminal então a := 2 Fonte: Algoitmo., página 26

22 Exemplo: busca chave bahia o t o p a i s pt m a n a u s l = a = d i b a c e l o n a 22

23 Exemplo: busca chave bahia o t o p a i s pt m a n a u s l = a = d i b l = a = pt a c e l o n a 23

24 Exemplo: busca chave bahia o t o p a i s pt m a n a u s l = a = d i b l = a = 24 pt pt a c e l o n a l = 2 a =

25 Inseção } Paa inclui uma nova chave x = d(),..., d(k) numa ávoe digital m-áia, utiliza-se o pocedimento de busca } Se x foi localizado, inclusão inválida } Caso contáio, a busca detemina o nó w apontado po pt, tal que o caminho da aiz até w coesponde ao maio pefixo de chave que coincide com x. O tamanho l desse pefixo também é conhecido } Seja j a posição de d(l+) na odenação de dígitos. Um novo nó é incluído na ávoe de modo a se constitui o j- ésimo filho de w } O pocesso se epete até que todos os dígitos de x tenham sido esgotados 25

26 Exemplo: insei chave bahia o t o p a i s pt m a n a u s l = a = d i b l = a = 26 pt pt a c e l o n a w l = 2 a =

27 Exemplo: insei chave bahia o t o p a i s pt m a n a u s l = a = d i b l = a = 27 pt pt a c e l o n a w l = 2 a = h

28 Exemplo: insei chave bahia o t o p a i s pt m a n a u s l = a = d i b l = a = 28 pt pt a c e l o n a w h i l = 2 a =

29 Exemplo: insei chave bahia o t o p a i s pt m a n a u s l = a = d i b l = a = 29 pt pt a c e l o n a w h i a l = 2 a =

30 Pocedimento Insee pocedimento insee(x, ptaiz) pt := ptaiz l := a := buscadig(x, pt, l, a) se a = então paa h = l +,..., k faça seja j a posição de d(h) na odenação do alfabeto ocupa(ptz) paa i =,..., m faça ptz.pont[i] := λ pt.pont[j] := ptz ptz.info := não teminal pt := ptz pt.info = teminal senão inclusão inválida 3 Fonte: Algoitmo.2, página 262

31 Uso de Ávoes Digitais } Bastante utilizadas paa implementa veificação otogáfica e dicionáios 3

32 Consideações sobe Ávoes Digitais } Consomem muito espaço em memóia } Paa uma ávoe com n chaves de tamanho máximo t com pefixos distintos, o espaço necessáio seia O(n m t) } Ávoes com muitos zigue-zagues quase sempe são ineficientes (um zigue-zague de uma ávoe T é uma subávoe pacial cujos nós possuem apenas um único filho em T) 32

33 Busca Digital } Ávoe Digital } Ávoe Digital Bináia } Ávoe Patícia (implementação eficiente de Ávoe Digital Bináia) 33

34 Ávoe Digital Bináia } É simplesmente o caso bináio de uma ávoe digital, onde m = 2 } Alfabeto é epesentado po {,} } Vantagens: } Númeo de ponteios NULL é meno (ocupa menos espaço) } Chaves podem se facilmente convetidas em bináio } Desvantagem: } Zigue-zagues ainda podem ocoe 34

35 Ávoe Bináia de Pefixos } É uma Ávoe Digital Bináia onde nenhuma chave é pefixo de outa } Popiedade inteessante: todas as chaves estão nas folhas 35

36 Conta Exemplo Não é Ávoe de Pefixo, pois o nó ** é pefixo do nó * 36 Fonte: Figua.2, pág. 254

37 Exemplo É Ávoe de Pefixo, pois nenhuma chave é pefixo de outa. Todas as chaves estão nas folhas. 37

38 Uso de ávoes de Pefixo } São muito usadas paa aplicações de codificação e compessão } Na póxima aula apendeemos a usa esse tipo de ávoe paa gea códigos únicos onde um não é pefixo do outo 38

39 Busca Digital } Ávoe Digital } Ávoe Digital Bináia } Ávoe Patícia (implementação eficiente de Ávoe Digital Bináia) 39

40 Ávoe Patícia } Constuída a pati da ávoe bináia de pefixos } S = {s,..., s n } são as chaves indexadas pela ávoe } Nenhuma chave s i é pefixo de outa 4

41 Motivação: Busca po s 4 () em Ávoe Digital Bináia } A ceto ponto do caminho, a busca enta em um ziguezague (v, v 2 ) } Em cada nó do zigue-zague, há sempe uma única opção de caminho } Ideia: } Ao chega em v pula paa o quinto dígito } É peciso adiciona essa infomação em v 4

42 Ávoe Patícia } Cada vétice v possui um ótulo (v) que seá usado paa cota caminho 42

43 Constução de Ávoe Patícia } Seja H a Ávoe de Pefixos oiginal } Constui a Ávoe Patícia T da seguinte foma: } Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: } Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. } Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k, w em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k } Se algum vétice v de T pemaneceu sem ótulo, defini ótulo (v) = nível H (v) 43

44 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s s 2 s 2 s 3 s 3 44 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

45 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s s 2 s 2 s 3 s 3 45 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

46 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s s 2 s 2 s 3 s 3 46 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

47 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s s 2 s 2 s 3 s 3 47 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

48 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s nível v = 3 k = s w s 2 s 2 s 3 s 3 48 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

49 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s nível v = 3 k = s 4 s 2 s 3 s 2 s 3 49 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

50 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s 4 s 2 s 3 s 2 s 3 5 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

51 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s 4 nível v = 3 k = 2 s 2 s 3 s 2 w s 3 5 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

52 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s nível v = 3 k = s 2 s 3 s 2 s 3 52 Paa cada zigue-zague v,..., v k em H: Se v k é um nó folha efeente à chave s i, compacta v,..., v k em v e defini (v ) = s i. Caso contáio, v k possui o filho w. Compacta v,..., v k em v e defini (v ) = nivel H (v ) + k

53 Ávoes H e T Ávoe de Pefixos H Ávoe Patícia T coespondente s s s 2 s 3 s 2 s 3 53 Se algum vétice v de T pemaneceu sem ótulo, defini ótulo (v) = nível H (v)

54 Popiedade dos Rótulos da Ávoe Patícia } Em uma busca po chave x, o ótulo de um nó v, não folha, é o índice do dígito de x elativo a v s 2 4 s 2 s

55 Exemplo: busca chave } s 2 4 s 2 s

56 Exemplo: busca chave } s 2 4 s 2 s

57 Exemplo: busca chave } s 2 4 s 2 s

58 Exemplo: busca chave } s 2 4 s 2 s

59 Pocedimento Busca /* pocedimento etona a = se chega a uma folha nesse caso ainda é necessáio compaa x com o ótulo do nó apontado po pt paa conclui que a chave x foi encontada */ pocedimento buscapat(x, pt, a) se pt.esq = λentão a := senão se k < pt. então a := 2 senão se d[pt.] = então pt := pt.esq buscapat(x, pt, a) senão pt := pt.di buscapat(x, pt, a) 59 Fonte: Algoitmo.3, página 267

60 Inseção numa Ávoe Patícia T } Efetua busca da chave x em T (x tem compimento k) } A busca temina num nó y (inteno ou folha) de T } Seleciona y, um dos nós folha descendentes de y. Seja s i a chave contida em y (Se y é folha, y = y) } Seja l o compimento do maio pefixo comum de x e s i (ou seja, x e s i coincidem exatamente até o l-ésimo dígito) } Seja c o compimento de s i } Se l = k, inseção inválida (x é pefixo de s i ) } Se l = c, inseção inválida (s i é pefixo de x) 6

61 Se inseção fo válida } Detemina nó z de T onde seá feita a inclusão } Se y é o único nó em T, então z = y } Senão, seja z o pai de y, e A o caminho da aiz de T até z } Se (z ) l + então z = y } Quando (z ) > l +, z seá o nó de A mais póximo da aiz de T, tal que (z) > l + } Cia dois nós novos, v e w, com ótulos (v) = l +, (w) = x. O pai de v seá o antigo pai de z. Os filhos de v seão w e z, sendo w o filho esquedo se d(l + ) = ou o dieito quando d(l + ) = } Se z ea a aiz de T, a nova aiz passa a se v. 6

62 Exemplo: inseção inválida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s s 2 s 3 62

63 Exemplo: inseção inválida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s s 2 s 3 Busca 63

64 Exemplo: inseção inválida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s s 2 s 3 Busca 64

65 Exemplo: inseção inválida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = y' s 2 y 4 s 2 s 3 5 Busca A busca temina num nó y (inteno ou folha) de T Seleciona y, um dos nós folha descendentes de y. Seja s i a chave contida em y (Se y é folha, y = y) 65

66 Exemplo: inseção inválida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = y' s 2 y 4 s 2 s 3 5 l = 2 k = 2 c = 4 Seja l o compimento do maio pefixo comum de x e s i (ou seja, x e s i coincidem exatamente até o l-ésimo dígito) Seja c o compimento de s i Se l = k, inseção inválida (x é pefixo de s i ) Se l = c, inseção inválida (s i é pefixo de x) 66

67 Exemplo: inseção inválida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = y' s 2 y 4 s 2 s 3 5 l = 2 k = 2 c = 4 Seja l o compimento do maio pefixo comum de x e s i (ou seja, x e s i coincidem exatamente até o l-ésimo dígito) Seja c o compimento de s i Se l = k, inseção inválida (x é pefixo de s i ) Se l = c, inseção inválida (s i é pefixo de x) 67

68 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s s 2 s 3 68

69 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s s 2 s 3 Busca 69

70 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s s 2 s 3 Busca 7

71 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s s 2 s 3 y = y' Busca A busca temina num nó y (inteno ou folha) de T Seleciona y, um dos nós folha descendentes de y. Seja s i a chave contida em y (Se y é folha, y = y) 7

72 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s l = 3 k = 6 c = 5 s 2 s 3 y = y' Seja l o compimento do maio pefixo comum de x e s i (ou seja, x e s i coincidem exatamente até o l-ésimo dígito) Seja c o compimento de s i Se l = k, inseção inválida (x é pefixo de s i ) Se l = c, inseção inválida (s i é pefixo de x) 72

73 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s 2 4 z' 5 l = 3 k = 6 c = 5 73 s 2 s 3 y = y' Detemina nó z de T onde seá feita a inclusão Se y é o único nó em T, então z = y Senão, seja z o pai de y, e A o caminho da aiz de T até z Se (z ) l + então z = y Quando (z ) > l +, z seá o nó de A mais póximo da aiz de T, tal que (z) > l +

74 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 = s 2 4 s 2 s 3 z 5 y = y' l = 3 k = 6 c = 5 v 4 w s 6 Cia dois nós novos, v e w, com ótulos (v) = l +, (w) = x. 74

75 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 = s z s 2 s 3 v 5 l = 3 k = 6 c = 5 w s 6 O pai de v seá o antigo pai de z. 75

76 Exemplo: inseção válida Insei chave s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 = s 2 4 s 2 s 3 z 5 v 4 w s6 l = 3 k = 6 c = 5 Os filhos de v seão w e z, sendo w o filho esquedo se d(l + ) = ou o dieito quando d(l+ ) = Se z ea a aiz de T, a nova aiz passa a se v. 76

77 Execícios. Desenha a ávoe digital coespondente ao conjunto de chaves abaixo AR ASA RAS ARA ASAS RASA ARAR ASSA RASAS ARARA ASSAS SA ARAS ASSAR SAARA ARRASA ASSARA SARA ARRASAR RA SARAR ARRASARA RARA SARARAS AS RARAS SARAS 77

78 Execícios 2. Simula o algoitmo de busca das chaves,,, na ávoe Patícia abaixo s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 = s 2 4 s 2 s s 6 78

79 Execícios 3. Insei as chaves,, na ávoe Patícia abaixo s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 = s 2 4 s 2 s s 6 79