32 m. Sabendo que a medida de sua altura é o dobro da medida de seu

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1 IST DE EXERCÍCIOS PR RECUPERÇÃO DE MTEMÁTIC PROFESSOR MOBI IST DE CIINDROS - 0 atua de um ciindo eto vae e o aio da ase mede Detemine a áea tota e o voume do ciindo O voume de um ciindo equiáteo vae 5 Detemine o aio da ase e a áea tota desse ciindo secção meidiana de um ciindo equiáteo tem peímeto igua a Detemine a áea atea, a áea tota e o voume do ciindo figua mosta a panificação da supefície atea de um ciindo eto Detemine seu voume 5 FEI SP Um ciindo eto tem voume igua a aio, podemos afima que o seu aio mede: m Saendo que a medida de sua atua é o doo da medida de seu a m m c m d m e m FTEC Sae-se que um ciindo de evoução de aio igua a 0, quando cotado po um pano paaeo ao eixo, a uma distância de desse eixo, apesenta uma secção etangua equivaente à ase O voume desse ciindo, em centímetos cúicos, é: a c,5 d 5 e 5 7 UFG GO Uma empesa de engenaia faica ocos na foma de um pisma, cuja ase é um octógono egua de ado 0 e atua m Paa faica esses ocos, a empesa utiiza um mode na foma de um ciindo cicua eto, cujo aio da ase e a atua medem m, confome a figua Cacue o voume do mateia necessáio paa faica o mode paa esses ocos Use: tg 7º,50,e, FG Em ceta oja, as paneas são anunciadas de acodo com sua capacidade Uma panea dessa oja, com a etiqueta " itos", tem 0 de diâmeto atua dessa panea é apoximadamente: a 7 9 c d e 5 9 UFOP MG Um ecipiente ciíndico, com gaduação, na atua, em centímetos, está ceio de água até a maca 0 Imege-se nee uma peda, eevando-se o níve da água paa 0 O aio da ase do ecipiente mede e a densidade da peda é kg/ quiogamas po ito Consideando,, a massa da peda, em quiogamas, está mais póxima de: a c d 0 FG Incinando-se em 5º um copo ciíndico eto de atua 5 e aio da ase,, deama-se pate do íquido que competava totamente o copo, confome indica a figua dmitindo-se que o copo tena sido incinado com movimento suave em eação à situação inicia, a meno quantidade de íquido deamada coesponde a um pecentua do íquido contido iniciamente no copo de: a % % c % d % e % UFU-MG Um caminão pipa tanspota ácoo em um tanque de fomato ciíndico com metos de diâmeto e metos de compimento Saendo-se que a atua do níve do ácoo é de,5 metos, confome esoçado na figua detemine o voume, em itos, do ácoo existente no tanque UEG GO Uma caixa d água com capacidade paa 000 itos tem a foma de um ciindo cicua eto de aio da ase e atua umentando o aio da ase em 0% e diminuindo a atua tamém em 0%, quantos itos caeão nessa nova caixa d água?

2 IST DE CIINDROS - 0 UEMG O diâmeto da ase de um ciindo eto tem 0 Saendo que a atua do ciindo é, o seu voume é: a 0 π³ c 0π³ 00π³ d 00π³ Qua é a atua de um ciindo eto de,5² de áea da ase sendo a áea atea o doo da áea da ase? Use π =, Detemine a azão ente a áea atea e a áea da secção meidiana de um ciindo Quantos metos cúicos de tea foam escavados paa a constução de um poço que tem 0m de diâmeto e 5m de pofundidade? 5 Cacua a áea atea de um ciindo equiáteo sendo 9² a áea de sua secção meidiana Detemina o aio da ase de um ciindo equiáteo saendo-se que a áea atea excede de π² a áea da secção meidiana 7 Um puviômeto ciíndico tem um diâmeto de 0 água coida peo puviômeto depois de um tempoa é coocada em um ecipiente tamém ciíndico, cuja cicunfeência da ase mede 0π Que atua avia acançado a água no puviômeto saendo que no ecipiente acançou 0 mm? UNIFOR Um comustíve íquido ocupa uma atua de m em um esevatóio ciíndico Po motivos técnicos, deseja-se tansfei o comustíve paa outo esevatóio, tamém ciíndico, com aio igua a,5 vezes o do pimeio atua ocupada peo comustíve nesse segundo esevatóio, em metos é: a,0, c,75 d, e, 9 UNIFOR Petende-se constui uma caixa d água, com a foma de um ciindo eto, cujo diâmeto da ase mede m Se essa caixa deve compota no máximo 70 itos d água, quantos metos ea deveá te de atua? Use: π, a,75,0 c,5 d,0 e,75 0 UFRN Um depósito ceio de comustíve tem a foma de um ciindo cicua eto O comustíve deve se tanspotado po um único caminão distiuido O tanque tanspotado tem iguamente a foma de um ciindo cicua eto, cujo diâmeto da ase mede /5 do diâmeto da ase do depósito e cuja atua mede /5 da atua do depósito O númeo mínimo de viagens do caminão paa o esvaziamento competo do depósito é: a c 0 d UFJF umentando-se o aio de um ciindo em e mantendo-se sua atua, a áea atea do novo ciindo é igua à áea tota do ciindo oigina Saendo-se que a atua do ciindo oigina mede, então o seu aio mede, em : a c d Qua a massa de mecúio, em quiogamas, necessáia paa ence competamente um vaso ciíndico de aio inteno e atua, se a densidade do mecúio é, g/³? Um ótuo etangua, contendo a pescição médica, foi coado em toda a supefície atea de um ecipiente de foma ciíndica de um ceto emédio, contonando-o até as extemidades se encontaem, sem ave supeposição Saendo-se que o voume do ecipiente despezando-se a sua espessua é 9 ³, pode-se afima que a áea do ótuo, em ², é igua a a 9 0 c 7 d 7 e 70 Nove cuos de geo, cada um com aesta igua a, deetem dento de um copo ciíndico, iniciamente vazio, com aio da ase tamém igua a pós o geo deete competamente, detemine a atua do níve da água no copo Considee =

3 Uma esfea tem aio 5 Cacue: a Seu voume Sua áea c áea da secção feita a 9 do cento IST DE ESFERS - GBRITO Fonte: Coégio Estadua ugusto Meye RS Soução figua iusta a esfea indicada picando as fómuas, temos: a R R c 5 secção 9 5 Cacue o voume da esfea cicunscita a um cone eqüiáteo cujo aio da ase mede m Soução O apótema do tiânguo eqüiáteo coincide coesponde a um teço da atua, pois vae a distância do aicento do tiânguo à ase Como o tiânguo é eqüiáteo, o ado vae o doo do aio do cone picando as fómua do tiânguo eqüiáteo e esfea, temos: 9 ap R esfea 9 R 7 R Cacue o voume e a áea tota de uma cuna esféica de aio e ânguo centa de 0º Soução figua iusta a situação Oseve que a áea tota da cuna envove a áea do fuso e a soma das áeas de duas semicicunfeências máximas que coesponde a um cícuo máximo picando as fómuas, temos: a cuna R 0º 0º 0º 7 9

4 fuso R 0º 0º 0º R cícuo cuna Uma esfea de aio 9 é seccionada po um pano que dista do seu cento Cacue: a O voume dessa esfea áea da supefície esféica c áea da secção deteminada peo mencionado pano de cote Soução figua iusta a esfea indicada picando as fómuas, temos: a R R 9 c 9 secção Cacue a capacidade de uma esfea cuja supefície esféica tem áea igua a m Soução Utiizando as fómuas coespondentes, temos: R R R R R m 7 Seccionando-se uma esfea po um pano que dista m do seu cento, otém - se uma secção de áea 7 m,detemine o voume dessa esfea Soução picando as fómuas de áea e eação de Pitágoas no tiânguo fomado peos aios da secção e da esfea, temos; sec ção 7 R R R 9m m 7 Consideando uma esfea cuja supefície tena áea 7 m que distância do seu cento deve-se taça um pano de cote paa que a secção assim deteminada tena áea de 5 m? R: m Soução Com as áeas infomadas cacuamos os espectivos aios da esfea e secção

5 esfea R 7 sec ção 5 d R 7 R m 9 m R d m 7 R Cacue o voume e a áea tota de uma cuna esféica de aio 9 e ânguo centa de 0º Soução figua iusta a situação Oseve que a áea tota da cuna envove a áea do fuso e a soma das áeas de duas semicicunfeências máximas que coesponde a um cícuo máximo picando as fómuas, temos: a cuna fuso cícuo R 9 0º 9 0º 0º 5 R 9 0º 9 0º 0º R 9 cuna 99 79,5 5 5,5 9 Cacue o voume da esfea inscita num cuo cuja áea tota é Soução Osevando que o aio da esfea mede a metade da aesta do cuo, temos: cuo a a a cuo a esfea R esfea a 7 0 Cacue a áea de uma esfea cicunscita a um cuo cujo peímeto de suas aestas é Soução emando que a esfea cicunscita passa peos oito vétices do cuo, seu diâmeto possui a mesma medida da diagona do cuo picando as fómuas, temos: P P d cuo cuo cuo esfea a a a a d cuo esfea R esfea 7

6 Cacue o voume de uma esfea inscita num cone eqüiáteo cujo voume é 7 Soução atua do cone é a atua do tiânguo eqüiáteo O aio da esfea inscita no cone coincide com o apótema do tiânguo eqüiáteo geatiz do cone eqüiáteo ado do tiânguo vae o diâmeto da ase do cone Utiizando estas infomações, temos: R R R R R R cone ap esfea esfea 7 R R Uma esfea de aio é seccionada po um pano distante 5 do seu cento Cacua as distâncias poaes Soução Há duas distâncias poaes São as ipotenusas dos tiânguos etânguos fomados pea secção Repae que os catetos dos tiânguos são e, espectivamente Temos: dp dp R Uma esfea é seccionada po um pano distante de seu cento Cacue as distâncias poaes, saendo-se que o aio da esfea é 0 Soução picando as fómuas, temos: dp dp 0 00 R Cacue a áea da esfea cicunscita ao cone eto de aio e atua R: Soução Oseve que o cento da esfea não coincide com o cento do cone O tiânguo é isóscees e não eqüiáteo Cacuamos o aio da esfea pea eação de Pitágoas indicada na figua 00 R esfea R R 0 R R R 00 0 R 0 5 Se dupicamos o aio de uma esfea, o que acontece com o voume? E com a áea da supefície? Soução Consideando e como o voume e a áea iniciais da esfea e apicando as tansfomações, temos:

7 R aio R R aio R R R R R R R ogo, o voume mutipica po e a áea da supefície quadupica IST DE ESFERS GBRITO Detemine o voume de uma esfea cuja supefície tem áea de Soução Utiizando a fómua da áea e do voume, temos: esfea esfea esfea Uma oa de oaca, com de aio, futua soe a água de uma piscina, afundando na mesma Detemine o aio da cicunfeência definida na supefície da água Soução iustação, foa de popoção, mosta a situação O aio pedido é o da secção deteminada peo pano da água que divide a esfea nas pates sumesas e emesas vista fonta mosta um tiânguo etânguo de ipotenusa e cateto ogo, Um esevatóio tem a foma de um emisféio Se paa pinta o piso gastaam-se 5 gaões de tinta, quantos gaões são necessáios paa pinta o estante da supefície intena? Soução supefície tota do esevatóio é fomada pea semi-esfea intena e o piso, que é uma cicunfeência de mesmo aio ogo a áea da semi-esfea vae п, isto é, o doo da áea do piso: 5 gaões x 5 x 0 gaões Um pano secciona uma esfea, deteminando um cícuo de saendo que o pano dista do cento da esfea Soução O aio da secção é deteminado pea áea indicada: secção secção O aio da esfea é deteminado pea eação de Pitágoas: de áea Detemine o aio da esfea, R R R FG Um osevado coocado no cento de uma esfea de aio 5 m vê o aco B so um ânguo α de 7º, como mosta a figua Cacue a áea do fuso esféico deteminado po α Soução áea é cacuada pea ega de tês em eação à áea de toda a esfea: 0º 7º fuso fuso m UNERP-SP Detemine o voume de uma cuna esféica, faicada a pati de uma esfea de m de diâmeto e um ânguo diedo de º

8 Soução O voume é cacuado pea ega de tês em eação ao voume de toda a esfea: 0º 7 5 cuna, m º cuna 7 UFPE Um tiânguo eqüiáteo tem ado e é a ase de um pisma eto de atua Cacue o aio da maio esfea contida neste pisma Soução maio esfea tocaá as faces ateais cujas distâncias seão as atuas do tiânguo equiáteo figua iusta a vista fonta e supeio O aio seá o apótema do tiânguo ap 9 OBS: O diâmeto seá de, meno que a atua do pisma ogo, caeá nas duas dieções UFOP Um ciíndico cicua eto e uma esfea, são constuídos de ta foma que a atua e o aio do ciindo são, espectivamente, e do aio R da esfea Qua soma dos voumes desses sóidos? Soução Expessando o aio e atua do ciindo em função do aio e atua da esfea, temos: R R R Soma: 7 ciindo R R R R R 7 R 7 0R 7 ; esfea R 9 UFU-MG Bóias de sinaização maítima são constuídas de acodo com a figua aaixo, em que um cone de aio da ase e atua é soeposto a um emisféio de aio umentando-se em 50%, o voume da óia fica mutipicado po que fação? Soução O voume inicia da óia é a soma dos voumes do emisféio e do cone emisféio cone R 50%,5 óia óia,5 óia UFJF-MG Um esevatóio de água tem a foma de um emisféio acopado a um ciindo cicua como mosta a figua medida do aio do emisféio é a mesma do aio da ase do ciindo e igua a = m Se a atua do esevatóio é = m, cacue a capacidade máxima de água compotada po esse esevatóio Soução capacidade do esevatóio seá a soma dos voumes do emisféio e do ciindo s medidas estão iustadas na figua emisféio ciindo R 7m m esevató io m 7m 5m UEG GO Dona Maia fez um único igadeião em foma de esfea paa seus netos Paa que cada um ficasse com a mesma quantidade de doce, esoveu faze a divisão em igadeios pequenos, todos tamém em foma de esfeas Que fação do aio do igadeião deveá se o aio da esfea de cada um dos igadeios?

9 Soução Consideando v o voume dos igadeios pequenos com aio e, e R os espectivos voume e aio do igadeião, temos: R R R R R R R R v FUEST Um cáice com a foma de cone contém de uma eida Uma ceeja de foma esféica com diâmeto de é coocada dento do cáice Supondo-se que a ceeja epousa apoiada nas ateais do cáice e o íquido ecoe exatamente a ceeja a uma atua de a pati do vétice do cone, detemina o vao de Soução Seja o voume do cáice com a ceeja Isto é: = + ceeja O voume é cacuado encontando o aio x do cícuo do íquido soe a ceeja Osevando a semeança dos tiânguos, temos: ceeja ceeja ii x iii x x x x y ii y 9 y y i IST DE PIRÂMIDES - GBRITO Uma piâmide quadangua egua tem m de atua e a aesta da ase mede m Cacue seu voume e a áea tota Soução Osevando os eementos na figua, temos: i oume: m piâmide ii Áea tota: m m m m g t Cacua a áea da ase, áea atea, áea tota e o voume da piâmide quadangua egua de apótema 5 e apótema da ase Soução Se o apótema da ase mede, então a aesta da ase mede Osevando os eementos na figua, temos: i Áeas: t

10 ii oume: Cacue o voume de uma piâmide exagona egua de áea da ase m e apótema m Soução áea da ase é o sêxtupo da áea de um tiânguo eqüiáteo com ado de mesma medida da aesta do exágono Temos: 9 m O apótema do exágono é a atua do tiânguo eqüiáteo atua da piâmide é cacuada com a eação de Pitágoas no tiânguo etânguo de ipotenusa m a p m 9 5 5m Uma piâmide tiangua egua tem 5 de atua e o apótema da ase mede Cacue o voume da piâmide Soução ase é um tiânguo eqüiáteo cujo apótema mede a teça pate da atua o cento da cicunfeência cicunscita é o aicento do tiânguo Temos: a a p p 5 O voume vae: Considee uma piâmide quadangua egua inscita em um cuo de de aesta Cacue: a a áea atea da piâmide; a áea tota da piâmide; c a azão ente o voume da piâmide e do cuo; d a azão ente as áeas totais da piâmide e do cuo Soução Osevando a figua e seus eementos, temos: m a g a p t

11 piâm ide c cuo tota piâmide 5 5 tota cuo piâm ide cuo Um pisma de ase pentagona possui 0m de voume Qua o voume de uma piâmide com mesma ase e mesma atua? Soução O voume do pisma é o tipo do voume da piâmide: d pism a piâm ide 0m pism a 0m 0m 7- Numa piâmide egua de ase tiangua, a aesta da ase mede e a atua mede Cacue o apótema da ase, o apótema da piâmide e a aesta atea Soução O apótema da ase é a medida da distância do aicento do tiânguo até a aesta ae a teça pate da atua do tiânguo eqüiáteo a i a p a p ii g g 7 iii g Uma piâmide e um pisma têm a mesma ase atua da piâmide vae o sêxtupo da atua do pisma Sendo o voume da piâmide e o voume do pisma, moste que = Soução Expessando as medidas indicadas e estaeecendo as eações, temos: piâm ide pism a 9 ase de uma piâmide egua de atua é um exágono egua inscito numa cicunfeência de aio Cacue o voume dessa piâmide Soução O ado do exágono inscito possui a mesma medida do aio áea é o sêxtupo da áea do tiânguo eqüiáteo piâm ide 0 Cacue o voume de uma piâmide tiangua egua de aesta atea igua a e cuja ase está inscita num cícuo de áea 5 Soução O tiânguo inscito é eqüiáteo, pois a piâmide é egua atua H da piâmide intesecta a ase no aicento do tiânguo distante / da atua em eação ao vétice Cacuando os eementos da piâmide, temos:

12 i a a cicunf cicunf x 5 H x H 5 ii a 5 H H H 75 ii 75 UNESP s aestas do pisma tiangua eto mostado na figua a segui têm todas a mesma medida Secciona-se o pisma po meio de um pano peos vétices R e Q e po um ponto M da aesta B Paa que o tetaedo MBQR tena voume igua a do voume do outo sóido em que se dividiu o pisma, deve-se te BM igua a: a B B c B 5 d B e B Soução Todas as aestas possuem medida B que tamém é a medida da atua do pisma Cacuando os voumes do pisma e tetaedo, temos: B i B B pisma B ii MB B MB tetaedo B MB B B MB B B B MB iii sóido p t MB B B B MB tetaedo Sóido iii B MB B MB MB B MB B MB MB

13 UNESP figua a segui mosta uma piâmide egua de ase quadada cuja atua tem a mesma medida que as aestas da ase Peo ponto médio M da atua OQ, taça-se o segmento MN pependicua à aesta O Se a expessa a medida de MN, detemine o voume da piâmide em função de a Soução Os tiânguos ONM e OQ são semeantes Temos: Q O O OQ Q NM Q y y diagona OM O y y a y y y y y y O y ay a y y a y y y a a O voume da piâmide vae: a UNESP Na figua, os panos e são pependicuaes e se inteceptam segundo a eta Os pontos, B, C, e D com e D em, são os vétices de um quadado e P é o ponto de inteseção das diagonais do quadado Seja Q, em, o ponto soe o qua caiia P se o pano giasse de 90 em tono de, no sentido indicado na figua, até coincidi com Se B =, cacue o voume do tetaedo PDQ Soução O segmento D é aesta e possui a mesma medida de B Os segmentos P e PD medem a metade da diagona do quadado e PD é etânguo e isóscees atua do tetaedo vae a metade do ado do quadado Temos: a P a DP tetaedo DP P DP UNESP figua epesenta uma piâmide com vétice num ponto E ase é um etânguo BCD e a face EB é um tiânguo etânguo com o ânguo eto no vétice piâmide apesenta-se cotada po um pano paaeo à ase, na atua H Esse pano divide a piâmide em dois sóidos: uma piâmide EBCD e um tonco de piâmide de atua H Saendo-se que H =, B =, BC = e a atua = E =, detemine: a o voume da piâmide EBCD; Soução Consideando a atua da piâmide meno E B C D temos que = H = = picando a popiedade da azão ente as áeas, temos: i B C D BCD B C D B C D

14 ii B C D B C D E o voume do tonco de piâmide Soução O voume do tonco é a difeença ente os voumes das piâmides maio e meno 0 0 EB C D EBCD Tonco B C D EB C D BCD EBCD 5 UNICMP Dado um cuo de aesta, qua é o voume do octaedo cujos vétices são os centos das faces do cuo? Soução O voume do octaedo é o doo do voume da piâmide quadangua egua de aesta da ase a a UNICMP figua mostada é um cuo cuja aesta mede a Cacue o voume da piâmide BCD Soução aesta D é a atua da piâmide BC BCD BC Cacue a distância do vétice ao pano que passa peos pontos B, C e D Soução O voume da piâmide de ase BCD e atua d possui o mesmo vao da piâmide BCD O ado D C do tiânguo é a diagona do quadado Temos: d d d d BC D C D C BCD BCD BCD BCD 7 FUEST ase de uma piâmide egua é um quadado BCD de ado e diagonais C e BD distância de seu vétice E ao pano que contém a ase é a Detemine o voume do tetaedo BDE

15 Soução figua someada possui áea da ase metade da áea do quadado Seu voume vae: BD BDE BC Detemine a distância do ponto B ao pano que contém a face DE Soução face DE possui ase ado do quadado e atua g, apótema da piâmide distância d pedida é a atua da piâmide com ase DE e mesmo voume que BDE g DE BDE DEB 5 5 d d d, DE FUEST Considee uma caixa sem tampa com a foma de um paaeepípedo eto de atua m e ase quadada de ado m poiada na ase enconta-se uma piâmide sóida eta de atua m e ase quadada com ado m O espaço inteio à caixa e exteio à piâmide é peencido com água, até uma atua, a pati da ase Detemine o voume da água paa um vao aitáio de, O Soução Supondo que a caixa está ceia até uma atua, osevamos que o voume de água é a difeença ente o voume tota da caixa e o da pate vazia foa da piâmide Temos: água = voume aaixo do pano em vemeo foa do tonco T = voume exteio à piâmide maio azio = voume acima do pano em vemeo foa da piâmide meno G = voume da piâmide maio M = voume da piâmide meno T paaeepí pedo G 9 9m M M M 9 G 9 vazio água T vazio 9m 9 FUEST Na figua aaixo, BCD é um tetaedo egua de ado a Sejam E e F os pontos médios de B e CD, espectivamente Então, o vao de EF é: Soução No tetaedo egua todas as faces são tiânguos eqüiáteos O segmento FB é a atua da face BCD O segmento EB vae a metade da aesta do tetaedo

16 Temos: a a a a a EF a EB a FB 0 FUEST figua adiante epesenta uma piâmide de ase tiangua BC e vétice Sae-se que BC e B são tiânguos eqüiáteos de ado e que E é o ponto médio do segmento B Se a medida do ânguo ÊC é 0, então o voume da piâmide é: Soução áea da ase seá a do tiânguo eqüiáteo BC atua g da face B é a do tiânguo eqüiáteo Os ementos H, g e x da piâmide seão cacuados peas azões tigonométicas 0º cos0º H tg x H x g x g IST DE PIRÂMIDES 0 - GBRITO Detemine a áea tota e o voume de um tetaedo egua cuja aesta mede m Soução O tetaedo egua é uma piâmide cujas faces são todos tiânguos eqüiáteos atua seá cacuada pea eação g = + m, onde g é o apótema da piâmide no caso atua no tiânguo equiáteo da face, m é o apótema da ase tamém tiânguo equiáteo i Tota m ii ase m 9 9 m g m ; g Uma piâmide egua tiangua tem 5 de atua e o apótema da ase mede Cacue o voume da piâmide Soução piâmide tiangua egua possui como ase um tiânguo equiáteo

17 pótema da asem pótema da asem ase m Uma piâmide exagona egua tem m de atua e a aesta da ase mede m Cacue a áea da ase, a áea atea e o voume da piâmide Soução piâmide exagona egua possui como ase um exágono egua que é fomado po seis tiânguos eqüiáteos cujos ados possuem a mesma medida do ado do exágono O apótema da ase m é a atua de um dos tiânguos eqüiáteos de ado m i 7 ase m ii g atea g 7 7 ase m m 9 iii Detemine a áea atea e o voume de uma piâmide quadangua egua cujo apótema mede 0, saendo que a aesta da ase mede Soução O apótema da ase vae a metade da medida da aesta ogo, m = i 0 0 atea g ii g 0; m 0 00 ase m 5 Cacue o voume da piâmide quadangua na qua todas as aestas vaem Soução Se todas as aestas medem, então a ase é um quadado e as faces são tiânguos eqüiáteos ogo, o apótema da ase m mede a metade da aesta e o apótema da piâmide g é a atua de um tiânguo equiáteo de ado g ; m ase

18 Cacue o voume da piâmide tiangua egua de aesta atea e cuja ase está inscita num cícuo de áea 5 Soução ase é um tiânguo equiáteo atua da piâmide pode se cacuada pea eação = + O aio seá cacuado de acodo com a áea indicada ; ase UFG figua aaixo epesenta uma toe, na foma de uma piâmide egua de ase quadada, na qua foi constuída uma patafoma, a 0 metos de atua, paaea a ase Se os ados da ase e da patafoma medem, espectivamente, e 0 metos, a atua da toe, em metos, é: a c 0 d 5 e 5 Soução ase da patafoma detemina duas piâmides semeantes Os ados das ases e as atuas são popocionais ente si 0 x x 000x x 0x 00 H 0 x 00 x 75m atua da toe seá a soma x + 0 = = 5m UFPE Uma piâmide egua com ase quadada BCD e vétice têm o anguo B medindo 5º, segundo a iustação aaixo Qua o cosseno do anguo fomado peas aestas opostas e C? a c d e Soução s aestas ateais medem todas e as aestas da ase, a O ânguo pedido C está oposto ao ado C que é a diagona da ase BCD face B possui ado a oposto ao ânguo de 5º picando a ei dos cossenos nesta a cos5º face, temos: a a a diagona da face seá: d a picando a ei dos cossenos no tiânguo C em eação ao ado d, temos: d ogo, cos C cos C cosc cosc cos C cos C cos C 9 UNISF Uma piâmide egua de ase quadada tem o ado da ase medindo o doo da atua e áea atea medindo O voume dessa piâmide, em, é: a 7 c 57 d e 0

19 Soução Se o ado da ase é o doo da atua, o apótema da ase mediá m = Utiizando as infomações e cacuando g, temos: g g g atea atea ase 0 UFPE Qua o voume de um tonco de piâmide saendo que suas ases são quadados de ados e situados em panos paaeos cuja distância e? Soução Utiizando a fómua: B: áeada asemaio; : áeada asemeno B B 7 Soução Cacuando a atua da piâmide etiada: x x x x x x x meno Tonco maio 0 IT Seja uma piâmide de ase exagona e atua 0m que distancia do vétice devemos cotá-a po um pano paaeo a ase de foma que o voume da piâmide otida seja / do voume da piâmide oigina? a m m c 5 m d m e m Soução Considee v o voume da piâmide meno acima do pano de cote e o voume da piâmide inteia Pea eação de popocionaidade, temos: v 0 v v v v m FUEST ase BCD da piâmide BCDE é um etânguo de ados B = e BC = s áeas dos tiânguos BE e CDE são, espectivamente, 0 e 7 Cacue o voume da piâmide Soução s áeas ateais de BE e CDE são difeentes ogo os espectivos apótemas tamém o são Consideando g e g os espectivos apótemas de CDE e BE Temos: g CDE g 7 g 7 CDE 7 g BE g 0 g 0 BE 0

20 atua da piâmide não intecepta a ase em seu cento Consideando x e -x as distâncias espectivas da inteseção da atua com a ase até os ados B e CD, temos: g x 7 9 x x 7 g x 0 x 0 0 x x ogo, 0 0 O voume seá então: ase IST DE EXERCÍCIOS - CIINDROS - 9 x x x x x 0 x 0 O diâmeto da ase de um ciindo eto é e a atua é 5 Cacue sua áea tota 0 Quantos itos compotam, apoximadamente, uma caixa-d água ciíndica com m de diâmeto e 70 de atua? 0 Um esevatóio paa ácoo tem a foma de um ciindo eto com m de atua e m de diâmeto da ase Qua a capacidade, em itos, do esevatóio? 0 Detemine o voume do ciindo inscito num cuo de aesta 05 Deseja-se constui uma caixa-d água em foma de ciindo eto, de,m de aio e cuja capacidade seja de 0000 itos Qua deve se apoximadamente a atua dessa caixa-d água? 0 Cacue a áea atea e a áea tota de um ciindo equiáteo de 0m de aio 07 Um ciindo eqüiáteo tem 5 de voume Cacue a sua áea atea 0 Cacue o voume da pate cooida do sóido 0 0

21 09 O tone epesentado ao ado está ocupado em 0% de sua capacidade Qua a quantidade de água nee contida, em itos? 0 0 Uma ata de ceveja tem a foma ciíndica, com de diâmeto e de atua Quantos m de ceveja caem nessa ata? 50 Cacue a áea atea de um ciindo eto, sendo m sua áea tota e o aio, 5 da atua Um etânguo de m e m de dimensões gia em tono do seu meno ado Detemine o voume do sóido geado Qua é o voume de um ciindo de evoução de aio da ase =,0 dm e atua 7,5 dm? Saendo que a seção meidiana de um ciindo é um quadado de de áea, cacue a áea atea do ciindo e o voume 5 Se a áea da seção meidiana de um ciindo equiáteo é 00, qua é o voume, em, deste sóido? Qua a capacidade, em miiitos, de uma ata em foma de ciindo eto, com 0 de diâmeto da ase e 0 de atua? 7 atua de um ciindo é 5/ do aio da ase Detemine a áea da ase desse ciindo, sendo sua áea atea Detemine a áea tota de um ciindo, saendo que a áea atea é igua a 0 e a sua seção meidiana é um quadado 9 Um ciindo cicua eto tem aio igua a e atua Detemine o voume 0 Qua a atua do ciindo, sendo = 50m e 900 m sua áea atea? Detemine o aio de um cícuo cuja áea é igua à áea atea de um ciindo equiáteo de aio áea atea de um ciindo de evoução de 0 de aio é igua a áea da ase Cacue a atua do ciindo O aio da ase de um ciindo cicua eto mede e a atua Detemine a áea atea desse ciindo

22 Um ciindo tem,7 de atua e 0, de aio da ase Cacue a difeença ente a áea atea e a áea da ase 5 Constói-se um depósito em foma ciíndica de m de atua e m de diâmeto Detemina a supefície tota do depósito Cacua a medida do aio da ase de um ciindo saendo que sua áea atea mede 00 e a geatiz 0 7 Detemina a medida da geatiz de um ciindo sendo 50 a medida de sua áea atea e 0 o aio de sua ase Cacua a áea tota de um ciindo que tem de diâmeto da ase e de atua 9 Detemine a áea atea e o voume de um ciindo de atua 0, saendo que a áea tota excede de 50 sua áea atea 0 Quantos metos cúicos de tea foam escavados paa a constução de um poço que tem 0m de diâmeto e 5m de pofundidade? Um vaso ciíndico tem 0 dm de diâmeto inteio e 70 dm de pofundidade Quantos itos de água pode conte? O aio inteio de uma toe cicua é de 0, a espessua 50 e o voume do mateia utiizado na constução é 5 m Qua é a atua da toe? Um puviômeto ciíndico tem um diâmeto de 0 água coida peo puviômeto depois de um tempoa é coocada em um ecipiente tamém ciíndico, cuja cicunfeência da ase mede 0 Que atua avia acançado a água no puviômeto saendo que no ecipiente acançou 0 mm? Cacua a áea atea, áea tota e voume de um ciindo eto de 5 de aio saendo que a secção meidiana é equivaente à ase 5 O que ocoe com o voume de um ciindo quando o diâmeto da ase doa? E quando quadupica? E quando fica eduzido à metade? Detemina o voume de um ciindo eto, saendo que a áea de sua ase é igua à sua áea atea, e a atua igua a m 7 Qua a eação ente as atuas de um ciindo de evoução e uma piâmide equivaente se as ases tamém são equivaentes?

23 Detemina a atua de um ciindo eto de aio da ase, saendo que é equivaente a um paaeepípedo etânguo de dimensões a, e c 9 Detemine a áea atea de um ciindo eto sendo S a áea de sua secção meidiana 0 Detemine a azão ente a áea atea e a áea da secção meidiana de um ciindo Detemina o voume de um ciindo eto de aio, saendo que sua áea tota é igua à áea de um cicuo de aio 5 áea tota de um ciindo de aio e atua é o tipo da áea atea de um outo ciindo de aio e atua Cacua em função de Um ciindo eto tem de áea de ase e 0 de áea atea Detemine a medida de sua atua Cada um dos aios das ases de dois ciindos é, espectivamente, a atua do outo Saendo que a azão ente os aios dos dois ciindos é K, estaeece a azão ente as áeas totais desses dois ciindos 5 Cacua a áea atea de um ciindo de evoução, conecendo seu voume e seu aio da ase Detemina a áea atea, a áea tota e o voume de um ciindo equiáteo de atua 7 Detemina o voume de um ciindo equiáteo em função de sua áea tota t Num ciindo com água coocamos uma peda Detemina o voume dessa peda, se em vitude de sua imesão tota a água eevou-se de 5, sendo 50 o aio da ase do ciindo 9 O desenvovimento de uma supefície ciíndica de evoução, é um etânguo de de atua e 7 de diagona Cacue a áea atea do ciindo IST DE PIRÂMIDES - 0 Detemine a áea tota e o voume de um tetaedo egua cuja aesta mede m Uma piâmide egua tiangua tem 5 de atua e o apótema da ase mede Cacue o voume da piâmide Uma piâmide exagona egua tem m de atua e a aesta da ase mede m Cacue a áea da ase, a áea atea e o voume da piâmide

24 Detemine a áea atea e o voume de uma piâmide quadangua egua cujo apótema mede 0, saendo que a aesta da ase mede 5 Cacue o voume da piâmide quadangua na qua todas as aestas vaem Cacue o voume da piâmide tiangua egua de aesta atea e cuja ase está inscita num cícuo de áea 5 7 UFG figua aaixo epesenta uma toe, na foma de uma piâmide egua de ase quadada, na qua foi constuída uma patafoma, a 0 metos de atua, paaea a ase Se os ados da ase e da patafoma medem, espectivamente, e 0 metos, a atua da toe, em metos, é: a c 0 d 5 e 5 UFPE Uma piâmide egua com ase quadada BCD e vétice têm o anguo B medindo 5º, segundo a iustação aaixo Qua o cosseno do anguo fomado peas aestas opostas e C? a c d e 9 UNISF Uma piâmide egua de ase quadada tem o ado da ase medindo o doo da atua e áea atea medindo O voume dessa piâmide, em, é: a 7 c 57 d e 0 0 UFPE Qua o voume de um tonco de piâmide saendo que suas ases são quadados de ados e situados em panos paaeos cuja distância e? IT Seja uma piâmide de ase exagona e atua 0m que distancia do vétice devemos cotá-a po um pano paaeo a ase de foma que o voume da piâmide otida seja / do voume da piâmide oigina? a m m c 5 m d m e m FUEST ase BCD da piâmide BCDE é um etânguo de ados B = e BC = s áeas dos tiânguos BE e CDE são, espectivamente, 0 e 7 Cacue o voume da piâmide