Material Teórico - Círculo Trigonométrico. Radiano, Círculo Trigonométrico e Congruência de arcos. Primeiro Ano do Ensino Médio

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1 Mateial Teóico - Cículo Tigonomético Radiano, Cículo Tigonomético e Conguência de acos Pimeio Ano do Ensino Médio Auto: Pof. Fabício Siqueia Benevides Reviso: Pof. Antonio Caminha M. Neto de setembo de 018

2 1 Acos e ângulos Dado um cículo e dois pontos (distintos) A e B sobe ele, um conjunto de pontos sobe o cículo que foma a cuva que vai de um dos pontos ao outo é chamado de aco. Veja que dois pontos sobe o cículo deteminam dois acos: pensando sempe no sentido anti-hoáio, temos um aco que vai de A até B e outo que vai de B até A. Quando o segmento AB é um diâmeto do cículo, AB é um eixo de simetia e, potanto, divide o cículo em dois pedaços conguentes (chamados semicículos); neste caso, os dois acos possuem o mesmo compimento. Mas, quando AB não é diâmeto, esses dois acos possuem compimentos difeentes, então um deles (o de maio compimento) é o chamado aco maio e o outo (o de meno compimento) é o aco meno. Todo aco ÃB detemina um ângulo cental, que é o ângulo AOB que o contém, onde O é o cento do cículo. B O A Figua 1: acos ÃB e CD (em vemelho) e seus ângulos centais. Como podemos calcula o compimento de um aco em um cículo? Lembe-se de que o compimento de um cículo de aio, onde é qualque númeo eal positivo, é igual (isso vem da definição de, que é a azão ente o compimento do cículo pelo diâmeto); po outo lado, temos que o compimento de um aco é popocional à medida de seu ângulo cental. Assim, lembando que a medida (em gaus) de uma volta completa no cículo é 0 e denotando po (também em gaus) a medida do ângulo cental coespondente ao aco, concluímos que o compimento desse aco é C aco = 0. (1) O D C Ao usa a unidade de medida gaus nós patimos o cículo em 0 acos de mesmo compimento. O ângulo de 1 (um gau) é o ângulo cental de qualque um desses acos. Mas poque 0 pedaços? sso é uma heança da antiga civilização babilônica, que também nos legou hoas, minutos e segundos como unidades de medida de tempo (veja que uma hoa possui 0 minutos ou 0 0 = 0 segundos). Uma das vantagens do númeo 0 é que ele possui muitos divisoes inteios. Po exemplo, podemos dividi 0 objetos em,,, 5,, 8, 9, 10 ou 1 gupos de mesmo tamanho, sempe obtendo uma quantidade inteia de objetos em cada gupo. sso tona o uso da medida gaus muito pática paa o dia a dia. Além disso, apendemos isso tão jovens que esse sistema tona-se habitual e instintivo. Po exemplo: sufistas e skatistas falam da manoba 0 paa indica uma otação completa e quando alguém diz que vai da um 180 nos negócios, entendemos que ela vai muda os planos e passa a anda na dieção oposta a que vinha. Contudo, o númeo 0 é completamente abitáio. Poque não dividi o cículos em 00 pates no luga de 0? Na vedade, existe uma unidade de medida de ângulos que faz justamente isso. Ela é chamada de gado e já foi muito usada na navegação 1, mas caiu em desuso. E poque não dividi o cículos em 100 pates iguais, de foma que pudéssemos pensa em cada ângulo como um ceto pecentual de uma volta completa? Acontece que, ao estuda Tigonometia e boa pate das matéias de cusos univesitáios em Matemática, o uso do gau como unidade de ângulo não é conveniente. Há outa unidade de medida de ângulos, que chama-se adiano. Ela é definida de uma maneia mais fundamental e não depende da escolha de um númeo abitáio de pedaços. Um adiano é a medida do ângulo cental de um aco cujo compimento é igual ao aio do cículo (ao qual o aco petence). Abeviamos 1 adiano paa 1 ad. Pelo exposto acima, quando = 1 ad, temos que C aco =. Logo, 0 = 0 = 1 ad = = 57, () ou seja, 1 adiano vale apoximadamente 57 gaus. A Figua mosta como obte um ângulo de 1 adiano. Da equação () acima, também obtemos a impotante elação: ad = 0. () Equivalentemente, dividindo ambos os lados po, obtemos ad = 180. De modo geal, paa qualque valo em adianos, basta multiplica esse valo po 180/ paa obte o valo em gaus. De modo semelhante, paa faze a convesão de gaus paa adianos devemos multiplica a medida do aco (dada em gaus) po /180. Ao estuda funções tigonométicas (como seno, cosseno e tangente), usualmente assumimos que o ângulo é dado 1 O motivo é que navega um gado sobe um meidiano teeste coesponde a navega apoximadamente 100 km. Contudo, como a Tea não é uma esfea pefeita, essa apoximação não é tão boa e, hoje em dia, há instumentos de navegação bem mais pecisos. A esse espeito, veja a animação encontada no endeeço matematica@obmep.og.b

3 (a) (c) (b) (d) 1 ad Figua : constução de um ângulo de 1 adiano. Todos os segmentos vemelhos possuem o mesmo compimento: (a) um cículo de aio ; (b) otação de um aio; (c) entotando o aio sobe o cículo; (d) macando o ângulo cental de 1 ad. em adianos. É inteessante obseva que a maioia das calculadoas científicas tabalham com adianos po padão (algumas conseguem tabalha com gaus ou gados, mas é peciso muda o modo de opeação). Nesta aula, usaemos as duas medidas (gaus e adianos) paa nos acostumamos à tansição ente uma e outa. Paa facilita, listamos abaixo os valoes de alguns ângulos comuns em gaus e em adianos. ad = 0, ad = 180, ad = 0, ad = 5, ad = 90, ad = 0. A equivalência ente medidas em gaus e adianos de alguns outos ângulos comuns pode se vistas na figua seguinte: A figua acima seve apenas paa consulta ápida ou paa confei suas espostas. De outa foma, seu intuito não é nos faze memoiza todos esse valoes, uma vez que a convesão ente gaus e adianos pode se feita facilmente, como nos exemplos seguintes. Exemplo 1. Tansfome as medidas dos ângulos a segui, de gaus paa adianos: (a) 150. (b) 0. Solução 1. (a) Seja x a medida do ângulo em adianos que equivale a 150. Como adianos equivalem a 180 e essas medidas são popocionais, temos que: x = = x = = 5. (b) Seja y a medida do ângulo em adianos que equivale a 0 gaus. De foma semelhante ao item anteio, temos que y = 0 0 = y = =. Veja que esses valoes são ealmente os indicados na figua anteio. Solução. Confome havíamos comentado, paa ealiza a convesão de gaus paa adianos basta multiplica po /180. Assim, o ângulo que coesponde a 150 gaus é = 5 ad, ao passo que o ângulo que coesponde a 0 gaus é = ad. Exemplo. Tansfome as medidas dos ângulos seguintes, de adianos paa gaus: (a) / ad. (b) / ad. (c) ad. (d) / ad. Solução. Paa convete de adianos paa gaus, devemos multiplica a medida em adianos po 180/. Assim fazendo, temos que: (a) ad = 180 = 180 = 70. (b) ad = 180 = 180 = matematica@obmep.og.b

4 Obsevação: nos dois itens acima, paa fins páticos podeíamos simplesmente substitui ad po 180. Mas, cuidado, pois isso só é válido quando o valo do ângulo em adianos é um númeo eal multiplicado po. Nos dois itens seguintes, não há como apenas substitui po 180. (c) A figua a segui mosta um ângulo de adianos. Lembe-se de que =,1, de foma que uma ângulo de adianos é um pouco meno do que adianos, ou seja, pouco meno do que 180. Mais pecisante, ele mede: (d) ad = 180 = 50 = 171,88. ad ad = 180 = 180 = 11,7. Obsevação: os valoes dos dois últimos itens podem se obtidos com o auxílio de uma calculadoa. Uma das vantagens de se tabalha com adianos é que a fómula paa o compimento do aco tona-se mais simples, confome explica o póximo Exemplo. Se ÃB é um aco de um cículo de aio, cujo ângulo cental mede θ adianos, então o compimento deste aco é C aco = θ. Pova. De fato, se o ângulo cental mede θ adianos, temos que este ângulo mede θ 0 gaus. Substituindo po esse valo na equação (1), obtemos C aco = θ 0 0 = θ. A fómula do enunciado do exemplo anteio também pode se vista da seguinte maneia: paa enconta a medida (em adianos) do ângulo cental de um aco de cículo, basta dividi o compimento do aco pelo aio do cículo. O exemplo acima é apenas um, dente muitos outos, em que usa adianos simplifica os cálculos. Exemplo. Obseve o desenho a segui. Ele epesenta o esquema de um pêndulo de um elógio cuco. Qual o compimento do aco ÃB. A ad 1 cm Solução. Como o ângulo está expesso em adiados e cada adiano nos dá um aco cujo compimento é igual ao aio, concluímos que o compimento do aco ÃB é 1 = cm. O cículo tigonomético O cículo tigonomético é o cículo de aio 1 e cento na oigem, (0,0), do plano catesiano. É inteessante obseva que, usando a fómula deduzida no Exemplo com = 1, concluímos que o compimento de um aco desse cículo é igual à medida do seu ângulo cental em adianos. Os eixos do plano catesiano dividem o cículo tigonomético em quato pates. Cada pate é chamada de quadante e os quadantes são numeados de até V (um a quato em algaismos omanos), em sentido anti-hoáio, sendo que o pimeio quadante é aquele fomado pelos pontos em que as ambas coodenadas são positivas (veja a Figua ). 5 7 y V 5 B = anti-hoáio 11 x 0 = Figua : o cículo tigonomético e alguns acos positivos. Obseve que, cada quadante detemina exatamente se a abcissa e/ou a odenada de todos os seus pontos são positivas ou negativas. De fato, nos quadantes e V temos que a abcissa é positiva (pois estes quadantes estão à dieita do eixo-y e, potanto, seus pontos possuem coodenada x positiva); po outo lado, nos quadantes e a abcissa de todo ponto é negativa. De foma semelhante, nos quadantes e temos que a odenada de cada ponto é matematica@obmep.og.b

5 positiva (pois os pontos do cículo situados nesses quadantes estão acima do eixo-x, ou seja, na dieção positiva do eixo-y), enquanto que nos quadantes e V a odenada é negativa. Na vedade, não apenas os quadantes são listados no sentido anti-hoáio. Confome indicado na Figua, sempe iemos considea o sentido anti-hoáio como o sentido positivo, ou seja, o sentido em que, caminhando sobe o cículo, medimos acos positivos. Natualmente, o sentido hoáio seá consideado o sentido negativo, ou seja, o sentido em que, caminhando sobe o cículo, medimos acos negativos. Mais pecisamente, obseve inicialmente que, como todos os pontos do cículo estão à distância 1 do ponto O = (0,0), temos que esse cículo intesecta o eixo-x no ponto A = (1,0). Então, patindo de A e caminhando sobe o cículo no sentido anti-hoáio (positivo), macamos os valoes que apaecem da Figua (/, /, /,...). Po outo lado, patindo de A e caminhando sobe o cículo no sentido hoáio (negativo), macamos os valoes que apaecem da Figua (/, /, /,...). 7 5 y 5 V - 11 = x 0 = hoáio Figua : o cículo tigonomético e alguns acos negativos. Como o compimento do cículo tigonomético é, cada ponto P sobe ele detemina um aco positivo ÃP que possui ângulo cental AOP, seguindo de A a P no sentido anti-hoáio, de medida meno que. Sempe que falamos do aco e do ângulo associados a P, salvo menção explícita em contáio, estaemos nos efeindo a ÃP e AOP, espectivamente. Po outo lado, se fomos de A até P seguindo o cículo no sentido hoáio, temos um único aco negativo deteminado po P, de medida maio que. Como obsevado anteiomente, o compimento de ÃP é igual à medida de AOP em adianos. Assim, os númeos indicados sobe o cículo da Figua também epesentam ângulos. Um ponto cucial é que podemos obte o seno, cosseno e tangente desses ângulos usando o cículo tigonomético, como veemos a segui (Figua 5). No módulo Razões Tigonométicas no Tiângulo Retângulo: Seno, Cosseno e Tangente do Nono Ano, já havíamos definido o que é o seno, cosseno e tangente de um ângulo ente 0 e 90, usando o tiângulo etângulo. Taduzindo aquela definição paa adianos, seja um dos ângulos de um tiângulo etângulo, de foma que, em adianos, 0 < < /. Então, temos medida do cateto oposto a sen =, medida da hipotenusa medida do cateto adjacente a cos =, medida da hipotenusa medida do cateto oposto a tg = medida do cateto adjacente a. A Figua 5, nos mosta um ponto P associado ao ângulo (ou ao aco ÃP, o que é o mesmo). Como 0 < < /, temos que P petence ao pimeio quadante do cículo tigonomético. Taçando a pependicula de P ao eixo-x, obtemos um tiângulo etângulo; como a hipotenusa deste tiângulo é um aio, ela mede 1. Dessa foma, pela fómula de cos acima, o valo de cos é igual ao compimento do cateto adjacente a. Note, pela figua, que este compimento também é igual a abcissa do ponto P, ou seja, a coodenada x desse ponto. Analogamente, o valo de sen é igual à coodenada y de P. Ou seja, (1,0) P = (cos, sen ). sen (0,1) 1 sen cos (1,0) cos (0, 1) V Figua 5: cículo e azões tigonométicas. Po essa azão, enomeamos os eixos de nossa figua como o eixo dos cossenos (hoizontal) e o eixo dos senos (vetical). P matematica@obmep.og.b

6 (Na póxima aula, veemos também como obte a tangente de usando o cículo tigonomético). Veja que as definições de seno, cosseno e tangente com base no tiângulo etângulo se aplicam apenas paa ângulos (ou acos) ente 0 e / adianos. Dado um aco foa deste intevalo, define-se o seno e o cosseno de estendendo o que fizemos acima. Mais pecisamente, consideamos o ponto P do cículo tigonomético associado a e simplesmente definimos cos como a abcissa de P e sen como a odenada de P. Assim é que, paa um aco = /, temos que o ponto P associado a é P = (0,1); logo, definimos cos(/) = 0 e sen(/) = 1. Da mesma foma, cos = 1 e sen = 0, cos(/) = 0 e sen(/) = 1, cos() = 1 e sen() = 0. Agoa, a Figua mosta um exemplo com P no segundo quadante, isto é, com / < <. Veja que, neste caso, temos cos < 0 e sen > 0. Em geal, os sinais de cos e sen coespondem aos sinais das abscissas e odenadas em cada quadante, confome mostado na Figua. Ainda nas notações da Figua, se β =, então 0 < β <, de modo que cos β > 0 e sen β > 0. Po outo lado, obsevando o tiângulo etângulo sombeado, temos sen β = sen e cos β = cos, de sote que sen β = sen e cos β = cos. (1,0) sen P sen 1 β (0,1) cos (0,0) (1,0) (0, 1) V cos Figua : seno e cosseno no segundo quadante. Uma análise simila, com petencente a outo quadante qualque do cículo tigonomético, mosta que as fómulas acima valem sempe, isto é, que Conguência de acos Confome a discussão anteio já sugee, muitas vezes seá conveniente tabalhamos com ângulos/acos maioes do que, bem como com ângulos/acos negativos. Po exemplo, o que significa um aco de 50? Como 50 = 090, pecoe um aco de 50 sobe o cículo é o mesmo que pecoe 0 seguido de 90, ou seja, da uma volta completa seguida de um quato de volta. Assim, um aco (no sentido anti-hoáio) que mede 50 e possui o ponto A = (1,0) como extemidade inicial teá sua extemidade final no ponto B = (0,1) que também é a extemidade final de um aco de 90, medido no sentido anti-hoáio a pati de A. Evidentemente, toda a discussão do paágafo anteio também faz sentido em adianos: como 50 = 5/ e 5/ = /, pecoe um aco de 5/ adianos no sentido anti-hoáio e a pati de A = (1,0) nos leva ao ponto B = (0,1) como extemidade final, ponto este que também é a extemidade final de um aco de /, medido no sentido anti-hoáio a pati de A. Quando (como acima) dois ângulos/acos possuem as mesmas extemidades, dizemos que eles são conguentes. Peceba que o aco ÃB também é conguente ao BA e este último pode se obtido patindo de A e pecoendo 0 90 = 70 gaus no sentido hoáio. Como acos conguentes possuem as mesmas extemidades, a difeença ente eles coesponde a um ceto númeo de voltas completas em tono do cículo tigonomético, e isso vale mesmo no caso em que um ou ambos os acos são negativos. Po exemplo, outa maneia de pecebe que / e / são acos conguentes é obsevando que / (/) =, o que coesponde a uma volta completa em tono do cículo tigonomético. Assim, um aco de / adianos pode se obtido pimeio pecoendo um aco de / adianos e, em seguida (e a pati da extemidade final desse aco), pecoendo um aco, no sentido anti-hoáio, de adianos. Paa outo exemplo, ângulos de medidas 780 e 0 são conguentes. Realmente, como 780 = 0 0, temos que um ângulo de 780 é obtido pecoendo 0 e mais duas voltas completas, como indicado na figua abaixo. sen O P A cos sen( ) = sen e cos( ) = cos. 5 matematica@obmep.og.b

7 De modo geal, se e β são as medidas em adianos de dois acos (positivos ou negativos), temos e β conguentes se, e somente se, β = k, paa algum númeo inteio k. Em paticula, se ÃP = e ÃQ = β são dois acos conguentes no ciclo tigonomético, então P = Q e, dessa foma, acos conguentes possuem os mesmos senos e os mesmos cossenos. Em símbolos, { sen = sen β β = k, k Z = cos = cos β. Exemplo 5. Seja A = (1,0). Enconte o compimento do aco ÃP, ente 0 e, que é conguente a 7/ adianos. Em seguida, indique em qual quadante do cículo tigonomético se enconta o ponto P e calcule o seno e o cosseno de 7/. Solução. Veja que 7 = = =. sso que dize que, saindo do ponto A e pecoendo sobe o cículo um compimento de 7/ no sentido anti-hoáio, damos voltas completas no cículo e, depois, ainda pecoeemos / (também no sentido antihoáio). Logo, ÃP mede /. Po fim, veja que, de sote que o ponto P está situado no segundo quadante (ou seja, no quadante ) do cículo tigonomético. Po fim, veja que / = / adianos, que coespondem a 5 gaus. Pelo que estudamos na seção anteio, fazendo = / e β = / temos: ( ) ( ) 7 ( ) sen = sen = sen =, ( ) ( ) 7 ( ) cos = cos = cos =. A meno deteminação positiva de um aco é o valo do meno aco não-negativo β que é conguente a ele. De outa foma, devemos te 0 β < e β = k, paa algum inteio k. Po outo lado, a maio deteminação negativa de é o aco γ < 0 de meno valo absoluto tal que, (saindo de A e) pecoendo o compimento γ no sentido hoáio, chegamos a P. Evidentemente, β γ =. Exemplo. Calcule o aco, em adianos, equivalente a um ângulo de Em seguida, enconte a meno deteminação positiva e a maio deteminação negativa desse aco. Solução. Pimeiamente, veja que, em adianos, o ângulo de 1500 coesponde a = 0 adianos. Paa calcula a meno deteminação positiva desse aco, dividimos 5 po, obtemos 5 = 8 =. Potanto, a meno deteminação positiva é e a maio deteminação negativa é = 5. Dicas paa o Pofesso Os objetivos dessa aula são: apesenta a definição de adiano, mosta como convete de gaus paa adianos e vice-vesa e apesenta o cículo tigonomético. Não incluímos neste texto muitos execícios, poque este módulo contém um outo aquivo com váios execícios e esboços de soluções. Recomendamos que o pofesso esolva alguns desses execícios com maioes detalhes no decoe da aula. À pimeia vista, a noção de adianos pode paece estanha paa os alunos, pois no nosso dia a dia é muito mais comum medimos ângulos em gaus. Contudo, no Ensino Supeio e em pesquisa científica a unidade padão de medida de ângulos é o adiano. Um dos motivos é que o uso de adianos simplifica não apenas a fómula paa o compimento de acos no cículo unitáio, como mostado aqui, mas também inúmeas outas fómulas (como as deivadas de funções tigonométicas e suas séies de Taylo, paa cita apenas dois exempos). O uso de adianos também simplifica o uso de váias fómulas em Física, como po exemplo as que descevem movimento otacional, pois simplifica as unidades de medidas expessas em tais fómulas. A efeência [1] desenvolve os udimentos de Tigonometia necessáios a aplicações geométicas. A efeência [] taz um cuso completo de Tigonometia. Sugestões de Leitua Complementa 1. A. Caminha. Tópicos de Matemática Elementa, Volume : Geometia Euclidiana Plana. SBM, Rio de Janeio, 01.. G. ezzi Os Fundamentos da Matemática Elementa, Volume : Tigonometia. Atual Editoa, Rio de Janeio, matematica@obmep.og.b