UFABC - Física Quântica - Curso Prof. Germán Lugones. Aula 14. A equação de Schrödinger em 3D: átomo de hidrogénio (parte 2)

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1 UFABC - Física Quântica - Cuso Pof. Gemán Lugones Aula 14 A equação de Schödinge em 3D: átomo de hidogénio (pate 2) 1

2 Equação paa a função adial R() A equação paa a pate adial da função de onda é: 2 R kze R ER As soluções dessa equação podem sem encontadas analiticamente utilizando um método envolvendo séies de potência (veja apêndice N do livo Quantum Physics, Eisbeg & Resnick). As as autofunções da equação acima dependem de dois númeos quânticos, n e l, sendo otuladas da seguinte maneia R n,l () com o númeo quântico pincipal n satisfazendo n l+1. 2

3 Os autovaloes da enegia, i.e. as enegias coespondentes aos autoestados do sistema, são E n kze2 2 2n Z2 E 1 2 n 2 n=0, 1, 2, onde E ke ev n the values n 1, 2, 3,..., with th Esses valoes de enegia são idênticos aos encontados no modelo Boh e, como esses, estão de acodo com o expeimento. 3

4 Veja que, paa o potencial consideado, as enegias não dependem do númeo l denominado númeo quântico de momento angula obital l = 0, 1, 2,..., (n 1). Assim, paa um dado valo de n existem n funções de onda adiais coespondendo a mesma enegia E n. Po exemplo, paa n = 3 tem-se l = 0, 1, 2 e as seguintes funções de onda adiais são degeneadas em enegia 8 >< R 3,0 >: R 3,1 R 3,2 ) E 3

5 As pimeias funções de onda adiais são: n 1 0 R 10 2 a 3 0 e a 0 n 2 0 R a a 0 e 2a 0 1 R a 3 0 a 0 e 2a 0 n 3 0 R a e 3a 3a 0 27a R a 3 0 a 0 1 6a 0 e 3a 0 2 R a e 3a a onde a 0 2 ke 2 é o aio de Boh.

6 Númeos quânticos paa o átomo de hidogénio As funções de onda (ou autofunções) do átomos de hidogênio são da foma: n,l,m (,, )=R n,l () Y l,m (, ) As funções de onda paa o átomo de hidogênio são deteminadas pelos valoes dos tês númeos quânticos n, l e m. (Compae isso com a patícula em uma caixa tidimensional que consideamos antes. Lá, também, tês númeos quânticos foam necessáios paa desceve cada estado estacionáio.) n = 1, 2, 3,... l = 0, 1, 2,...,(n 1) m = l, ( l + 1), ( l + 2),...,0, 1, 2,...l n : númeo quântico pincipal. l : númeo quântico de momento angula m : númeo quântico magnético, associado à pojeção do momento angula no eixo z.

7 Estados com difeentes valoes do númeo quântico l gealmente são designados po letas, de acodo com o seguinte esquema: l 0: estados s l 1: estados p l 2: estados d l 3: estados f l 4: estados g l 5: estados h e assim po diante, alfabeticamente. Essa escolha apaentemente iacional das letas s, p, d e f tem sua oigem no início dos estudos da espectoscopia e não tem nenhum significado fundamental. Assim, um estado com n=2 e l=1 denomina-se estado 2p; um estado com n=4 e l=0 denomina-se estado 4s e assim po diante. Somente estados s (l=0) são esfeicamente siméticos.

8 Vejamos agoa outas notações. A extensão adial da função de onda cesce com o númeo quântico pincipal n, e podemos chama de camada uma egião do espaço associada com um valo de n paticula. Especialmente no estudo de átomos com muitos elétons, é costume empega as seguintes letas maiúsculas paa essas camadas: n 1: camada K n 2: camada L n 3: camada M n 4: camada N e assim po diante, seguindo a odem alfabética. Paa cada valo de n, difeentes valoes de l coespondem a difeentes subcamadas. Po exemplo, a camada L (n=2) contém as subcamadas 2s e 2p.

9 Estados quânticos do átomo de hidogênio. n l m l Notação espectoscópica Camada s K s L 2 1 1, 0, 1 2p s 3 1 1, 0, 1 3p M 3 2 2, 1, 0, 1, 2 3d s N

10 Degeneescência dos estados A enegia E n é deteminada pelo númeo quântico pincipal n, de acodoo com: E n = µ! Ze ~ n 2 O módulo do momento angula obital é deteminado pelo númeo quântico obital l. O componente do momento angula obital em uma dieção específica (gealmente o eixo z) é deteminado pelo númeo quântico magnético m. A enegia não depende dos valoes de l ou m, assim, paa cada nível de enegia E n, existe mais de um estado distinto com a mesma enegia, mas númeos quânticos difeentes. Ou seja, esses estados são degeneados, exatamente como a maioia dos estados de uma patícula em uma caixa tidimensional.

11 Paa o estado de meno enegia (estado fundamental) temos: n=1, l=0, m=0. A autofunção do estado fundamental é 100 (,, ') = R 10 () Y 00 (, ') 2 = q e a 1 0 a = 1 q e a 3 0 a 0 e a enegia é E 1. Este estado não é degeneado.

12 Paa n=2, temos os númeos quânticos: l =0,m=0 l =1 ) 8 >< >: m = 1 m =0 m =1 Potanto, há 4 autofunções < que coespondem à enegia E 2 : 8 >: 2,0,0 = R 2,0 () Y 0,0 (, ') >< 2,1, 1 = R 2,1 () Y 1, 1 (, ') 2,1,0 = R 2,1 () Y 1,0 (, ') >: 2,1,1 = R 2,1 () Y 1,1 (, ') onde E 2 = µ 2 e ~! = E 1 4

13 Po exemplo, paa o estado n=2, l=1, m= 1, a função de onda é: 2,1, 1 = R 2,1 () Y 1, 1 (, ') 1 = q e 2a 3 i' 0 sin e 2 a 0 8 6a 3 0 = 1 q 8 a 3 0 a 0 e 2a 0 sin e i'

14 Assim como na caixa tidimensional, a degeneescência ocoe poque o átomo de hidogênio é simético: se você gia o átomo em qualque ângulo, a função de enegia potencial em uma distância do núcleo possuiá o mesmo valo. A expeiência mosta que na vedade há uma pequena sepaação nas linhas espectais (as estutuas denominadas fina e hipefina) dos estados com mesmo númeo quântico n, e que pode se em pate explicada po uma popiedade intínseca do eléton, o spin. Um tatamento mais completo dos sistemas tipo átomo de hidogênio eque o uso da teoia quântica elativística.

15 Distibuições de pobabilidade do eléton Em vez de desceve o eléton como uma patícula puntifome deslocando-se ao longo de uma cicunfeência pefeita, a equação de Schödinge fonece uma distibuição de pobabilidade de enconta o eléton em tono do núcleo. Como as distibuições de pobabilidade paa o átomo de hidogênio são tidimensionais, elas são mais difíceis de seem visualizadas que as óbitas ciculaes bidimensionais do modelo de Boh. Po isso, é útil considea a função de distibuição de pobabilidade adial P(), ou seja, a pobabilidade po unidade de compimento de enconta o eléton a ceta distância do póton.

16 A pobabilidade de enconta o eléton em um elemento de volume dv é dada po ψ 2 dv. Estamos supondo que ψ seja nomalizada, ou seja, a integal de ψ 2 dv no espaço inteio é igual a 1, de modo que existe 100% de pobabilidade de enconta o eléton em algum luga do univeso. Vamos toma como elemento de volume uma fina camada esféica com aio inteno e aio exteno +d. O volume dv dessa camada é apoximadamente igual à áea 4π 2 multiplicada pela espessua da camada d: dv = 4π 2 d

17 Vamos designa po P() d a pobabilidade de enconta a patícula dento da camada adial de espessua d, potanto: Pobabilidade de que o eléton esteja ente e + d Função de distibuição de pobabilidade adial P12 d = 0 c 0 2 dv = 0 c 0 2 4p 2 d Função de onda Função de distibuição de pobabilidade Volume da camada esféica com aio inteno e aio exteno + d Paa as funções de onda que, além de, também dependem de θ e de φ, devemos toma a média de ψ 2 sobe todos os ângulos.

18 A Figua mosta gáficos da função adial P() paa divesas funções de onda do átomo de hidogênio. As escalas em são indicadas em múltiplos de a, onde a é a meno distância ente o eléton e o núcleo no modelo de Boh: Raio da meno óbita no modelo de Boh Constante elética P 4pP a = = 0 U 2 0 h 2 = 5,29 * m pm m e 2 e 2 Massa eduzida Constante de Planck Constante de Planck dividida po 2p Módulo da caga do eléton 0,6 P() 0,5 0,4 0,3 1s Estados com l = 0 0,2 2s 0,1 3s 4s >a

19 P() 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04 2p Estados com l = 1 3p 4p >a P() Estados com l = 2 ou l = 3 0,12 0,08 0,04 3d 4f 4d >a

20 Nas figuas seguintes vemos as funções de distibuição de pobabilidade em tês dimensões ψ 2, que indicam a pobabilidade elativa de enconta o eléton dento de uma pequena caixa em uma deteminada posição. Quanto mais escua a nuvem, maio o valo de ψ 2. 0 c c c s >a 0 2s >a 0 3s >a 1s 2s 3s Funções de distibuição de pobabilidade tidimensional ψ 2 paa as funções de onda esfeicamente siméticas 1s, 2s e 3s do átomo de hidogênio.

21 A Figua mosta seções tansvesais das nuvens em outos estados eletônicos em que ψ 2 depende tanto de quanto de θ. Em qualque estado estacionáio do átomo de hidogênio, ψ 2 é independente de φ. z z z z 1s, m l = 0 2s, m l = 0 2p, m l = {1 2p, m l = 0 Os desenhos não foam feitos na mesma escala. A linha vetical escua epesenta o eixo z; imagine uma otação da figua em tono desse eixo paa visualiza a epesentação tidimensional de ψ 2. Po exemplo, a distibuição de pobabilidade do estado 2p, m=±1, lemba vagamente uma osquinha.

22 z z z z 3p, m l = 0 3p, m l = {1 2p, m l = {1 2p, m l = 0 z z z 1 3d, m l = 0 3d, m l = {1 3d, m l = {2