a velocidade de propagação da onda ao quadrado. Combinando-se qualquer uma das expressões e i(kx-wt) ou e -i(kx-wt) 2 2 2

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1 Depatamento de Física Pof. Césa Augusto Zen Vasconcellos hamônicas pogessivas; a necessidade de uma equação de onda; popiedades da equação de SCHRÖDINGER; equação de SCHRÖDINGER de patícula live em uma dimensão; opeadoes. Equação de SCHRÖDINGER de patícula live em tês dimensões; inclusão de foças extenas na equação de SCHRÖDINGER; plausibilidade da teoia de SCHRÖDINGER; intepetação estatística/pobabilística da função de onda ψ; nomalização da função de onda ψ. Ondas Hamônicas Pogessivas: De acodo com a hipótese de De Boglie, uma patícula tem natueza dual do tipo onda-patícula. Consideemos uma onda hamônica pogessiva contínua associada à popagação de uma patícula; seu momentum p e seu compimento de onda λ estão então elacionados na foma: λ=h/p. Similamente, sua enegia, E, e sua feqüência da onda pogessiva, f, estão elacionadas na foma E=hf. Escevemos ambas as equações em temos da constante univesal h, obtendo p=hk e E=hw, com k=π/λ e w=πf. Uma função de onda ψ(x,t) que epesente uma patícula se popagando com enegia e momentum bem definidos (e potanto, pelo pincípio da inceteza, com sua posição no espaço-tempo completamente indefinida), podeia se epesentada po uma das seguintes fomas funcionais: e i(kx-wt) ; e -i(kx-wt) ou atavés de combinações lineaes destas expessões. A Necessidade de uma Equação de Onda: A necessidade de uma equação de onda se impõe com base no seguinte: desejamos desceve não somente os casos mais simples de popagação de patículas elementaes como, po exemplo, aqueles envolvendo soluções hamônicas. Necessitamos uma teoia mais completa que contemple não somente a simples popagação de patículas elementaes lives como também as suas inteações (dinâmica) com outas patículas ou sistemas físicos. Popiedades da Equação de Schödinge: Consideemos inicialmente apenas a popagação de uma patícula não-elativística live. A equação que desceve a popagação da patícula deve se linea e seus coeficientes devem envolve somente constantes como, po exemplo, h, m (massa da patícula) e q (caga elética da patícula). Isto poque: em sendo linea, a equação possibilita a utilização do pincípio da supeposição e com isto a constução de pacotes de ondas; ao conte como coeficientes apenas constantes, a equação não dependeá, em foma paamética, de gandezas que caacteizam um paticula movimento de uma patícula como, po exemplo, uma dependência destes coeficientes em valoes específicos de momentum, enegia, númeo de popagação (númeo de onda) e feqüência angula. Isto possibilita que soluções que caacteizem difeentes valoes destas gandezas possam se consideadas; em suma, guiados pela necessidade de genealização, desejamos elimina dos coeficientes da equação qualque dependência paamética em enegia, momentum linea, númeo de onda e feqüência angula, pois uma solução geal não pode se função de paâmetos cinemáticos específicos paticulaes. Uma função de onda familia é a equação que desceve po exemplo o movimento de ondas tansvesais! "! " em uma coda ou ondas do som em um gás: = # onde o coeficiente γ epesenta!x a velocidade de popagação da onda ao quadado. Combinando-se qualque uma das expessões e i(kx-wt) ou e -i(kx-wt) com esta equação de onda esulta w E p v = = = onde m k p 4m é a massa da patícula. Uma vez que esta equação não obedece a segunda estição imposta à equação de onda, pois o coeficiente da equação depende de paâmetos do movimento (E ou p), descatamos esta equação como candidata a desceve a popagação de patículas massivas. Equação de Schödinge de Patícula Live em uma Dimensão: A equação de Schödinge desceve então o movimento e a dinâmica de patículas massivas. Poposta em 195 po Ewin Schödinge, esta equação, que é análoga à equação de onda

2 Depatamento de Física Pof. Césa Augusto Zen Vasconcellos hamônicas pogessivas; a necessidade de uma equação de onda; popiedades da equação de SCHRÖDINGER; equação de SCHRÖDINGER de patícula live em uma dimensão; opeadoes. Equação de SCHRÖDINGER de patícula live em tês dimensões; inclusão de foças extenas na equação de SCHRÖDINGER; plausibilidade da teoia de SCHRÖDINGER; intepetação estatística/pobabilística da função de onda ψ; nomalização da função de onda ψ. clássica vista anteiomente, elaciona as deivadas da função de onda em elação ao tempo e ao espaço. Paa compeende-la, façamos o seguinte. Consideemos uma solução hamônica do tipo ψ(x,t) = e i(kx-wt). Difeenciando esta expessão em elação ao i(kx i(kx tempo, obtemos e! " =! iwe!. Difeenciando duas vezes a mesma expessão com i(kx! " e " i(kx! i(kx! espeito a x, se obtém: = ike =! k e.multiplicando a pimeia destas " x " x i(kx! i(kx expessões po ih, esulta " e! ih = hwe.multiplicando po -h /m a segunda i(kx! expessao, obtemos: h " e h " i(kx! h i(kx!! =! ike = k e. Uma vez que a elação ente m " x m " x m a enegia cinética e o momentum linea de uma patícula não-elativística live é dada po: E=p /m, usando as elações de De Boglie, obtemos E=-hw=h k /m e potanto das i(kx! i(kx! expessões acima esulta h we = h k e, ou em foma compacta, m # h! "(x,t)!"(x,t). Esta é a equação de Schödinge. Como vemos, a equação de m! x Schödinge é uma equação ondulatóia do tipo! "! " = # onde o coeficiente γ depende!x somente das constantes h e m. Escolhemos de fato a função complexa e i(kx-wt) paa exemplifica uma solução da equação de Schödinge poque a deivada pimeia no tempo desta expessão esulta na feqüência w multiplicada pela pópia função, difeentemente do que ocoe com funções puamente do tipo seno ou coseno, tonando assim mais tanspaente a "deivação" da equação de Schödinge. E o fato desta função se complexa deve-se ao fato de que os obseváveis, que são gandezas eais, são epesentados, na teoia de Schödinge, de foma consistente com a obsevação expeimental. Opeadoes: A compaação da equação de Schödinge # h! "(x,t)!"(x,t) com a elação E=p /m sugee as seguintes elações ente a enegia, m! x E, e o momentum linea, p, com opeadoes difeenciais: E ih / t e p -ih / x, pois, usando estas epesentações esulta: "!(x,t) E! (x,t) e p h! "(x,t) "(x,t) = #, ou seja, "! m m! x esulta a equação de Schödinge. Estes opeadoes difeenciais (e outos similaes a estes) ocupam papel elevante na mecânica quântica. É impotante essalta que estes opeadoes, que desempenham papel de epesentação da enegia e do momentum na teoia quântica, são epesentações também válidas quando a patícula consideada não é live. E é pela a ação destes opeadoes sobe a função de onda que esultam os coespondentes obseváveis, E e p. Equação de Schödinge de Patícula Live em Tês Dimensões: A extensão deste fomalismo paa tês dimensões se tona muito simples, desde que utilizemos as seguintes! epesentações opeatoiais: E " ih e p # " i!. Neste caso, a onda hamônica v i(k.! equivalente à expessão apesentada na pate inicial do texto toma a foma: e e a

3 Depatamento de Física Pof. Césa Augusto Zen Vasconcellos hamônicas pogessivas; a necessidade de uma equação de onda; popiedades da equação de SCHRÖDINGER; equação de SCHRÖDINGER de patícula live em uma dimensão; opeadoes. Equação de SCHRÖDINGER de patícula live em tês dimensões; inclusão de foças extenas na equação de SCHRÖDINGER; plausibilidade da teoia de SCHRÖDINGER; intepetação estatística/pobabilística da função de onda ψ; nomalização da função de onda ψ. equação de Schödinge deve se escita como $! (,t) h ih = # "!(,t). Inclusão de Foças $ t m Extenas na E quação de Schödinge: O passo seguinte neste desenvolvimento fomal é o de inclui na equação de Schödinge a pesença de foças extenas. Consideamos po simplicidade apenas uma foça extena (que pode se a esultante de um conjunto de foças extenas de natueza elética, ou nuclea ou eletomagnética, po exemplo), deivada de uma enegia potencial, epesentada po uma gandeza eal, V(,t), tal que : F(, t) = "! V(, t). A elação clássica envolvendo a enegia da patícula se tona agoa p E = + V(, t) e a equação de Schödinge coespondente pode se expessa, ao m concebemos a possibilidade de have uma foma opeatoial paa a enegia potencial V, na foma: % h!"(,t) $ "(,t) + V(, t) #(,t). Plausibilidade da Teoia de Schödinge: É evidente que m os agumentos apesentados não são suficientes paa da à teoia de Schödinge um alto gau de plausibilidade pois estas agumentações, utilizadas paa uma espécie simplificada de deivação da equação, não têm uma base fomal consistente. Ocoe que a equação de Schödinge não pode se deivada com base em agumentos fundamentais baseados, po exemplo, em simetias físicas ou em leis de consevação, ou ainda em pimeios pincípios, pois a equação tem uma base muito mais fenomenológica do que fomal. Em paticula, a equação de Schödinge não epesenta uma foma invaiante de Loentz, não sendo potanto válida no contexto da elatividade especial. Entetanto, é a concodância de suas pedições com a expeimentação que demonsta a sua validade e a sua utilidade na mecânica quântica. Como vimos anteiomente, Einstein intoduziu uma nova intepetação paa a teoia dos quanta de Planck como evelando a existência dos fótons, patículas que compõem a adiação eletomagnética e popôs que a enegia de um fóton seia popocional à sua feqüência, intoduzindo assim o aspecto da dualidade onda-patícula. E uma vez que a enegia e o momentum linea de um fóton estão associados à sua feqüência e ao seu númeo de onda, De Boglie apesentou a hipótese de que patículas massivas obedecem elações idênticos às do fóton. Supondo que as ondas associadas às patículas massivas viajam ao longo de tajetóias clássicas, ele demonstou que elas podem compo ondas estacionáias que coespondem a feqüências discetas e a níveis discetos de enegia. Seguido destas idéias, Schödnge decidiu contui uma equação de onda paa o eléton, guiando-se po uma analogia ao Pincípio de Hamilton da mecânica clássica aplicado à Ótica. Na física, o Pincípio da Mínima Ação, Pincípio do Meno Esfoço, ou ainda Pincípio de Hamilton, epesenta um pessuposto básico da mecânica clássica ao desceve a evolução, ao longo do tempo, do estado de uma patícula ou de um sistema. O Pincípio estabelece que a ação (uma função escala cuja unidade de medida é definida na foma enegia vezes tempo ) coespondente possui um valo estacionáio (máximo ou mínimo) (a natueza é econômica em todas as suas ações). Intepetação Estatística/Pobabilística da Função de Onda ψ - I : Admite-se que função de onda ψ(,t), solução da equação de Schödinge, epesenta uma descição quantummecânica completa do compotamento de uma patícula de massa m sob a ação de um potencial V(,t). Supomos que uma intepetação estatística possa se associada a

4 Depatamento de Física Pof. Césa Augusto Zen Vasconcellos hamônicas pogessivas; a necessidade de uma equação de onda; popiedades da equação de SCHRÖDINGER; equação de SCHRÖDINGER de patícula live em uma dimensão; opeadoes. Equação de SCHRÖDINGER de patícula live em tês dimensões; inclusão de foças extenas na equação de SCHRÖDINGER; plausibilidade da teoia de SCHRÖDINGER; intepetação estatística/pobabilística da função de onda ψ; nomalização da função de onda ψ. ψ(,t), ou seja que ψ(,t) tenha valoes apeciáveis na egião onde a patícula tenha maio pobabilidade de se encontada e valoes nulos ou póximos a zeo nas demais egiões. Esta intepetação pobabilística exige entetanto uma base fomal que dê supote à concepção pobabilística. E esta base fomal pode se desenvolvida da seguinte foma. Uma vez que, como esultado do Pincípio da Inceteza, a deteminação da posição da patícula é inceta po um valo da odem das dimensões da função de onda, é natual supo que a pópia ψ(,t) epesenta a pobabilidade de encontamos a patícula em uma posição paticula do espaço-tempo. Entetanto, pobabilidades são gandezas eais e não-negativas enquanto que a função de onda ψ(,t) pode se uma gandeza complexa. Definimos então uma gandeza denominada de conjugado complexo de ψ(,t), gandeza esta epesentada po ψ * (,t), de foma que o poduto ψ * (,t)ψ(,t) seja uma quantidade positiva definida, isto é ψ * (,t) ψ(,t) = ψ(,t). (Po exemplo: ψ(,t)~ae ik e ψ * (,t)~ae -ik sendo a uma constante; daí esulta que ψ(,t) = a.) Na mecânica quântica, P(,t)= ψ(,t) epesenta a densidade de pobabilidade de enconta uma patícula em um elemento de volume dxdydz em tono de um ponto no tempo t, quando um númeo gande de medições sobe a posição de patículas independentes é ealizado, cada uma destas patículas sendo descita po uma função de onda de patícula única ψ(,t). Nomalização da Função de Onda ψ: A pobabilidade de se enconta a patícula em algum luga da egião física consideada deve se igual a 100%. 3 Potanto,!(,t) d 1, sendo que a integal se estende po toda a egião física em " V = questão; d 3 epesenta po sua vez o elemento infinitesimal ti-dimensional de volume dxdydz. Consideamos ademais o volume V como abitaiamente gande podendo se até mesmo infinito. É peciso essalta que o conceito de nomalização pessupõe que a integal acima convege e que potanto a condição de nomalização pode se obtida atavés de ajuste apopiado dos coeficientes da função de onda. Há funções entetanto que não convegem quando tomamos integais das mesmas consideando volumes de v i(k.! extensão infinita. Este é o caso po exemplo da função e. Funções como esta exigem consideações especiais de nomalização como veemos no futuo. Intepetação Estatística/Pobabilística da Função de Onda ψ - II: O(s) coeficiente(s) de ψ(,t) que nomalizam a função de onda devem se independentes do tempo pois a função de onda deve satisfaze a equação de Schödinge. Assim, se a condição de nomalização é satisfeita em um dado instante de tempo, essa condição deve se satisfeita paa qualque outo instante de tempo. Isto significa que a integal de nomalização deve se invaiante no tempo:! # 3! V "(,t) d = 1 = 0. Definindo a densidade de coente vetoial de pobabilidade ih * * J = ("! (,t))!(,t) #!(,t) ("!(,t))), destas equações esulta a equação de m " P(, t) continuidade (de pobabilidade): +!.J = 0. Esta equação, ao se obtida dietamente da equação de Schödinge, epesenta um agumento impotante de consistência fomal da intepetação pobabilística da função de onda; isto poque esta condição epesenta uma equação de consevação de pobabilidade, isto é, a vaiação no tempo da densidade de pobabilidade é igual, com sinal contáio, à vaiação espacial da densidade de coente de pobabilidade (na ealidade ao divegente do veto densidade de coente de pobabilidade). (Note-se que a expessão fomal da

5 Depatamento de Física Pof. Césa Augusto Zen Vasconcellos hamônicas pogessivas; a necessidade de uma equação de onda; popiedades da equação de SCHRÖDINGER; equação de SCHRÖDINGER de patícula live em uma dimensão; opeadoes. Equação de SCHRÖDINGER de patícula live em tês dimensões; inclusão de foças extenas na equação de SCHRÖDINGER; plausibilidade da teoia de SCHRÖDINGER; intepetação estatística/pobabilística da função de onda ψ; nomalização da função de onda ψ. equação da continuidade é simila à expessão coespondente à lei de consevação de fluxo na dinâmica de fluidos, sem fontes nem sumidouos, em que P epesenta a densidade do fluido e J a densidade de coente.) Esta intepetação tona mais plausível a identificação de " ih! com o opeado de momentum linea, uma vez que o segundo temo da equação da continuidade está associado, na dinâmica de fluidos com a velocidade do fluxo de um fluido. Poblemas 1. Deduza a equação de Schödinge usando como solução a expessão i(k j.! w jt) #(,t) = " A je. j. Deduza a equação de continuidade de pobabilidade a pati da equação de Schödinge no caso de uma patícula live e no caso da pesença de uma enegia potencial. Qual a suposição que deve se feita a espeito da enegia potencial paa que a equação de continuidade seja válida na foma apesentada no texto? Explique a equação de continuidade em temos de concepção pobabilística. 3. Como a equação de onda clássica, a equação de Schödinge é também linea. Po que isto é impotante? Existe alguma elação ente a hipótese de De Boglie e a equação de Schödinge? Explique. Explique o significado de nomalização da função de onda. 4. Moste que, paa uma patícula live de massa m que se popaga em uma dimensão, a função ψ(x,t)=asenkx+bcoskx, é solução da equação de Schödinge paa qualque valo das constantes A e B. Considee A=B e poceda à nomalização da função de onda. Os dados apesentados no poblema são suficientes paa pocede à nomalização da função de onda. Constua a coespondente equação de continuidade de pobabilidade. 5. Sepaação das funções de tempo e espaço em ψ(,t). Nos poblemas em que a enegia potencial não vaia com o tempo, é possível expessa a função de onda em uma foma sepaável em função do tempo e do espaço. Isto é, podemos expessa ψ(,t) na foma de um poduto ψ(,t)=χ()ϕ(t), onde o pimeio temo depende somente da coodenada espacial e o segundo temo da coodenada tempoal. Isto pemite a simplificação fomal da equação de Schödinge. Considee o poblema unidimensional em que uma patícula sofe a ação de um potencial V(x) e moste que, à pati desta sepaação, esultam as seguintes expessões: ϕ(t)=e -iet/h e "!(x) # h + V(x)!(x) = E! (x). Esta última expessão define a m " x equação de Schödinge independente do tempo. 6. Não existe nenhum fato i =! 1 na equação de Schödinge independente do tempo obtida no poblema anteio. Isto significa que ψ(,t) deve se eal? ψ(,t) pode se eal?