Modelo quântico do átomo de hidrogénio

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1 U Modelo quântico do átomo de hidogénio Hidogénio ou átomos hidogenóides (núcleo nº atómico Z com um único electão) confinado num poço de potencial de Coulomb ( x, y, z) U ( ) 4πε Ze Equação de Schödinge a 3 dimensões núcleo: Ze electão: -e h m x y z U ( x, y, z) E ( x, y, z) A patícula confinada tem númeo quântico paa cada dimensão espacial são necessáios 3 númeos quânticos paa desceve cada estado (no modelo de Boh só existe númeo quântico, n )

2 Equação de Schödinge a 3 dimensões: Foma do poço de potencial que mantém o electão confinado ( ) ( ) z y x E z y x U z y x m,,,, h ( ) ( ) 4 4,, z y x Ze Ze U z y x U πε πε

3 3 φ x y z Vai existi um númeo quântico associado a cada coodenada:,, φ Em coodenadas esféicas, o potencial só depende da coodenada (potencial cental) :U U () z y x sin sin sin φ Em coodenadas catesianas Em coodenadas esféicas φ φ.cos sin.sin cos.sin z y x π φ π ( ) ( ) x y z z y x actan accos φ

4 Eq. de Schödinge em coodenadas esféicas c/ potencial de Coulomb h Sepaação de vaiáveis: Ze, 4πε m (,, φ) (,, φ) E (, ϕ) (,, φ) R( ) f ( ) g( φ) Solução geal na l l m (,, φ) A ( ) ( ) nl e Ln l ρ. Yl, φ ; ρ na A nl constante de nomalização Z l L n l m Y l ( ),φ polinómios de Laguee hamónicas esféicas 4

5 Númeos quânticos do átomo de hidogénio Númeos quânticos paa o hidogénio e coodenadas associadas:. Coodenada adial númeo quântico pincipal n,, 3... ( n do modelo de Boh). Ângulo pola númeo quântico do momento angula l,,... (n-) 3. Ângulo azimutal φ númeo quântico magnético m l m -l, -l,,,,..., l-, l (l) valoes O conjunto dos númeos quânticos (n, l, m) tem z oigem nas condições de confinamento da função de onda (que seja solução da equação de Schödinge) a 3 dimensões : todos os 3 númeos são necessáios paa especifica essa função de onda x φ 5 y

6 Solução paa o estado fundamental do hidogénio: (n, E -3,6 ev) ( φ) ( ),, e a o aio de Boh a πa 3 a 4πε h mze Condição de nomalização : dv elemento de volume P todo o espaço 4 a a (,, φ ). dv.4π. d e d 3 P 4 a ( ) e a 3 Estado fundamental, n, com distibuição de densidade electónica dada po P() 6

7 P 4 a ( ) e a 3 /a dp d ( ). a a a o aio de Boh Localização mais povável do electão no estado fundamental 7

8 Compaação ente o modelo de Boh e o modelo da mecânica quântica Modelo de Boh : óbitas planetáias com π n n λ, n n a o, consegue peve os níveis de enegia coectamente E n -3,6 ev/ n Modelo quântico : electão confinado a um poço de potencial da foma U() - e/ (4πε o ) consegue obte os níveis de enegia coectamente E n -3,6 ev/ n consegue obte a maio pobabilidade de enconta o electão paa a o a pati da densidade de pobabilidade adial da função de onda - e - 8

9 Númeo quântico pincipal ( n ) No entanto, a enegia total E só depende do númeo quântico pincipal (n ): En 3,6 n ev As funções de onda são indicadas pelo conjunto dos 3 númeos quânticos (n, l, m ), que só podem toma cetos valoes: n, l, m (,, φ ) Os estados são indicados de acodo com o valo de l l s ; l p ; l d ; l 3 f ;... Enegia n l m estado nº de estados - 3,6 ev s - 3,4 ev s - 3,4 ev,,- p 3 -,5 ev 3 3s -,5 ev 3,,- 3p ev 3,,,-,- 3d Po exemplo, o estado fundamental, de simetia esféica, é indicado po: / a (,, ) e o φ π a 3 o 9

10 Estado fundamental, de simetia esféica Estados excitados, com E - 3,4 ev, n / a (,, ) e o φ π a 3 o,,,,,, ± / a / /,, o ao a A e,, B e cos o,, C e sen e iφ ± a o a ± o a o Densidades de pobabilidade adiais:

11 Obitais p

12 Obitais d

13 Obitais f 3

14 Númeo quântico obital ou do momento angula ( l ). O momento angula de uma patícula clássica, é dado po L p m v L m v. No modelo de Boh (óbita de aio n ) π nλ n ( h / p) nh /( mv) m v nh n n L v O momento angula é quantizado ( L n ħ ) 4

15 Númeo quântico magnético ( m ) Emboa os electões não sigam óbitas bem definidas como no modelo de Boh, veifica-se que existe um momento angula obital quântico que é quantizado paa todos os sistemas atómicos Não é possível detemina as tês componentes do vecto momento angula simultaneamente (devido ao pincípio de inceteza), mas é possível elaciona o seu módulo e uma das componentes com os outos dois númeos quânticos (l, m ): L l ( l ) h, Lz m h 5

16 Ilustação: o vecto L oda em tono do eixo z. Não se conhece a diecção exacta de L em cada instante, mas conhece-se o seu compimento e a sua pojecção segundo z z Lz cos L m l ( l ) L z L Como m só pode toma os ( l ) valoes, em intevalos inteios, ente -l e l, o vecto L não pode te todas as oientações possíveis 6

17 Exemplo oientações pemitidas de L paa l Existem (l ) oientações pemitidas, coespondentes a m (,,, -, -) m ac cos l ( l ) 3, ; 65,9 ; 9, 4, ; 44,8 Nota: as pojecções segundo z são igualmente espaçadas, mas os ângulos não. 7

18 Expeiência de Sten - Gelach Um feixe de átomos (de pata) sepaa-se em duas diecções quando atavessa uma egião onde existe um campo magnético B Os electões podem oda (spin) em duas diecções Pevisão clássica Resultado eal Gás de átomos de pata Fonte Campo magnético (heteogéneo) 8

19 Outo tipo de momento angula : spin ( s ) Consideemos o electão como uma esfea de aio R que oda ( spins ) em tono dum eixo que passa no seu cento s Este movimento de otação tem associado um momento angula intínseco, que é independente do movimento obital Nestas condições, existem tipos de momentos angulaes: L e s 9

20 Extapolação paa o electão:. O momento angula de spin é quantizado. O electão tem um momento angula intínseco de spin com númeos quânticos (s, m s ) - tal como (l, m ). O númeo quântico de spin paa o electão é s ½ e m s ± ½ 3. O momento magnético de spin é dado po µ ± µ µ m z B B s h S z S 3. h. h 4 h

21 Moste que o númeo de estados possíveis paa um dado n no átomo de hidogénio é igual a n O númeo de estados m l (ou m) paa um dado n é igual a N m l n n n ( l ) l ( ) l l l Como a soma de todos os inteios ente e p é igual a l p( p ) n l ( ) ( )( ) l n n n n p l O segundo temo é simplesmente n l ( ) n

22 Substituindo, obtém-se ml N n n n n Finalmente, como o númeo de estados electónicos N é igual a duas vezes o númeo m l de estados : N N n ml

23 Moste que a densidade de pobabilidade adial paa o estado caacteizado po n, l e m l é dada po 4 Z a sendo A uma constante ( ) cos P A e A função de onda paa o estado (,, ) é Z a ( ) C e,,,, Z a cos A densidade de pobabilidade adial é dada po P ( ) 4 π ( ) Z Z a ( ) Z Z a,, C,, e cos C,, e cos a a 3

24 Substituindo, obtém-se Z,, a Z a ( ) π P 4 C e cos A 4 cos e Z a A constante A é igual a A,, a 4π C Z A constante C pode se calculada a pati da condição de nomalização todo o espaço P(,, φ ) dv dv 4

25 Paa um estado com l3, detemine: a) a amplitude do momento angula L b) os valoes possíveis de m l c) as diecções possíveis de L com o eixo z a) O momento angula L é função do númeo quântico obital l : ( ) L l l h 3 3 h 3 h Paa l3 obtém-se: L ( ) ( 34 ) 3, 55 J s 34 3, 65 J s 5

26 b) Como m l -l, -l,,... l, os valoes pemitidos paa l3 são m 3,,,,,, 3 l c) Como L z m l ħ e L 3h, os ângulos ente os vectoes e o eixo z são deteminados po cos m m l 3 Assim, 3 3, 54,7 e 73,. O espaçamento ente os valoes pemitidos de L z é constante e igual a h 6