Análise Vectorial (revisão)

Transcrição

1 Faculdade de Engenhaia nálise Vectoial (evisão) OpE - MIB 007/008 Pogama de Óptica e Electomagnetismo Faculdade de Engenhaia nálise Vectoial (evisão) aulas Electostática e Magnetostática 7 aulas Campos e Ondas Electomagnéticas 7 aulas Óptica Geomética 3 aulas Fibas Ópticas 3 aulas Lases 3 aulas nve

2 nálise Vectoial (evisão) hoje Faculdade de Engenhaia Sistemas de coodenadas catesianas, cilíndicas e esféicas Opeadoes difeenciais gadiente, divegência e otacional Integação de funções escalaes e vectoiais integais de linha e de fluo Teoemas teoemas da divegência e de Stokes nve 3 Coodenadas catesianas vecto de posição Faculdade de Engenhaia coodenadas catesianas,, vecto de posição = + + û û û P (,, ) nve 4

3 Coodenadas catesianas elementos Faculdade de Engenhaia elemento de compimento dl = d + d + d elementos de supefície d d d ds = dd ds = dd ds = dd (sup. pependicula a ) elemento de volume dv = ddd nve 5 Coodenadas catesianas opeadoes difeenciais Faculdade de Engenhaia gadiente f f f f = + + nota: (, ) f = f, campo escala divegência = + + =, (, ) campo vectoial otacional = nve 6

4 Coodenadas cilíndicas vecto de posição Faculdade de Engenhaia coodenadas cilíndicas, f, vesoes = cos + sin = sin + cos û P (,, ) vecto de posição = + ˆ u û û = cos = sin [ 0, π ] nve 7 Coodenadas cilíndicas elementos Faculdade de Engenhaia elemento de compimento dl d + d + d ˆ = u d d elementos de supefície d ds = d d ds = d d ds = d d elemento de volume dv = d d d nve 8

5 Coodenadas cilíndicas opeadoes difeenciais Faculdade de Engenhaia gadiente f 1 f f f = + + divegência 1 = ( ) otacional 1 = nve 9 Coodenadas esféicas vecto de posição Faculdade de Engenhaia coodenadas esféicas, q, f vesoes = sin cos + sin sin + cos = cos cos + cos sin sin û û P (,, ) sin cos = + û vecto de posição = = sin cos = sin sin = cos [ 0, π ] [ 0,π ] nve 10

6 Coodenadas esféicas elementos Faculdade de Engenhaia elemento de compimento dl = d + d + sin d sind elementos de supefície ds = d d ds = sin d d ds = sin d d d d elemento de volume dv = sin d d d nve 11 Coodenadas esféicas opeadoes difeenciais Faculdade de Engenhaia gadiente f 1 f 1 f f = + + sin divegência = 1 1 ( ) + ( sin ) sin + 1 sin otacional = 1 sin sin sin nve 1

7 Eecícios Faculdade de Engenhaia 1. Considee os pontos P 1 e P de coodenadas catesianas (1,, 0) e (4, -5, 1), espectivamente. Detemine a) o vecto que vai de P 1 paa P ; b) a distância ente os dois pontos.. Considee o ponto P de coodenadas cilíndicas (, π/, 1). Detemine o seu vecto de posição em coodenadas a) cilíndicas; b) catesianas; c) esféicas 3. Calcule o gadiente do campo escala f = sin( ) e no ponto de coodenadas catesianas (1, π/, 0). 4. Detemine a divegência do campo vectoial V = n 4 cos + 5. Detemine o otacional do campo vectoial ( ) B = nve 13 Popiedades impotantes da divegência e do otacional Faculdade de Engenhaia ( ) = 0 f otacional de gadiente é sempe nulo ( ) = 0 divegência de otacional é sempe nula se o otacional de um campo vectoial é nulo, então esse campo vectoial pode se epesso como o gadiente de um campo escala. campo vectoial com otacional nulo é chamado campo consevativo se a divegência de um campo vectoial é nula, então esse campo vectoial pode se epesso como o otacional de outo campo vectoial. nve 14

8 Teoema de Helmholt Faculdade de Engenhaia Um campo vectoial fica completamente especificado, a menos de uma constante, se a sua divegência e o seu otacional foem conhecidos Eecício F = + c1 + c c + c4 Detemine c 1, c, c 3, e c 4 sabendo que F = 0 e F = 0 Considee o campo vectoial ( ) ( ) ( 3 ) nve 15 Póimas aulas Faculdade de Engenhaia 3ª feia Integação de funções escalaes e vectoiais integais de linha e de fluo Teoemas impotantes teoemas da divegência e de Stokes 4ª feia Lei de Coulomb Campo eléctico ciado po distibuições de cagas pincípio da sobeposição distibuições discetas distibuições contínuas nve 16