Problemas sobre Análise Vectorial

Transcrição

1 Fcldde de ngenhi Polems soe nálise Vectoil ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB Mi Inês Bos de Cvlho etemo de 7

2 NÁI VCTOI Fcldde de ngenhi ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB 7/8 NÁI VCTOI POBM OVIDO 1. Considee o cmpo vectoil epesso em cooden cilíndics po sin φ φ ) Clcle divegênci do cmpo. ) Clcle o flo do cmpo qe tvess spefície ltel cilíndic de io e lt, com o eio coincidente com o eio dos, tl como most fig. c) epit líne nteio tilindo o teoem d divegênci (teoem de Geen-Ostogk). esolção: ) m cooden cilíndics (,φ, ) divegênci de m cmpo vectoil é dd pel epessão Neste cso tem-se e, então, d i v 1 1 φ ( ) sin φ 1 φ φ 1 ( ) ( sinφ ) ( ) 3 cosφ φ ) O flo tvés d spefície ltel do cilindo é ddo po

3 NÁI VCTOI Fcldde de ngenhi ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB 7/8 l onde l é spefície ltel do cilindo, de io e lt, é m elemento de spefície petencente l, e é o veso noml ess spefície. Ns condições do polem, d, e, o qe signific qe π l d π c) De codo com o teoem d divegênci, o flo de p fo d spefície cilíndic fechd pode se clcldo tvés do integl de volme d divegênci de, integl esse estendido o volme do cilindo: dv V m cooden cilíndics, dv d d, e então π dv V lém disso, é impotnte não esqece qe onde ( topo) ( topo) topo pois, p spefície do topo, ( se) ( se) ( 3 cosφ ) d d 3π ( ltel ) ( topo) ( se) topo ( topo) ( ) π d. De fom semelhnte, tem-se se se ( se) ( ) π π pois neste cso. Note qe p est spefície (o veso pont p fo d spefície fechd). Utilindo estes esltdos, otém-se como sei de espe. 3π π π ( ltel ). Considee o cmpo vectoil epesso em cooden cilíndics po 3

4 NÁI VCTOI Fcldde de ngenhi ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB 7/8 B ) Moste qe em cooden ctesins o cmpo tem como epessão B ) Clcle ciclção do cmpo o longo do ectânglo d fig, tendendo o sentido indicdo. c) Veifiqe o teoem de tokes p o cmpo ddo e p geometi indicd. III IV I II esolção: ) O veso û do sistem de cooden cilíndics pode se escito n fom (ve pêndice) cosφ sinφ e, potnto, B B ) ciclção do cmpo vectoil o longo do ectânglo d fig é dd po ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) onde é o contono do ectânglo e d l é o vecto deslocmento infinitesiml tngente em cd ponto o pecso considedo e com o sentido indicdo n fig. Como o pecso está ssente no plno, podemos esceve d d, o qe signific qe d d do I 4

5 NÁI VCTOI Fcldde de ngenhi ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB 7/8 e d e, então, ( I ) d d ( ) do II e d e, então, ( II ) d d ( ) tenção o sentido de integção, indicdo neste cso pelos limites de integção. É impotnte efei qe o sentido d ciclção pode se indicdo de foms difeentes: o tvés dos limites de integção, o tvés do sentido tiído o vecto d l. É edo indic o sentido simltnemente dests foms. qi foi escolhido indic o sentido tvés dos limites de integção, logo, o vecto d l indic m diecção (e não o sentido d ciclção). pens do III d e d e, então, d ( III ) d do IV d e d e, então, d ( IV ) d Utilindo estes esltdos pode finlmente clcl-se 5

6 NÁI VCTOI Fcldde de ngenhi ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB 7/8 6 ( ) c) O teoem de tokes fim qe o flo do otcionl de m cmpo vectoil tvés de m dd spefície et é igl à ciclção desse cmpo vectoil o longo d linh qe limit spefície. ntão, devemos te ( ) n onde é m spefície limitd pelo ectânglo. Ovimente deveá escolhe-se spefície ectngl ssente no plno, e então temos d d e n (sentido de está elciondo com o sentido d ciclção pel eg d mão-dieit). Po oto ldo, o otcionl deste cmpo vectoil é ddo po B B B e, então, tendo em tenção o esltdo d líne nteio, most-se qe efectivmente ( ) n POBM POPOTO 1. Considee o io vecto de posição de m ponto genéico. Clcle nos segintes sistems de cooden: ) ctesins; ) cilíndics; c) esféics.. Considee o cmpo vectoil v senφ θ.

7 NÁI VCTOI Fcldde de ngenhi ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB 7/8 ) Clcle v. ) Detemine o flo de v tvés de m spefície esféic de io centd n oigem. c) Utilindo o esltdo d líne nteio, demonste vlidde do teoem d divegênci. 3. Considee o seginte cmpo vectoil epesso em cooden ctesins: V i j ( 1) k ) Clcle V em cooden ctesins. ) Moste qe o esltdo otido n líne nteio, epesso ns viáveis do sistem de cooden cilíndics (, φ, ), tom fom: cosφ 1 3 c) Detemine o flo de V tvés d spefície do cilindo de io nitáio, centdo no eio dos, qe tem s ss ses ssentes nos plnos 1 e. 4. Considee eistênci de m cmpo potencil eléctico V ddo po V 1. ) Moste qe o cmpo eléctico coespondente o efeido cmpo potencil ( V ) tem seginte epessão: ) Clcle ciclção do cmpo eléctico do ponto P 1 (1,,1) o ponto P (,1,1) pelo segmento de ect qe os ne. c) Detemine o flo de tvés d spefície ltel do cilindo de io, centdo no eio dos, qe tem s ss ses ssentes nos plnos e h. 5. Considee o cmpo vectoil F i j. ) Detemine F. ) Ddo o pecso tingl epesentdo n fig, demonste vlidde do teoem de tokes. (,1) ( 1,) 6. Demonste s segintes iglddes: 7

8 NÁI VCTOI Fcldde de ngenhi ÓPTIC CTOMGNTIMO MIB 7/8 ( U) ( V ) ( ) ( ) OUÇÕ ) 4 senφ cotgθ ; ) 4π 4 3. ) ( 1) 3 ; c) 3π 8 4. ) ; c) π h 5. ) k 8