Aula 2 Cálculo Vetorial
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- Sara Figueiredo
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1 ul Cálculo etoil Cooens etngules Elementos ieenciis e áe Elemento ieencil e linh b c b S c S S Coight 7 Oo Univesit Pess 1 Po Roigo M S e Olivei
2 ul Cálculo etoil v Coight 7 Oo Univesit Pess
3 Cooens cilínics Elemento ieencil e linh Elementos ieenciis e áe S S S Elemento ieencil e volume v Coight 7 Oo Univesit Pess 3
4 Elementos ieenciis e áe S b S c S Coight 7 Oo Univesit Pess 4
5 Sistem eséico Elemento ieencil e linh sin Elementos ieenciis e áe S sin S sin S sin Elemento ieencil e volume v sin Coight 7 Oo Univesit Pess
6 Elementos ieenciis e áe S sin b S sin c S sin Coight 7 Oo Univesit Pess 6
7 E igu bio us integis clcul: istânci BC b Comimento o co C c áe sueície BC áe sueície BO e áe sueície OF O volume BCFO Coight 7 Oo Univesit Pess 7
8 E igu bio us integis clcul: istânci BC o longo e BC Então: b Comimento o co C o longo o co C Então: 5 Coight 7 Oo Univesit Pess 8
9 c áe sueície BC áe sueície BO e áe sueície OF Coight 7 Oo Univesit Pess 9
10 c áe sueície BC áe sueície BO e áe sueície OF Coight 7 Oo Univesit Pess 1
11 volume BCFO Obseve ue: v 1/4 h v 1/4 5 1 v 1/4 5 v 65 Coight 7 Oo Univesit Pess
12 Integl e linh Integl e linh Integl e linh ech contono Integl e sueície Figue 39 Pth o integtion o vecto iel Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 1
13 Cálculo e luo Integl e sueície bet Figue 31 The lu o vecto iel though suce S Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 13
14 Integl e sueície ech Integl e volume Q S e v om einios nteiomente! Coight 7 Oo Univesit Pess
15 Eemlo: clcul ciculção e n bo eini consieno cos sen Como não vi em techo techo 3 6 cos techo 1 ½ No intevlo [ ] ½ ½ 1/4 No intevlo [ ] 3 lno Coight 7 Oo Univesit Pess
16 Oeo NB ^ ^ ^ É uso eli s einições básics Giente e um escl : g ivegente e um veto : iv Rotcionl e um veto : ot lcino e um escl : ll Coight 7 Oo Univesit Pess
17 Coight 7 Oo Univesit Pess 17 Oeo NB Cooens etngules: Obtenção e em cooens cilínics Consiee um unção Então eg cei ou sej ^ ^ ^
18 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 18 cos cos 1 1 sin sin tn 1 sin cos Seguino um cminho semelhnte Potnto: cos sin obtémse:
19 Coight 7 Oo Univesit Pess 19 Oeo NB emb ue cos sin cos sin sin cos sin cos ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos
20 Potnto: 1 Cooens cilínics em cooens eséics ^ ^ ^ Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess
21 Giente e um escl : t ttt t t t Sbese o conceito e eiv totl ue G G G cos / G cos Coight 7 Oo Univesit Pess 1
22 Eemlo: e Coight 7 Oo Univesit Pess
23 Cuvs e Nível e Otogonlie e G Consiee c com Então eiv totl e com elção é: Potnto: ' ' c / / Então et tngente à cuv é ogo: / / / / / / G Então o veto G é seme otogonl à et tngente à cuv consie noml à cuv otnto Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 3
24 Giente e um escl : Poiees U e são escles e n um inteio Coight 7 Oo Univesit Pess
25 Eemlo clcul o ângulo e intesecção linh com o elisóie 1 et oe se meti o l el eessão Como o elisóie é o o ele se encont com et uno ou sej uno elisóie linh Quno o onto e intesecção é ssocio 1 Ou sej o onto e enconto é 1 sueície o elisóie é o com com então no onto e inteesse 1 temos Coight 7 Oo Univesit Pess
26 Elisóie Coight 7 Oo Univesit Pess 6
27 ivegente e iv ivegênci e em um onto P é o luo ue si e um sueície ech ininitesiml em tono e P o unie e volume ivegênci e um cmo vetoil em P: ivegênci Coight ositiv 7 b Oo ivegênci Univesit negtiv Pess c ivegênci eo 7
28 Cálculo e no onto P ; com ente tás esue ieit too bse Séie e Tlo em P P : Temos e oem sueio Ts P o lo ente / ssim: / e P P too ente / Ts ente ieit Coight 7 Oo Univesit Pess Fente: S Too: S ieit: S
29 Cálculo e no onto P P o lo ente / temse: / ; S e ente / Ts P o lo tás / temse: / ; S e tás ssim: / Ts too ente tás ente ieit Coight 7 Oo Univesit Pess 9
30 Cálculo e no onto P ente tás P s emis ces temos nlogmente esue ieit bse too too Ou sej ente em P ieit Coight 7 Oo Univesit Pess 3
31 Teoem ivegênci ivisão o volume v em K tes K K k k k k Obsev o cncelmento s integis e sueície ns inteces! emb ue: v 1 v Se v K v 1 Então: Coight 7 Oo Univesit Pess 31
32 Teoem ivegênci ivisão o volume v em K tes K K k k 1 k k Obsev o cncelmento s integis e sueície ns inteces! v 1 v v 4 v 4 3 v 3 s Se v K Então: Coight 7 Oo Univesit Pess 3
33 Rotcionl e um cmo vetoil lim S 1 S n s n P Rotcionl em P é um veto cuj mgnitue é máim ciculção e o unie e áe s ieciono e om noml o lno e máim ciculção o veto P P Coight 7 Oo Univesit Pess 33
34 Coight 7 Oo Univesit Pess P P P b P P P bc P P P c P P P P P n S S S S P P 1 lim P P
35 Rotcionl e um veto Coight 7 Oo Univesit Pess
36 P Como vocês vlim o otcionl em P nestes csos? Coight 7 Oo Univesit Pess 36
37 Teoem e Stokes Cminho echo Sueície S Coight 7 Oo Univesit Pess
38 Teoem e Stokes k k k k S k S k S S S w k S S1 S Coight 7 Oo Univesit Pess 38
39 Encem volume Não encem volume esentm ens um bo Teo e Stokes Teo ivegênci Coight 7 Oo Univesit Pess
40 Teoem e Stokes S não ence volume esent ens um bo One lic o TS? Coight 7 Oo Univesit Pess
41 Teoem e Geen Consiee: R e Pi Qj c i j Então c R Q P S mosts o cmo vetoil Coight 7 Oo Univesit Pess 41
42 c Pi Consiee inicilmente: e Pi i j c 1 c 1 b Então c P c c Elements o Electomgnetics Fouth Eition c c b c P b b c c 1 P P 1 b P P 1 P 1 P Siku Coight 7 Oo Univesit Pess b 1 P S
43 B c Qj e Consiee go: Qj i j c c 1 1 Então c Q c c c c c B Q B c 1 Q Q 1 B Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 43 c B Q Q 1 Q 1 Q B 1 Q S
44 Teoem e Geen R c c c Consiee ue: Not ue: P Q b B Pi Qj i j 1 1 P S Q S R R P Q S S c Pi Qj i j c c c P c Q Ou sej: c c R P R S Q Q Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 44 R P S S Teoem e Geen
45 Coight 7 Oo Univesit Pess 45 PCINO É einio como o ivegente o giente e um cmo escl Obsev ue: 4 lim lim 1 lim lim lim 1 lim ; lim lim lim ogo:
46 Coight 7 Oo Univesit Pess 46 Em us imensões temos 4 lim 4 lim lcino e um veto Enino e cim em cooens etngules veiicse ue: B C C B C B
47 Cmos Consevtivos Um cmo vetoil é consevtivo se eisti um cmo ieenciável e escl tl ue O cálculo e most um ccteístic unmentl e i i i i i i Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 47
48 i t t t i t i t i t i i eiv totl Se integl é bet: 1 1 Se integl é ech: seme Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 48
49 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 49 Cmos Consevtivos O otcionl e ulue cmo consevtivo é eo n S S 1 lim Como então: Obseve ue i i i i i i
50 Cmos Consevtivos Um cmo é consevtivo conições necessáis: Se eisti um cmo ieenciável e escl tl ue Se seu otcionl o eo Se ineene o cminho e integção Se Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 5
51 Cmos Consevtivos E 1 o o cmo vetoil bio veiiue se o mesmo é consevtivo F 16 8 #1 Cálculo e F F Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 51
52 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 5 # eiic eistênci e consieno F F F
53 Coight 7 Oo Univesit Pess B 8 C 8 16 Ou sej: 8 B 8 8 C K 8 Então o cmo vetoil é consevtivo!
54 Cmos Consevtivos E eiiue se o cmo vetoil bio o é consevtivo Solução: F F ms não eiste tl ue F Então o cmo vetoil o não é consevtivo! Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku Coight 7 Oo Univesit Pess 54
55 Eecícios evisão o teste 1 Moste ue um vição em coesonente um eslocmento ininitesiml é o Sbeno ue i i i com temos o veto unitáio ieção: u i i i l etiv e n ieção o veto unitáio é o eg cei eiv totl: u ogo: u u Coight 7 Oo Univesit Pess 55
56 Eecícios evisão o teste Um ese com io m cent n oigem contém ensie e cg elétic o Clcule cg totl Q conti n ese v 3 C / m Em cooens eséics temos Q v sin sin v sin 5 Q Q 7896C Coight 7 Oo Univesit Pess 56
57 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 57 Eecícios evisão o teste 3 Consieno ue moste ue o otcionl o cmo o é invinte com o esço I e são constntes i I H 1 o sistem cilínico sbese ue Potnto temos 1 I H I H 1 I H 1 I H 1 I H CQ
58 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 58 Eecícios evisão o teste 4 eiiue ue ivegênci o otcionl e ulue veto é eo Us cooens Ctesins o sistem Ctesino sbese ue e ue CQ Como então Potnto:
59 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 59 Eecícios evisão o teste 5 eiiue o teoem e Stokes o cmo consieno seguinte te sueície eséic: sin sin sin 1 o sistem eséico sbese ue sin sin sin sin F / / S S ogo: sin {1} sin 1 sin sin sin 1 sin cos sin Eetunose s eivs temos: Potnto eetunose ivisão temos : 1 1/ sin cos 1 Pimei te: cálculo e S F S
60 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 6 Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 6 Eecícios evisão o teste 5 eiiue o teoem e Stokes o cmo consieno seguinte te sueície eséic: F / / S S Como 1 1 sin cos 1 S sin sin 4 S Temos: 4sin sin cos 1 4sin 1 1 sin cos 1 S S S S ess om temos / / / / cos cos cos 1 4 S S S S S S S sin / S S S S
61 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 61 F Segun te: cálculo e Eecícios evisão o teste 5 eiiue o teoem e Stokes o cmo consieno seguinte te sueície eséic: F / / S S Pimeio octnte: l sin 1 3 / / / sin F Temos: 1 3
62 Coight 7 Oo Univesit Pess Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 6 F Segun te: cálculo e Eecícios evisão o teste 5 eiiue o teoem e Stokes o cmo consieno seguinte te sueície eséic: F / / S S Pimeio octnte: l sin 1 3 / / / sin F Temos: / / / F F Po im: e S F F S CQ
63 Coight 7 Oo Univesit Pess 1 I Elements o Electomgnetics Fouth Eition Siku 63 Eecícios evisão o teste 6 Consiee ue P com e I constntes e conição e contono em etemine um veto ue stisç o oblem B Temos: I B 1 I Po comção vemos ue 1 ; ; 1 I s euções cim oem se stiseits consieno e ogo: log log log log I I I k I I Contono
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Sistems de cooden otogonis - 1 ELECTROMGNETISMO s leis do electomgnetismo são invintes em elção o sistem de cooden utilido. Muits vees solução de um poblem específico eque utilição de um sistem de cooden
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5(6,67Ç1&,$(&$3$&,7Æ1&,$
59 5(6,67Ç&,$(&$3$&,7Æ&,$ ÃÃ5(6,67Ç&,$Ã(Ã/(,Ã'(Ã+0 No pítulo 6 efinimos ução J σ omo seno um ensie e oente e onução. Multiplino mos os los po um áe S, el fiá: J.S σs (A (8. σs (A (8. Se o mpo elétio fo
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PLANETAS E SISTEMAS PLANETÁRIOS AGA050 Enos Piczzio DINÂMICA DO SISTEMA SOLAR NÃO HÁ PERMISSÃO DE USO PARCIAL OU TOTAL DESTE MATERIAL PARA OUTRAS FINALIDADES. Pâmetos obitis i - Inclinção (i > 90 º, movimento
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esoluções s tivies umáio óulo Geometi pln IV... óulo Geometi pln V... óulo Geometi pln VI...7 0 óulo emos que: Geometi pln IV tivies p l I. e e N são pontos méios N méi). II. ntão: 0 m e 80 m N + (se é
Capítulo 3 ATIVIDADES PARA SALA PÁG. 50 GEOMETRIA. Projeções, ângulos e distâncias. 2 a série Ensino Médio Livro 1 1
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Soluções do pítulo 9 (Volume ) 1. onsidee s ests oposts e do tetedo. omo e, os pontos e estão, mbos, no plno medido de, que é pependicul. Logo, et é otogonl, po est contid em um plno pependicul.. Tomemos,
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