RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UNICAMP-FASE RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

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1 RESOLUÇÃO D PROV DE MTEMÁTIC UNICMP-FSE. PROF. MRI NTÔNI C. GOUVEI. é, sem úv, o lmento refero e mutos ulsts. Estm-se que o onsumo áro no Brsl sej e, mlhão e s, seno o Esto e São Pulo resonsável or % esse onsumo. O gráfo o ee referên o onsumor ulst em relção os tos e. Se não for onsero o onsumo o Esto e São Pulo, qunts s são onsums rmente no Brsl? Qunts s e morel e e lres são onsums rmente no Esto e São Pulo? Pel estmtv m o onsumo áro no Brsl é e, mlhão e s, seno o Esto e São Pulo resonsável or % esse onsumo, logo o restnte o Pís onsome 7%. 7% e, mlhão e s é etmente gul,7.. = 7. s. RESPOST: Sem onserr o onsumo o Esto e São Pulo, são onsums rmente no Brsl 7. s. O totl e s onsums no Esto e São Pulo é e,.. = 7. s. Deste número, % são e morel e % e lres., 7. = 78. e, 7. = 8.7. RESPOST: Drmente no Esto e São Pulo são onsums 78. s e morel e 8.7 e lres.. O eso méo mé rtmét os esos os lunos e um em e gnást é gul 7 kg. O eso méo os homens é kg e o s mulheres é 6 kg. Quntos homens frequentm em? Se não são onseros os lunos ms esos, o eso méo e 7 kg r 7 kg. Qul é o eso méo esses lunos? Sej o número e homens e o e mulheres, logo, + =. O eso totl os lunos em é 7kg = 7.kg, ssm, + 6 = Tem-se o sstem RESPOST: Frequentm em homens.

2 Conserno omo o eso méo esses lunos ms esos: RESPOST: O eso méo esses lunos é kg.. O onsumo mensl e águ ns resêns e um equen e é oro omo se esreve segur. Pr um onsumo mensl e té metros úos, o reço é fo e gul res. Pr um onsumo sueror, o reço é e res resos e res or metro úo onsumo m os metros úos. Consere função que sso o gsto mensl om o onsumo e metros úos e águ. Esoe o gráfo função no lno rtesno r entre e. Pr um onsumo mensl e metros úos e águ, qul é o reço efetvmente go or metro úo? E r um onsumo mensl e metros úos? Pr um onsumo mensl e té metros úos, o reço em res é o el função =. Como r um onsumo sueror, o reço é e res resos e res or metro úo onsumo m os metros úos, função que á esse reço é = + = = e = =. RESPOST: O gráfo o lo reresent função no lno rtesno r entre e. m = res o vlor efetvo e m é res. m = = 8 res o vlor efetvo e m é 8 : =, res. RESPOSTS: R$, e R$,. 6. Um loter sorte três números stntos entre oe números ossíves. Pr um ost em três números, qul é role e erto? Se ost em três números ust R$,, qunto ever ustr um ost em no números? Como não mort orem o sorteo os três números, estem C, ternos ferentes e ossíves. Então r um ost em três números, role e erto é. RESPOST:. Num ost em no números estem C, ternos ferentes. Conserno que ost em três números ust R$,, um ost em no números ever R$, = R$,. RESPOST: R$,.

3 7. Consere um heágono, omo o eo n fgur o, om no los om omrmento e m e um lo om omrmento e m. Enontre o vlor e. Mostre que me o ângulo α é nferor. lno o Teorem e Ptágors um os s: No BC: ; no CD: ; no DE: ; no EF:. RESPOST: O vlor e é. tgbâc = BÂC = ; tgcâd = CÂD ; tgdâe = DÂE ; tgeâf = EÂF. Se BÂC + DÂE = 7 e CÂD + EÂF < 7, então, α = BÂC + DÂE + CÂD + EÂF < RESPOST: α < 8. Sejm e res. Consere s funções quráts form f, efns r too rel. Seno que o gráfo e f nteret o eo no onto, e é tngente o eo, etermne os ossíves vlores e e. Quno + =, os gráfos esss funções quráts têm um onto em omum. Determne s oorens esse onto. Se o gráfo e f nteret o eo no onto,, então, = e f. Se o gráfo e f é tngente o eo, f tem ens um r rel, logo RESPOST: Os ossíves vl Seno + =, =, então, f. O úno vlor e que torn é =, r too vlor e. ssm: f = + + = que tos s funções quráts o to f ss no onto,. RESPOST: s oorens o onto em omum tos s funções quráts o to f é,.

4 . Demos que um sequên e números res não nulos,,,,... rogressão hrmôn se sequên os nversos /,/,/,/,... rogressão rtmét P. D rogressão hrmôn /, /,/,... é um é um, enontre o seu seto termo. Sejm, e termos onseutvos e um rogressão hrmôn. Verfque que = / +. Seno /, /,/,...,, um rogressão hrmôn, então,,...,,,... é um P., one = e r = /, /,/,... é /. O 6 o ess P. é Então o seto termo rogressão hrmôn RESPOST: O 6 o rogressão hrmôn é /. Se, e são termos onseutvos e um rogressão hrmôn, então termos onseutvos e um rogressão rtmét. O que ml em, e são RESPOST: Então omo se quer verfr.. Consere râme ret e se qur, lustr n fgur o, om lo se = 6m e ltur. Enontre o vlor e e moo que áre e um fe trngulr sej gul m. Pr = m, etermne o ro esfer runsrt à râme. Como râme é ret tem o é su ltur one om o entro se. lno o Teorem e Ptágors o trângulo retângulo VEH: VE. 6. áre e um fe lterl é: S. Seno m o vlor est áre: 6. RESPOST: O vlor e é m.

5 BD é um s gons o quro BCD, se râme, então BD 6 BH. No trângulo retângulo BHO, BH, OB = Ro esfer e OH = R. Pelo Teorem e Ptágors: R R R R, R R R 8 RESPOST: O ro esfer mee,m.. ltur em metros e um rusto em um fse e seu esenvolvmento oe ser eress el função h t, log t, one o temo t é o em nos. Qul é o temo neessáro r que ltur umente e, m r, m? Suonh que tro rusto, ness mesm fse e esenvolvmento, tem su ltur eress el função omost g t ht. Verfque que ferenç gt ht é um onstnte, sto é, não eene e t. Se h t, m, log t, log t t t. Se, log t, log t t t h t, m Então: t t RESPOST: nos. Se g t ht g t, log t g t, log t gt ht =, log, log t = log t log t t t gt ht = log log log gt ht = t t t RESPOST: gt ht é gul o vlor onstnte.. Consere mtr, one, e são números res. Enontre os vlores e, e e moo que. Dos = e =, r que vlores e e o sstem lner tem nfnts soluções? T.

6 6 e T Seno T RESPOST: Os vlores e, e e moo que T, Pr = e =,. O sstem lner, f ssm. Pr que este sstem tenh nfnts soluções eve-se ter et =, =, = e =... RESPOST: Pr = e =, os vlores e e que tornm o sstem lner são, resetvmente, e.. O olnômo 8 tem três ríes: r, r e s. Determne os vlores e r e s. Clule r = +, one é une mgnár. Ftorno o olnômo : 8 s ríes e são os vlores e r os qus. Se, então,. s três ríes são, e. RESPOST: Pr r =, tem-se r = e s =. Pr r =, tem-se r = e s =. 7 RESPOST: 7

7 . Consere no lno rtesno os ontos, e B,. Enontre equção que reresent o lugr geométro os entros os írulos que ssm elos ontos e B. Sej C um onto n rte negtv o eo s orens. Determne C e moo que o trângulo BC tenh áre gul 8. O lugr geométro os entros os írulos que ssm elos ontos e B ertenem à metr o segmento e ret etermno or esses os ontos. metr e um segmento e ret é ret erenulr esse segmento elo seu onto méo. N fgur o lo r é metr o segmento B e M seu onto méo. M =,,. O oefente ngulr metr e B é o smétro o nverso o oefente ngulr ret B : B B Então equção e r é o to: = +. Como ret ss or M =, : RESPOST: equção que reresent o lugr geométro os entros os írulos que ssm elos ontos e B é. áre o trângulo BC oe ser lul el relção S, seno. B C Logo RESPOST: Como <, então B C 8 6 7

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