3. Lei de Gauss (baseado no Halliday, 4a edição)

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1 3. Lei de Guss (bsedo no Hllidy, 4 edição) Um Nov Fomulção d Lei de Coulomb 1.) A Lei de Coulomb é lei básic d letostátic, ms não está expesso num fom que poss simplific os csos que envolvem elevdo gu de simeti. 1.b) A Lei de Coulomb se plic csos em que s cgs estão em epouso ou quse-epouso. 2.) A Lei de Guss é um nov fomulção p Lei de Coulomb que pode fcilit em csos que envolvem elevdo gu de simeti. 2.b) A Lei de Guss não possui estições de tempo. m eletostátic Lei de Guss é equivlente Lei de Coulomb, escolh ente els depende do tipo de poblem poposto: Lei de Coulomb usmos p poblems que tenhm pequeno ou nenhum gu de simeti. Lei de Guss usmos p poblems com elevdo gu de simeti, nos quis, el não só simplific, como tmbém fom novs idéis. Do Que Tt Lei de Guss A Lei de Guss fonece um nov fom de elcionmos o Cmpo lético com s cgs elétics que o poduzim. [Cistóvão R M Rincoski] p. 1

2 Supefície Gussin 1) Supefície fechd hipotétic. 2) Pode te fom que desejmos, ms devemos escolhê-l de modo dequdo à simeti do poblem: x.: esfe, cilindo, etc. 3) l deve se sempe um supefície fechd (de modo defini o ldo de dento, o ldo de fo e supefície). Se pecoemos supefície gussin com um medido de cmpo elético, podemos, ou não, encont cmpos eléticos em váios pontos d supefície Medimos o módulo, dieção e o sentido. Se pecoemos supefície gussin com um medido de cg, podemos, ou não, encont cg em váios pontos no inteio Medimos o módulo e o sinl. A Lei de Guss elcion os cmpos eléticos n supefície gussin com s cgs elétics no seu inteio. [Cistóvão R M Rincoski] p. 2

3 ? Supefície gussin esféic ncontmos todos de mesmo módulo e pontndo dilmente p fo. Podemos fim que temos um cg elétic, líquid, positiv no inteio d supefície gussin. Conhecendo Lei de Guss, podemos clcul quntidde de cg líquid no inteio d supefície gussin. P clculmos cg no inteio d supefície, pecismos sbe qunto cmpo elético é inteceptdo pel supefície fluxo tvés d supefície. Fluxo Compção com fluxo de : 1) O movendo-se com velocidde v, tvessndo um áe A, 2) Vzão volumétic Φ (tx de que esco tvés d áe A) onde Φ = v A e Φ = v A ou Φ = v d A. v v v Uniddes (Φ): [Φ] = [v] [A] S.I. m/s m 2 = m 3 /s. [Cistóvão R M Rincoski] p. 3

4 Obs.: plv fluxo vem do ltim fluee que signific flui. Isto fz sentido p o, águ, etc. ms p o cmpo elético fic um tnto mis bstto, ms ind ssim, este é o significdo. Podemos tibui um veto velocidde p cd ponto n coente de que pss tvés de A. A composição de todos os vetoes é um cmpo de velocidde. ) Temos então, um fluxo de velocidde tvés de A. b) Fizemos, então, conexão ente o escomento de lgo el (águ,, etc.) tvés de um áe, com um quntidde que é um cmpo vetoil tvés de um áe pssgem p cmpo elético é imedit Fluxo de Um Cmpo Vetoil P definimos fluxo do cmpo elético, vmos começ com um cso genéico: 1) Um áe bitái. 2) P não pede genelidde, vmos colocá-l imes em um cmpo vetoil genéico não unifome. Φ G = G d A G θ A A plicção p o cmpo elético se ton bstnte ntul Φ = d A, como supefície é fechd Φ = d A. [Cistóvão R M Rincoski] p. 4

5 Φ θ > 9 = 9 < 9 fluxo do cmpo elético. integl sobe tod supefície fechd. cmpo elético. elemento difeencil de áe. Dieção e sentido de P dento d supefície gussin Plelo à supefície gussin P fo d supefície gussin Sinl de Φ Negtivo Zeo Positivo O fluxo elético que si d supefície gussin é positivo, e o que ent é negtivo. [xemplo 1)] Unidde (Φ ): ) [Φ ] = [] [A] no S. I. N/C m 2. b) Vlo unitáio N C = N C m 1 1 m A figu segui most supefície gussin n fom de um cilindo de io R imeso em um cmpo elético unifome, com o eixo do cilindo plelo. Qul é o fluxo Φ do cmpo elético tvés dess supefície fechd? [Cistóvão R M Rincoski] p. 5

6 b c Ccteístics: cilindo de io R e áe de bse A, em um cmpo elético unifome. Cmpo elético plelo o eixo do cilindo. Φ = d A = d A + d A + b d A c N supefície 1 (θ = 18 ) Φ = d A = cosθ = A N supefície b Φ = d A = cosθ = b b b (θ = 9 ) N / C m 2 [Cistóvão R M Rincoski] p. 6

7 N supefície c Φ = d A = cosθ = + +1 (θ = ) A 2 ntão Φ = Φ + Φ + Φ = A + + A N / C m. b c = Obs.: O esultdo nos evel que o fluxo totl n supefície fechd é zeo (s mesms linhs de cmpo que entm, sem d supefície fechd) não existem cgs no inteio d supefície gussin. Lei de Guss A Lei de Guss elcion o fluxo elético totl de um cmpo elético tvés de um supefície gussin (fechd) e cg elétic no inteio d supefície gussin. O fluxo é popocionl à cg elétic Φ α q. Com constnte de popocionlidde, temos finlmente 1 Φ = q ou ε ε Φ = q. [Cistóvão R M Rincoski] p. 7

8 ε constnte de pemissividde elétic do vácuo = 8, C 2 /N m 2. Finmente, podemos esceve Lei de Guss como ε d A = onde q é som de tods s cgs no inteio d supefície gussin. q Obs.: 1) o sinl d cg elétic q deve se incluído n Lei de Guss +q indic um fluxo positivo do cmpo elético (fluxo que si). q indic um fluxo negtivo do cmpo elético (fluxo que ent).. q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 2) As cgs elétics extens à supefície gussin (supefície zul envolvendo q 1, q 2,...) não contibuem p Lei de Guss contibuem com um fluxo zeo. 3) A distibuição de cgs no inteio d supefície gussin não inteess somente cg líquid (q = Σ q i ). 4) Só impot o sinl d cg líquid. q 7 x.: q = q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 q 6 e q 7 poduzem fluxo nulo n supefície gussin. [Cistóvão R M Rincoski] p. 8

9 Um Conduto Cegdo e Isoldo A Lei de Guss nos pemite demonst: Qulque excesso de cg colocd em um conduto isoldo se moveá inteimente p supefície do conduto. Nenhum excesso de cgs seá encontd no inteio do conduto. Isto é, s cgs iguis se epelem e devem pocu se fst o máximo possível ums ds outs. supefí cie do cobe fio isolnte supefície gussin Ccteístics: Seção tnsvesl de um pedço de cobe isoldo po um fio isolnte, e tendo um cg dicionl q. 1) A supefície gussin foi tçd junto fce inten do conduto. 2) O cmpo elético no inteio do conduto deve se zeo. Se fosse difeente de zeo, o cmpo fi com s cgs elétics se movessem cindo coentes intens, como não existem coentes pemnentes em um conduto = N/C. [Cistóvão R M Rincoski] p. 9

10 3) No inteio do conduto, o cmpo elético só pece qundo o conduto está sendo cegdo, ms cg pidmente se distibui levndo = N/C no inteio. 4) Qundo est cg cess de moviment, F R = N sobe cd cg equilíbio eletostático. 5) Como = N/C no inteio do conduto, o é tmbém n supefície gussin, e o fluxo do cmpo elético tvés d supefície é zeo e d Lei de Guss temos que q = C no inteio do conduto. 6) Se cg não está no inteio d supefície gussin, só pode est fo del n supefície exten do conduto. Inteio do conduto q = C int = N/C F int = N Supefície exten do conduto q C // sup = N/C F // sup. = N Um Conduto Cegdo e Isoldo com Um Cvidde 1) A cvidde está inteimente no inteio do conduto, como = N/C no inteio do conduto, tmbém o seá no inteio d nov supefície. [Cistóvão R M Rincoski] p. 1

11 2) A cg, então, deve est tod n supefície exten do conduto. 3) A tbel nteio continu sendo válid. O Conduto Removido Supondo que pudéssemos congel s cs no lug e depois emove o conduto. 1) Isto é equivlente lgmos cvidde, nlisd nteiomente, té que consum o conduto,. 2) A configução de q, e F não mudim (continu válid tbel nteio). Aplicções d Lei de Guss 1 o Cso) A Lei de Guss e Lei de Coulomb Lei de Coulomb devemos entende como sendo o método p clculmos o cmpo elético, utilizdo p distibuições contínus de cg, onde integávmos o cmpo elético d cg puntifome. Cmpo lético Cido po Cgs Puntifomes Ccteístics: cg elétic puntifome positiv. [Cistóvão R M Rincoski] p. 11

12 ) O esultdo d Lei de Coulomb, obtido nteiomente foi: q 1 q Módulo: ( P) = k ou ( P) = π ε Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo d cg elétic positiv. b) Usndo Lei de Guss: q q cg puntifome positiv. S supefície gussin esféic, concêntic q, de io. pependicul à supefície gussin e oientdo p fo. pependicul à supefície gussin e oientdo p fo. θ ângulo ente e =. D Lei de Guss ε d A = q, ondeε cosθ = q Cte em onde ε = q, ε = q e ε A. g. Áe sup. gussin s = +1 (θ = ) q, como 2 A s. g. = 4π [Cistóvão R M Rincoski] p. 12

13 1 q Módulo: ( P) =. 2 4π ε Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo d cg positiv. 2 o Cso) Simeti Cilíndic Ccteístics: b fin isolnte (plástico) infinitmente long, cegd unifomemente com cg q. ) Poblem: clcul o cmpo elético no ponto P, um distânci do fio/b fin, isolnte. h P b) Supefície gussin cilíndic de io e ltu h (pssndo pelo ponto P). c) O cmpo elético é sempe dil o fio/fit, como os ios d od de um biciclet. [Cistóvão R M Rincoski] p. 13

14 O po quê d Simeti Cilíndic: Imginemos que enqunto não estávmos olhndo, lguém tivesse gido o fio/b de plástico em tono do seu eixo (simeti em θ) e/ou tivesse invetido (simeti em z). Ms se o tivessem movido p esqued ou dieit (simeti em ), teímos pecebido. invinte em θ e z ms não em (simeti cilíndic). Aplicndo Lei de Guss: ) O cilindo é composto po 3 áes: d bse (), ltel (b) e supeio (c), então devemos clcul Lei de Guss p ests 3 áes. plicndo, ε d A = q ε ( ) d A + d A + d A = q como o fluxo em e c são zeo, só nos est esolve integl de fluxo sobe supefície ltel b então ε d A = q ou ε A = q com A = 2π h e λ = = = Cte b 1 λ Módulo: ( P) =. 2π ε s. g. Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo do fio/b de plástico. b s. g. c q L q h [Cistóvão R M Rincoski] p. 14

15 3 o Cso) Simeti Pln ) Chp Não Conduto. Ccteístics: chp fin, não conduto, cegd unifomemente com cg q em um de sus fces. ) Poblem: clcul o cmpo elético no ponto P, um distânci d plc isolnte. b) Supefície gussin cilíndic de áe A e compimento 2 (pssndo pelo ponto P). c) O cmpo elético pependicul à plc isolnte. d) Aplicndo Lei de Guss ε d A = q ε ( ) e d A + d A + d A = q b c b c o fluxo n áe b é zeo, e ns áes e c +1 (θ = ) d A = cosθ Cte em = As. g. onde As. g. = A voltndo ( A + + A) = q ε ( A) = q σ = = Cte ε e 2 onde q A [Cistóvão R M Rincoski] p. 15

16 σ Módulo: ( P) =. 2 ε Dieção e Sentido: hoizontl p fo d mio fce d plc (mbos os ldos) não conduto. b) Chp Conduto. Ccteístics: chp fin, conduto, cegd unifomemente com cg q. ) Poblem: clcul (P) um distânci d plc conduto. b) Como o poblem é idêntico o nteio, podemos us s mesms figus, com exceção de que o cmpo elético no inteio de um conduto é nulo, logo, temos que o fluxo é zeo n áe (pois = N/C) e n áe b (o fluxo não tvess áe b). A integl (fluxo) sobe áe c foi clculd no cso nteio e vle +A, logo σ Módulo: ( P) =. ε Dieção e Sentido: hoizontl p fo d mio fce d plc (mbos os ldos) não conduto. [Cistóvão R M Rincoski] p. 16

17 R 4 o Cso) Simeti sféic Usndo Lei de Guss podemos pov os teoems sobe cscs esféics, que fom popostos no Cpítulo de Cg létic. Poblem: csc esféic de io R, cegd unifomemente com cg q. Teoem 1: um csc esféic, unifomemente cegd, ti ou epele um ptícul cegd, exten à csc, como se tod su cg elétic estivesse concentd em seu cento. nvolvemos csc esféic com um supefície gussin esféic de io > R supefície S 1. A cg elétic no inteio d supefície S 1 poduz um cmpo elético n supefície S 1 idêntico àquele poduzido po um cg puntifome então csc esféic unifomemente cegd se compot como um cg puntifome. Teoem 2: um csc esféic, unifomemente cegd, não exece nenhum foç eletostátic sobe um ptícul cegd que estej loclizd em seu cento. Qundo colocmos um supefície gussin no inteio d csc esféic, < R, não temos cgs elétics contids no inteio d supefície S 2, logo = N/C e potnto, p qulque cg que colocmos no inteio de S 2, não teemos nenhum foç eletostátic tundo sobe el. [Cistóvão R M Rincoski] p. 17

18 Teoem 3: qulque excesso de cg elétic colocd em um csc esféic, feit de mteil conduto, se esplhá unifomemente sobe supefície exten d csc. ste teoem foi povdo qundo ttmos com o conduto (genéico) cegdo e isoldo não há cgs no inteio d supefície gussin que envolve o conduto pelo ldo de dento, potnto, s cgs elétics estão n supefície exten do conduto. 5 o Cso) Distibuição sféic Unifome de Cg Poblem: todo o volume esféico está cegdo, unifomemente, com cg q (ρ = ρ() = Cte). R P > R: p est supefície gussin, todo o volume de cgs se compot como um cg puntifome então é cg puntifome. 1 q Módulo: ( P) =. 2 4π ε Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo d esfe cegd (positivmente). [Cistóvão R M Rincoski] p. 18

19 P < R: sepmos o volume oiginl d esfe, em dois volumes, o ocupdo pel supefície gussin (V ) e o exteno à supefície gussin (V ). V não contibui p Lei de Guss, pois s cgs q, são extens. V o cmpo elético n supefície gussin é devido às cgs neste volume, q. Como p est supefície gussin, ests cgs poduzem um cmpo elético idêntico o de um cg puntifome, então 1 q ' q então ( P) = 2 como ρ = = = Cte, usndo = π ε V V ' π R π q ' 3 3 Módulo: 1 q ( P) =. 3 R 4π ε Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo do volume V. q q ' [Cistóvão R M Rincoski] p. 19

20 List de xecícios Complement 3 2) pág. 56 3) pág. 56 9) pág P) pág P) pág ) pág P) pág. 6 54P) pág. 6 [Cistóvão R M Rincoski] p. 2