E = E ds. o fluxo de campo elétrico através da superfície B do paralelepípedo da figura seria 2m 2m. Cm 2 C (2.3.3) <x=4m,y=1m,z=1m>

Transcrição

1 .3 A dedução d lei de Guss A lei de Guss desceve um popiedde de integis de fluxo do cmpo elético tvés de supefícies fechds. Então o objeto de inteesse do nosso estudo são gndezs do tipo Φ E = E ds (.3.1) Gstmos ul pssd intei p pede o medo deste tipo de objeto. Se E fosse um densidde de fluxo de um escomento, teímos um intepetção bem concet. Infelizmente E não desceve nenhum escomento, e um ou outo de vocês pode egi com um bloueio de compeensão poue não consegue enxeg o ue est gndez epesent. Ms o ue impot é ue el é bem definid e pode se clculd. Po exemplo, se o cmpo elético fosse N 5 N N E x, y, z = xˆ 5 x y + yˆ x + zˆ 3 ( ) C m C m C (.3.) o fluxo de cmpo elético tvés d supefície B do plelepípedo d figu.3.1 sei m m N 5 N N fluxo em B = xˆ 5 4 m y + yˆ x + zˆ 3 ˆ C m x dy dz = 1m 1m m C m C z= y= N 1 Nm = ( m 1m ) ( 4m 1m ) = 3 Cm C (.3.3) <x=4m,y=m,z=m> A <x=1m,y=1m,z=1m> z y B <x=4m,y=1m,z=1m> <x=4m,y=m,z=1m> x Fig..3.1 Exemplo de fluxo de cmpo elético. Igulmente podemos clcul os fluxos ds outs fces p obte um integl sobe supefície fechd. O esultdo é um vlo bem definido ue desceve lgum popiedde do cmpo. Se você, leito, ind não ficou contente com ests gndezs, é bom se lemb dos tempos d Físic I. Lá você fomou um gndez ue e um glomedo muito esuisito de gndezs: mss vezes o uddo d velocidde, dividido po, e ind po cim sommos um mgh. Não é ssustdomente estnho este glomedo de gndezs? Ms não impot. O inteessnte e ue o vlo de mv / + mgh não mud no tempo, e este fto pemiti clcul coiss com muit fcilidde. Com s gndezs E ds temos mesm situção: não impot ue els 75

2 sejm estnhs; se els têm popieddes úteis, justific-se su definição. mos então veigu uis popieddes têm o fluxo de cmpo elético tvés de supefícies fechds. Começemos com um cso muito simples. Sej o cmpo elético o cmpo de um únic cg puntifome. Usemos como supefície de integção supefície de um pedço de cone muito fino ue tem seu vétice extmente no locl d cg como most figu.3.. O pedço de cone é limitdo po dois discos cicules nos pontos e b indicdos n figu. Fig..3. Supefície de integção fomd po um pedço de cone com vétice num cg elétic. O pedço é limitdo po dois discos cicules nos pontos e b. Os vetoes do cmpo elético desenhdos coespondem lgum vlo d cg >. Obvimente s ptes lteis do pedço cônico não contibuem p integl de fluxo, já ue o E cmpo é tngencil est supefície. As únics contibuições são ds tmps cicules. Se o cone fo Eb suficientemente fino, isto é, b com um ângulo de betu peueno, podemos substitui integção sobe s áes cicules po simples multiplicções. Se usmos posição d cg como oigem de coodends, podemos esceve os vetoes supefície dos dois discos com o veto unitáio ue pont n dieção do veto posição: S = ˆ A e S = + ˆ b A, onde A e A b b são s espectivs áes dos discos. A integl de fluxo tvés d supefície fechd d noss escolh é α ˆ ˆ E ds = A ˆ ˆ + A b 4πε 4πε b (.3.4) Os ios dos discos são popocionis à distânci d cg disco = tgα e conseuentemente s áes são popocionis o uddo d distânci: ( ) ( ) A = π tgα e Ab = πb tgα (.3.5) Inseindo este esultdo n eução (.3.4), pecebemos ue o fluxo ue ent no volume no disco é extmente cnceldo pelo fluxo ue si no disco b. Então integl de fluxo tvés d supefície do pedço de cone é simplesmente zeo: p o pedço de cone d figu.3. : E ds = (.3.6) 76

3 Fig..3.3 Supefície de integção fomd po um pedço de cone com vétice num cg elétic. O pedço é limitdo po dois discos inclindos em elção o veto ˆ. α S E b Sb O ue mudi neste esultdo se pemitíssemos ue o pedço de cone não fosse cicul? Obvimente não mudi nd. A diminuição udátic do módulo do cmpo sei out vez compensd po um cescimento udático ds áes. E se pemitíssemos tmps do pedço inclinds como n figu.3.3? Tmbém não mudi nd. A áe d tmp cesce po um fto 1/ cosβ onde β é o ângulo de inclinção d tmp, e este fto sei extmente compensdo pelo fto cosβ do poduto escl ente veto supefície e cmpo elético ue pont n ntig dieção noml. O póximo psso é pemiti um volume ulue ue não contém cg. Com popiedde ditiv dos integis de fluxo, podemos esceve integl de fluxo tvés d supefície deste tipo de volume como um som de pedços de cones como indicdo n figu.3.4. Eb Fig..3.4 Decomposição de um volume ue não contém em pedços de cones com vétices em. Repe ue este último esultdo vle tmbém p volumes com cviddes, inclusive no cso em ue cg puntifome estej loclizd n cvidde. A figu.3.5 ilust est situção 77

4 mos esumi o ue descobimos té go: P o cmpo elético gedo po um cg puntifome vle E ds =, (.3.7) desde ue cg não estej dento do volume. Fig..3.5 olume com cvidde. O fluxo tvés de do cmpo elético de um cg puntifome n cvidde é nulo. Repe ue os vetoes supefície n supefície inten do volume pontm p dento d cvidde. Podeímos te chegdo este esultdo mis pidmente clculndo divegênci do cmpo de um cg puntifome e plicndo o teoem de Guss. P todos os pontos do espço fo do lug d cg, encont-se com um cálculo simples ue div E =. Se o volume não contém cg, podemos supo div E = em todos os pontos do volume. O teoem de Guss fim 3 E ds = div E d Então segue o esultdo (.3.7). O luno inteessdo pode fze o cálculo d divegênci, ms ui pefeimos deduzi o esultdo (.3.7) geometicmente com s figus Est dedução pemite visuliz melho ue zão po tás do esultdo (.3.7) é ued udátic d intensidde do cmpo junto com o diecionmento dil dos vetoes E. Ago vmos conside um volume ue contém cg. Neste cso o cálculo d divegênci não jud, pois no pópio ponto d cg o cmpo não é definido e conseuentemente não podemos clcul divegênci. Neste cso o método geomético é o único cminho. Sej um volume ddo e cg puntifome estej em lgum lug no inteio do volume. Est no inteio do volume signific não pens, ms signific ue existe um bol B intei de lgum io > e cento no lug d cg ue fic dento do volume. A figu.3.6 most um exemplo. Fig..3.6 olume contendo um cg puntifome no seu inteio. Um bol de io > pode se escolhid em tono d cg ue fic inteimente dento do volume. Podemos esceve o volume como junção d bol B e um outo volume = \ B : = B (.3.8) 78

5 Com ditividde d gndez untidde de fonte, com (.3.8) e com segue E ds = E ds + E ds B B = (.3.9) Ms o volume não contém cg. Potnto, com o esultdo (.3.7), sbemos ue segund integl do ldo dieito é zeo. Temos então E ds = E ds (.3.1) B Isto é um esultdo impotnte. Ele signific ue temos o dieito de substitui supefície oiginl po um simples esfe. Nest esfe tudo pode se clculdo extmente. P fze este cálculo é conveniente coloc oigem de coodends n pópi posição d cg e us coodends esféics. Juntndo expessão do cmpo de um cg puntifome E = 4 πε ( ) com expessão d integl de supefície esféic (..14), obtemos E ds = E ds = B ϕ= θ= ϕ= θ= ˆ π π = E ˆ senθ dθ dϕ = π π ˆ = ˆ senθ dθ dϕ = 4πε π π π = senθ dθ dϕ = π senθ dθ = 4πε 4πε = 4π ϕ= θ= θ= π = ε ε (.3.11) (.3.1) Finlmente chegmos no ponto de pode entende po ue os físicos decidim esceve constnte de popocionlidde d lei de Coulomb de fom complicd 1/ 4πε. O cncelmento ue ocoeu nest últim linh é motivção. O 4π é o ângulo sólido de um esfe complet. Neste ponto vle inteompe dedução d lei de Guss e coment noção de ângulo sólido. A idei de medi ângulos com jud do compimento de um co pemite um genelizção do conceito ângulo. Imgine um cone. Este cone não pecis se cicul, ele pode te ulue fom. A figu.3.7 ilust isto. Fig..3.7 Cone de fom não cicul. Queemos um gndez p medi o unto este tipo de cone está beto ou fechdo. Est gndez é chmd ângulo sólido. A fom de medi isto é nálog à medição de ângulos comuns em dinos. Escolhe-se um esfe de 79

6 io com cento no vétice do cone. O cone sep um fgmento d supefície d esfe. A áe deste fgmento dividido pelo uddo do io do cículo é medid do ângulo sólido. Neste cso tmbém existe o costume de esceve um unidde ue n vedde é somente um comentáio. No cso est unidde é chmd stedino. Se bimos o cone totlmente, de tl fom ue o fgmento de supefície sepd sej supefície complet d esfe, o ângulo sólido tinge o vlo de 4π: ângulo sólido de um cone totlmente beto = 4π = π π = sen θ dθdϕ = ϕ= θ= 4π (.3.13) O ângulo sólido de um cone totlmente beto é um constnte impotnte n teoi de cmpos. Ms s pessos se cnsm de esceve os 4π e inventm um mnei de esconde est constnte n lei ue é menos usd. A lei de Guss é mis impotnte do ue lei de Coulomb; então se optou po coloc o 4π n lei de Coulomb de tl fom ue ele não peç n lei de Guss. Depois dest digessão pel definição de ângulo sólido, podemos volt à lei de Guss. Flt muito pouco p complet tudo. A únic estição ue temos ind é de temos um cmpo gedo po um únic cg puntifome. Podemos us ue integção é um opeção line p tt go o cso gel de um distibuição bitái de cgs. Imgine muits cgs puntifomes distibuíds no espço. mos chm os vloes ds cgs de k e s espectivs posições de k. Imginmos ind lgum volume e ueemos vli integl de fluxo do cmpo elético tvés d supefície deste volume. O cmpo elético gedo pels cgs é som de contibuições de cgs puntifomes: N k k E ( ) = 3 k = 4πε (.3.14) 1 Como integção é um opeção line, podemos toc odem de integção e somtóio no cálculo do fluxo: N N k k k k E ds = ds ds 3 = 3 k 1 4 k 1 4 = πε k = πε k (.3.15) P cd um dos temos d últim som, podemos plic os esultdos (.3.7) e (.3.1). Se cg k está fo do volume, contibuição dest cg no somtóio é zeo e se cg está dento de, contibuição é k / ε. No exemplo d figu.3.8 s cgs 1 e não dim nenhum contibuição, e s cgs 3, 4 e 5 dão contibuições. Então o somtóio esult n cg elétic totl contid no volume dividido pel constnte ε. Com isto chegmos à fom finl d lei de Guss: 1 k E ds = Qdento de (.3.16) ε Lembndo do bnho mtemático e ignondo o fto 1/ ε, podemos expess est lei veblmente de fom muito simples: 8

7 1 1 As fontes do cmpo E são s cgs elétics. (.3.17) Fig..3.8 Exemplo p lei de Guss. Somente s cgs 3, 4 e 5 contibuem p o fluxo tvés d supefície mostd. Cd cg positiv é um fonte positiv, e cd cg negtiv é um sumidouo. 3 A eução (.3.16) vle igulmente p um distibuição contínu de cg elétic. 4 Se cg não existe em fom de 5 ptículs puntifomes, podemos dividi o espço em muitos cubinhos minúsculos e tt cd cubinho como se fosse um cg puntifome. O esultdo sei out vez eução (.3.16). Neste cso podemos esceve cg totl no volume como um integl de volume d densidde de cg, e lei de Guss tom seguinte fom: 1 3 E ds = ρd ε (.3.18) Usndo o teoem de Guss, podemos esceve integl de supefície do ldo esuedo ind como integl de volume: div E d 1 = ρd ε 3 3 (.3.19) Um vez ue tudo está escito como integl de volume, podemos junt os dois ldos num únic integl ρ 3 ( div E) d = ε (.3.) Este esultdo deve vle p ulue volume! O um função (supostmente contínu) ue integd sobe ulue volume sempe esult em zeo só pode se função zeo. Então podemos conclui ue div E ρ = ε (.3.1) Est eução é fom locl ou difeencil d lei de Guss. El é nd mis do ue densidde d eução (.3.16). Isto signific: você esceve eução (.3.16) p um volume viável, divide mbos os ldos pelo volume e tom o limite. O esultdo é lei de Guss em fom locl. A lei de Guss integl deve vle p ulue volume, e eução locl (.3.1) deve vle p ulue ponto no espço. Aui no ciclo básico vmos tblh pedominntemente com fom integl d lei de Guss. Não é peciso te medo ds integis! De fto vmos plic lei de Guss sempe em situções ue esultm em integis totlmente tiviis. Ns disciplins mis vnçds de eletomgnetismo fom difeencil d lei de Guss seá tmbém de gnde utilidde. 81

8 Execícios: E.3.1: Num pocesso usdo n fbicção de cetos componentes de optoeletônic foi cid um distibuição de cgs elétics ue poduz o seguinte cmpo elético: p x < E ( x, y, z) = x x ˆ b A x e e p x 8 onde s constntes vlem: A = 1 N/C, =, µ m e b = 5,µ m (Compe gáfico). Clcule cg elétic contid num plelepípedo ddo pels seguintes condições: 3µ m x 4µ m y 1µ m z 1µ m E.3.: Depois de te lido est seção escev dedução d lei de Guss pti d lei de Coulomb sem olh ests nots. E.3.3: Escev os pontos de destue dest seção. E x [N/C], -,x1 7-4,x1 7-6,x1 7-8,x1 7-1,x x [µm] 8