Matemática para CG. Soraia Raupp Musse

Transcrição

1 Mtemátic p CG Soi Rupp Musse 1

2 Sumáio Intodução Revisão Mtemátic Vetoes Mties

3 Intodução Em CG, tlh-se com ojetos definidos em um mundo 3D Todos os ojetos têm fom, posição e oientção Pecismos de pogms de computdo que descevm esses ojetos e como lu intege com eles, de fom que o vlo do piels possm se computdos 3

4 Intodução Dois conceitos mtemáticos judm enomemente em CG: Análise e álge vetoil Tnsfomções Com ests dus diciplins seemos: Como desceve os ojetos geométicos de um cen Como convete idéis geométics p númeos Como esultdo tem-se um coleção de lgoitmos úteis em CG 4

5 Revisão Mtemátic - Vetoes Po que vetoes são tão impotntes p CG? Utilidos p esolve polems que seim dificilmente esolvidos vi outo método Aitmétic vetoil povê um mnei unificd de se epess idéis geométics lgeicmente R-Tcing 5

6 Eemplos R-Tcing Fonte: 6

7 Rendeing efleão difus efleão especul imge efção soms ee Pincipis fenômenos que podem contece n inteção ente lu e ojetos Olho vitul 7

8 Mis Eemplos 8

9 9

10 10

11 Mis Eemplos 11

12 Eemplos R-Tcing 1

13 Revisão Mtemátic - Vetoes SRs mão dieit e mão esqued 13

14 Revisão Mtemátic - Vetoes Geometicmente, vetoes são ojetos com compimento e dieção Podem epesent divess entiddes físics, como foç e velocidde v P Q (Difeenç de dois pontos é um veto) Q + v P (Ponto + veto Ponto) v ( v, v,..., v ) (Veto n - dimensionl) 1 n Q v P Applet pplets.html 14

15 Vetoes Especiis j j k i i k [ i j k] i + j + k 15

16 Vetoes Poduto Escl Vetoes unitáios pdões i (10,, 0), j (010),,,k (0, 01), (,,c) i + j + ck E : v (,5, 1) (1,0,0) + 5(0,1,0) 1(0,0,1) i + 5 j 1 k 16

17 Revisão Mtemátic - Vetoes j j k i i k [ i j k] i + j + k Invesão de vetoes: MULT(-1) 1. i j k Como fici -1.? 17

18 Revisão Mtemátic - Vetoes Mgnitude, tmnho (sempe positivo) ou módulo do veto DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS v v ( v1, v,..., vm) v + v v m Oigem em Pitágos h l1 + l + l i+j+k

19 Revisão Mtemátic - Vetoes Veto Unitáio (mgnitude 1) Algums vees é inteessnte nomli um veto, tonndo-o unitáio ˆ E : (3, 4), 5 e ˆ 3 4, 5 5, ˆ 1 19

20 Sendo Módulo de : Veto unitáio : Módulo do veto Unitáio : P você fe: (, 3), clcule (escev com notção mtemátic) : 0

21 Resultdo: Sendo (, 3), clcule (escev com notção mtemátic) : Módulo de : Veto unitáio : Módulo do veto Unitáio : (, 3) 13 3,6055 ˆ ˆ 1 3,6055, 3 3,6055 ( 0,55, 0,83) 1

22 Revisão Mtemátic - Vetoes Opeções Básics: Som de Vetoes [ ] [ ] (5,3,6) (, 5,1) + (3,,7) + ( ) (5,3,6) + (,5, 1) (7,8,5)

23 Revisão Mtemátic - Vetoes Opeções Básics: Som de Vetoes [ ] [ ] (5,3,6) (, 5,1) + (3,,7) + ( ) (5,3,6) + (,5, 1) (7,8,5) (5,3) (3,-) (7,8) (-,-5) 3

24 Revisão Mtemátic - Vetoes Opeções Básics: Som de Vetoes Lei do plelogm: Tnspot plels DigonlSom (5,3) (3,-) (-,-5) 4

25 Revisão Mtemátic - Vetoes Opeções Básics: Multiplicção po Escl (,5,6) 6. (1,30,36) 5

26 Revisão Mtemátic - Vetoes Cominção Line Utilido p splines e epesentções pmétics v v 1 + v m v m, onde 1,,..., 1 m são escles. 6

27 Revisão Mtemátic - Vetoes Som de Vetoes Popieddes d dição:,,c (vetoes) e k,l (escles) + + Comuttiv ( ) ( ) + + c + + c Associtiv k( l) kl Associtiv ( k + l) k + l Distiutiv k + k + k Distiuti ( ) v 7

28 Com você out ve Sejm (, 4, 3), (5, 1,), c ( 0,, 1),k 5 e l -1, espond : + ( + + c) k( l) k + l k + k 8

29 Resposts: 1) (7,3, espond : ,), (5,, 3 4 Sejm +, - e l ),k,, ( c ),, ( 9 ( ) ( ) 5) (35,15, ) ( 1) (8,16, ) ( 0,15) 10, ( ) (7,5, 1) (7,3, k k k l k l k l k c

30 Ente Vetoes Poduto Escl Podu um escl v ( v, v d v. w,..., v i 1 E: v (, 3, 1), w (0, 4, -1) 11 Popieddes Comuttiv:.. Distiutiv: (+c).. +c. Associtiv: (s). s(.) 1 n n v. w i ) e w Poduto Escl de com ele mesmo é o quddo do compimento de. i ( w, w 1,..., w n ), 30

31 Revisão Mtemátic - Vetoes Um plicção inteessnte é ch o cosseno do ângulo ente vetoes. Eemplo de plicção 31

32 Vetoes Poduto Escl Ângulo ente dois vetoes ( e c) Mis impotnte plicção do poduto escl Lei do cosseno : [ ] cos α sinα 3

33 Vetoes Poduto Escl Ângulo ente dois vetoes ( e c) Mis impotnte plicção do poduto escl Lei do cosseno : [ ] cos α sinα lph 33

34 Vetoes Poduto Escl Ângulo ente dois vetoes ( e c) Mis impotnte plicção do poduto escl Lei do cosseno : [ ] cosα sinα ( cosα, sinα) c ( c cosαc, c sinαc ). c c cosαc cosα + c. c c ( cosα cosα + sinα sinα ) c sinα sinα c c 34

35 Vetoes Poduto Escl Ângulo ente dois vetoes ( e c) Mis impotnte plicção do poduto escl Lei do cosseno : [ ] cosα ( cosα, sinα) c ( c cosαc, c sinαc). c c cosαc cosα +. c c ( cosα cosα + sinα sinα ) c c Como cos( ) cos( )cos( ) + sin( )sin( ), temos. c c cos( αc α ). c c cosθ ( θ ângulo ente e c) cosθ ˆ.ˆ c sinα sinα c c 35

36 Vetoes Poduto Escl Ângulo ente dois vetoes ( e c) Mis impotnte plicção do poduto escl Lei do cosseno : [ ] cosα c c c ( cosα, c ( c cosα,. c. c c cosα cosα + c Como cos( ) cos( )cos( ) + sin( )sin( ), temos. c ( cosα cosα + sinα sinα ) c sinα ) sinα ) c c. c sinα sinα cosθ ˆ.ˆ c c cos( α α ) c c cosθ ( θ - > ângulo ente e c) O cosseno do ângulo ente dois vetoes é o poduto escl destes vetoes nomlidos 36

37 P você fe... Clcule o ângulo ente os vetoes: ( 3,4) e c (5,) 37

38 Vetoes Poduto Escl E: (3,4) 5, c ˆ 3 4, 5 5 e 5.385, c (5,) 0,54( dinos) cˆ (0.985,0.3714) ˆ.ˆ c cosθ o (deg ees) Convesão de gus em dinos e dinos em gus? 180 gus 3, 1416dinos 38

39 Vetoes Poduto Escl E: (3,4) 5, c e c (5,) ˆ 3 4,, cˆ (0.985,0.3714) 5 5 o ˆ.ˆ c cos θ Sinl de.c e Pependiculidde.c>0 cosθ > cosθ 0 0 se se θ < 90 θ 90 o o.c > 0.c 0.c0 (Pependicules) cosθ < 0 se θ > 90 o.c < 0.c<0 39

40 Podu como esultdo um veto pependicul os dois vetoes opendos Válido p 3D Vetoes Poduto Vetoil 40 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j i k j i,,,,,, + +

41 Podu como esultdo um veto pependicul os dois vetoes opendos Válido p 3D Vetoes Poduto Vetoil 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j i k j i,,,,,, + + (-)i

42 Podu como esultdo um veto pependicul os dois vetoes opendos Válido p 3D Vetoes Poduto Vetoil 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j i k j i,,,,,, + + -(-)j (-+)j (-)j

43 Podu como esultdo um veto pependicul os dois vetoes opendos Válido p 3D Vetoes Poduto Vetoil 43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j i k j i,,,,,, + + (-)k

44 Vetoes Poduto Vetoil Noml de um Plno Impotnte plicção do poduto vetoil P1, P e P3 sempe deteminm um plno P P1 P3 P1 Veto noml o plno 44

45 Rendeing efleão difus efleão especul imge efção soms ee Pincipis fenômenos que podem contece n inteção ente lu e ojetos Olho vitul 45

46 Mties Anjo etngul de elementos Mti com m linhs e n coluns é dit mti mn Mti Qudd: mn Eemplo (, 33, 44) Mti Identidde: Veto Linh: 1n Veto Colun: n I L 1 C 1 1 ( 1 1 1) 46

47 Mties - Opeções Scle: Multiplic cd elemento d Mti po um fto de escl 3 1 A A Som: Se dus mties têm o mesmo númeo de linhs e coluns, els podem se somds (mesm fom) Mti Tnspost: Toc linhs po coluns T A A + 6A

48 Mties - Opeções Poduto: Definido somente se mties são confomes Númeo de coluns de A(mn) Númeo de linhs de B(np), esultndo em mti C que seá de dimensão (mp) E : Popieddes (A,B,C são confomes) (AB)C A(BC) A(B+C) AB+AC (A+B)C AC+BC (AB) T B T A T 48

49 Poduto: Mties - Opeções Definido somente se mties são confomes Númeo de coluns de A(mn) Númeo de linhs de B(np), esultndo em mti C que seá de dimensão (mp) E :

50 Vmos tlh de novo?

51 Resultdo:

52 A B De novo? ABC Clcule C

53 Resultdo A B C