3. Lei de Gauss (baseado no Halliday, 4a edição)
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- Amadeu Regueira Coimbra
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1 3. Lei de Guss (bsedo no Hllidy, 4 edição) Um Nov Fomulção d Lei de Coulomb 1.) A Lei de Coulomb é lei básic d letostátic, ms não está expesso num fom ue poss simplific os csos ue envolvem elevdo gu de simeti. 1.b) A Lei de Coulomb se plic csos em ue s cgs estão em epouso ou use-epouso..) A Lei de Guss é um nov fomulção p Lei de Coulomb ue pode fcilit em csos ue envolvem elevdo gu de simeti..b) A Lei de Guss não possui estições de tempo. m eletostátic Lei de Guss é euivlente Lei de Coulomb, escolh ente els depende do tipo de poblem poposto: Lei de Coulomb usmos p poblems ue tenhm peueno ou nenhum gu de simeti. Lei de Guss usmos p poblems com elevdo gu de simeti, nos uis, el não só simplific, como tmbém fom novs idéis. Do Que Tt Lei de Guss A Lei de Guss fonece um nov fom de elcionmos o Cmpo lético com s cgs elétics ue o poduzim. [Cistóvão R M Rincoski] p. 1
2 Supefície Gussin 1) Supefície fechd hipotétic. ) Pode te: fom ue desejmos, ms devemos escolhê-l de modo deudo à simeti do poblem: x.: esfe, cilindo, etc. 3) l deve se sempe um supefície fechd (de modo defini o ldo de dento, o ldo de fo e supefície). Se pecoemos supefície gussin com um medido de cmpo elético, podemos, ou não, encont cmpos eléticos em váios pontos d supefície Medimos o módulo, dieção e o sentido. Se pecoemos supefície gussin com um medido de cg, podemos, ou não, encont cg em váios pontos no inteio Medimos o módulo e o sinl. A Lei de Guss elcion os cmpos eléticos n supefície gussin com s cgs elétics no seu inteio. [Cistóvão R M Rincoski] p.
3 Supefície gussin esféic ncontmos todos de mesmo módulo e pontndo dilmente p fo.? Podemos fim ue temos um cg elétic, líuid, positiv no inteio d supefície gussin. Conhecendo Lei de Guss, podemos clcul untidde de cg líuid no inteio d supefície gussin. P clculmos cg no inteio d supefície, pecismos sbe unto cmpo elético é inteceptdo pel supefície fluxo tvés d supefície. Fluxo Φ Compção com fluxo de : 1) O movendo-se com velocidde v, tvessndo um áe A, ) Vzão volumétic Φ (tx de ue esco tvés d áe A) v A Φ v A v d A onde e ou. v Uniddes (Φ): v Φ [Φ] [v] [A] S.I. m/s m m 3 /s. v [Cistóvão R M Rincoski] p. 3
4 Obs.: plv fluxo vem do ltim fluee ue signific flui. Isto fz sentido p o, águ, etc. ms p o cmpo elético fic um tnto mis bstto, ms ind ssim, este é o significdo. Podemos tibui um veto velocidde p cd ponto n coente de ue pss tvés de A. A composição de todos os vetoes é um cmpo de velocidde. ) Temos então um fluxo de velocidde tvés de A. b) Fizemos então conexão ente o escomento de lgo el (águ,, etc.) tvés de um áe, com um untidde ue é um cmpo vetoil tvés de um áe pssgem p cmpo elético é imedit Fluxo de Um Cmpo Vetoil P definimos fluxo do cmpo elético, vmos começ com um cso genéico: 1) Um áe bitái. ) P não pede genelidde, vmos colocá-l imes em um cmpo vetoil genéico não unifome. Φ G G d A G θ A A plicção p o cmpo elético se ton bstnte ntul Φ d A, como supefície é fechd Φ d A [Cistóvão R M Rincoski] p. 4
5 Φ θ > 9 9 < 9 cg elétic. integl sobe tod supefície fechd. cmpo elético. elemento difeencil de áe. Dieção e sentido de P dento d supefície gussin Plelo à supefície gussin P fo d supefície gussin Sinl de Φ Negtivo Zeo Positivo O fluxo elético ue si d supefície gussin é positivo, e o ue ent é negtivo. Unidde (Φ ): ) [Φ ] [] [A] no S. I. N/C m. b) Vlo unitáio N C N C 1 m 1 1 m [xemplo 1)] A figu segui most supefície gussin n fom de um cilindo de io R imeso em um cmpo elético unifome, com o eixo do cilindo plelo. Qul é o fluxo Φ do cmpo elético tvés dess supefície fechd? [Cistóvão R M Rincoski] p. 5
6 b c Ccteístics: cilindo de io R e áe de bse A, em um cmpo elético unifome. Cmpo elético plelo o eixo do cilindo. Φ d A d A + b d A + c d A N supefície 1 (θ 18 ) Φ d A cosθ A N supefície b Φ d A cosθ b b b (θ 9 ) N / C m [Cistóvão R M Rincoski] p. 6
7 N supefície Φ d A cosθ + +1 (θ ) A Φ Φ + Φb + Φc A + + A N / C m ntão. Obs.: O esultdo nos evel ue o fluxo totl n supefície fechd é zeo (s mesms linhs de cmpo ue entm, sem d supefície fechd) não existem cgs no inteio d supefície gussin. Lei de Guss A Lei de Guss elcion o fluxo elético totl de um cmpo elético tvés de um supefície gussin (fechd) e cg elétic no inteio d supefície gussin. O fluxo é popocionl à cg elétic Φ α. Com constnte de popocionlidde, temos finlmente Φ 1 ε ou ε Φ. ε constnte de pemissividde elétic do vácuo 8, C /N m. [Cistóvão R M Rincoski] p. 7
8 Finmente, podemos esceve Lei de Guss como ε d A onde é som de tods s cgs no inteio d supefície gussin. Obs.: o sinl d cg elétic deve se incluído n Lei de Guss + indic um fluxo positivo do cmpo elético (fluxo ue si). indic um fluxo negtivo do cmpo elético (fluxo ue ent) ) As cgs elétics extens à supefície gussin não contibuem p Lei de Guss contibuem com um fluxo zeo. ) A distibuição de cgs no inteio d supefície gussin não inteess somente cg líuid ( Σ i ). 3) Só impot o sinl d cg líuid. 7 x.: e 7 poduzem fluxo nulo n supefície gussin. Um Conduto Cegdo e Isoldo A Lei de Guss nos pemite demonst: [Cistóvão R M Rincoski] p. 8
9 Qulue excesso de cg colocd em um conduto isoldo se moveá inteimente p supefície do conduto. Nenhum excesso de cgs seá encontd no inteio do conduto. Isto é, s cgs iguis se epelem e devem pocu se fst o máximo possível ums ds outs. supefí cie do cobe fio isolnte supefície gussin Ccteístics: Seção tnsvesl de um pedço de cobe isoldo po um fio isolnte, e tendo um cg dicionl. 1) A supefície gussin foi tçd junto fce inten do conduto. ) O cmpo elético no inteio do conduto deve se zeo. Se fosse difeente de zeo, o cmpo fi com s cgs elétics se movessem cindo coentes intens, como não existem coentes pemnentes em um conduto N/C. 3) No inteio do conduto, o cmpo elético só pece undo o conduto está sendo cegdo, ms cg pidmente se distibui levndo N/C no inteio. 4) Qundo est cg cess de moviment, F R N sobe cd cg euilíbio eletostático. 5) Como N/C no inteio do conduto, o é tmbém n supefície gussin, e o fluxo do cmpo elético tvés d supefície é zeo e d Lei de Guss temos ue C no inteio do conduto. [Cistóvão R M Rincoski] p. 9
10 6) Se cg não está no inteio d supefície gussin, só pode est fo del n supefície exten do conduto. Inteio do conduto C int N/C F int N Supefície exten do conduto C // sup N/C F // sup. N Um Conduto Cegdo e Isoldo com Um Cvidde 1) A cvidde está inteimente no inteio do conduto, como N/C no inteio do conduto, tmbém o seá no inteio d nov supefície. ) A cg, então, deve est tod n supefície exten do conduto. 3) A tbel cim continu sendo válid. O Conduto Removido Supondo ue pudéssemos congel s cs no lug e depois emove o conduto. 1) Isto é euivlente lgmos cvidde, nlisd nteiomente, té ue consum o conduto,. ) A configução de, e F não mudim.. [Cistóvão R M Rincoski] p. 1
11 Aplicções d Lei de Guss 1 o Cso) A Lei de Guss e Lei de Coulomb Lei de Coulomb devemos entende como sendo o método p clculmos o cmpo elético, utilizdo p distibuições contínus de cg, onde integávmos o cmpo elético d cg puntifome. Cmpo lético Cido po Cgs Puntifomes Ccteístics: cg elétic puntifome positiv. ) O esultdo d Lei de Coulomb, obtido nteiomente foi: ( P) k Módulo: ou. ( P) 1 4π ε Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo d cg elétic positiv. b) Usndo Lei de Guss: cg puntifome positiv. S supefície gussin esféic, concêntic, de io. pependicul à supefície gussin e oientdo p fo. pependicul à supefície gussin e oientdo p fo. θ ângulo ente e. [Cistóvão R M Rincoski] p. 11
12 ε D Lei de Guss, onde d A ε cosθ +1 (θ ) Cte em Áe sup. gussin ε ε ε A. g. onde, e s, como A s. g. 4π ( P) 1 4π ε Módulo:. Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo d cg positiv. h o Cso) Simeti Cilíndic Ccteístics: b fin isolnte (plástico) infinitmente long, cegd unifomemente com cg. P ) Poblem: clcul o cmpo elético no ponto P, um distânci do fio/b fin, isolnte.. b) Supefície gussin cilíndic de io e ltu h (pssndo pelo ponto P). c) O cmpo elético é sempe dil o fio/fit, como ios d od de um biciclet. [Cistóvão R M Rincoski] p. 1
13 O po uê d Simeti Cilíndic: Imginemos ue enunto não estávmos olhndo, lguém tivesse gido o fio/b de plástico em tono do seu eixo (simeti em θ) e/ou tivesse invetido (simeti em z). Ms se o tivessem movido p esued ou dieit (simeti em ), teímos pecebido. invinte em θ e z ms não em (simeti cilíndic). Aplicndo Lei de Guss: ) O cilindo é composto po 3 áes: d bse (), ltel (b) e supeio (c), então devemos clcul Lei de Guss p ests 3 áes. ε d A ε plicndo, ( ) d A + d A + d A como o fluxo em e c são zeo, só nos est esolve integl de fluxo sobe supefície ltel b ε d A ε A A π então ou com e b ( P) 1 π ε λ Módulo:. s. g. b s. g. c h λ Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo do fio/b de plástico. L h Cte 3 o Cso) Simeti Pln ) Chp Não Conduto. [Cistóvão R M Rincoski] p. 13
14 Ccteístics: chp fin, não conduto, cegd unifomemente com cg em um de sus fces. ) Poblem: clcul o cmpo elético no ponto P, um distânci d plc isolnte. b) Supefície gussin cilíndic de áe A e compimento (pssndo pelo ponto P). c) O cmpo elético pependicul à plc isolnte. d) Aplicndo Lei de Guss ε d A ε ( ) e d A + d A + d A b c b c o fluxo n áe b é zeo, e ns áes e c ε d A e ε Cte em +1 (θ ) cosθ ε As. g. As. g. A onde voltndo ( A + + A) ε ( A) σ Cte ε e onde A [Cistóvão R M Rincoski] p. 14
15 ( P) σ ε Módulo:. Dieção e Sentido: hoizontl p fo d mio fce d plc (mbos os ldos) não conduto. ) Chp Conduto. Ccteístics: chp fin, conduto, cegd unifomemente com cg. ) Poblem: clcul (P) um distânci d plc conduto. b) Como o poblem é idêntico o nteio, podemos us s mesms figus, com exceção de ue o cmpo elético no inteio de um conduto é nulo, logo, temos ue o fluxo é zeo n áe (pois N/C) e n áe b (o fluxo não tvess áe b). A integl (fluxo) sobe áe c foi clculd no cso nteio e vle + A, logo ( P) σ ε Módulo:. Dieção e Sentido: hoizontl p fo d mio fce d plc (mbos os ldos) não conduto. [Cistóvão R M Rincoski] p. 15
16 4 o Cso) Simeti sféic Usndo Lei de Guss podemos pov os teoems sobe cscs esféics, ue fom popostos no Cpítulo de Cg létic. Poblem: csc esféic de io R, cegd unifomemente com cg. R Teoem 1: um csc esféic, unifomemente cegd, ti ou epele um ptícul cegd, exten à csc, como se tod su cg elétic estivesse concentd em seu cento. nvolvemos csc esféic com um supefície gussin esféic de io > R supefície S 1. A cg elétic no inteio d supefície S 1 poduz um cmpo elético n supefície S 1 idêntico àuele poduzido po um cg puntifome então csc esféic unifomemente cegd se compot como um cg puntifome. Teoem : um csc esféic, unifomemente cegd, não exece nenhum foç eletostátic sobe um ptícul cegd ue estej loclizd em seu cento. Qundo colocmos um supefície gussin no inteio d csc esféic, < R, não temos cgs elétics contids no inteio d supefície S, logo N/C e potnto, p ulue cg ue colocmos no inteio de S, não teemos nenhum foç eletostátic tundo sobe el. Teoem 3: ulue excesso de cg elétic colocd em um csc esféic, feit de mteil conduto, se esplhá unifomemente sobe supefície exten d csc. [Cistóvão R M Rincoski] p. 16
17 ste teoem foi povdo undo ttmos com o conduto (genéico) cegdo e isoldo tod cg está fo d supefície gussin ue envolve o conduto pelo ldo de dento, potnto, s cgs elétics estão n supefície exten do conduto. 5 o Cso) Distibuição sféic Unifome de Cg Poblem: todo o volume esféico está cegdo, unifomemente, com cg (ρ ρ() Cte). R P > R: p est supefície gussin, todo o volume de cgs se compot como um cg puntifome então é cg puntifome. ( P) 1 4π ε Módulo:. Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo d esfe cegd (positivmente). P < R: sepmos o volume oiginl d esfe, em dois volumes, o ocupdo pel supefície gussin (V ) e o exteno à supefície gussin (V ). V não contibui p Lei de Guss, pois s cgs, são extens. V o cmpo elético n supefície gussin é devido às cgs neste volume,. Como p est supefície gussin, ests cgs poduzem um cmpo elético idêntico o de um cg puntifome, então [Cistóvão R M Rincoski] p. 17
18 [Cistóvão R M Rincoski] p Lei de Guss 3. Lei de Guss Cp Cpítulo 3 tulo 3 então como, usndo ' 3 4 ' ' ' 4 1 ) ( R Cte V V P π π ρ ε π Módulo:. Dieção e Sentido: dil, dieciondo p fo do volume V. R P ) ( ε π
19 List de xecícios Complement 3 ) pág. 56 3) pág. 56 9) pág P) pág. 57 7P) pág ) pág P) pág. 6 54P) pág. 6 [Cistóvão R M Rincoski] p. 19
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