Matemática D Intensivo V. 1

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1 GRITO Mtemátic Intensivo V. ecícios 0) onstuímos et t, tl que t // s e t // : b t s et t divide o ângulo em dois ângulos e b. = 0 (ltenos intenos) b = = 0 = 7 Segue, b = (ltenos intenos). Logo, = 7. 0) δ ξ ^ ^ ^ b ' ' ^ b ^ e δ ' ^ c ' ^ e ' ^ c ^ d ^ d β No pentágono ''''', note que b + ĉ + d + ê + â = 0 (ângulo eteno do polígono). Somndo os ângulos dos tiângulos Δ '', Δ '', Δ '', Δ '', Δ '', teemos: γ + γ + ε + + β + b + ĉ + d + ê + â + b + ĉ + d + ê + â = γ + γ + ε + + β = γ + γ + ε + + β = γ + γ + ε + + β = 80 0) evemos clcul pimeimente o vlo de. t 0 β 80 β s + = 00 (ltenos intenos) 5 = 00 = 0 =. 0 = 0 Lembe que som dos ângulos intenos de um tiângulo qulque é igul 80. í: 80 β = 80 β = 0 β = β = 0. Mtemátic

2 GRITO 0) ĉ = 80 = 80 0 (som dos ângulos intenos) ĉ = 80 0 ê = 80 0 (som dos ângulos intenos) F = ĉ e Ê = ê (oposto pelo vétice) ssim: = 80 0 e Ê = 80 0 No tiângulo Δ, temos: = 80 (som dos ângulos intenos) 80 8 = 0 80 = 8 = 80 8 = 0 05) m elção o Δ M, temos: = 80 (som dos ângulos intenos) 7 + = 70 m elção o Δ M, temos: M = + 0 (bissetiz) M + = 80 (suplement) M = 80 Segue: = 80 (som dos ângulos intenos) + = 0 = Obtemos o seguinte sistem: = () i 7 + = 70 ii () Fzendo (i) + (ii), teemos: + 7 = 8 = 9 = 9 = 88 = 88 9 = Substituindo = em (ii), teemos: 7. + = = 70 = 70 5 = Mtemátic

3 GRITO 0) onstuímos et t, tl que t // s e t //. t s 07) et t divide o ângulo em dus ptes e. Temos que: = (ltenos intenos) 5 = = (ltenos intenos) 55 = Segue: = + = = = 80 (som dos ângulos intenos são suplementes) = 0 Temos ind: 5 + = 80 Obtemos o seguinte sistem: = i 0 () 5+ = 80 () ii Fzendo (i) + (ii), temos = 0 = 0 Substituindo = 0 em (i), teemos: 0 = = = 80 Mtemátic

4 GRITO 08) 09) som dos ângulos intenos é dd po S i =. 0 + (n ). 8 (n: númeo de ldos), ms S i = 80 (n ). Segue:. 0 + (n ). 8 = 80 (n ) 0 = 80 (n ) (n ) 8 0 = 5 (n ) 0 = 5n 0 = 5n n = 5 n = No tiângulo Δ : = 80 0 = 80 = 80 8 = 8 0) onstuímos s ets t e n, tl que t // n // s //, confome figu bio. Note que: K = 70 (ltenos intenos) K = b 70 K = M (ltenos intenos) M = b 70 M = 0 M M = 0 (b 70 ) M = (ltenos intenos) 0 b + 70 = 00 = + b Mtemátic

5 GRITO ) ' = 70 (ltenos intenos // s) = ' ' = 70 (oposto pelo vétice) ' ' = 70 (ltenos intenos t // u) 70 0 ' ' Temos ind '' = 0 (oposto pelo vétice) ssim, no Δ '' : = (teoem do ângulo eteno) = s t u v ) 0 ) ) Sej o ângulo pocudo: (90 ) + 0 = = = = 0 pótem é dd po: = R = R Ldo do tiângulo: = R =. = F No Δ QP : ² = + ² = ² / P Potnto, áe do tiângulo é: = l = ( ) = = ² ² = = Logo, o peímeto é: p = + p = + Mtemátic 5

6 GRITO 5) 7) H : áe do heágono T : áe do tiângulo H = T l H l = T H = T som dos ldos do heágono e do tiângulo é 9 ldos. ssim: T = 9 = 7 m. ) 99 ' = 0 i ' : zão S i = 80 ( ) = 70 n + n + + n + + n + + n + + n + 5 = 70 n + 5 = 70 (i) Temos ind: n = 5 n = 5 (ii) Substituindo (ii) em (i), temos: n + n = 70 8n = 70 n = 70 8 n = 90 8) ' i = 80 ( ) = 0. = 0 Δ ''' ; Δ 'F ; Δ ' ; Δ ' são equiláteos. e O Δ ''' tem ldos = 5. í: ' = 5 0 = 8 e ssim F = 8 (tiângulo equiláteo). F = 5 8 = 0 Potnto: p = p = 99. e = 0 = 7 (ângulo eteno do pentágono) 5 + e + e = 80 (som dos ângulos intenos) = 80 + = 80 = Mtemátic

7 GRITO 9) est fom montemos um sistem: 0h+ h = 500 0h 0= 00 () ii F Subtindo: 0h + 0 = 00 h = 0 h = 0 0) O tiângulo Δ F é etângulo. ()² = + ² = p =. =. = cm pimei equção: 500 h = 0 + Igulndo: = = (0 + )( 0) 500 = 00 + ² ² = ) 70,8 P 0 ompimento d cec: PT = h 0 h Po Pitágos no Δ, temos que: 5² = ² + 5² = 00 = 0 Áe totl do tpézio : 0( 0 + 0) = = 500 Ms s áes do tpézio PT e PT devem se iguis à metde d áe do tpézio, ou sej, 50. Áe de PT: = h( 0 + ) 0h + h = 500 (i) Áe de PT: = ( 0 h )( 0 ) 0h 0 + h = 00 T b ² = ² + b² (i) Temos ind: b = b = Substituindo (ii) em (i): ² = ² + 7 = ² = 9² + ² 89 = 5² = 9, 5 =, Substituindo em (ii): b =., = 8,8 ntão: p = + b p =., +. 8,8 p = 7, + 97, = 07,8 (ii) Mtemátic 7

8 GRITO ) 07 ) 0. Veddeio. 0. Veddeio. n h m Relção métic: h² = m. n h² =. h² = h = Segue: = 5. = 5. = 5 0. Veddeio. li i i i = 80 ( 5 ) = 08 5 F O qudiláteo F é um losngo e ssim: F 08 e ÊF F =. Sbemos que som dos ângulos intenos de um qudiláteo é igul 0, então: = 0 + = 0 = 0 = = 7 ) c: cicunscito i: inscito p i = 8 i = = c = c = ( )² =. = 8 cm² 08. Flso. i = 80 ( 5 ) i = 08 5 i 7 i 7 0. Flso. Pois o ldo do heágono H = =. 0.Veddeio. 0.Flso. H = = Q Q = Q = Q = 08. Veddeio. H = R H = =. Veddeio. Isósceles, pois (ldo do quddo) e  = 90 ( digonl do quddo).. Flso. so contáio H pssi pelo cento do cículo, o que não contece. = = 8 Mtemátic

9 GRITO 5) = = 0 = ) i 7 7 i = 80 ( 5 ) = 08 5 Logo, = = 8) Númeo de digonis é ddo po d = nn ( ), em que n é o númeo de ldos. Sendo ssim: 90 = nn ( ). 90 = n(n ) (distibutiv) 80 = n n n n 80 = 0 Resolvendo equção cim obteemos s ízes: n' = 5 n" = (ldo negtivo não eiste) Potnto, númeo de ldos é ddo po n = 5. Númeo de digonis é ddo po d = nn ( ), em que n é o númeo de ldos. Sendo ssim: 5 = nn ( ). 5 = n(n ) (distibutiv) 70 = n n n n 70 = 0 9) h b h = b Resolvendo equção cim obtemos s ízes: n' = 0 n" = 7 (ldo negtivo não eiste) Potnto, númeo de ldos é ddo po n = 0. 7) 0,5 0,5 0,5 n = 80 ( n ) n 5 = 80 ( 5 ) = 08 5 Temos que: = = = 0 No tiângulo d esqued temos: h = (ltu do tiângulo equiláteo) No tiângulo d dieit temos: = b (ltu do tiângulo equiláteo) = b = b = b s áes dos tiângulos d esqued e d dieit são ddos espectivmente po: =. h e = b. Segue:. h. h = = = = =. = b.. b Mtemátic 9

10 GRITO 0) ) 5 No tiângulo temos: h = 5 (ltu é medin) 5 = l 0 = l Δ 0 = l Δ l Δ = 0 ( ) Δ = 0 Δ = 75 No heágonos, temos: h = l 0 = l 0 = l = 00. = 5. = (teoem d bse médi no tiângulo) 0. Incoeto. O tiângulo Δ está contido no tiângulo Δ. 0. oeto. O peímeto do Δ é ddo po p = =. O semipeímeto é ddo po p = = 5,5. = p( p )( p b)( p c) = 5555, (, 5)( 5, 5 )( 55, ) = 55,. 05,. 5,. 5, =, 75,79 cm Logo,,79 cm < cm. 0. oeto. P que o tiângulo Δ sej obtusângulo, deve se stisfeit seguinte condição: > b + c Sendo ssim, temos 5 > +, de fto, 5 > + = Incoeto. Sbemos que o enconto ds meditizes de um tiângulo obtusângulo é eteno o tiângulo e ind é o cento d cicunfeênci cicunscit.. oeto. p = + + 5, 55, = = 75, = 7575, (, )(, 75 5, )( 75, ) 0. = =. = 00.. = = = = = ) = 75,. 75,. 05,. 0, 75 = 0, 90 = 09, Áe do qudiláteo. = Δ Δ =,79 0,99 =,8 e fto: Δ Δ Figu som dos ângulos intenos é: = Potnto, incoeto. 0 Mtemátic

11 GRITO Figu 8 = + 5 = + 5 = 9 (contdiz o teoem de Pitágos) Potnto, incoeto. ) oeto. Figu 5 > 8 + = (contdiz condição de eistênci do tiângulo) Potnto, incoeto. ) s //s 0. oeto. O ângulo  mede o. Figu P + + = 80 5 = 80 = 80 = 5 P P 0. Incoeto. so contáio, o tiângulo Δ P sei equiláteo, o que não contece, pois os ângulos intenos são difeentes. Figu 08 Usndo teoem de Tles: = 50 (50 ) = 00 = 00 = + 00 = 0 = 00 0 = 0 cm 0. Incoeto. sen = 0 0,59 = 0 =,59 m 0. Incoeto. 0 cm 0,59. 0 = oeto. Segundo figu temos: P P (cso ângulo ângulo) Potnto, Δ P Δ 08. Incoeto. Note que o tiângulo Δ P é obtusângulo, pois P = 08. O tiângulo Δ P é cutângulo.. oeto. Temos P P = 7 e potnto é isósceles. 8 8 P No tiângulo Δ P, temos: = + 8 = 900 = 900 = 0 cm 08. oeto. Tt-se de definição de semelhnç de tiângulo. Mtemátic

12 GRITO 5) l l ) 8 N M onstuímos um segmento MF tl que F é ponto médio de. ntão, FM // N e temos ind MF = (bse médi p tiângulo). Note que Δ FM Δ N. í temos: 8 =. =. 8 7 =. 8 = 7 8 = F h P l Fç ligção do ponto P os vétices, fomndo os tiângulos Δ P ; Δ P e Δ P. Temos que, Δ = ΔP + ΔP + ΔP Sendo ssim, lh ld ld ld = = = l h l d l 8 8 No tiângulo, temos: = (8 ) + = + 0 = + 0 = 00 = 00 7) = = = 8 5 l h = l d + l d + l d h = d + d + d Segue: h = d + d + d = 9 e h = l, temos: 9 = l 8 = l 8 = l (cionlizndo) l = 8 = l l = 8) onsidee o tiângulo equiláteo de ldo l e ltu h e P um ponto inteio. Note que áe é dd po icuncento, pois o ponto P seá o cento d cicunfeênci o tiângulo. = lh Mtemátic

13 GRITO 9) No tiângulo etângulo vmos chm o cteto o cteto hoizontl e H hipotenus. cod esticd e ele diz que e m mio que o bmbu. Temos s seguintes infomções: =? = 7 H = + Pelo teoem de Pitágos, temos: H = + ( + ) = = = 9 = 9 = 5 = 5 =,5 m 0) 8 0. oeto. O númeo de digonis é ddo po: d = nn ( ) númeo de ldos é o pentágono é n = 5. lculndo o númeo de digonis, temos: d = 55 ( ) 5. = = 5 Logo, n = d 08. oeto. 0. Incoet. h H + + = 80 (som dos ângulos intenos 9 = 80 são suplementes) = 80 = 0 9 O ângulo é ddo po =. 0 = 80 o. oeto. efinição de ângulo n cicunfeênci. H = + H = + 5 H = 00 H = 00 H = 0 (teoem de Pitágos) h. H =. (elção métic no h. 0 =. tiângulo etângulo) h = =. = 9, cm Incoet. p = = = 0 Segue, = 0 = 0 = 0 Logo, =. 0 = 0 e = 0 ) F 0 G / Note que O OG, pois são io d semicicunfeênci no tiângulo O; temos: = + = + = 5 = 5 5 = Segue que áe do etângulo FGH é dd po R =. = 5 = 5 Temos ind que áe do quddo é ddo Q = Segue, R 5 = = 5 Q Mtemátic

14 GRITO ) I. Veddeio. Os ldos // (Plelogmo) é tnsvesl e Temos  (ltenos intenos) ssim, + β = 80 II. Veddeio. β Inicilmente tcemos s bissetizes dos ângulos F e F dos ângulos  e espectivmente. í os ângulos ÂF F F = ( ) Note que F Ê (ltenos intenos) Potnto, os segmentos F e tem mesm inclinção em elção o segmento e ssim concluímos que são plels. F ) 0. oet. Sej o ângulo. Seu suplemento é ddo po 80. Segue que zão ente dois ângulos suplementes é = = (89 ) 5 = 70 9 = 70 = 80 o O complemento de = 80 o é ddo po = 0 o. 08. Incoeto. P que possmos fom um tiângulo com ldos, b, c devemos te s seguintes condições: < b + c b < + c c < + b O que não contece, > 9 + =.. Incoeto. Sem ped de genelidde temos o io = m. O compimento d cicunfeênci = π. = π =,8 m go se o io ument um meto temos = + = m. O compimento d cicunfeênci = π. = π =,5 m Potnto umentou,8 m.. oeto. Tês pontos sempe pssm po um único plno e ssim os pontos são colinees. III. Veddeio. Pois o quddo stisfz s definições bio: Plelogmo ldos plelos Retângulo plelogmo e ângulos etos Losngo plelogmo e seus ldos iguis. ) 0. Incoeto. onsidee o quddo de ldo. = Se duplicmos os ldos, obteemos: = () = Potnto, = 0. Incoeto. P que psse um só et é necessáio que sejm colinees (linhdos), o que não necessimente pode contece. Sej =. No tiângulo, temos: = +.. cos 0 (lei dos cossenos) = 5 ( cos 0) (cos 0 = cos 0) = 5 +. = 5 + = 7 = 7 Segue, = 7 = 5) O peímeto do etângulo é = Sej e os ldos meno e mio dos etângulos espectivmente. Mtemátic

15 GRITO Obtemos o seguinte sistem: = b b i 00 = 00 () + b= 500 = 500 b () ii Fzendo (ii) (i), temos: = 50 m áe do quddo é ddo po = 8. = Note que =, ssim 8 = 8. = = = = 8 = = (cionlizndo) =. = Segue que o peímeto do etângulo é ddo po p = =. = cm ) ) = 50 m; b = 50 m b) = 5(5 ) 5 7) 98 Segue substituindo = 5 em (i), temos: 50 = 00 b b = 50 m Potnto = 50 m e b = 50 m b) Temos p = + b + 00 = 50 b = 50 No tiângulo PTS, temos: Potnto áe do tpézio = ( 00 + bh ) ( ). 5 5 = = ( 50 ). 5 5.( 50 ). 5 5 = = 5.( 50 ) 5 Sej,, z, l e m os ldos dos etângulos confome figu bio. z l S b R k z k h 0 l P 0 00 b ) Temos que, p = + b + 00 = 50 + b = 50 P Temos ind no Δ PS 00 b cos 0 = = 00 b. = 00 b 00 m Q m Note que o peímeto do etângulo é: p = + + k + z + l + m k + l + m p = ( + + k + l + m) p = p = 98 = h + 00 b = ( ) z = h = ( = h + 50 ) 50 ( ) = h l m Mtemátic 5

16 GRITO ( ) = h = h = h 8) h = 50 5 h = 5( 5) h = ) 0 0. Incoet. som dos ângulos de um qudiláteo qulque é 0 o. 0. oet O 5 5 omo é bissetiz do ângulo, temos. Ms Ê (ltemos intenos) logo, Ê dí o Δ é isósceles e ssim = 5. Potnto, p = = + 0 = Note que Δ O Δ O (cso L 0 ) i temos O Ô. omo O + Ô + 0 = 80 (Suplementes) O + O = 0 O = 0 No Δ O os ângulos O Ô e como os ângulos de um tiângulo qulque são suplementes conclimos que O Ô = 0 e potnto Δ O é equiláteo e ssim =. om os Δ O Δ O, temos = Potnto, p = 5. 9) 0. oet. R h H R Sej: : io d cicunfeênci inscit R: io d cicunfeênci cicunscit l: ldo do quddo : digonl do quddo = l = = R = = = Segue, = =. = R No tiângulo H, temos H = temos ind, segundo o Teoem de Pitágos = h + = h = h h = áe do tpézio é dd po ( + ). = =. 08. oeto. Somndo tês ldos de qulque tpézio notá que som seá.. oeto. Note que o ângulo ÂO = 0 = π. Mtemátic

17 GRITO 5) 5 p = + = 5 Segund dobdu 5) 5 H = (5 ) + ( ). H = + H = 7 8 O vlo máimo p é ddo po V = b Δ = b c = 7 = 7 = ( 8). Q p Note que os tiângulos bio têm mesms áes dos tiângulos Δ Q e Δ P possuem mesm bse e ltu. Q p = + = Temos o seguinte sistem: + = 5 () i + = () ii / Fzendo (i) (ii), temos: = = =. = 0 Substituindo = 0 em (i) temos: + 0 = = 5 = 5 0 = = = 8 / = 0. Incoeto. Pois = 0 e = Incoeto. Pois = 0 e = oeto. 0 8 =. 08. Incoeto. Pois meno dimensão = 8. Som = 0 (et) 5) 0 p Potnto, = Δ + Δ = 0 5) Pimei dobdu / / Mtemátic 7

18 GRITO 0. oeto. Nos tiângulos inscitos e, s medids d hipotenus são diâmeto d cicunfeênci e potnto são tiângulos etângulos. 0. oeto. Os ângulos Ê 90 e potnto é um etângulo = = θ = 90 Δ O é etângulo em O. π = πr R = cm = R + R = + = 8 = 8 =. = 08. omo o ângulo inscito Ê eneg o mesmo compimento de co que o ângulo centl Ô, temos. Ê = O. 57) O polígono é um quddo p =. = cm 55) 0 β 5 π cm O Δ O é isósceles, então O = Ô = O ângulo O é eteno o tiângulo O, logo medid + =. O tiângulo O tmbém é isósceles, logo O mede. O ângulo Ô é eteno o tiângulo O, logo β =. + = ntão zão ente s medids dos ângulos Ô e Ô é:. = 5) π πr 5π π. 5 π = π R 0π =.. 0π 5 = =. π = = 50 θ 0 58) omo P é um ponto inteio cicunfeênci temos que: P. P = P. P. =. P = P P = o plic o teoem de Pitágos no Δ P e Δ P, temos: = + = + = 0 = 0 = + = + = 80 = 5 pti d lei dos senos no Δ, obtemos c 0 = R = R sen( ) P c 0 = R = = R sen( ) P 8 Mtemátic

19 GRITO 0. 5 = R ) R= 50 = 5. = 5 59) 0) O ângulo O Ô (Δ O é isósceles) temos ind que O Ô (Δ O é isósceles), ms O ÂO + Ô ÂO + ÂO = ÂO. O OO O segue que, = O + ÂO O + O = O O = ssim, O + O = π (Suplementes) O = π O O = π 0 F h pti do Δ F obtemos o ldo (l) do quddo. l = + = = l = = (cionlizção) l = ms, = h, onde é digonl do quddo. ind no Δ F, temos: h =. (elção métic) no tiângulo etângulo h = h = (cionliz) h = omo =, temos = = h h = T(φ) =. h =. h =. = S(φ) = π. π. S( ϕ) π. π = = = T( ϕ) áe do quddo é dd po =. =. = áe do cículo é dd po: =. π. π π = = 8 = π 8 ) ) b) c) 9 d) π 9 Mtemátic 9

20 GRITO ) ( ) =. (elção métic n cicunfeênci) ( ) = ( + ) ( ) =. 8 =. 8 = 8 ( ) = 8 = b) o plic o teoem de Pitágos no Δ, temos: (8 ) = ( ) +. =. + 9 = 8 + = 9 8 = = = Logo, = = = c) Pimeimente, vmos detemin medid do ângulo Â. P isso, obseve que o tiângulo é etângulo em, já que se tt de um tiângulo inscito num cicunfeênci e dos seus ldos é o diâmeto. ) áe é dd po T = = 0,. = 0, m = 0,. = 0, m =. 0, = 0, m =. 0, = 0, m 5 =. 0, = 0, m =. = m 7 = 0,7. = 0,7 m 8 =. = m 9 = 0,. = 0, m 0 =. = m = 0,. = 0, m =, +, + 0, + 0,8 + 0, + + 0, , + + T + 0, = 8,8 m ) Não há gbito coeto. (: cnceldo pel cfe) ssim, sendo medid do Ângulo Â, temos: cos = = 9 = omo  é um ângulo inteno de tiângulo, segue que: = 0 Vmos go conside o tiângulo n figu segui. Obseve que tl tiângulos O e O medem mbos 0, e o ângulo Ô, po su vez, mede 0. Logo áe do tiângulo O pode se clculd po: S O =... S = 9 d) áe d egião hchud coesponde à difeenç ente áe do seto cicul detemind pleo co e áe do tiângulo O. ssim, temos: S = 0 0. R S O =. π. 9 S = π 9 5) l plicndo teoem de Pitágos no Δ, temos: l = + = 5 ssim áe de plntio d gm seá =.. =.. = m Já áe d colocção d ceâmic = 5. 5 = 5 m F 0 Mtemátic

21 GRITO ) 9) S = πr π = πr R = O ldo de cd tiângulo l =. R. cos 0 l =. l = O ldo meno é do ldo mio, então plicndo o teoem de Pitágos, temos: = + = + + = + + = = 0 7) Resolvendo equção obtemos s ízes = 5 e = 7, como > 0 temos = 5. Segue, que áe de hegono: = =. = = (t) 8 l 70) L = l = = Potnto, áe é dd po: =. L = = + = 0 Áe é dd po: = p. 0 Segue, P = = P = = = No tiângulo, temos: = l = (8 ) + = l = + + = l = + 7) ntão, =. = cm 8),5 cm 75 cm =.,5 = 9 cm = 9,. 0 m T = = ,. 0 = 55 m Lei dos senos sen 5 = sen sen 0 = sen 5 Mtemátic

22 GRITO = = = = (cionlizção) Lei dos senos sen 75 = sen 5 Ms, sen 5 = sen(5 + 0) = sen 5 = Segue, = + =. + = + = + + = (cionlizção) = + = + + = ( ) = + Logo, p = = + + Vmos à áe: = sen = sen = 8.( + ). (. ). = = + ( = + ) = + 7) = + Sej áe do cículo áe do quddo. áe sombedo é ddo po = Segue, = πr = l onde l é o ldo do quddo ssim, = l R = l l = R (cionlizção) 7) l = R l = R ntão, = (R ) = R Potnto, = = πr R R ( π ) = Temos que: h = l = l =. l =. (cionlizndo) l = Logo áe do tiângulo Δ = ( ) =.. = Áe do cículo = πr = π. = π. m Áe do quddo =. = m Potnto áe utilizd seá dd po = Δ + = + π 8, m Mtemátic

23 GRITO 7) wc quto I k quto II cozinh e sl áe totl é dd po ( + n). ( + k) Temos. = (i) k. = 8 (ii). n = 9 (iii) Somndo: (ii) e (iii), temos: + n = + 9 = ( + n) = (iv) (ii) e (ii), temos: + k = 8 + ( + k) = (v) multiplicndo (iv) e (v), obtemos:. ( + n). ( + k) =. =. ( + n) ( + k) = ( + n) ( + k) = ( + n) ( + k) = ( + n) ( + k) = Mtemátic

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Soluções do Capítulo 9 (Volume 2) Soluções do pítulo 9 (Volume ) 1. onsidee s ests oposts e do tetedo. omo e, os pontos e estão, mbos, no plno medido de, que é pependicul. Logo, et é otogonl, po est contid em um plno pependicul.. Tomemos,

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