ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 PE 00 ECÂNIC Seund Pov 13 de mio de 003 Dução d Pov: 100 minutos (não é pemitido uso de clculdos) 1ª Questão (3,0 pontos) Um b ticuld em de mss e compimento L, está poid num mol de iide k. Um bloco de mss m, inicilmente em epouso, ci sob ção d vidde de um ltu h e se choc de fom inelástic (plástic) com b em C. Pede-se detemin: L k C h ) velocidde V do bloco ntes e depois do choque; b) máimo deslocmento m d etemidde d b pós o choque (considee L >> m ); c) enei pedid dunte o choque. ª Questão (4,0 pontos) No sistem d fiu, o disco homoêneo (mss m, io R) i o edo d b (mss despeível, compimento L) com velocidde nul constnte ω; b mntém sempe dieção hoiontl e i com velocidde nul constnte W o edo do eio veticl que pss pel ticulção. conjunto está montdo dento de um elevdo que sobe com celeção constnte j. Usndo o sistem de coodends (,,,) solidáio à b, pede-se: Ω L ω elevdo m, R ) o veto de otção bsoluto ω do disco e celeção do seu bicento; b) o vlo de W p que o movimento descito sej possível (pecessão estcionái); c) supondo conhecido o vlo de W detemindo no item (b), clcule s eções n ticulção ; d) espond e justifique: o movimento descito seá possível se o elevdo desce em qued live?

2 3ª Questão (3,0 pontos) Considee o Eecício Computcionl númeo 1, no qul é nlisdo o compotmento dinâmico do oto cilíndico mostdo n fiu bio. (,,, ) é um sistem de efeêncis fio, com n veticl e e n hoiontl. equção que ee dinâmic deste oto p condição desblnced e com eio n hoiontl é: ϕ& & = τ ( t) Q( t) e s componentes ds eções plicds o oto pelos mncis, ssocids às dieções de (,,, ), são dds po: 1 = 1 = = = = = 0 ( ϕ& + ϕ&& ) ( ϕ& + ϕ&& ) 1 ( ϕ&& ϕ& + ) + ( ϕ&& ) 1 ( ϕ&& ϕ& + ) ( ϕ&& ) XZ + ϕ& XZ ϕ& XZ XZ m R m onde = ( ρπ R ) + 3m é mss totl do sistem, τ(t) é o toque plicdo, Q ( t) = Cϕ& é o toque m esistivo, ( t) = ecosϕ ( t); ( t) = esin ϕ( t); = são s coodends do bicento do m sistem, com e = + = R (4 ) ecenticidde, ssocid o desblncemento. XZ = mr é o poduto de inéci com espeito eios solidáios o oto (não mostdos n fiu). ) Dente os dims e, qul simul condição de oto com eio n hoiontl? ustifique clmente.

3 Phi pontos 1/s phi ponto phi 1/s X Y u u X Y u u Q Phi ponto Phi pontos 1/s X u Y u X u Y Q s fius bio mostm o eisto tempol de um simulção. pimei pesent ϕ ( t) e ϕ& ( t). seund most ( t) e ( t). simulção foi elid sob o seuinte conjunto de pâmetos: R = 100 mm, C = 4π Nms, τ o = 0,5 knm, = 500 mm, ρ =,7 t/m 3, m = 0 k; =9,8ms - e condição inicil de simulção é tl que ϕ ( 0) = 0 e ϕ& (0) = 0, de tl sote que ( 0) = 0 Pede-se:

4 b) Identifique ϕ ( t) e ϕ& ( t), ssocindo os eistos tempois : (I) linh sólid, (II) linh tcejd. ustifique. Fi. 1 Fi.

5 PE 00 ECÂNIC Seund Pov Resolução - 13/04/003 1ª Questão - Resolução (3,0 pontos) Um b ticuld em de mss e compimento L, está poid num mol de iide k. Um bloco de mss m, inicilmente em epouso, ci sob ção d vidde de um ltu h e se choc de fom inelástic (plástic) com b em C. Pede-se detemin: L k C h ) velocidde V do bloco ntes e depois do choque; b) máimo deslocmento m d etemidde d b pós o choque (considee L >> m ); c) enei pedid dunte o choque. Consevção d enei ntes do choque: ipótese de Newton: e = 0 v = v = v C v = h (0,5) DCL do sistem b+mss dunte o choque (epesentds pens foçs de ntue impulsiv): TI pólo em : = = 0 f = i L v mv L k k = ml h k 3 L 3m v = h (1,0) 3m + TEC ente os instntes imeditmente pós o choque e máim defomção d mol (considendo h >> má ) k 6h má má = m ( 3m + )k (1,0) L v τ = T = mv + 3 L Enei pedid dunte o choque: E p 1 = mh mv + 1 L 3 v L E mh = 1 (0,5) ou E = p 3m + p mh k má

6 PE 00 ECÂNIC Seund Pov Resolução - 13/04/003 ª Questão - Resolução (4,0 pontos) No sistem d fiu, o disco homoêneo (mss elevdo m, io R) i o edo d b (mss despeível, compimento L) com velocidde Ω nul constnte ω; b mntém sempe dieção hoiontl e i com velocidde nul constnte W o edo do eio veticl que pss pel ticulção. conjunto está ω montdo dento de um elevdo que sobe com celeção constnte m, R j. Usndo o sistem de coodends (,,,) solidáio à b, pede-se: ) o veto de otção bsoluto ω L do disco e celeção do seu bicento; b) o vlo de W p que o movimento descito sej possível (pecessão estcionái); c) supondo conhecido o vlo de W detemindo no item (b), clcule s eções n ticulção ; d) espond e justifique: o movimento descito seá possível se o elevdo desce em qued live? Resolução: ω = ωi + Ωj = Ω Li + j mr = (1,0) T pólo em (etensão do CR): = m( ) v + ωi + Ωj = mlv k + ωi + Ωj & = ml k + mlv Ωi ωωk = ml k & = m(v v) + v = v i ΩLk ml ( + ) L( + ) mlv Ωi + (ml ωω)k = mlv Ωi ml k Ω = Ω = (,0) ω ωr T: (0,5) m( Ω Li + j) = X i + (Y m ) j + Z Cso em qued live, = - Ω = 0 e não há pecessão. (0,5) k X = mω L ; Y = m( + ) ; Z = 0

7 PE 00 ECÂNIC Seund Pov Resolução - 13/04/003 ª Questão Resolução ltentiv - (4,0 pontos) No sistem d fiu, o disco homoêneo (mss m, io R) i o edo d b (mss despeível, compimento L) com velocidde nul constnte ω; b mntém sempe dieção hoiontl e i com velocidde nul constnte W o edo do eio veticl que pss pel ticulção. conjunto está montdo dento de um elevdo que sobe com celeção constnte j. Usndo o sistem de coodends (,,,) solidáio à b, pede-se: ) o veto de otção bsoluto ω L do disco e celeção do seu bicento; b) o vlo de W p que o movimento descito sej possível (pecessão estcionái); c) supondo conhecido o vlo de W detemindo no item (b), clcule s eções n ticulção ; d) espond e justifique: o movimento descito seá possível se o elevdo desce em qued live? Ω ω elevdo m, R Resolução ltentiv: ω = ωi + Ωj = Ω Li + j T pólo em : = ωi + Ωj & = ωωk = Z Lj Y k & = ωωk = Z Lj Y Lk mr = (1,0) Z X Y 0 = ZL ωω = YL m T: mω L = X m( Ω Li + j) = Xi + (Y m ) j + Zk m = Y m (0,5) 0 = Z L( + ) Resolvendo: X = mω L ; Y = m( + ) ; Z = 0 Ω = (,0) ωr Cso em qued live, = - Ω = 0 e não há pecessão. (0,5)

8 PE 00 ECÂNIC Seund Pov Resolução - 13/04/003 3ª Questão - Resolução (3,0 pontos) ) dim simul condição de tblho com o eio do oto n hoiontl. Nest confiução o desblncemento esult em um momento de foçs em elção o eio do oto, momento este que depende do ânulo ϕ (t). Potnto, um temo em ϕ (t) tem que se considedo no bloco p cálculo d celeção ϕ&(t & ), o que pens contece no dim. (1,5) (b) linh sólid (I) coesponde ϕ& (t) e linh tcejd (II) coesponde ϕ (t). Com plicção do toque, constnte, o ânulo ϕ (t) cesce indefinidmente, enqunto que pesenç do toque esistivo Q(t) tende estbili otção em tono de um vlo finito. s oscilções obsevds em ϕ& (t) são devids o desblncemento do oto. (1,5)