ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

Transcrição

1 PME MECÂNIC B ª Pov 3/5/6 Dução minuos (Não é pemiido o uso de clculdos). B C D 3 ª Quesão (3,5 ponos) fiu mos um disco homoêneo, de mss m e io, que i livemene em ono de seu ceno fixo com velocidde nul ω. Em um deemindo insne o esslo do disco, de dimensões despezíveis de fom não le disibuição de mss do disco, choc-se com b de mss m e compimeno 4 que esá iculd em C e inicilmene em epouso. Sendo o coeficiene de esiuição e, pede-se: ) dim de copo live pens do disco e o dim de copo live pens d b. b) Deemine s velociddes nules ω do disco e d b pós o impco. c) impulso eivo em. d) mínimo vlo de ω p que b venh se choc con o disco. ª Quesão (3, ponos) ) No sisem d fiu, o disco homoêneo (mss m, io R) i o edo d b (mss despezível, compimeno l ) com velocidde nul consne ω; b mném dieção hoizonl e i com velocidde nul consne o edo do eixo veicl que pss pel iculção. conjuno esá mondo deno de um elevdo que sobe com celeção consne j. Usndo o sisem de coodends (,x,y,z) solidáio à b, pede-se: ) o veo de oção bsoluo ω do disco e celeção do seu biceno; b) o vlo de p que o movimeno descio sej possível (pecessão escionái); c) supondo conhecido o vlo de deemindo no iem (b), clcule s eções n iculção ; d) espond e jusifique: o movimeno descio seá possível se o elevdo desce em qued live? y, z, k j l bse do elevdo ω m, R x, i

2 3ª Quesão (3,5 ponos) (bsed no EP) Considee o pião siméico sujeio pens à ção d foç peso, epesendo n fiu 3.. eixo fixo Z é veicl e é um iculção. Ness condições equção difeencil que desceve o movimeno do pião é, ( α β cos)( β α cos ) I & + = mz sen 3 Isen α = K = φ & sin + cos ψ& + φ& Z I J cos e nde ( ) β = = J K z ( ψ& + φ& cos ), componenes do momeno nul ns dieções dos eixos Z e z, especivmene, são dus consnes que dependem pens ds condições iniciis do movimeno; I e J são os momenos de inéci do pião em elção os eixos y e z especivmene. s vloes dodos ns simulções são: mz =. Nm; I =,k m ; J = I. X.5 Z z m φ & φ Fiu 3. z x ψ& y Y ) Esboce o dim SCICS p o poblem. - fiu 3. mos os áficos ds coodends do ceno de mss do pião em função do empo; os iens b), c) e d) efeem-se es fiu: b) Respond e jusifique: que ipo de movimeno é execudo pelo pião? c) Clcule poximdmene o vlo d velocidde de pecessão φ &. d) Sbendo que no movimeno descio ψ& > senido deφ &?, qul o - s fius 3.3. e 3.3. mosm os áficos de e & em função do empo; sbendo que os dois movimenos descios ness fius êm mesmos vloes iniciis de φ e φ &, espond e jusifique: e) Em qul fiu é pesendo o movimeno que em o mio vlo inicil de ψ&? X Y Z Fiu & & Fiu 3.3. Fiu 3.3.

3 PME MECÂNIC B ª Pov 3/5/6 Dução minuos (Não é pemiido o uso de clculdos). B C D 3 ª Quesão (3,5 ponos) fiu mos um disco homoêneo, de mss m e io, que i livemene em ono de seu ceno fixo com velocidde nul ω. Em um deemindo insne o esslo do disco, de dimensões despezíveis de fom não le disibuição de mss do disco, choc -se com b de mss m e compimeno 4 que esá iculd em C e inicilmene em epouso. Sendo o coeficiene de esiuição e, pede-se: ) dim de copo live pens do disco e o dim de copo live pens d b. b) Deemine s velociddes nules ω do disco e d b pós o impco. c) impulso eivo em. d) mínimo vlo de ω p que b venh se choc con o disco. I I x C (,5) I y I I Cy I Cx Eq. ds velociddes elivs: vb v = e( v v B ) ω = eω TMI no disco com pólo em : H = M d J ( ω ( ω) ) = I k (eq. ) (,5) z (eq. ) (,5) TMI n b com pólo em C: H = M d J k = I k (eq. 3) (,5) Subsiuindo (eq. ) em (eq. 3): 4m 4m 6m ω ω = + 3 m = 7 Subsiuindo em (eq. ): ( 3 4e) 6 ω = ω ( + e) 4m + e = ω I = C C zc ( ω ω ) ( ) ω ( + e) ω 4m TI no disco: I = Q = Iy = I I y = I x = (,5) 7 P b be no disco o seu biceno deveá ini lu máxim pssndo pel veicl do pono C. Pelo TEC: 7m 6 T = τ > m > ω > (,5) 6 ( + e) 7

4 ª Quesão (3, ponos) ) No sisem d fiu, o disco homoêneo (mss m, io R) i o edo d b (mss despezível, compimeno l ) com velocidde nul consne ω; b mném dieção hoizonl e i com velocidde nul consne o edo do eixo veicl que pss pel iculção. conjuno esá mondo deno de um elevdo que sobe com celeção consne j. Usndo o sisem de coodends (,x,y,z) solidáio à b, pede-se: ) o veo de oção bsoluo ω do disco e celeção do seu biceno; b) o vlo de p que o movimeno descio sej possível (pecessão escionái); c) supondo conhecido o vlo de deemindo no iem (b), clcule s eções n iculção ; d) espond e jusifique: o movimeno descio seá possível se o elevdo desce em qued live? y, z, k j l bse do elevdo ω m, R x, i ω = ωi + j (,5) bs = j ; = L i ; = = L i + j (,5),,el &, co TM pólo em : H = m( v v ) + M H & H = m ( ) v + [ i j k][ J] { ω } = mlv k + ω i + + ml j mr = ml k + mlv i = ml k mr mlv i + ml M ωk ω k = m bs mr mr 4 [( v j L k) v j] + ( ml k) esolvendo p dieção k : ( + ) L = R ω (,) (,5) TMB: m( L i + j) = X i + ( Y m) j + Z k X = m L Y = m( + ) Z = Cso em qued live, = - = e ssim não há pecessão. (,5)

5 Quesão 3 (3,5 ponos) Bsed no º Execício compucionl. Considee o pião siméico sujeio pens à ção d foç peso, epesendo n fiu 3.. eixo fixo Z é veicl e é um iculção. Ness condições equção difeencil que desceve o movimeno do pião é, ( α β cos )( β α cos) I & + = mz sen 3 Isen onde α = K ϕ sin Z = I & + J cos( ψ& + ϕ& cos ) e β = K z = J ( ψ & + ϕ& cos), componenes do momeno nul ns dieções dos eixos Z e z, especivmene, são dus consnes que dependem pens ds condições iniciis do movimeno; I e J são os momenos de inéci do pião em elção os eixos y e z especivmene. s vloes dodos ns simulções são: mz =. Nm; I =,k m ; J = I. ) Esboce o dim SCICS p o poblem. - fiu 3. mos os áficos ds coodends do ceno de mss do pião em função do empo; os iens ), b) e c) efeem-se es fiu. b) Respond e jusifique: que ipo de movimeno é execudo pelo pião? c) Clcule poximdmene o vlo d velocidde de pecessão ϕ&. d) Sbendo que no movimeno descio ψ& >, qul o senido de ϕ&? - s fius 3.3. e 3.3. mosm os áficos de e & em função do empo; sbendo que os dois movimenos descios ness fius êm mesmos vloes iniciis de ϕ e ϕ&, espond e jusifique: e) Em qul fiu é pesendo o movimeno que em o mio vlo inicil de ψ&?.5 X X Z z Y φ & m φ Fiu 3. Z z ψ& x y Y Fiu & Fiu & Fiu 3.3.

6 ) Dim SCICS (,5) b) = ce = = ce & =, & = ; Z α β cos β φ & = = ce e ψ & = φ& cos = ce. (,5) 3 I sin J Loo, o pião esá em pecessão escionái. c) pi dos áficos de X ou Z em poximdmene 7.8 seundos, loo, Y d fiu 3., obsev -se que comple 3 vols o edo de 3 φ & =.39 ps ou φ &.4 d / s. (,5) 7.8 d) Tçndo-se o áfico de Y em função de X, obsev-se que jeói de o edo de Z é pecoid no senido hoáio, loo, φ & é neiv. (,5) ¾ vol Y = ½ vol X. ¼ vol

7 e) s áficos mosm que o peíodo de nução é meno no movimeno descio n fiu 3.3., indicndo que nese cso, iidez ioscópic é mio. Como ess iidez é popocionl ψ&, o mio vlo inicil de ψ& coesponde o movimeno descio n fiu3.3.. (,5)