ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

Transcrição

1 PME Mecânica eal A - 3ª Pva 4//7 Duaçã: min. (nã é pemiid us de calculadas) Q - 3, Pns) Cnsidee pêndul cmps p uma baa AB de massa despezível e cmpimen L e um quadad de massa m e lad a fix na baa cnfme a figua. Nã há ai na aiculaçã A. Sã dadas as cndições iniciais ϕ ( ) ϕ e ϕ& ( ) e mmen de inécia d quadad em elaçã a seu baicen J ma 6 Pede-se: a) (,) A enegia cinéica em funçã de ϕ& ; b) (,) O abalh da fça pes cespndene a um deslcamen angula Δϕ ϕ ϕ, (ϕ > ϕ ); c) (,) Esceve ϕ& e ϕ& & em funçã de ϕ, dadas as cndições iniciais; d) (,) Deemina as eações vinculaes aplicadas à baa n pn A em funçã de ϕ, dadas as cndições iniciais. Q - 3 Pns) Pae de um mecanism de elevaçã de caga esá sujei a camp gaviacinal de inensidade g e às fças indicadas na figua, de al fma que val de F é mui supei a pes d sisema, nand s fis sempe acinads. O blc A pssui massa m e as plias pssuem massa m e ai. Os fis sã cnsideads ideais (inexensíveis, cm massa despezível e pefeiamene flexíveis) e cnecam sisema cnfme a figua, sem escegamen nas plias. Pede-se: a) (,) Os diagamas de cp live d blc A e das plias; b) (,) Aplicand Teema d Mvimen d Baicen e/u Teema d Mmen Angula a blc e plias, expessa as ações T e T, cm funções das aceleações & y e & y ; c) (,) Manipuland adequadamene as equações, elimine as ações e deemine a aceleaçã d blc A. Dad: J J m / D E Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

2 Q3-3, Pns) Uma esfea hmgênea de massa m e ai é aemessada a lng da ampa de ângul θ3º cm uma velcidade inicial v e sem velcidade angula (ω ) n insane d lançamen ( ). Se ceficiene de ai cinéic é μ 3 deemine: 3 a) A aceleaçã angula ω& da esfea enquan ce escegamen; b) A aceleaçã d baicen da esfea enquan ce escegamen; c) A velcidade v () d baicen da esfea enquan ce escegamen; d) A velcidade angula ω() da esfea enquan ce escegamen; (a,b,c,d smam,) e) O insane a pai d qual a esfea deixa de escega; f) A velcidade angula nesse insane; (e,f smam,) g) (,) O abalh ealizad pela fça de ai duane peíd de escegamen; Na: ecmenda-se simplifica a máxim as expessões sempe que pssível. m Dad: J Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

3 ABAITO Q) a)paa bems a enegia cinéica d pêndul cmps pela baa AB de massa despezível e quadad de lad a e massa m, vams cnsidea pól A. O pêndul ealiza smene um mvimen de açã em elaçã a ese pól. Enã: T ω J za nde ω é módul d ve de açã ω ωk & ϕk e J za é mmen de inécia em elaçã a pól A. Pel eema de Seine ems que: J za m ( L a / ) ma A expessã paa a enegia cinéica assume a fma T ϕ& m[( L + a / ) + a ] () 6 Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

4 b) O abalh da fça pes paa deslcamen angula Δϕ ϕ ϕ é dad p W ( mgj). V d nde V é a velcidade d baicen d quadad de lad a e é bida aplicand-se Pissn em elaçã a pn A. V V + ω ( A) A Cm V e ( A) ( L + a / )(sinϕ i csϕ j), ems que: V A & ϕ ( L + a / )[sinϕ j + csϕ i ] () Enã a expessã paa abalh da fça pes assume a fma: W mg( L + a / ) sinϕ & ϕd Uma vez avaliad inegal na equaçã acima ems: W mg L + a / )(csϕ csϕ ) (3) ( c) De acd cm eema da enegia cinéica ems que: T ( ) T () W (4) De acd cm () e cm as cndições iniciais ϕ ( ) ϕ e ϕ& ( ), a enegia cinéica n insane é T(). Enã, a pai de () e (3) pdems eesceve (4) cm: & ϕ m[( L + a / ) + a ] mg( L + a / )[csϕ csϕ ] 6 eslvend a equaçã acima paa ϕ& ems que: g( L + a / )[csϕ csϕ ] ϕ& () ( L + a / ) + a / 6 Deivand a equaçã acima em elaçã a emp ems que: g( L + a / )sinϕ ϕ& & (6) ( L + a / ) + a / 6 Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

5 d) Paa deeminams as eações vinculaes aplicadas à baa n pn A, vams uiliza eema da esulane. ma y j + x i mgj (7) nde a é a aceleaçã d baicen d blc de lad a, e x e y sã, especivamene, módul da cmpnene hiznal e veical das eações vinculaes. Deivand () em elaçã a emp ems que: a && ϕ( L + a / )[sinϕj + csϕi ] + & ϕ ( L + a / )[csϕj sinϕi ] Enã, a equaçã (7) na dieçã d ves i é dada p: x m( L + a / )[ & ϕ csϕ & ϕ sinϕ], (8) e na dieçã d ves j é dada p: y m( L + a / )[ & ϕ sinϕ + & ϕ csϕ] + mg (9) Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

6 Q) a) Diagamas de cp live das plias e d blc: b) Blc: TMB ma A (F mg T Cinem. a (&& y + && y ) j A ) j m( && y + && y ) (F mg T ) Plia D: TMB mad ( F + T mg T ) j my && ( F + T mg T ) Cinem. ad && y j TMA (T F) k J & DωDk && y (T F) J D Cinem. && y j & j ω D Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

7 TMB Cinem. TMA Cinem. Plia E: mae ( F + T mg T3 ) j F T3 mg + T ae ( F T ) k J & EωEk && y ( F T ) J E && y j & j ω E c) É necessái eslve seguine sisema de equações: m( && y + && y ) F mg T my && F + T mg T && y J ( T F) && y J ( T F) & y e & & y & eslvend sisema, esula em: 8 F g m F g m Send a A (&& y + && y ) j F m g j Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

8 Q3) a) Escevend Teema d Mmen Angula (TMA), paa um cp ígid, cm a maiz de inécia escia em elaçã a um efeencial slidái a cp e, pan cnsane, em-se: M ( O)^ a + [ ω ^ i, ω^ j, ω^ k ][ J ]{ ω} + [ i, j, k ][ J ]{ & ω} M Simplificand a expessã paa mvimen plan ( ω ωk ), mand pól, send cp ígid em quesã uma esfea (pdus de inécia em elaçã a baicen sã nuls), chega-se em: J z & ω k M ex ex O m & ω k F a k F a m & ω Aplicand Teema d Mvimen d Baicen (TMB) paa a esfea e já efeuand s cálculs paa ângul de 3 d plan inclinad e, adand que sua aceleaçã ceá apenas na dieçã i : mg sin( θ ) i mg cs( θ ) j F mg Fa ma 3 N mg a i + Nj ma Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

9 Da Lei de Culmb, segue que, paa ai cinéic: F a μ N mg Subsiuind a magniude da fça de ai na expessã d TMA, chega-se n val da inensidade da aceleaçã angula da esfea: g ω& 4 b) Subsiuind val da fça de ai na expessã d TMB em i, chega-se em: a c) Inegand n emp a expessã da aceleaçã d baicen da esfea, e uilizand as cndições iniciais, em-se: V ) V adτ dτ V ( ) ( V d) Inegand n emp a expessã da aceleaçã angula da esfea, e uilizand as cndições iniciais, em-se: g g ω ( ) ω & ωdτ dτ ω( ) 4 4 e) O insane à pai d qual a esfea páa de escega ce quand a velcidade n pn de cna ene a esfea e plan inclinad, denminad C, se na nula. Aplicand a equaçã de Pissn ene pn e pn C e impnd que a velcidade em C seja ve idenicamene nul, em-se: VC V + ω^ ( C ) g Vi k ^ ( j) 4 4 V g f) Subsiuind val d insane deeminad n iem anei na expessã da velcidade angula em funçã d emp, em-se: 4 g V ω ( ) Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX:

10 g) Aplicand Teema da Enegia Cinéica (TEC) ene s insanes ze e, em-se: T T τ T T τ mg mv mv mg mgv sin( θ ) + τ + Fa m V mv mv + mv Ne que smene a fça pes e a fça de ai ealizam abalh paa a siuaçã ppsa. Island abalh da fça de ai na expessã d TEC, bém-se: τ Fa T T τ mg mv Av. Pf. Mell Maes, Sã Paul SP BASIL TEL.: 39-3/6/7 FAX: